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黑龙江省大庆市铁人中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析



黑龙江省大庆市铁人中学 2014-2015 学年高二上学期期中数学试 卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1. (5 分)下列命题错误的是() 2 2 A.命题“若 m>0,则方程 x +x﹣m=0 有实数根”的逆否命题为:“若方程 x +x﹣m=0 无实数 根,则 m≤0” 2 B. “x=1”是“x ﹣3x+2=0”的充分不

必要条件 2 2 C. 对于命题 p:?x∈R,使得 x +x+1<0,则¬p:?x∈R 均有 x +x+1≥0 D.若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题

2. (5 分)设 A.实轴在 x 轴上的双曲线 C. 长轴在 x 轴上的椭圆

,则关于 x,y 的方程 B. 实轴在 y 轴上的双曲线 D.长轴在 y 轴上的椭圆

表示的曲线为()

3. (5 分)已知 A={1,2,4,5},a,b∈A 则方程 为() A. B. C.

=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆的概率

D.

4. (5 分)若点 P(a,1)在椭圆 A. C.
2

=1 的外部,则 a 的取值范围是() B. D.

5. (5 分)抛物线 y=2x 上两点 A(x1,y1) 、B(x2,y2)关于直线 y=x+m 对称,且 x1?x2= ﹣ ,则 m 等于() A. B. 2 C.
2 3 4

D.3
5 6

6. (5 分)用秦九韶算法求多项式:f(x)=12+35x﹣8x +79x +6x +5x +3x 在 x=﹣4 的值时, v4 的值为() A.﹣845 B.220 C.﹣57 D.34

7. (5 分)阅读如图的程序框图,若输出 s 的值为﹣7,则判断框内可填写()

A.i<3

B.i<4

C.i<5

D.i<6

8. (5 分)已知椭圆 E:

的右焦点为 F(3,0) ,过点 F 的直线交椭圆

E 于 A、B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,﹣1) ,则 E 的方程为() A. B.

C.

D.

9. (5 分)若点 O 和点 F 分别为椭圆

的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,

则 A.2

的最大值为() B. 3 C. 6 D.8

10. (5 分)已知 F1、F2 是两个定点,点 P 是以 F1 和 F2 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交 点,并且 PF1⊥PF2,e1 和 e2 分别是上述椭圆和双曲线的离心率,则有() 2 2 2 2 A.e1 +e2 =2 B. e1 +e2 =4 C. D.

11. (5 分)△ ABC 中, A.充要条件 C. 必要条件



|的() B. 充分条件 D.必要不充分条件

12. (5 分)给出下列命题: (1)等比数列{an}的公比为 q,则“q>1”是“ ”的既不充分也不必要条

件; 2 (2)“x≠1”是“x ≠1”的必要不充分条件; 2 (3)函数的 y=lg(x +ax+1)的值域为 R,则实数﹣2<a<2; 2 2 (4)“a=1”是“函数 y=cos ax﹣sin ax 的最小正周期为 π”的充要条件. 其中真命 题的个数是() A.1 B. 2 C. 3

D. 4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13. (5 分)如图程序输出 sum 的值是.

14. (5 分) 如果不等式|x﹣a|<1 成立的充分不必要条件是

, 则实数 a 的取值范围是.

15. (5 分)已知椭圆的焦点是 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,P 为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和 |PF2|的等差中项.若点 P 在第三象限,且∠PF1F2=120°,则 sin∠F1PF2=.

16. (5 分)已知椭圆 若椭圆上存在一点 P 使

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) , ,则该椭圆的离心率的取值范围为.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (10 分) (1)用辗转相除法求 228,1995 的最大公约数; (2)把 11102(3)化成 6 进制数. 18. (12 分)△ ABC 中,|BC|=24,AC,BA 边上的两条中线之和为 39.若以 BC 边为 x 轴, BC 中点为坐标原点建立平面直角坐标系.求:△ ABC 重心的轨迹方程.

19. (12 分)P(x0,y0) (x0≠±a)是双曲线 E: 分别是双曲线 E 的左右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为 .

上一点,M,N

(1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标原点,C 为双 曲线上一点,满足 ,求 λ 的值.
2

20. (12 分)在平面直角坐标系中,直线 l 与抛物线 y =2x 相交于 A,B 两点.求证:“如果直 线 l 过(3,0) ,那么 =3”是真命题.

21. (12 分)椭圆 C:

=1(a>b>0)的离心率

,a+b=3.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,A,B,D 是椭圆 C 的顶点,P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点,直线 DP 交 x 轴于 点 N 直线 AD 交 BP 于点 M,设 BP 的斜率为 k,MN 的斜率为 m,证明 2m﹣k 为定值.

22. (12 分)已知抛物线 y =x 的弦 AB 与直线 y=1 公共点,且弦 AB 的中点 N 到 y 轴的距离 为 1,求弦 AB 长度的最大值,并求此直线 AB 所在的直线的方程.

2

黑龙江省大庆市铁人中学 2014-2015 学年高二上学期期中 数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1. (5 分)下列命题错误的是() 2 2 A.命题“若 m>0,则方程 x +x﹣m=0 有实数根”的逆否命题为:“若方程 x +x﹣m=0 无实数 根,则 m≤0” 2 B. “x=1”是“x ﹣3x+2=0”的充分不必要条件 2 2 C. 对于命题 p:?x∈R,使得 x + x+1<0,则¬p:?x∈R 均有 x +x+1≥0

D.若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 综合题;简易逻辑. 分析: A,写出命题“若 p,则 q”的逆否命题“若¬q,则¬p”,判定命题是否正确; 2 2 B,x=1 时,x ﹣3x+2=0 是否成立;x ﹣3x+2=0 时,x=1 是否成立,判定命题是否正确; C,写出命题 p 的否定¬p,判定命题是否正确; D,当 p∧q 为假命题时,p 与 q 的真假关系,判定命题是否正确. 2 解答: 解:对于 A,命题“若 m>0,则方程 x +x﹣m=0 有实数根”的逆否命题是:“若方程 2 x +x﹣m=0 无实数根,则 m≤0”,命题正确; 2 2 2 对于 B,x=1 时,x ﹣3x+2=0;x ﹣3x+2=0 时,x=1 或 2,∴x=1 是“x ﹣3x+2=0”的充分不必 要条件,命题正确; 对于 C,命题 p:?x∈R,使得 x +x+1<0,的否定是¬p:?x∈R,x +x+1≥0,∴命题正确; 对于 D,若 p∧q 为假命题,则 p 为假命题,q 为真命题,或 p 为真命题,q 为假命题,或 p,q 均为假命题,∴命题错误. 故选:D. 点评: 本题通过命题真假的判定,考查了简易逻辑的应用问题,解题时应对每一个命题进 行认真分析,从而得出正确的答案,是基础题.
2 2

2. (5 分)设 A.实轴在 x 轴上的双曲线 C. 长轴在 x 轴上的椭圆

,则关于 x,y 的方程 B. 实轴在 y 轴上的双曲线 D.长轴在 y 轴上的椭圆

表示的曲线为()

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据 θ 的取值范围,得到﹣cosθ>sinθ>0,由此将方程 形式,即可得到它表示焦点在 y 轴上的椭圆,得到本题答案. 解答: 解:∵ ∴0<sinθ ,而﹣1<cosθ<﹣ , , 化成标准

因此方程 ∵﹣cosθ>sinθ>0 ∴方程 故选:D

化简为

表示的曲线为长轴在 y 轴上的椭圆.

点评: 本题给出二次曲线含有三角函数系数的方程形式,问表示什么样的曲线,着重考查 了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识,属于基础题.

3. (5 分)已知 A={1,2,4,5},a,b∈A 则方程 为() A. B. C.

=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆的概率

D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 概率与统计. 分析: 首先求出构成椭圆的基本事件,进一步求出表示焦点在 y 轴上的椭圆的基本事件数, 最后求出概率的值. 解答: 解:A={1,2,4,5},a,b∈A 则方程 可分以下几种情况①当 a=1 时,b=2、4、5, ②a=2 时,b=1、4、5, ③a=4 时,b=1、2、5, ④a=5 时,b=1、2、4, 所以表示椭圆的基本事件为:12; 焦点在 y 轴上的椭圆, ①当 a=1 时,b=2、4、5; ②a=2 时,b=4、5; ③a=4 时,b=5; 表示焦点在 y 轴上椭圆的基本事件为:6, 则表示焦点在 y 轴上的椭圆的概率为:P(A)= ; 故选:D. 点评: 本题考查的知识要点:古典概型问题,求古典概率的步骤. =1 表示椭圆,

4. (5 分)若点 P(a,1)在椭圆 A. C.

=1 的外部,则 a 的取值范围是() B. D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: 首先求出直线和椭圆的交点坐标,进一步利用点在椭圆外求出 a 的范围.

解答: 解:设直线 y=1 与椭圆 把 A(x,1)代入椭圆方程解得:x=

=1 的交点坐标为 A(x,1)

点 P(a,1)在椭圆 则:

=1 的外部

故选:B 点评: 本题考查的知识要点:直线和曲线的位置关系,及点和曲线的位置关系. 5. (5 分)抛物线 y=2x 上两点 A(x1,y1) 、B(x2,y2)关于直线 y=x+m 对称,且 x1?x2= ﹣ ,则 m 等于() A. B. 2 C. D.3
2

考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先利用条件得出 A、B 两点连线的斜率 k,再利用 A、B 两点的中点在直线 y=x+m 求 出关于 m 以及 x2,x1 的方程,再与已知条件联立求出实数 m 的值. 解答: 解:由条件得 A(x1,y1) 、B(x2,y2)两点连线的斜率 k= ,

而 y2﹣y1=2(x2 ﹣x1 ) ①,得 x2+x1=﹣ 上, 即 = +m,即 y2+y1=x2+x1+2m ③

2

2

②,且(



)在直线 y=x+m

又因为 A(x1,y1) 、B(x2,y2)两点在抛物线 y=2x 上, 2 2 所以有 2(x2 +x1 )=x2+x1+2m, :即 2=x2+x1+2m ④, 把①②代入④整理得 2m=3,解得 m= 故选 A. 点评: 本题是对直线与抛物线位置关系以及点与直线位置的综合考查.当两点关于已知直 线对称时,有两条结论,一是两点的中点在已知直线上;二是两点的连线与已知直线垂直. 6. (5 分)用秦九韶算法求多项式:f(x)=12+35x﹣8x +79x +6x +5x +3x 在 x=﹣4 的值时, v4 的值为() A.﹣845 B.220 C.﹣57 D.34
2 3 4 5 6

2

考点: 算法思想的历程. 专题: 计算题. 分析: 首先把一个 n 次多项式 f(x)写成(…( (ax+a)x+a)x+…+a)x+a 的形式,然后化 简,求 n 次多项式 f(x)的值就转化为求 n 个一次多项式的值,求出 V4 的值. 2 3 4 5 6 解答: 解:∵f(x)=12+35x﹣8x +79x +6x +5x +3x =( ( ( ( (3x+5)x+6)x+79)x﹣8)x+35)x+12, ∴v0=a6=3, v1=v0x+a5=3×(﹣4)+5=﹣7, v2=v1x+a4=﹣7×(﹣4)+6=34, v3=v2x+a3=34×(﹣4)+79=﹣57, v4=v3x+a2=﹣57×(﹣4)+(﹣8)=220. 故选 B. 点评: 本题考查通过程序框图解决实际问题,把实际问题通过数学上的算法,写成程序, 然后求解,属于中档题. 7. (5 分)阅读如图的程序框图,若输出 s 的值为﹣7,则判断框内可填写()

A.i<3

B.i<4

C.i<5

D.i<6

考点: 设计程序框图解决实际问题. 专题: 算法和程序框图. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是累加变量 i 的值到 S 并输出 S, 根据流程图所示, 将程序运行过程中各变量的值列表如下: 解答: 解:程序在运行过程中各变量的值如下表示: 是否继续循环 S i 循环前/2 1 第一圈 是 1 3 第二圈 是﹣2 5 第三 圈 是﹣7 7 第四圈 否 所以判断框内可填写“i<6”, 故选 D.

点评: 算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程 序填空也是重要的考试题型, 这种题考试的重点有: ①分支的条件②循环的条件③变量的赋 值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程 图的含义而导致错误.

8. (5 分)已知椭圆 E:

的右焦点为 F(3,0) ,过点 F 的直线交椭圆

E 于 A、B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,﹣1) ,则 E 的方程为() A. B.

C.

D.

考点: 椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,代入椭圆方程得

,利用“点差法”可得

.利用中点坐标公式可得 x1+x2=2,y1+y 2=﹣2,利用斜率计算

公式可得

=
2

= .于是得到
2

,化为 a =2b ,再利用

2

2

c=3=

,即可解得 a ,b .进而得到椭圆的方程.

解答: 解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,

代 入椭圆方程得



相减得







∵x1+x2=2,y1+y2=﹣2,

=

= .


2 2


2 2

化为 a =2b ,又 c=3=

,解得 a =18,b =9.

∴椭圆 E 的方程为



故选 D. 点评: 熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键.

9. (5 分)若点 O 和点 F 分别为椭圆

的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,

则 A.2

的最大值为() B. 3 C. 6 D.8

考点: 椭圆的标准方程;平面向量数量积的含义与物理意义. 专题: 综合题;压轴题. 分析: 先求出左焦点坐标 F,设 P(x0,y0) ,根据 P(x0,y0)在椭圆上可得到 x0、y0 的关 系式,表示出向量 定答案. 解答: 解: 由题意, F (﹣1, 0) , 设点 P (x0, y0) , 则有 因为 , , , 解得 , 、 ,根据数量积的运算将 x0、y0 的关系式代入组成二次函数进而可确

所以

=



此二次函数对应的抛物线的对称轴为 x0=﹣2, 因为﹣2≤x0≤2,所以当 x0=2 时, 取得最大值 ,

故选 C. 点评: 本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调 性与最值等,考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力. 10. (5 分)已知 F1、F2 是两个定点,点 P 是以 F1 和 F2 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交 点,并且 PF1⊥PF2,e1 和 e2 分别是上述椭圆和双曲线的离心率,则有()

A.e1 +e2 =2 C.

2

2

B. e1 +e2 =4 D.

2

2

考点: 圆锥曲线的共同特征. 专题: 计算题. 分析: 由题设中的条件,设焦距为 2c,椭圆的长轴长 2a,双曲线的实轴长为 2m,根据椭圆 和双曲线的性质以及勾弦定理建立方程,联立可得 m,a,c 的等式,整理即可得到结论 解答: 解:由题意设焦距为 2c,椭圆的长轴长 2a,双曲线的实轴长为 2m,不妨令 P 在双曲 线的右支上 由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2m ① 由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a ② 0 2 2 2 又∠F1PF2=90 ,故|PF1| +|PF2| =4c ③ 2 2 2 2 2 2 ① +② 得|PF1| +|PF2| =2a +2m ④ 将④代入③得 a +m =2c ,即
2 2 2

,即

故选 C 点评: 本题考查圆锥曲线的共同特征,考查通过椭圆与双曲线的定义焦点三角形中用勾弦 定理建立三个方程联立求椭圆离心率 e1 与双曲线心率 e2 满足的关系式,解决本题的关键是根 据所得出的条件灵活变形,凑出两曲线离心率所满足的方程来.

11. (5 分)△ ABC 中, A.充要条件 C. 必要条件 考点: 专题: 分析: 解答: ∵ ∴ ∴| ? |=| + |, ?



|的() B. 充分条件 D.必要不充分条件

必要条件、充分条件与充要条件的判断. 简易逻辑. 结合向量问题以及充分必要条件的定义,进行证明即可. 解:先证明充分性: , =0,

∴是充分条件; 再证明必要性: ∵| ∴ |=| ? + |, ? =0,





∴是必要条件; 故选:A. 点评: 本题考查了向量问题,考查了充分必要条件,是一道基础题. 12. (5 分)给出下列命题: (1)等比数列{an}的公比为 q,则“q>1”是“ ”的既不充分也不必要条

件; 2 (2)“x≠1”是“x ≠1”的必要不充分条件; 2 (3)函数的 y=lg(x +ax+1)的值域为 R,则实数﹣2<a<2; 2 2 (4)“a=1”是“函数 y=cos ax﹣sin ax 的最小正周期为 π”的充要条件. 其中真命题的个数是() A.1 B. 2 C. 3 D.4 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 综合题. 分析: 根据等比数列的性质及递增数列的定义,结合充要条件的定义可判断(1)的真假; 2 2 分别判断“x≠1”?“x ≠1”与“x ≠1”?“x≠1”的真假,结合充要条件的定义可判断(2)的真假; 2 根据函数的 y=lg(x +ax+1)的值域为 R,则真数可取任意正数,其最小值不大于 0,求出 a 的范围,可判断(3)的真假; 根据倍角公式及三角函数的周期,结合充要条件的定义可判断(4)的真假; 解答: 解:若首项为负,则公比 q>1 时,数列为递减数列 ,当

时,包含首项为正,公比 q>1 和首项为负,公比 0<q<1 两种情况, 故(1)正确; 2 2 “x≠1”时,“x ≠1”在 x=﹣1 时成立,“x ≠1”时,“x≠1”一定成立,故(2)正确 2 2 2 函数的 y=lg(x +ax+1)的值域为 R,则 x +ax+1=0 的△ =a ﹣4≥0,解得 a≥2 或 a≤﹣2,故(3) 错误; 2 2 2 2 “a=1”时,“函数 y=cos x﹣sin x=cos2x 的最小正周期为 π”,但“函数 y=cos ax﹣sin ax 的最小正 2 2 周期为 π”时, “a=±1”, 故“a=1”是“函数 y=cos ax﹣sin ax 的最小正周期为 π”的充分不必要条件, 故(4)错误 故选 B 点评: 本题以命题的真假判断为载体考查了充要条件的定义,熟练掌握充要条件的定义及 证明方法是解答的关键. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13. (5 分)如图程序输出 sum 的值是 55.

考点: 伪代码. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据题意,模拟程序的运行过程,得出该程序运行后输出的是什么. 解答: 解:模拟程序的运行过程,知该程序运行后输出的是求和运算, 即 i=10 时,sun=1+2+3+…+10=55; ∴输出 sum=55. 故答案为:55. 点评: 本题考查了程序与算法语言的应用问题,解题时应模拟程序的运行过程,以便得出 正确的结果,是基础题.

14. (5 分) 如果不等式|x﹣a|<1 成立的充分不必要条件是

, 则实数 a 的取值范围是.

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 解不等式|x﹣a|<1 得其解集,进而结合充分、必要条件与集合间包含关系的对应关 系可得不等式组,解这个不等式组可得答案. 解答: 解:根据题意,不等式|x﹣a|<1 的解集是 a﹣1<x<a+1,设此命题为 p, 命题 <x< ,为 q; 则 p 的充分不必要条件是 q, 即 q 表示的集合是 p 表示集合的真子集;

则有

, (等号不同时成立) ;

解得 ≤a≤ . 故答案为: . 点评: 本题考查充分、必要条件的判断及运用,注意与集合间关系的对应即可,对于本题 应注意得到的不等式的等号不同时成立,需要验证分析.

15. (5 分)已知椭圆的焦点是 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,P 为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和 |PF2|的等差中项.若点 P 在第三象限,且∠PF1F2=120°,则 sin∠F1PF2= .

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 解三角形;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 首先根据题意建立|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,进一步在三角形中,利用余弦定理求出 ,|PF2|= ,最后利用正弦定理求出结果.

解答: 解:椭圆的焦点是 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) , 则:|F1F2|=2 又 P 为椭圆上一点,且|F1F2|是的等差中项 |PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4 ① 在△ PF1F2 中,∠PF1F2=120° 利用余弦定理得: 由①②解得:|PF2|= |F1F2|COS120°②

利用正弦定理:

解得:sin∠F1PF2= 故答案为: 点评: 本题考查的知识要点:椭圆的定义,等差中项的应用,正弦定理的应用和余弦定理 得应用.

16. (5 分)已知椭圆 若椭圆上存在一点 P 使 . 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由“

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) , ,则该椭圆的离心率的取值范围为

”的结构特征,联想到在△ PF1F2 中运用由正弦定理

得:

两者结合起来,可得到

,再由焦点半径

公式,代入可得到:a(a+ex0)=c(a﹣ex0)解出 x0,由椭圆的范围,建立关于离心率的不等 式求解.要注意椭圆离心率的范围.

解答: 解:在△ PF1F2 中, 由正弦定理得:

则由已知得:



即:a|PF1|=c|PF2| 设点(x0,y0)由焦点半径公式, 得:|PF1|=a+ex0,|PF2|=a﹣ex0 则 a(a+ex0)=c(a﹣ex0) 解得: 由椭圆的几何性质知:x0>﹣a 则
2



整理得 e +2e﹣1>0,解得: 或 ,又 e∈(0,1) , 故椭圆的离心率: , 故答案为: . 点评: 本题主要考查椭圆的定义,性质及焦点三角形的应用,特别是离心率应是椭圆考查 的一个亮点,多数是用 a,b,c 转化,用椭圆的范围来求解离心率的范围. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (10 分) (1)用辗转相除法求 228,1995 的最大公约数; (2)把 11102(3)化成 6 进制数. 考点: 用辗转相除计算最大公约数;进位制. 专题: 算法和程序框图. 分析: (1)用较大的数字除以较小的数字,得到商和余数,然后再用上一式中的除数和得 到的余数中较大的除以较小的,以此类推,当整除时,就得到要求的最大公约数. (2)先把 3 进制的数 11102(3)化为十进制数再变为 6 进制数,用除 k 取余法. 解答: 解: (1)∵1995÷228=8…171 228÷171=1…57 171÷57=3 ∴228 和 1995 的最大公约数是 57. 故答案为:57. (2)11102(3)=1×3 +1×3 +1×3 +0×3 +2×3 =119, 2 1 0 ∵119=3×6 +1×6 +5×6 ∴把 3 进制的数 11102(3) ,化为 6 进制是 315(6) 点评: 本题考查用辗转相除法求两个数的最大公约数,进位制之间的换算,熟练掌握进行 制的变化规律是正确解题的要诀. 在解题时注意数字的运算不要出错, 注意辗转相除法与更相 减损术进行比较. 18. (12 分)△ ABC 中,|BC|=24,AC,BA 边上的两条中线之和为 39.若以 BC 边为 x 轴, BC 中点为坐标原点建立平面直角坐标系.求:△ ABC 重心的轨迹方程.
4 3 2 1 0

考点: 轨迹方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设出三角形的重心 G 的坐标,由重心的性质结合 AC,BA 边上的两条中线之和为 39 得到|BG|+|CG|=26=2a, 由此得到重心 G 的轨迹为椭圆并求得长半轴, 再由|BC|=24 得到半焦距, 结合隐含条件求得 b,则答案可求. 解答: 解:设重心为 G(x,y) ,AC、AB 边上的中线长之和等于 39, ∴|BG|+|CG|=26=2a,a=13, 2c=|BC|=24,c=12, 2 ∴b =25, ∴重心 G 的轨迹方程是 (y≠0) .

点评: 本题考查了椭圆的定义与方差的求法,关键是对三角形重心性质的应用,是中档题.

19. (12 分)P(x0,y0) (x0≠±a)是双曲线 E: 分别是双曲线 E 的左右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为 .

上一点,M,N

(1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标原点,C 为双 曲线上一点,满足 ,求 λ 的值.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;双曲线的简单性质. 专题: 计算题;综合题;压轴题;整体思想. 分析: (1)根据 P(x0,y0) (x0≠±a)是双曲线 E: 上一点,

代入双曲线的方程,M,N 分别是双曲线 E 的左右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为 ,求出 直线 PM,PN 的斜率,然后整体代换,消去 x0,y0,再由 c =a +b ,即可求得双曲线的离心 率; (2)根据过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线,写出直线的方程,联立直线与双曲线的方 程,消去 y,得到关于 x 的一元二次方程,利用韦达定理,及 A,B,C 为双曲线上的点,注 意整体代换,并代入 ,即可求得 λ 的值. 上一点,
2 2 2

解答: 解: (1)∵P(x0,y0) (x0≠±a)是双曲线 E:



,①

由题意又有
2 2 2 2

,②
2

联立①、②可得 a =5b ,c =a +b , 则 e= ,
2 2

(2)联立

,得 4x ﹣10cx+35b =0,

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 x1+x2= 设 即 又 C 为双曲线上一点,即 x3 ﹣5y3 =5b , 2 2 2 有(λx1+x2) ﹣5(λy1+y2) =5b , 2 2 2 2 2 2 化简得:λ (x1 ﹣5y1 )+(x2 ﹣5y2 )+2λ(x1x2﹣5y1y2)=5b , 2 2 2 2 2 2 又 A(x1,y1) ,B(x2,y2)在双曲线上,所以 x1 ﹣5y1 =5b ,x2 ﹣5y2 =5b , 2 2 而 x1x2﹣5y1y2=x1x2﹣5(x1﹣c) (x2﹣c)=﹣ 4x1x2+5c(x1+x2)﹣5c =10b , 2 得 λ +4λ=0,解得 λ=0 或﹣4. 点评: 此题是个难题.本题考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲 线的位置关系, 是一道综合性的试题, 考查了学生综合运用知识解决问题的能力. 其中问题 (2) 考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力, 20. (12 分)在平面直角坐标系中,直线 l 与抛物线 y =2x 相交于 A,B 两点.求证:“如果直 线 l 过(3,0) ,那么 =3”是真命题.
2 2 2 2

,x1?x2=

, ,

=(x3,y3) ,

考点: 抛物线的简单性质;平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设出 A,B 两点的坐标根据向量的点乘运算求证即可得到:“如果直线 l 过(3,0) , 那么 =3”是真命题.
2

解答: 证明:设过点 T(3,0)的直线 l 交抛物线 y =2x 于点 A(x1,y1) 、B(x2,y2) . 当直线 l 的钭率不存在时,直线 l 的方程为 x=3, 此时,直线 l 与抛物线相交于点 A(3, ) 、B(3,﹣ ) . ∴ =3

当直线 l 的钭率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x﹣3) ,其中 k≠0 , 由 得 ky ﹣2y﹣6k=0?y1y2=﹣6,
2

又∵x1= y1 ,x2= y2 , ∴x1x2=9, ∴ =x1x2+y1y2=3, =3”是真命题;

2

2

综上所述,命题“如果直线 l 过点 T(3,0) ,那么

综上,命题成立. 点评: 本题考查了真假命题的证明,抛物线的简单性质,向量数量积,是抛物线与平面向 量的综合应用,难度中档.

21. (12 分)椭圆 C:

=1(a>b>0)的离心率

,a+b=3.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,A,B,D 是椭圆 C 的顶点,P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点,直线 DP 交 x 轴于 点 N 直线 AD 交 BP 于点 M,设 BP 的斜率为 k,MN 的斜率为 m,证明 2m﹣k 为定值.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由题目给出的离心率及 a+b=3,结合条件 a =b +c 列式求出 a,b,则椭圆方程 可求; (2) 设出直线方程, 和椭圆方程联立后解出 P 点坐标, 两直线方程联立解出 M 点坐标, 由 D, P,N 三点共线解出 N 点坐标, 由两点求斜率得到 MN 的斜率 m,代入 2m﹣k 化简整理即可得到 2m﹣k 为定值. 解答: (1)解:因为 又 a+b=3,得 a=2,b=1. 所以椭圆 C 的方程为 ; ,所以 ,即 a =4b ,a=2b.
2 2 2 2 2

(2)证明:因为 B(2,0) ,P 不为椭圆顶点,则可设直线 BP 的方程为 .

联立

,得(4k +1)x ﹣16k x+16k ﹣4=0.

2

2

2

2

所以









所以 P(

) .

又直线 AD 的方程为



联立

,解得 M(

) .

由三点 D(0,1) ,P(

) ,N(x,0)共线,



,所以 N(

) .

所以 MN 的斜率为

=



则 所以 2m﹣k 为定值 .



点评: 本题考查了椭圆的标准方程,考查了直线与圆锥曲线的关系,训练了二次方程中根 与系数关系,考查了由两点求斜率的公式,是中高档题. 22. (12 分)已知抛物线 y =x 的弦 AB 与直线 y=1 公共点,且弦 AB 的中点 N 到 y 轴的距离 为 1,求弦 AB 长度的最大值,并求此直线 AB 所在的直线的方程. 考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由抛物线 y =x 知 p= ,F( ,0) ,根据抛物线的定义,三角形的边角关系, 判断得出最值,及相应直线的位置, (2)联立方程组,借助韦达定理,弦长公式求解直线方程. 解答: 解: (1)由抛物线 y =x 知 p= ,F( ,0) ,
2 2 2

准线方程为 x=﹣ , N 到准线的距离为 d=1+ = , AF+BF=2×d= , 在△ ABF 中,AF+BF≥AB, 所以 AB= 取最大,此时直线 AB 过焦点 F,

(2)设 AB 的方程:y=k(x﹣ ) ,A(x1,y1)B(x2,y2) 与 y =x 联立方程组化简得:k x ﹣( x1+x2=
2 2 2 2 2

+1)x+

=0,

,x1x2=
2


2

|AB| =(1+k )|x1﹣x2| =(1+k )= 求解得出:k= ,



∴直线 AB 的方程:y=

(x﹣ ) ,即:直线的方程为:4x﹣2

y﹣1=0

点评: 本题考查了抛物线的定义,直线与抛物线的位置关系,焦点弦的性质,求解方法, 属于中档题.



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