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高考数学总复习第七讲:三角函数



高考数学总复习第七讲:三角函数

一、三角函数的图象和性质
一、教学目的: 1.使学生熟知三角函数的基本性质,并能以此为依据研究一些解析式为三角式的函数 的性质,切实掌握判定目标函数的奇偶性,确定其单调区间及周期的方法。 2.会求函数 y=Asin(ω x+φ )的周期,或者经过简单恒等变形便可转化为上述函数的三 角函数的周期; 3.了解正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的图象的画法,会用“五点法”画 四函数及 y=Asin(ω x+φ )的简图,并能解决与正弦曲线有关的实际问题。 考试内容:用单位圆中的线段表示三角函数值;正、余弦与正、余切函数的图象和性 质;函数 y=Asin(ω x+φ )的图象。 二、基本三角函数的图象

y=sinx 定义域 R

y=cosx R

y=tanx

y=cotx

{x | x ? k? ?
R 最小正周期π

?

,x ? R} x∈R} 2
R

{x|x≠kπ ,

值域 周期性 单调区间 k∈z

[-1,1] 最小正周期 2π 增区间

[-1,1] 最小正周期 2π

[ 2k? ?
减区间

?
2

, 2k? ? , 2k? ?

?
2

]

[2k? ?

?
2

3? ] 2

增区间 增区间 [2kπ -π ,2kπ ] ? ? (k? ? ,k? ? ) 减区间 2 2 [2k π , 2k π + π]

最 小 正周 期 π 减区间 (kπ ,kπ +π )

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最值点 k∈z

最大值点 ( 2k? ? 最小值点

?

,1) (2kπ ,1) 2

最大值点





( 2k? ?
对称中心 k∈z 对称轴 k∈z

?
2

,?1)

最小值点 ( 2k π + π , 1)

(kπ ,0)

(k? ?
x=kπ

?
2

,0)

(

x ? k? ?

?
2

k? ,0) 2

(

k? ,0) 2





三、(一)性质——单调性、奇偶性、周期性(注意书写格式及对角的讨论) 例 1.用定义证明:f(x)=tgx 在 ( ?

? ?

, ) 递增。 2 2

例 2.比较下列各组三角函数的值的大小 (1)sin194°和 cos160°;

43 74 ? ) 和 ctg (? ? ) 15 19 3? 3? ) 和 sin(cos ); (3) sin(sin 8 8
(2) ctg ( ? (4)tg1,tg2 和 tg3; (1)>(2)<(3)>(4)tg2<tg3<tg1 化为同名、角在同一单调区间内的函数,进而利用增减性比较函数值大小。 例 3.求下列各函数的单调区间 (1) y ? ?2 cos(

x ? ? ); 2 3

(2) y ? 1 ? sin 2x ? 3 cos2x (减区间) (3) y ? ? sin 2 x ? sin x ; (4) y ? log 1 cos( ?
?

x 3

?
4

) (增区间)

(1)4kπ -2π /3≤x≤4kπ +4π /3(增);4kπ +4π /3≤x≤4kπ +10π /3(减),k∈z (2) [k? ?

?
12

,k? ?

5? ],k ? z 12

(3)[2kπ -π /2,2kπ +π /6]与[2kπ +π /2,2kπ +5π /6](增); (4)6kπ -3π /4≤x<6kπ +3π /4 [2kπ -π /6,2kπ +π /2]与[2kπ +5π /6,2kπ +3π /2](减); k∈z 例 4.有以下三个命题; (1)因为 sin(0+π )=sinπ =0,sin(π +π )=sinπ =0, sin(2π +π )=sinπ =0,所以π 是 y=sinx 的周期; (2)因为 sin3x=sin(3x+2π ),所以 y=sin3x 的最小正周期是 2π ; (3)设ω ≠0,因为 sin ?x ? sin(?x ? 2? ) ? sin ? ( x ?

2?

?

),

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所以 y=sinω x 的周期为

2? 。 ?

其中正确的命题的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 例 5 求下列函数最小正周期 (1) y ? cos2 (?x ? 2) ;(1)T=1; (2) y ? tg

x x |a|x ? ctg ;(2) T ? ; a a 2

(3) y ? sin( x ?

?

3

) sin(

?

6

? x) ;(3)T=π ;

(4) y ? cos4 x ? sin 4 x ;(4)T=π ; (5) y ? (6) y ?

cos x ;(5)T=2π ; 1 ? sin x

? 2tg 2 x ;(6) T ? ; 2 2 1 ? tg 2 x

(7)y=|sin2x|;(7) T ?

?
2



4 sin x(1 ? tan2 x) 例 6 求函数 y ? 的周期。 sec x(1 ? tan2 x)
解:y=4sinx·cosx·cosx=2sin2x·cos2x=sin4x 注意到函数的定义域为{x|x∈R,且 x ? k? ?

?
2

,k∈z}

在直角坐标系中,画出其图象 观察图象并根据周期函数的定义,可直所求函数的周期是π 。

例 7.已知函数 f ( x) ? sin

n? (n ? N ) , 3

求:f(1)+f(2)+f(3)+??+f(100)的值。 解: 由函数 f (n) ? sin

n? (n ? N ) 的周期为 6 3

可知 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0 又 100=6×16+4 ∴f(1)+f(2)+??+f(100) =f(1)+f(2)+f(3)+f(4)
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?

3 3 3 3 ? ?0? ? 2 2 2 2

例 8.求下列函数的最小正周 (1) y ?| sin( 2 x ?

?
3

)|

(1) T ?

?
2

(2) y ?| sin( 2 x ?

?
3

)?

1 | 2

(2)T=π 求周期的一般思路大致有两种:一是化目标函数为单函数的形式,如 y=Asin( ω x+ φ )+B;二是可结合图象进行判断。 例 10.试判断下列各函数的奇偶性: (1)f(x)=|sinx|-xctgx; (2)f(x)=sinx-cosxtgx; (3) f ( x) ?

1 ? sin x ? cos x ;非奇非偶函数 既奇又偶函数 1 ? sin x ? cos x

说明:定义域在数轴上关于原点对称,是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以在 判断函数的奇偶性时,一定首先判断函数的定义域的对称性; 在等价变换的前提下,一般先化简解析式,再判断奇偶性,如(2): 函数图象的初等变换:平移变换与伸缩变换;对称变换 平移变换与伸缩变换一注意先平移后伸缩与先伸缩后平移的平移量不同,即综合多步 变换时,要考虑变换顺序。 四、(二)y=Asin(ω x+φ ) ω >0 的图象及变换

相位变换 周期变换 振幅变换 (1) ??????(2) ??????(3) ?????? (左、右平移 ) (左、右伸缩) (上、下伸缩)

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周期变换 相位变换 振幅变换 (1) ??????(2) ??????(3) ?????? (左、右伸缩 ) (左、右平移 ) (上、下伸缩)
三、y=Asin(ω x+φ )的图象与变换 相位变换-φ >0 左移;φ <0 右移; 周期变换- ω >1,横坐标缩短

1

?

倍;0< ω <1,横坐标伸长

1

?

倍;

振幅变换-A>1,纵坐标伸长 A 倍;0<A<1,纵坐标缩短 A 倍 练习:已知:如图是函数 y=2sin(ω x+φ ) (| ? |?

?
2

) 的图象,那么

10 ? ,? ? ; 11 6 10 ? B. ? ? ,? ? ? ; 11 6
A. ? ? C.ω =2, ? ?

?

6



D.ω =2, ? ? ?

?
6



例 1.用五点法作函数 y ? 3 sin( 2 x ? 样的变换得到的。

?
3

) 的简图,并说明它是通过 y=sinx 的图象作怎

2x ?
x y

? 0 3
?
0

?
6

? 2 ? 12
3

π

? 3
0

3? 2 7? 12
-3



5? 6
0

先 将 y=sinx (向左平移)

? 个单 位,再把所得的各点( 横坐标缩短)到原来 的 3

(1/2),(纵坐标伸长)到原来的(3)而得到的。
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先将 y=sinx 图象的各点的(横坐标缩短到原来的 1/2 )倍,再把各点向(左)平移 (π /6)个单位,然后把所得的各点的(纵坐标伸长)到原来的(3)而得到的。

5? ) 的图像的一条对称轴 2 k? (k ? Z ) 方程是()。 ? y ? cos 2 x ? x ? 2
例 2.函数 y ? sin( 2 x ? A. x ? ? B. x ? ? C. x ?

?

?

2

?

4

8 5 D. x ? ? 4
例 3.函数 y ? tg ( x ?

1 2

?
3

) 在一个周期内的图象是()

例 4.如图,已知正弦函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0)的一个周期的图象,试求函数 y 的 解析表达式 y ? 2 sin(

2 5 x ? ?) 3 3

例 5.已知函数 y ?

1 3 cos2 x ? sin x cos x ? 1,x ? R , 2 2

(1)当 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; ( 2 )该函数的图象可由 y=sinx ( x ∈ R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到 (2000 年高考,难度 0.70) (1) ? y ? (2)
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1 ? 5 ? sin( 2 x ? ) ? ? {x | x ? k? ? ,k ? Z } 2 6 4 6

1 纵不变,横缩 倍 ? 左平移一个单位 2?? y ? sin x ???????? y ? sin(x ? ) ??????? 6 1 横不变,纵缩 倍 ? y ? sin(2 x ? ) ???????2 ? ?? 6 5 1 ? 向上平移 4 个单位 1 ? 5 y ? sin(2 x ? ) ???????? ?? y ? sin(2 x ? ) ? 2 6 2 6 4
例 6.求下列各方程在区间[0,2π ]内实数解的个数 (1) cos2 x ? log2 x ; (2)sinx=sin4x;

(1)一个实解 (2)九个实解 例 7 已知函数 y ? 2 sin x cos x ? 2 3 cos2 x ? 3 (1)作出它的简图: (2)填空回答问题: 〈1〉振幅 2 ; 〈2〉周期 π ; 〈3〉频率

1

?



〈4〉相位 2 x ?

?
3



〈5〉初相

?
3



〈6〉定义域 R ; 〈7〉值域 [-2,2] ; 〈8〉当 x= k? ? 当 x ? k? ?

?
12



y max ? 2 ;

7? (k ? Z ) 时, y min ? -2 ; 12

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〈9〉单调递增区间 [k? ?

5? ? k∈Z。; , k? ? 12 12 7? ] k∈Z。 12

单调递减区间 [k? ?

?
12

, k? ?

〈10〉当 x∈ (k? ?

?

, k? ? ) k∈Z 时,y>0 6 3 5? ) k∈Z 时,y<0 6 k? ? ? k∈Z。 2 12

?

当 x∈ (k? ?

?
3

, k? ?

〈11〉图象的对称轴方程 x ?

〈12〉图像的对称中心 (

k? ? ? ,0) k∈Z。 2 3

作业: 1.已知函数 f ( x) ? sin 6 x ? cos6 x ? sin 4 x ? cos4 x

求(1)f(x)的值域

3 [ ,2] 4

(2)f(x)的最小正周期 (3)f(x)的单调区间 单调递增区间为 [

? 2

k? ? k? ? , ] k∈Z。 2 4 2

[

k? k? ? , ? ] k∈Z。 2 2 4

2.判断下列函数的奇偶性。

(1) f ( x) ?

1 ? sin 2 x ? sin x ? 1 1 ? sin 2 x ? sin x ? 1

(奇)

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(2) f ( x) ?

tgx ? sin x ctgx ? csc x

(偶)

(3) f ( x) ?

sin x ? sin 3x ? sin 5 x cos x ? cos 3 x ? cos 5 x
(偶)

(奇)

(4) f ( x) ? 2 cos x

(5) f ( x) ? lg( sec 2 x ? tgx) ? lg( sec 2 x ? tgx) (偶) 3.求函数 y ? ? | sin( x ?

?
4

) | 的单调区间 3? ] k∈Z。 4 3? ] k∈Z。 4

单调增区间为 [k? ?

?
4

, k? ? , k? ?

单调减区间为 [k? ?

?
4

4.求下列函数的最小正周期
2 (1) y ? sin 4 x ( T ?

?
4



6 6 (2) y ? sin x ? cos x (T ?

?
2

)

(3) y ? tg

x 1 ? (T=π ) 2 sin x x (a ? 0) (T=|a|π ) a

(4) y ? atg

二、三角函数的求值
例 1 求值 sin 20? sin 40? sin 80? 利用积化和差 原式=
2

3 8
2

例 2 求值 sin 20? ? cos 50? ? sin 20? cos50? 先用半角公式降次然后和、差、积互 化,原式=

3 . 4

或者,配完全平方式再降次,化和差,目的只有一个设法利用 ? ? ? , ? ? ? 出现特
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殊角. 解 1 原式=

1 1 1 (1 ? cos 40?) ? (1 ? cos 100 ?) ? (sin 70? ? sin 30?) 2 2 2

1 1 1 ? 1 ? (cos40? ? cos80?) ? sin 70? ? 2 2 4 1 1 1 ? 1 ? ? 2 cos60? ? cos 20? ? sin 70? ? 2 2 4 1 1 1 ? 1 ? cos 20? ? cos 20? ? 2 2 4 3 ? 4
解 2 原式 ? (sin 20? ? cos50?) 2 ? sin 20? cos50?

1 ? (sin 20? ? sin g 40?) 2 ? (sin 70? ? sin 30?) 2 1 1 ? (2 sin 30? cos10?) 2 ? (sin 70? ? ) 2 2 1 1 1 ? (1 ? cos 20?) ? sin 70? ? 2 2 4 3 ? 4
例 3 求值 sin 10? sin 30? sin 50? sin 70? 方法 1 可用积化和差 方法 2 逆用倍角公式 原式 ? cos 80? cos 60? cos 40? cos 20?

?

1 cos 20? cos 40? cos 80? 2

2 sin 20? cos 20? cos 40? cos80? 4 sin 20? sin 40? cos 40? cos80? ? 4 sin 20? 2 sin 40? cos 40? cos80? ? 8 sin 20? sin 80? cos80? ? 8 sin 20? 2 sin 80? cos80? ? 8 sin 20? sin 160? ? 8 sin 20? 1 ? 8 ?
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例 4 求值 sin 50?(1 ? 3 tg10?) 原式=1

3π 5π π ? cos ? cos 的值 7 7 7 1 π π π 3π π 5π 原式 ? (2 sin cos ? 2 sin cos ? 2 sin cos ) π 7 7 7 7 7 7 2 sin 7
例 5 求 cos

?

1 2 sin π 7 π 7

(sin

2π 4π 2π 6π 4π ? sin ? sin ? sin ? sin ) 7 7 7 7 7 6π ) 7

? 1 2

1 2 sin

(sin

?

一般形式 sin ? ? sin 2? ? sin 3? ? ?? ? sin n?

?

sin

n ?1 n ? cos ? 2 2 sin

?

2 cos ? ? cos 2? ? cos 3? ? ?? ? cos n? n ?1 n cos ? sin ? 2 2 ? sin

?

2

例 6 求值 sec 50? ? tg10? 解:原式 ?

1 sin 10? ? (直接通分很麻烦,分母越简单越好,这是原则) cos 50? cos 10? 1 cos 80? ? ? sin 40? sin 80?

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? ? ? ? ? ?
例 7 求值 原式 ?

2 cos 40? ? cos80? sin 80? cos 40? ? (cos40? ? cos80?) sin 80? cos 40? ? 2 cos 60? cos 20? sin 80? cos 40? ? cos 20? sin 80? 2 cos30? ? cos10? sin 80? 3

?

? ? ? ? ? ? ?

sin 40 ?(1 ? sin 10?) sin 10? cos 2 20? 2 sin 20? cos 20?(1 ? sin 10?) sin 10? cos 2 20? 4 sin 10? cos 10?(1 ? sin 10?) sin 10? cos 20? 4 cos10?(1 ? sin 10?) cos 20? 4 cos10? ? 2 sin 20? cos 20? 4 sin 80? ? 2 sin 20? cos 20? 2 sin 80? ? 2(sin 80? ? sin 20?) cos 20? 2 sin 80? ? 2 cos50? cos 20? 2(sin 80? ? sin 40?) cos 20? 2 ? 2 sin 60? cos 20? cos 20?

?2 3
例 8 求值 sin 42? ? cos 12 ? ? sin 54? . 解:设法出现特殊角:原式 ? cos 48? ? cos 12? ? sin 54?

? (?2) sin 30? sin 18? ? sin 54? ? sin 54? ? sin 18? 54? ? 18? 54? ? 18? sin 2 2 ? 2 cos36? ? sin 18? ? 2 cos
? 2 sin 18? ? cos 18? ? cos 36? (出现倍角关系) cos 18?

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sin 36? ? cos36? cos18? 2 sin 36? ? cos36? ? 2 cos18? sin 72? ? 2 cos18? 1 ? 2 ?

三、三角函数的求值

例 1 求值 sin 20? sin 40? sin 80? 利用积化和差 原式=
2

3 8
2

例 2 求值 sin 20? ? cos 50? ? sin 20? cos50? 先用半角公式降次然后和、差、积互 化,原式=

3 . 4

或者,配完全平方式再降次,化和差,目的只有一个设法利用 ? ? ? , ? ? ? 出现特 殊角. 解 1 原式=

1 1 1 (1 ? cos 40?) ? (1 ? cos 100 ?) ? (sin 70? ? sin 30?) 2 2 2

1 1 1 ? 1 ? (cos40? ? cos80?) ? sin 70? ? 2 2 4 1 1 1 ? 1 ? ? 2 cos60? ? cos 20? ? sin 70? ? 2 2 4 1 1 1 ? 1 ? cos 20? ? cos 20? ? 2 2 4 3 ? 4
解 2 原式 ? (sin 20? ? cos50?) ? sin 20? cos50?
2

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1 ? (sin 20? ? sin g 40?) 2 ? (sin 70? ? sin 30?) 2 1 1 ? (2 sin 30? cos10?) 2 ? (sin 70? ? ) 2 2 1 1 1 ? (1 ? cos 20?) ? sin 70? ? 2 2 4 3 ? 4
例 3 求值 sin 10? sin 30? sin 50? sin 70? 方法 1 可用积化和差 方法 2 逆用倍角公式 原式 ? cos 80? cos 60? cos 40? cos 20?

?

1 cos 20? cos 40? cos 80? 2

2 sin 20? cos 20? cos 40? cos80? 4 sin 20? sin 40? cos 40? cos80? ? 4 sin 20? 2 sin 40? cos 40? cos80? ? 8 sin 20? sin 80? cos80? ? 8 sin 20? 2 sin 80? cos80? ? 8 sin 20? sin 160? ? 8 sin 20? 1 ? 8 ?
例 4 求值 sin 50?(1 ? 3 tg10?) 原式=1

3π 5π π ? cos ? cos 的值 7 7 7 1 π π π 3π π 5π 原式 ? (2 sin cos ? 2 sin cos ? 2 sin cos ) π 7 7 7 7 7 7 2 sin 7
例 5 求 cos

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?

1 2 sin π 7

(sin

2π 4π 2π 6π 4π ? sin ? sin ? sin ? sin ) 7 7 7 7 7 6π ) 7

?

1

π 2 sin 7 1 ? 2

(sin

一般形式 sin ? ? sin 2? ? sin 3? ? ?? ? sin n?

?

sin

n ?1 n ? cos ? 2 2 sin

?

2 cos ? ? cos 2? ? cos 3? ? ?? ? cos n? n ?1 n cos ? sin ? 2 2 ? sin

?

2

例 6 求值 sec 50? ? tg10? 解:原式 ?

1 sin 10? ? (直接通分很麻烦,分母越简单越好,这是原则) cos 50? cos 10? 1 cos 80? ? ? sin 40? sin 80?

? ? ? ? ? ?
例 7 求值

2 cos 40? ? cos80? sin 80? cos 40? ? (cos40? ? cos80?) sin 80? cos 40? ? 2 cos 60? cos 20? sin 80? cos 40? ? cos 20? sin 80? 2 cos30? ? cos10? sin 80? 3

sin 40 ?(1 ? sin 10?) sin 10? cos 2 20? 2 sin 20? cos 20?(1 ? sin 10?) 原式 ? sin 10? cos 2 20? 4 sin 10? cos 10?(1 ? sin 10?) ? sin 10? cos 20?

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4 cos10?(1 ? sin 10?) cos 20? 4 cos10? ? 2 sin 20? ? cos 20? 4 sin 80? ? 2 sin 20? ? cos 20? 2 sin 80? ? 2(sin 80? ? sin 20?) ? cos 20? 2 sin 80? ? 2 cos50? ? cos 20? 2(sin 80? ? sin 40?) ? cos 20? 2 ? 2 sin 60? cos 20? ? cos 20? ?2 3 ?
例 8 求值 sin 42? ? cos 12 ? ? sin 54? . 解:设法出现特殊角:原式 ? cos 48? ? cos 12? ? sin 54?

? (?2) sin 30? sin 18? ? sin 54? ? sin 54? ? sin 18? 54? ? 18? 54? ? 18? sin 2 2 ? 2 cos36? ? sin 18? ? 2 cos
? 2 sin 18? ? cos 18? ? cos 36? (出现倍角关系) cos 18?

sin 36? ? cos36? cos18? 2 sin 36? ? cos36? ? 2 cos18? sin 72? ? 2 cos18? 1 ? 2 ?

四、三角中常用的变角代换技巧
在三角的计算与证明中,往往要进行角之间的变换,为了得到合理的角的变换式,就必 须考察待求问题中的角与已知条件中的角之间的联系。三角中的变角代换具有很强技巧 性,本文就三角中常用到的一些变角代换作些说明。 1. 单角化复角 这里所说的复角是指由角的和或角的差所形成的角。常用的角变换式有:

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<1> ? ? (? ? ? ) ? ?,? ? (? ? ? ) ? ? <2> ? ?

? ??
2

?

? ??
2

,? ?

? ??
2

?

? ??
2
2

例 1. 求证: sin A ? sin B ? cos A sin( A ? B) ? 2 sin A sin

A? B 。 2

证明:左边 ? sin A ? sin[( A ? B) ? A] ? cos A sin( A ? B)

? sin A ? sin( A ? B) cos A ? cos( A ? B) sin A ? cos A sin( A ? B) ? sin A[1 ? cos( A ? B)] ? 2 sin A sin 2 A? B 2
2

例 2. 求证: cos A cos B ? cos

A? B A? B ? cos2 ?1 2 2 A? B A? B A? B A? B ? ) cos( ? ) 证明:左边 ? cos( 2 2 2 2

A? B A? B A? B A? B cos ? sin sin ) 2 2 2 2 A? B A? B A? B A? B ? (cos cos ? sin sin ) 2 2 2 2 A? B A? B A? B A? B ? cos 2 cos 2 ? sin 2 ? sin 2 2 2 2 2 A? B A? B A? B A? B ? cos 2 cos 2 ? (1 ? cos2 )(1 ? cos 2 ) 2 2 2 2 A? B A? B ? cos 2 ? cos2 ?1 2 2 ? (cos
2. 单角化倍角 单角化倍角的主要角度换式有 ? ? 2? ? ? 。 例 3. 求证:

1 ? cot 2 x ? tan x sin 2 x cos x cos(2 x ? x ) ? 证明:左边 ? sin 2 x cos x sin 2 x cos x cos 2 x cos x ? sin 2 x sin x ? sin 2 x cos x

? cot 2x ? tan x
例 4. 求证:

2 sin A ? tan 2 A ? tan A cos 3 A ? cos A 2 sin(2 A ? A) 证明:左边 ? 2 cos 2 A cos A

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1 ? (sin 2 A cos A ? cos 2 A sin A) cos 2 A cos A sin 2 A sin A ? ? cos 2 A cos A ? tan 2 A ? tan A ?
3. 倍角化复角 倍角化复角常用的角变换式有: 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) 例 5. 已 知

? ? ? ?(

3? , 2? ) ,求 cos 2?, cos 2? 。 2 4 ? 解:因为 cos(? ? ? ) ? ? ,? ? ? ? ( ,? ) 5 2 3 2 所以 sin(? ? ? ) ? 1 ? cos (? ? ? ) ? 5 4 3? , 2? ) 又因为 cos(? ? ? ) ? ,? ? ? ? ( 5 2 3 2 所以 sin(? ? ? ) ? ? 1 ? cos (? ? ? ) ? ? 5
所以 cos 2? ? cos[(? ? ? ) ? (? ? ? )]

4 4 cos(? ? ? ) ? ? , cos(? ? ? ) ? 5 5

, 且 ? ? ? ?(

?
2

,? ) ,

? cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) 4 4 3 3 ? (? ) ? ? (? ) 5 5 5 5 7 ?? 25 ?
所以 cos 2? ? cos[(? ? ? ) ? (? ? ? )]

? cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) 4 4 3 3 ? ? (? ) ? (? ) ? 5 5 5 5 ? ?1
4. 复角化复角 复角化复角内容丰富,但主要有以下三组变换式: <1> 2? ? ? ? (? ? ? ) ? ?,2? ? ? ? (? ? ? ) ? ? <2>

? ??
?
2

? (? ?

?
2

)?(

?
2

? ? ),

? ??
2

? (? ?

?
2

)?(

?
2

? ?)

<3> (

4

? ?) ? (

?
4

? ?) ?

?
2

? (? ? ? ) , (

?
4

? ?) ? (

?
4

? ?) ?

?
2

? (? ? ? )

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例 6. 已知 cot ? ? 2 , tan(? ? ? ) ? ?

2 ,求 tan( ? ? 2? ) 之值。 5 1 3 解:因为 cot ? ? 2 ,所以 tan ? ? , tan(? ? ? ) ? ? 2 5
所以 tan(? ? 2? ) ? ? tan(2? ? ? )

? ? tan[? ? (? ? ? )] tan ? ? tan(? ? ? ) ?? 1 ? tan ? tan(? ? ? ) 1 2 ? (? ) 5 ?? 2 1 2 1 ? ? (? ) 2 5 1 ?? 12

?? 例 7. 已知 cos(
cos

?

? ??
2

1 ? 2 ? ) ? ? , sin( ? ? ) ? ,并且 ? ? ? ?, 0 ? ? ? ? ,试求 2 9 2 3 2

之值。

解:因为 所以

?
2

? ? ? ?, 0 ? ? ? ?

?
4

4 2 2 1 ? 2 因为 cos(? ? ) ? ? , sin( ? ? ) ? 2 9 2 3

?? ?

?

?

2

? ?, ?

?

?

?

?? ?

?

所以 sin(? ?

?

? 1 4 ) ? 1 ? cos2 (? ? ) ? 1 ? ( ? ) 2 ? 5 2 2 9 9
?
2 5 ? ?) ? 1 ? ( )2 ? 2 3 3

cos(

?
2

? ? ) ? 1 ? sin 2 (

所以 cos

? ??
2

? cos[(? ?

?
2

)?(

?
2

? ? )]

? cos(? ?

?

2 2 1 5 4 5 2 ? (? ) ? ? ? 9 3 9 3 7 5 ? 27

) cos(

?

? ? ) ? sin(? ?

?
2

) sin(

?
2

? ?)

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例 8. 已 知

?
4

?? ?

3? ? ? 3 ? 5 , 0 ? ? ? , 且 s i n ( ? ? ) ? , cos( ? ? ) ? ,求 4 4 4 5 4 13

s i n? ( ? ? ) 之值。
3? ? ? ? ? ? ? , 0 ? ? ? ,所以 ? ? ? ? ?, ? ? ? ? 4 4 4 2 4 4 4 2 ? 3 ? 5 所以 sin( ? ? ) ? , cos( ? ? ) ? 4 5 4 13
解:因为

?

?? ?

所以 cos(

?
4

? ? ) ? ? 1 ? sin 2 (

?
4

? ?)

3 4 ? ? 1? ( )2 ? ? 5 5
sin(

?
4

? ? ) ? 1 ? cos2 ( ? 1? (

?
4

? ?)

5 2 12 ) ? 13 13

所以 sin(? ? ? )

? ? cos[

?
2

? (? ? ? )] ? ?) ? (

? ? cos[( ? ? cos( ?

?
4

?
4

? ? )] ? ? ) ? sin(

?

4

? ? ) cos(

?
4

?
4

? ? ) sin(

?
4

? ?)

4 5 2 12 ? ? ? 5 13 3 13 56 ? 65
在有些三角问题中,有时既要把单角化为复角,同时又要把复角化为复角。 例 9. 已知 3 sin ? ? sin(2? ? ? ) ,求证: tan(? ? ? ) ? 2 tan ? 。 证明:因为 3 sin ? ? sin(2? ? ? ) 所以 3sin[(? ? ? ) ? ? ] ? sin[? ? (? ? ? )] 所以 3[sin(? ? ? ) cos? ? cos(? ? ? ) sin ? ] ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? sin(? ? ? ) 所以 2 sin ? cos(? ? ? ) ? cos? sin(? ? ? )

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所以 tan(? ? ? ) ? 2 tan ? 由以上数例可以看到,应用变角代换技巧,常可优解一些三角问题。

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