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§7.3.1平面向量的坐标表示



§7.3.1平面向量的坐标表示

?向量加法法则:

向量的箭头 平移向量 你标了吗 精准吗

? ? a?b ? a

? b

? b

? ? a?b ? a

首尾相连,首尾连 ?向量减法法则:

共起点,射出对

角线

? a ? b

? ? a ?b

共起点,连终点,指向被减

1.数乘向量的定义 实数 λ与向量 a 相乘,叫做向量的数乘. 2.数乘向量的几何意义
把向量 a 沿着 a 的方向或反方向长度放大或缩小.

3.平行向量基本定理: ? ? ? ?

反之, 如果 a ? ? b ,则 a∥b ; ? ? ? ? ? ? 如果 a∥b,且 b ? 0, 则一定存在一个实数?,使 a ? ? b.

? ? ??? ? ? ? 已知两个非零向量 a , b ,作 OA ? a ? b, ??? ? ? ???? ? ? ? OB ? a ? 2b, OC ? a ? 3b, A B 问A、B、C三点共线吗? ? a ? ? O ? b b b

C

导弹在升空的某一时刻,速度可以分解成竖直向上和水平向 前的两个分速度. 如果分别在水平方向和竖直方向取两个单位向量e1,e2,导 弹的飞行速度用向量a表示,若以O为起点,作向量OP=a,过 点P分别向水平方向,竖直方向作垂线,垂足分别为M,N. (1)分别用单位向量e1,e2表示向量OM,ON; (2)用向量OM,ON表示向量OP; (3)用单位向量e1,e2表示向量OP. P N
a

e1 O e2

M

在平面上,建立一个直角坐标系,设x轴正方向上的单位向 量为i,y轴正方向上的单位向量为j, 则x轴上的向量总可以表示为xi的形式,y轴上的向量总可以 表示为yj的形式,其中x,y分别是终点在坐标轴上的坐标. 如图,以原点O为起点的向量OP,作矩形OMPN,则OM, ON可以分别表示为xi与yj. 由向量加法的平行四边形法则可知, OP=OM+ON =xi+yj y ??? ? ? ? 即 OP ? xi ? y j ?
问:不是以原点为起点 的向量怎么办? 平面上任一向量都可 以唯一表示成

a

N ? j

P
M

? ? ? a ? xi ? y j

o ?

i

x

? ? ? 我们把 a ? xi ? y j 的形式叫做向量的坐标形式.
其中xi叫做向量a在x轴上的分向量,yj叫做向量a在y轴上 的分向量.

? 记作 a ? ( x, y ) ? ? 容易知道,向量 a ? ( x, y ) 的模 a ? x 2 ? y 2 ? ? ? ? 例如:a ? ?3i ? 2 j ? (?3, 2), a ? (?3) 2 ? 22 ? 13. ? ? ? ? ? b ? ?5i? ?5i ? 0 j ? (?5, 0), b ? (?5) 2 ? 02 ? 5.

有序实数对(x,y)叫做向量a在直角坐标系中的坐标,

补全 写出下列向量的坐标. ? ? ? ? ? ? ? ① a ? ?4i ? 3 j; ②b ? 2i; ③c ? ? 5 j

? ? ? ? 写出向量 a, b , c , d 的坐标,并求出它们的模.

y

? b
? c

? a
? j

0 ? i

? d

x

? ? ? 解: a ? 2i ? 3 j ? (2,3); ? a ? 22 ? 32 ? 13; ? ? ? b ? ?2i ? 3 j ? (?2,3); ? b ? (?2)2 ? 32 ? 13; ? ? ? c ? 2i ? 0 j ? (2, 0); ? c ? 22 ? 02 ? 2; ? ? ? d ? 0i ? 3 j ? (0, ?3). ? d ? 02 ? (?3) 2 ? 3.

? ? ? ? 写出向量 a, b , c , d 的坐标,并求出它们的模.

y
? yj
? j

? b
? c

? a
? xi

0 ? i

? d

? ? ? 解: a ? 2i ? 3 j ? (2,3); ? ? ? b ? ?2i ? 3 j ? (?2,3); ? ? ? c ? 2i ? 0 j ? (2, 0); x ? ? ? d ? 0i ? 3 j ? (0, ?3).

你有其他 方法吗?

数量看投影,符号看方向

1. 向量的坐标表示法 平移分解法,二维射影法 2. 用坐标表示的向量的模的求法 ? a ? x2 ? y 2

P52 练习 第2,3题 P54 习题 第2,3题



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