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江苏省南通市教研室2012年高考全真模拟试卷四(数学)



南 通 市 教 研 室 2012 年 数 学 全 真 模 拟 试 卷 四
试题Ⅰ
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位 ...... 置上. .. 1. 已知数集 M ? ??1 0 x ? 2? 中有 3 个元素,则实数 x 不能取的值构成的集合为 ▲ . ,, 2. 在△ABC 中, AB ? 1,

AC ? 3.
3 , ?ABC ? π ,则 ?ACB ? 3

▲ .

? (3 ? 0.5k ) ?
k ?0

10

▲ .

4. 豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定,其中决定高的基因记为 D,决定矮的基因记为 d, 则杂交所得第一子代的一对基因为 Dd,若第二子代的 D,d 的基因遗传是等可能的(只 要有基 因 D 则其就是高茎,只有两个基因全是 d 时,才显示矮茎) ,则第二子代为高茎的概率为 ▲ . 5. 蒸汽机飞轮的直径为 1.2 米,以 320(转/分)的速度作逆时针旋转,则飞轮上一点 1 秒内 所经 过的路程为 ▲ 米.
2) 1) 6. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 a ? (1, , a ? 1 b ? (?2, ,则 a ? b ? 5

▲ .

7. 在一本书中,分组统计 100 个句子中的字数,得出下列结果:字数 1~5 个的 5 句,字数 6~10 个的 27 句,字数 11~15 个的 32 句,字数 16~20 个的 21 句,字数 21~25 个的 9 句, 字数 26~30 个的 6 句.利用组中值可估计该书中平均每个句子所包含的字数为 ▲ . 8. 在△ABC 中,若 tan A ? tan B ? tan C ? 1,则 tan A tan B tan C ? ▲ .

9. 下面的流程图中,能实现数据 A,B 互相交换的有 ▲ . (把符合条件的图形序号全填上) 开始 输入 A,B C?A A?B B?C 输出 A,B 开始 输入 A,B A?A+B B?A-B A?A-B 输出 A,B 开始 输入 A,B A?A-B B?A+B A?B-A 输出 A,B

10.已知 x、y 为正实数,满足 2 x+y ? 6 ? xy ,则 xy 的最小值为 ▲ . 11.已知存在实数 a ,满足对任意的实数 b ,直线 y ? ? x ? b 都不是曲线 y ? x3 ? 3ax 的切线, 则实数 a 的取值范围是 ▲ . 12.已知某四面体的六条棱长分别为 5 , 3 , 2 , 2 , 2 , 2 ,则两条较长棱所在直 线所成 角的余弦值为 ▲ .
2 y2 y 13.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x ? t (?4 ? t ? 4) 与椭圆 x ? ? 1 交于两点 P (t,1 ) 、 1 16 9

P2 (t,2 ) , y

且 y1 ? 0、y2 ? 0 , A1、A2 分别为椭圆的左、右顶点,则直线 A1 P2 与 A2 P 的交点所在的曲线 1 方程为 ▲ . 14.在平面直角坐标系 xOy 中,过原点 O 的直线与函数 y ? log8 x 的图象交于 A、B 两点(A 在 B 的左侧) ,分别过 A、B 作 y 轴的平行线分别与函数 y ? log 2 x 的图象交于 C、D 两点, 若 BC//x 轴,则四边形 ABCD 的面积为 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说 ....... 明、证 明过程或演算步骤.
x ? 0< 15. (本题满分14分)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), ? R (其中 A ? 0, ? 0, ? ? π ) 的图象 2

与 x轴 的交点中,相邻两个交点之间的距离为 π ,且图象上一个最低点为 M 2π ,? 2 . 2 3 (1)求 f ( x) 的解析式; (2)当 x ? ? π ,π ? 时,求 f ( x) 的最大值及相应的 x 的值. ?12 2 ? ? ?

?

?

A 16. (本题满分 14 分) 如图,在四面体 ABCD 中, AB ? AC ? DB ? DC ,点 E 是 BC 的中点,点 F 在线段 AC 上,且 AF ? ? . AC (1)若 EF∥ 平面 ABD,求实数 ? 的值; (2)求证:平面 BCD⊥ 平面 AED. F B E C (第 16 题图) 17. (本题满分 15 分)请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库(供融化高速公路上的 积雪之 用) .它的上部是底面圆半径为 5m 的圆锥,下部是底面圆半径为 5m 的圆柱,且该仓库的 总高度 为 5m.经过预算,制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为 400 元/ m 2 、100 元/ m 2 , 问当圆锥的高度为多少时,该仓库的侧面总造价(单位:元)最少? (第 17 题图) D

2 y2 18. (本题满分 15 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 , 2 a b

右顶点为 A ,直线 BC 过原点 O ,且点 B 在 x 轴上方,直线 AB 与 AC 分别交直线 l : x ? a ? 1 于点 E 、 F . (1)若点 B y
2, 3 ,求△ABC 的面积;

?

?

B O C E A F x

(2)若点 B 为动点,设直线 AB 与 AC 的斜率分别为 k1 、 k 2 . ①试探究: k1 ? k2 是否为定值?若为定值,请求出; 若不为定值,请说明理由; ②求△AEF 的面积的最小值.

(第 18 题)

19. (本题满分 16 分)已知等比数列 ?an ? 的首项为 a1 (a1 ? 0) ,公比为 q (0 ? q ? 1) ,且

?a
i ?1
5

5

i

? 121 , 81
? 121 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

1 ?a
i ?1

i

(2) 若从数列 ?an ? 中依次抽取的一个无穷等比数列, 满足其所有项的和落在区间 ? 1 , 5 ? 内, ?12 24 ? ? ? 试 求出所有这样的等比数列. (参考公式:首项为 a1,公比为 q(0< | q | <1)的无穷等比数列的各项的和 S ? a1 .) 1? q

20. (本题满分 16 分)定义在正实数集上的函数 f ( x) 满足下列条件:
( ① 存在常数 a 0 ? a ? 1) ,使得 f (a) ? 1 ; ② 对任意实数 m ,当 x ? 0 时,恒有 f ( xm ) ? mf ( x) .

(1)求证:对于任意正实数 x、y , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ; (2)证明: f ( x) 在 (0,? ?) 上是单调减函数; (3)若不等式 f log2 ? 4 ? x ? ? 2 ? f loga (4 ? x)8 ≤3 恒成立,求实数 a 的取值范围. a

?

?

?

?

试题Ⅱ (附加题)
21. 【选做题】 本题包括 A、 C、 四小题, ................... 若 B、 D 请选定其中两题, 并在相应的答题区域内作答. 多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. (几何证明选讲) 如图,已知两圆交于 A、B 两点,过点 A、B 的直线分别与两圆 M P A (第 21—A 题) Q B N

交于 P、Q 和 M、N.求证:PM//QN. B. (矩阵与变换)
?1 0 ? 已知矩阵 A 的逆矩阵 A ?1 ? ? ? ,求矩阵 A . ?0 2?

C. (极坐标与参数方程)
2 y2 y 在平面直角坐标系 xOy 中, 过椭圆 x ? ? 1 在第一象限处的一点 P( x, ) 分别作 x 轴、y 12 4

轴的两条垂线,垂足分别为 M 、N ,求矩形 PMON 周长最大值时点 P 的坐标. D. (不等式选讲) 已知关于 x 的不等式 x ? a ? 1 ? x ? 0 的解集为 R ,求实数 a 的取值范围. 【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应 ....... 写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 22.如图,正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AD ? 1 ,D1 D ? 2 ,点 P 在棱 CC1 上,且 ?APB ? ? . 1 ? (1)求 PC 的长; (2)求钝二面角 A ? A1 B ? P 的大小.
A1 D1 B1 C1

P

D
A B (第 22 题图)

C

2 3 n 23.某品牌设计了编号依次为 1,,,? ? ? , n≥4, n?N* 的 n 种不同款式的时装,由甲、乙 且

?

?

两位
且 模特分别独立地从中随机选择 i,j (0≤i,j≤n, i,j ?N) 种款式用来拍摄广告.

(1) i ? j ? 2 , 若 且甲在 1 到 m (m 为给定的正整数, 2≤m≤n ? 2) 号中选择, (m ? 1) 且 乙在
m 到 n 号中选择.记 Pst (1≤s≤m, ? 1≤t≤n) 为款式(编号) s 和 t 同时被选中的概率,

求所有的 Pst 的和; (2)求至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率.

南 通 市 教 研 室 2012 年 数 学 全 真 模 拟 试 卷 四
参考答案
1. ?1, ? ; 2 1; 2. π ; 6 9. ① ; ②③ 3. 121 ; 2 10. 18 ; 4. 3 ; 4 11. a ? 1 ; 3 5. 32π ; 5 12. 6. 25; 7. 14; 8.

15 ; 5

2 y2 13. x ? ? 1; 16 9

14. 4 3 log2 3 . 3 答案解析 1. 根据集合元素的互异性,x ? 2 ? ?1 且 x ? 2 ? 0 , 所以实数 x 不能取的值构成的集合为 ?1, ? ; 2 2. 由正弦定理知 1 ? 3 ,得 sin C ? 1 ,又 3 ? 1 ,所以 ? ? B ,故 C ? ? ; sin C sin ? 2 3 ? ? 3.

? (3 ? 0.5k ) ? 11 ? 3 ? 11 ? 10 ? 1 ? 121 ; 2 2 2
10 k ?0

4. 第二子代的一对基因的所有等可能情形为 DD,Dd,dD,dd,其中高茎的有 DD,Dd,dD 共3 种,则所求概率为 3 ; 4 5. 飞轮上一点 1 秒内所经过的路程为 320 ? 1.2? ? 32π ; 60 5
5) 2) 1) 6. 由 a ? (1, , a ? 1 b ? (?2, 得 b ? (15, ,所以 a ? b ? 25 ; 5

7.

利 用 组 中 值 得 平 均 每 个 句 子 所 包 含 的 字 数 为

3 ? 5 ? 8 ? 27 ? 13 ? 32 ? 18 ? 21 ? 23 ? 9 ? 28 ? 6 ? 14 ; 100

8. 由 ? tan C ? tan( A ? B) ? tan A ? tan B 及 tan A ? tan B ? tan C ? 1 得, tan A tan B tan C ? 1 ; 1 ? tan A tan B 9. 易得① 符合题意;对于②:因为 A ? A ? B ,所以 B ? A ? B ? ( A ? B) ? B ? A ,进而 A ? A ? B ? ( A ? B) ? A ? B ,符合题意;同理可得③ 符合题意;
y 10. 因为 x、y 为正实数,所以 2x+y ? 6 ? xy≥2 2xy ? 6 ,解得 xy≥18 (当且仅当 x ? 3, ? 6 时

等号 成立) 11. 易得 3x 2 ? 3a ? ?1 解无实数,即 a ? x 2 ? 1 解无实数,所以 a ? 1 ; 3 3 12.
5、 3 不可能为两异面直线的长,这是可以反证的(假设 5、 3 为异面直线的长,则会

出现六条棱共面的情形, 这与假设矛盾) 故根据余弦定理得较长棱所在直线所成角的余 .
15 弦值为 5 ? 3 ? 2 ? ; 5 2? 5 ? 3

13. 直线 A1 P2 的方程为 y ?

y2 y ( x ? 4) , A2 P 的方程为 y ? 1 ( x ? 4) ,两式左右分别相乘得 1 t?4 t ?4

y2 ?

2 2 y1 y2 y2 y y ? 1 上,所以 t ? ( x2 ? 16) ,因为点 P (t,1 ) 、 P2 (t,2 ) 在椭圆 x ? 1 2 16 9 16 t ? 16 2 t 2 ? y2 ? 1 ,即 y 2 ? 9 1 ? t 2 , y 2 ? 9 1 ? t 2 ,又 y ? 0、y ? 0 ,所以 y y ? 9 2 1 1 2 1 2 16 16 16 9

y12 ?1, 9
t ?16 ? 1? ,
2

?

?

?

?

代入

y2 ?
14.

2 y1 y2 y2 ? 1; ( x2 ? 16) 得 x ? 16 9 t 2 ? 16

设 A ? x1, 8 x1 ? , B ? x2, 8 x2 ? , log log 则 C ? x1, 2 x1 ? , D ? x2, 2 x2 ? , log log

y
y ? log 2 x

D
因为 BC//x 轴,所以 log8 x2 ? log 2 x1 , 即 x2 ? x13 ,① 又 A、B、O 三点共线,故
C

y ? log8 x

B
O

1

A
x

log8 x1 log8 x2 ,② ? x1 x2

由①②得 x1 ? 3,2 ? 3 3 , x 故 四
3 ? ? ?? ?
2


?3
8



ABCD
? o
2


2


8


3 l


o g

?3

?

???

l

g ?? ? 4 33 log 33 . ?

3

15.命题立意:本题主要考查三角函数的图像与性质,考查运算求解的能力. 解: (1) 由题意得 A ? 2 , 周期 T ? 2? ? ? , ? ? ? , 分) 得 (4 ? 将 M 2π ,? 2 代 入 上 式 得 ?2 ? 2sin 4? ? ? , 3 ?
0<? ? π , 2

此时 f ( x) ? 2sin(2 x ? ? ) , 即 sin 4? ? ? ? ?1 , ?

?

?

?

?

?

?

解得 ? ? π , 所以 f ( x) = 2sin 2 x ? π ; 分) (8 6 6 (2)因为 x ? ? π ,π ? , ?12 2 ? ? ? 所以 π ≤2 x ? π ≤ 7π , (10 分) 3 6 6

?

?

所以,当且仅当 2 x ? π ? π ,即 x ? π 时, sin 2 x ? π ? 1 , 6 2 6 6 即有 f ( x) 的最大值为 2. (14 分) 16.命题立意:本题主要考查直线与平面、平面与平面的位 置关系,考查空间想象与推理论证能力. 解: (1)因为 EF∥ 平面 ABD,易得 EF ? 平面 ABC, 平面 ABC ? 平面 ABD ? AB , 所以 EF // AB , 分) (5 B E C (第 16 题图)

?

?

A

F D

又点 E 是 BC 的中点,点 F 在线段 AC 上, 所以点 F 为 AC 的中点, 由 AF ? ? 得 ? ? 1 ; 分) (7 2 AC (2)因为 AB ? AC ? DB ? DC ,点 E 是 BC 的中点, 所以 BC ? AE , BC ? DE , 分) (9 又 AE ? DE ? E , AE、DE ? 平面 AED, 所以 BC ? 平面 AED, (12 分) 而 BC ? 平面 BCD, 所以平面 BCD⊥ 平面 AED. (14 分) 17.命题立意:本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力,考查运算求解能力. 解: (法一)设圆锥母线与底面所成角为 ? ,且 ? ? 0,π , 分) (2 4 则该仓库的侧面总造价 y ? ? 2π ? 5 ? 5(1 ? tan ? )? ?100 ? ? 1 ? 2π ? 5 ? 5 ? ? 400 ?2 cos? ? ? ? (8 ? 50π 3+ 2 ? sin? , 分) cos? 由 y? ? 50π ? 2sin? ? 1 ? ? 0 得 sin? ? 1 ,即 ? ? π , (13 分) ? ? 2 6 ? cos2? ? 经检验得,当 ? ? π 时,侧面总造价 y 最小,此时圆锥的高度为 5 3 m. (15 分) 6 3 (法二)设圆锥的高为 x m,且 x ? ? 0, ? , 分) 5 (2 则该仓库的侧面总造价 y ? ? 2π ? 5 ? 5(1 ? x)? ?100 ? ? 1 ? 2π ? 5 ? x2 ? 25 ? ? 400 ?2 ? ? ?
? 150π+10π 2 x 2 ? 25 ? x , 分) (8

? ?

?

?

?

?

由 y ? ? 10π

?

2x ?1 ? 0 得 x ? 5 3 , (13 分) 3 x ? 25
2

?

经检验得,当 x ? 5 3 时,侧面总造价 y 最小,此时圆锥的高度为 5 3 m. (15 分) 3 3 18.命题立意:本题主要考查直线的方程、椭圆的方程及其简单性质等基础知识,考查灵活 运用数 形结合、化归与转化思想进行运算求解、推理论证的能力. y
? 2 b2 ? 1? 2 ? 2 , ? a 解: (1)由题意得 ? ? 2 ? 3 ? 1, ? a 2 b2 ?

B O C E (第 18 题图) A F x

解得 a 2 ? 2b2 ? 8 , 分) (3 则△ABC 的面积 S
? 2S?AOB ? 2 ? 1 ? a ? 3 ? 2 6 ; 分) (5 2

(2)① k1 ? k2 为定值,下证之:

证明:设 B( x0,0 ) ,则 C(? x0, y0 ) ,且 y ?
2

x02 y0 y y a 2 ? ? b2 而 k1 ? k2 ? ? 0 ? 20 2 ? 2 x0 ? a x0 ? a x0 ? a x0 ? a 2 a2 b2 1 ?
由(1)得 a2 ? 2b2 , 所以 k1 ? k2 ? ? 1 ; (10 分) 2 ② 易得直线 AB 的方程为 y ? k1 ( x ? a) , 直线 AC 的方程为 y ? k2 ( x ? a) , 令 x ? a ? 1 得, yE ? k1 , yF ? k2 , 则△AEF 的面积 S?AEF ? 1 ? EF ? 1 ? 1 k2 ? k1 , (13 分) 2 2 k 因为点 B 在 x 轴上方,所以 k1 ? 0,2 ? 0 , 由 k1 ? k2 ? ? 1 得 S?AEF ? 1 (k2 ? k1 )≥ 1 ? 2 ?k1k2 ? 2 (当且仅当 k2 ? ?k1 时等号 2 2 2 2 成立) 所以,△AEF 的面积的最小值为 2 .(15 分) 2 19.命题立意:本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式等基础知识,考查灵活运用基 本量、 有限与无限的数学思想进行运算求解、探索分析的综合能力. 解: (1)因为 ? ai ? 121 , ? 1 ? 121 , 81 i ?1 i ?1 ai
5 5

?

x0 2 y0 2 ? 2 ? 1 , 分) (7 a2 b

?

所以 a3 ? 1 , 分) (2 9 解得 q ? q ?1 ? 10 , 3

a3 ? q 2 ? q ?2 ? ? a3 ? a3 ? q ? q ?1 ? ? 121 , 81
又 0 ? q ? 1 ,所以 q ? 1 , 分) (4 3 (2)设无穷等比子列的首项为 1 3
m

此时, an ? 1 3
k

??

n ?1

; 分) (6

??

m

,公比为 1 3

? ? ,且 m、k ? N * ,

? 1 ? ? ? 1 , 5 ? , 分) 3 则其所有项和 (9 ?12 24 ? ? ? 1? ?1? 3
k

k ? ? 即 1 ?1 ? 1 ? ≤ 1 12 ? 3 ? 3

?? ??
??
k

m

? ≤ 5 ?1 ? 1 24 ?

??

? , 3 ? ?
k

故 1≤ 1 18 3

5 ? ? ≤ 24 ,
m

所以 m ? 2 , (12 分) 此时 ? 1 ≤ 1 ≤ 7 , 所以 k ? N * , (14 分) 3 3 15 所有满足题意的等比子列是以 1 为首项, 1 ( k ? N * ) 为公比的等比数列. (16 3 9 分) 20.命题立意:本题主要考查指数函数、对数函数以及抽象函数的性质等,考查灵活运用函 数性质

??

k

进行探索求解、推理论证的综合能力. 解: (1)证明:令 x ? a m,y ? a n , 则 f a m? n ? (m ? n) f (a) ? mf (a) ? nf (a) ? f (a m ) ? f (a n ) , 所以 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,即证; 分) (5 (2)证明:设 ?0 ? x1 ? x2 , 则必 ?s ? 0 ,满足

?

?

x1 ? as , x2
1 2

而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,

? xx ? ? f (a ) ? sf (a) ? s ? 0 ,
s

所以 f ( x) 在 (0,? ?) 上是单调减函数.(10 分) (3)令 t ? log a (4 ? x) ? 0 , 则 f t 2 ? 2 ? f ?8t ?≤3 ,
2 故 f t ? 2 ≤f ? a3 ? ,即 a3≤ 1 t ? 2 , 8t 8 t

?

?

?

?

? ?

所以 a3 ≤ 1 ,又 0 ? a ? 1 ,故 0 ? a ? 2 . (15 分) 2 2 2 21.A.命题立意:本题主要考查圆的有关知识,考查推理论证、运算求解能力. 解:连结 AB ,易得 ?ABN ? ?APM , B M ?ABN ? ?AQN ? ? ,(6 分) 所以 ?APM ? ?AQN ? ? , A Q 又点 P,, 三点共线, P A 故 PM // QN .(10 分) B.命题立意:本题主要考查二阶矩阵的逆矩阵,考查运算求解能力.
? a b ? ?1 0 ? ? 1 0 ? ?a b ? ?1 解:设 A ? ? ? ,则由 AA ? E 得 ? c d ? ?0 2? ? ?0 1? ,(5 分) ? ?? ? ? ? ?c d ?
?a ? 1, ?b ? 0, ?1 ? 解得 ?c ? 0, 所以 A ? ? ?0 ? ? 1, ?d ? ? 2

N

Q

(第 21—A 题)

0? 1 ? .(10 分) ? 2?

C.命题立意:本题主要考查椭圆的参数方程的应用,考查运算求解能力.
? x ? 2 3 cos ?, ? 解:设 ? ( ? 为参数) ,(4 分) ? y ? 2sin ? ?

则矩形 PMON 周长为 2 3 cos ? ? 2sin ? ? 4sin ? ? ? ,(8 分) ? 所以,当 ? ? ? 时,矩形 PMON 周长取最大值 4, ? 此时,点 P 3, 3 .(10 分)

?

?

?

?

D.命题立意:本题主要考查解绝对值不等式的基本方法,考查运算求解的能力. 证明:若 x ? 1 ? 0 ,则 a ? R ;(2 分) 若 x ? 1≥0 ,则 ? x ? a ? ? ? x ? 1? 对任意的 x ? ?1,? ? ? 恒成立,
2 2

即 ? a ? 1? ?? a ? 1? ? 2x? ? 0 对任意的 x ? ?1,? ? ? 恒成立, (4 分) ? ?
?a ? 1 ? 0, ? a ? 1 ? 0, 所以 ? 或? 对任意的 x ? ?1,? ? ? 恒成立,(8 分) ?a ? 1 ? 2 x, ? a ? 1 ? 2 x

解得 a ? 1 .(10 分) 22.命题立意:本题主要考查空间向量的应用,考查运算求解能力. 解: (1)如图,以点 D 为原点 O , DA, DC, DD1 分别为 x, y, z 轴 建立空间直角坐标系 O ? xyz , 则 D ? 0, 0, 0? , B ?1, 1, 0 ? , A1 ?1, 0, 2 ? , 设 P ? 0, 1, ? ? ,其中 ? ? ? 0, 2? ,
A1 D1

z
C1 B1

???? ??? ? 因为 ?A1 PB ? ? ,所以 A1 P ? BP ? 0 , ?
即 ? ?1, 1, ? ? 2? ? ? ?1, 0, ? ? ? 0 ,得 ? ? 1 , 此时 P ? 0, 1, 1? ,即有 PC ? 1 ;

P

D
A
x

C

y

B (第 22 题图)

??? ? (2)易得平面 AA1 B 的一个法向量为 m ? DA ? ?1, 0, 0? ,
设平面 A1 BP 的一个法向量为 n ? ? x, y, z ? ,

???? ?n ? A1 P ? 0, ?? x ? y ? z ? 0, ? 则 ? ??? 即? ? ?n ? BP ? 0, ?? x ? z ? 0, ?
不妨取 x ? 1 ,则 y ? 0 , z ? ?1 ,即 n ? ?1, 0, ? 1? ,
n 所以 cos ? m, > ? m ? n ? 1 ? 2 , 2 m n 1? 2

所以,钝二面角 A ? A1 B ? P 的大小为 3? .(10 分) ? 23.命题立意:本题主要考查组合数的性质、二项式定理,考查推理论证能力. ( 解: (1)甲从 1 到 m (m 为给定的正整数,且 2≤m≤n ? 2) 号中任选两款,乙从 m ? 1) n 到 号中
2 任选两款的所有等可能基本事件的种数为 C2 Cn ? m , m m 记“款式 s 和 t (1≤s≤m, ? 1≤t≤n) 同时被选中”为事件 B,则事件 B 包含的基

本事件 的种数为 C1C1 ?1 ? C1C1 ?( m?1) , 1 m 1 n 所以 P( B) ? Pst ?
C1C1 ?1 ? C1C1 ?( m ?1) 1 m 1 n C2 C2 ? m m n ? 4 , m(n ? m)

4 ? 4 ;(4 分) m(n ? m) (2)甲从 n 种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为: 2 n C0 ? C1 ? Cn ? ??? ? Cn ? 2n , n n
则所有的 Pst 的和为: C1 C1 ?m ? m n 同理得,乙从 n 种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为 2n , 据分步乘法计数原理得,所有等可能的基本事件的种数为: 2n ? 2n ? 4n , 记“至少有一个款式为甲和乙共同认可”为事件 A,则事件 A 的对立事件 A 为: “没有 一个款式为甲和乙共同认可” , 而事件 A 包含的基本事件种数为:
2 n 2 n ?1 0 1 C0 ? (C0 ? C1 ? Cn ? ??? ? Cn ) ? C1 ? (C0 ?1 ? C1 ?1 ? Cn?1 ? ??? ? Cn?1 ) ? ??? ? Cn?1 ? (C1 ? C1 ) n n n n n n n

+Cn ? (C0 ) n 0
? C0 ? 2n ? C1 ? 2n?1 ? ??? ? Cn?1 ? 2 ? Cn ? 20 n n n n

? (1 ? 2)n ? 3n ,

所以 P( A) ? 1 ? P ? A ? ? 1 ? 3 .(10 分) 4

??

n



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