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2014-2015高一数学《函数的概念和图象》能力提升检测题



2014-2015 高一数学《函数的概念和图象》能力提升检测题
函数的表示方法

要表示一种函数关系,可以有很多的方式,最直截了当的就是一一列出变量之间的所对应的数 值.这种表示方法的好处就是一目了然,但不能容易地让人理解变量之间的对应规律. 要想能容易地让人理解变量之间的对应规律,可以使用图示的方式.用图来表示变量之间的依赖 关系,可以很直观地说明

这种依赖关系的很多性质.图示的缺点就是不能精确地给出数值,也不能精 确地表达函数的性质. 最精确的表达方式是给出函数关系的解析表达式.有了解析表达式,就可以对已知数值进行确定 的数学计算,从而得到未知量的精确数值.更进一步,通过对解析表达式的数学分析,可以得出函数 性质的精确的表达. 这几种方法各有千秋,这是本节要学习的内容。

基础巩固 1.如图,在△AOB 中,点 A(2,1),B(3,0),点 E 在射线 OB 上自 O 开始移动.设 OE=x,过 E 作

OB 的垂线 l,记△AOB 在直线 l 左边部分的面积为 S,则函数 S=f(x)的图象是(

)

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1 解析:当 0≤x≤2 时,S= x2,排除 B、C; 4 1 1 1 1 3 当 2<x≤3 时,S= ×3×1- (x-3)2= (-x2+6x-6);当 x>3 时,S= ×3×1= . 2 2 2 2 2 答案:D

2.某同学从家里赶往学校,一开始乘公共汽车匀速前进,在离学校还有少许路程时,改为步行 匀速前进到校.下列图形纵轴表示该同学与学校的距离 s,横轴表示该同学出发后的时间 t,则比较 符合该同学行进实际的是( )

解析:依题意:s 表示该同学与学校的距离,t 表示该同学出发后的时间,当 t=0 时,s 最远,
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排除 A、B,由于汽车速度比步行快,因此前段迅速靠近学校,后段较慢.选 D. 答案:D 3.g(x)=1-2x,f(g(x))= 1-x2

x

2

?1? (x≠0),则 f? ?=( ?2?

)

A.1

B.3

C.15

D.30

1 1 1 1-x2 解析:由 g(x)= 得:1-2x= ?x= ,代入 2 得: 2 2 4 x

?1? 1?? ? ?4? ?1? ? ? ?4?
2

2

=15.

答案:C

4. 定义两种运算: a ? b= a2-b2, a?b= 4-x2

a-b

2

, 则函数 f(x)=

2?x 的解析式为( ? x ? 2 ?2

)

A.f(x)= B.f(x)=

x

,x∈[-2,0)∪(0,2]

x2-4 ,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞) x

x2-4 C.f(x)=- ,x∈(-∞,-2]∪[2,+∞) x
D.f(x)=- 4-x2

x

,x∈[-2,0)∪(0,2]

解析:由题知

x= 4-x2,

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x?2=

x-

2

,则 f(x)=

4-x , x- 2-2

2

又 4-x2≥0,∴-2≤x≤2, 4-x2 4-x2 则 f(x)= =- ,-2≤x≤2,且 x≠0. 2-x-2 x 答案:D

?n-3,n≥10, 5.已知函数 f(n)=? ,n<10 ?f[f n+ A.5 B.6

(n∈N*),则 f(5)=(

)

C.7

D.8

解析:f(5)=f[f(10)]=f(7)=f[f(12)]=f(9)=f[f(14)]=f(11)=11-3=8. 答案:D

?x +3x,x≤0, 6.已知函数 f(x)=? ?2,x>0,
2

则方程 f(x)=x 的解的个数为________.

解析:x>0 时,x=f(x)=2;x≤0 时,x2+3x=x?x=0 或-2. 答案:3 个

7.已知正方形的周长为 x,它的外接圆半径为 y,则 y 关于 x 的解析式是________.

答案:y=

2 x 8

8.若 f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24(a,b 为常数),则 5a-b=________.

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解析:∵f(x)=x +4x+3, ∴f(ax+b)=(ax+b)2+4(ax+b)+3 =a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3. 又 f(ax+b)=x2+10x+24, ∴?2ab+4a=10,

2

?

a2=1,
2

?b +4b+3=24

?a=1, ?? ?b=3

?a=-1, 或? ?b=-7.

∴5a-b=2. 答案:2

2 ?1+x? 1-x ?= 9.已知 f? 2,求 f(x)的解析式. ?1-x? 1+x

1+x t-1 解析:令 =t,则 x= , 1-x t+1

? t ?1 ? 1?? ? t ? 1 ? ? ∴f(t)= ? t ?1 ? 1?? ? ? t ?1 ?
∴f(x)= 2x . x +1
2

2

2



2t , t +1
2

1+x 2 2x 由于 t= =-1+ ≠-1,∴f(x)= 2 (x≠-1). 1-x 1-x x +1

10.已知二次函数满足 f(3x+1)=9x2-6x+5,求 f(x).

解析:设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则 f(3x+1)=a(3x+1)2+b(3x+1)+c =9ax2+(6a+3b)x+a+b+c. ∵f(3x+1)=9x2-6x+5,
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∴9ax +(6a+3b)x+a+b+c=9x -6x+5. 比较两端系数,得

2

2

?9a=9, ?6a+3b=-6, ?a+b+c=5
∴f(x)=x2-4x+8.

?a=1, ??b=-4, ?c=8.

11.已知二次函数 f(x)的图象经过 A(0,2),B(1.0),C(3,2)三点,求 f(x)的解析式.

解 析 : 设 f(x) = ax2 + bx + c(a≠0) , 把 A , B , C

?c=2, 三 点 坐 标 代 入 得 ?a+b+c=0, ?9a+3b+c=2

?

a=1, ? ?b=-3, ? ?c=2. ?
∴f(x)=x -3x+2.
2

能力提升

12.某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一位代表,当各班人数除以 10 的余数大 于 6 时再增选一位代表,那么各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y= [x]([x]表示不大于 x 的最大整数)可以表示为( )

?x? A.y=? ? ?10?

?x+3? ? B.y=? ? 10 ?

?x+4? ? C.y=? ? 10 ?

?x+5? ? D.y=? ? 10 ?

解析:当 x=56 时,y=5,排除 C,D;当 x=57 时,y=6,排除 A.∴只有 B 正确.
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答案:B

?x1+x2? 1 ?> [f(x1)+f(x2)],则 f(x)在[a,b]上是凸函数, 13.任取 x1、x2∈[a,b]且 x1≠x2,若 f? ? 2 ? 2 在以下图象中,是上凸函数的图象是( )

解析:只需在图形中任取自变量 x1,x2,分别标出它们对应的函数值及 观察它们的大小关系即可. 答案:D

x1+x2
2

对应的函数值,并

C ? ? x,x<A, 14. 根据统计, 一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位: 分钟)为 f(x)=? C ,x≥A, ? ? A A,C 为常数.已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产品用时 15 分钟,那么 C 和 A 的
值分别是( A.75,25 ) B.75.16

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C.60,25

D.60,16

解析:由条件可知,x≥A 时所用时间为常数,所以组装第 4 件产品用时必须满足第一段分段函 数,即 f(4)= 答案:D

C
4

=30?C=60,f(A)=

60

A

=15?A=16.

15.已知函数 f(x),g(x)分别由下表给出:

x f(x)

1 1

2 3

3 1

x g(x)

1 3

2 2

3 1

则 f[g(1)]的值为________,满足 f[g(x)]>g[f(x)]的 x 值是________

解析:f[g(1)]=f(3)=1, 当 x=1 时,f[g(1)]=f(3)=1,g[f(1)]=g(1)=3,不满足; 当 x=2 时,f[g(2)]=f(2)=3,g[f(2)]=g(3)=1,满足; 当 x=3 时,f[g(3)]=f(1)=1,g[f(3)]=g(1)=1,不满足. ∴x=2. 答案:1 2

2 ,x<1, ? x+ 16.设函数 f(x)=? ?4- x-1,x≥1,

则使得 f(x)≥1 的自变量 x 的取值范围为________.

解析:x<1 时,f(x)≥1?(x+1)2≥1?x≤-2 或 x≥0?x≤-2 或 0≤x<1;x≥1 时,f(x)≥1 ?4- x-1≥1? x-1≤3?x≤10?1≤x≤10.
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∴x≤-2 或 0≤x≤10 答案:(-∞,-2]∪[0,10]

?a,a≤b, 17. 定义运算 a*b=? ?b,a>b,

则对 x∈R, 函数 f(x)=x*(2-x)的解析式为 f(x)=________.

?x,x≤1 答案:? ?2-x,x>1

18.某种商品在 30 天内每件的销售价格 P(元)与时间 t(天)的函数关系用图甲表示,该商品在 30 天内日销售量 Q(件)与时间 t(天)之间的关系如下表所示:

t/天 Q/件

5 35

15 25

20 20

30 10

(1)根据提供的图象(图甲),写出该商品每件的销售价格 P 与时间 t 的函数关系式;

(2)在所给直角坐标系(图乙)中,根据表中提供的数据描出实数对(t,Q)的对应点,并确定一个 日销售量 Q 与时间 t 的函数关系式;

(3)求该商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是 30 天中的第几天.(日销 售金额=每件的销售价格×日销售量)

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解析:(1)根据图象,每件的销售价格 P 与时间 t 的函数关系式为: ?t+20,0<t<25,t∈N, P=? ?-t+100,25≤t≤30,t∈N. (2)描出实数对(t,Q)的对应点. 从图象发现:点(5,35),(15,25),(20,20),(30,10)似乎在同一条直线上,为此假设它们共线 于直线 l:Q=kt+b. 由点(5,35),(30,10)确定出 l 的解析式为 Q=-t+40,通过检验可知,点(15,25),(20,20)也 在直线 l 上. ∴日销售量 Q 与时间 t 的一个函数关系式为

Q=-t+40(0<t≤30,t∈N).
(3)设日销售金额为 y(元),
2 ?-t +20t+800,0<t<25,t∈N, 则 y=? 2 ?t -140t+4000,25≤t≤30,t∈N,

?- t- 因此 y=? ? t-

2 2

+900,0<t<25,t∈N,

-900,25≤t≤30,t∈N.

若 0<t<25(t∈N),则当 t=10 时,ymax=900; 若 25≤t≤30(t∈N),则当 t=25 时,ymax=1 125. 因此第 25 天时销售金额最大.

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