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三角函数公式、图像大全



三角函数的图形

各三角函数值在各象限的符号

sinα ·cscα

cosα ·secα

tanα ·cotα

三角函数的性质

函数

y=sinx

y=cosx

y=tanx {x|x

∈R 且 x ? ≠kπ + ,k∈ 2 Z}

y=cotx {x|x∈R 且 x≠kπ ,k∈Z}

定义域

R

R

值域

? [-1,1] 时 x=2kπ 时 ymax=1 2 R ymax=1 x=2kπ +π 时 无最大值 ? ymin=-1 x=2kπ 时 ymin=-1 无最小值 2
[-1, 1] x=2kπ +

R 无最大值 无最小值

周期性 奇偶性

周期为 2π 奇函数 在[2kπ -

周期为 2π 偶函数

周期为π 奇函数

周期为π 奇函数 在(kπ ,kπ + π )内都是减 函数(k∈Z)

单调性

? 在[2kπ -π , 在(kπ - , kπ 2kπ ] 上都是增 2 ? ? 函数;在[2k + ]上都是增函数; + )内都是增 π ,2kπ +π ] 2 2 2 上都是减函数 函数(k∈Z) ? 在 [2kπ + ,2kπ + 3 (k∈Z) 2 π ]上都是减函数(k ∈Z)
? ,2kπ 2

反三角函数的图形

反三角函数的性质 名称 反正弦函数 y=sinx(x∈ ? ? 〔- , 〕的反 2 2 函数,叫做反正 弦函数,记作 x=arsiny 反余弦函数 y=cosx(x∈ 〔0,π 〕 )的反 函数,叫做反 余弦函数,记 作 x=arccosy 反正切函数 y=tanx(x∈ ? ? (, )的 2 2 反函数, 叫做反正 切函数,记作 x=arctany 反余切函数 y=cotx(x∈(0, π ))的反函数, 叫做反余切函 数,记作 x=arccoty

定义

理解

arcsinx 表示属 ? ? 于[- , ] 2 2 且正弦值等于 x 的角

arccosx 表示 arctanx 表示属 ? ? 属于[0,π ] , 于(- , ),且 且余弦值等于 2 2 x 的角 正切值等于 x 的 角

arccotx 表示 属于(0,π )且 余切值等于 x 的角

定义域 值域 性 质 单调性 奇偶性 周期性

[-1,1]

[-1,1] [0,π ]

(-∞,+∞) (-

(-∞,+∞) (0,π ) 在(-∞,+∞) 上是减函数 arccot(-x)=π -arccotx cot(arccotx)= x(x∈R) arccot(cotx)= x(x∈(0,π ))

恒等式

? ? , ] 2 2 在〔-1,1〕上是 增函数 arcsin(-x)=-ar csinx 都不是同期函数 sin(arcsinx)=x (x∈[-1, 1])arcsin(sin x)=x(x∈ ? ? [- , ]) 2 2
[arcsinx+arccosx=

? ? , ) 2 2 在[-1,1]上 在(-∞, +∞)上是 是减函数 增数 arccos(-x)= arctan(-x)=-arc π -arccosx tanx
cos(arccosx) =x(x∈ [-1,1]) arccos(cosx) =x(x∈[0, π ]) tan(arctanx)=x( x∈ R)arctan(tanx)= ? ? x(x∈(- , )) 2 2

互余恒等 式

? ? (x∈ [-1,1] ) arctanx+arccotx= (X∈R) 2 2

三角函数公式
两角和公式
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B) = tanA ? tanB tan(A-B) cot(A+B) cot(A-B)

1 - tanAtanB = tanA ? tanB 1 ? tanAtanB = cotAcotB- 1 cotB? cotA = cotAcotB? 1 cotB? cotA

倍角公式
tan2A =
2tanA 1 ? tan2 A

Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A

三倍角公式
sin3A = 3sinA-4(sinA)
3 3

cos3A = 4(cosA) -3cosA tan3a = tana·tan( ? +a)·tan( ? -a)
3 3

半角公式
sin( A )=
2

1 ? cos A 2 1 ? cos A 2 1 ? cos A 1 ? cosA 1 ? cos A 1 ? cosA
sin A sin A 1 ? cos A

cos( A )=
2

tan( A )=
2

cot( A )=
2
2

tan( A )= 1 ? cos A =

和差化积
sina+sinb=2sin a ? b cos a ? b
2 2 a?b a ?b sina-sinb=2cos sin 2 2 cosa+cosb = 2cos a ? b cos a ? b 2 2 cosa-cosb = -2sin a ? b sin a ? b 2 2 tana+tanb= sin(a ? b) cos a cosb

积化和差
sinasinb = - 1 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = sinacosb = cosasinb =
2 1 [cos(a+b)+cos(a-b)] 2 1 [sin(a+b)+sin(a-b)] 2 1 [sin(a+b)-sin(a-b)] 2

诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( ? -a) = cosa
2 cos( ? -a) 2 sin( ? +a) 2 ? cos( +a) 2

= sina = cosa = -sina

sin(π -a) = sina cos(π -a) = -cosa sin(π +a) = -sina cos(π +a) = -cosa tgA=tanA = sin a 万能公式
a 2 sina= a 1 ? (tan ) 2 2 a 1 ? (tan ) 2 2 cosa= a 2 1 ? (tan ) 2 a 2 tan 2 tana= a 1 ? (tan ) 2 2 2 tan
cos a

其它公式
a?sina+b?cosa= (a 2 ? b 2 ) ×sin(a+c) [其中 tanc= a?sin(a)-b?cos(a) = 1+sin(a) =(sin
b ] a a ] b

(a 2 ? b 2 ) ×cos(a-c) [其中 tan(c)=

a a +cos )2 2 2 a a 1-sin(a) = (sin -cos )2 2 2

其他非重点三角函数
1 sin a 1 sec(a) = cos a

csc(a) =

双曲函数
sinh(a)=
e a - e -a 2

e a ? e -a cosh(a)= 2

tg h(a)=

sinh(a ) cosh(a )

公式一
设α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ +α )= sinα cos(2kπ +α )= cosα tan(2kπ +α )= tanα cot(2kπ +α )= cotα

公式二
设α 为任意角,π +α 的三角函数值与α 的三角函数值之间的关系: sin(π +α )= -sinα cos(π +α )= -cosα tan(π +α )= tanα cot(π +α )= cotα

公式三
任意角α sin(-α cos(-α tan(-α cot(-α 与 -α 的三角函数值之间的关系: )= -sinα )= cosα )= -tanα )= -cotα

公式四
利用公式二和公式三可以得到π -α 与α 的三角函数值之间的关系: sin(π -α )= sinα cos(π -α )= -cosα tan(π -α )= -tanα cot(π -α )= -cotα

公式五
利用公式-和公式三可以得到 2π -α 与α 的三角函数值之间的关系: sin(2π -α )= -sinα cos(2π -α )= cosα tan(2π -α )= -tanα cot(2π -α )= -cotα

公式六
? 3? ±α 及 ±α 与α 的三角函数值之间的关系: 2 2 ? sin( +α )= cosα 2 ? cos( +α )= -sinα 2 ? tan( +α )= -cotα 2 ? cot( +α )= -tanα 2 ? sin( -α )= cosα 2 ? cos( -α )= sinα 2 ? tan( -α )= cotα 2 ? cot( -α )= tanα 2 3? sin( +α )= -cosα 2 3? cos( +α )= sinα 2 3? tan( +α )= -cotα 2 3? cot( +α )= -tanα 2 3? sin( -α )= -cosα 2 3? cos( -α )= -sinα 2 3? tan( -α )= cotα 2 3? cot( -α )= tanα 2 (以上 k∈Z) 这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用
? ?? ) × A?sin(ω t+θ )+ B?sin(ω t+φ ) = A 2 ? B 2 ? 2 AB cos(
sin

?t ? arcsin[(Asin ? ? Bsin? )
A 2 ? B 2 ? 2 AB cos( ? ?? )

三角函数公式证明(全部)
公式表达式
乘法与因式分解

a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
三角不等式

|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解

-b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a
根与系数的关系

X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韦达定理 判别式 b2-4a=0 注:方程有相等的两实根 b2-4ac>0 注:方程有一个实根 b2-4ac<0 注:方程有共轭复数根

三角函数公式
两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些数列前 n 项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角 B 是边 a 和边 c 的夹角 正切定理 [(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]} 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a 是圆心角的弧度数 r >0

扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S'L 注:其中,S'是直截面面积, L 是侧棱长 柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h

------------------------------------------------------------------------------------------三角函数 积化和差 和差化积公式

记不住就自己推,用两角和差的正余弦: cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB 这两式相加或相减,可以得到 2 组积化和差: 相加:cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2 相减:sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2 sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA 这两式相加或相减,可以得到 2 组积化和差: 相加:sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2 相减:sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2 这样一共 4 组积化和差,然后倒过来就是和差化积了 不知道这样你可以记住伐,实在记不住考试的时候也可以临时推导一下 正加正 正在前 正减正 余在前

余加余 都是余 余减余 没有余还负

正余正加 余正正减 余余余加 正正余减还负

. 3.三角形中的一些结论:(不要求记忆) (1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC (2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) (3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1 (4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC (5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ........................... 已知 sinα =m sin(α +2β ), |m|<1,求证 tan(α +β )=(1+m)/(1-m)tanβ 解:sinα =m sin(α +2β ) sin(a+β -β )=msin(a+β +β ) sin(a+β )cosβ -cos(a+β )sinβ =msin(a+β )cosβ +mcos(a+β )sinβ sin(a+β )cosβ (1-m)=cos(a+β )sinβ (m+1) tan(α +β )=(1+m)/(1-m)tanβ



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