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人教版数学必修四:2.4向量的数量积(2)(学生版)


课题:§2.4 向量的数量积(2) 总第____课时 班级_______________ 姓名_______________ 【学习目标】 1.要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示,掌握向量垂直的坐标表示的充要条件; 2.两点距离公式及夹角公式. 【重点难点】 学习重点:平面向量数量积的坐标表示及由其推出的重要公式; 学习难点:向量数量积坐标表示在处理有关长度、角度、垂直问题中的应用. 【学习过程】 一、自主学习与交流反馈: 1.两个平面向量垂直的条件: 2.两个平面向量共线的坐标表示: 二、知识建构与应用: 1. 向量数量积的坐标表示:设 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) , i 、 j 分别是 x 轴、y 轴上的 单位向量,则: i ? i ? 1 , j ? j ? 1 , i ? j ? j ? i ? 0 因为 a ? x1i ? y1 j, b ? x2 i ? y2 j , ∴ a ? b ? ( x1 i ? y1 j )( x2 i ? y2 j ) ? x1 x2 i ? x1 y2 i ? j ? y1 x2 j ? i ? y1 y2 j ? x1 x2 ? y1 y2 . 从而得向量数量积的坐标表示公式: a ? b ? 2.长度、夹角、垂直的坐标表示: 2 2 ①长度:设 a ? ( x, y) 则 a ? a a cos 0 ? a ? a = x ? y ? a ? 2 2 ? ? . 2 ; ② 两点间的距离公式:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则 AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) | AB |? ; ③ 夹角: 设 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) , a与b 的夹角为 ? , 则c o s ?? ④垂直的条件:∵ a ? b ? a ? b ? 0 ,即 a ?b a b ? ; . 1 两向量垂直与向量共线的坐标表示的区别,○ 2 对零向量只定义了平行,而不定义 (注意○ 3 由于零向量的方向不确定,所以我们不定义零向量与其他向量的夹角) 垂直,○ . 三、例题 例 1 (1)已知 a ? (?3,4), b ? (4,3) ,求 a 与 b 的夹角; (2)已知 a ? (2, ?1), b ? (3, ?3) ,求 (3a ? b) ? (a ? 2b) . 例 2 已知 a ? 1, b ? 2 ,向量 a 、 b 的夹角为 60 ? ,又 (ma ? 3b ) ? (2 a ?mb ) ,求实数 m 的值. 例 3 已知 a ? (1,2), b ? ( ?1, m) ,若 a 与 b 的夹角为钝角,求 m 的取值范围. 例 4 在 Rt ?ABC 中, AB ? (2,3) , AC ? (1, k ) ,求 k 值. 四、巩固练习 1.已知 a ? (1,2), b ? (3, ?2), c ? ( ?2,1) ,分别求 a ? a, a ? b , a ? c . 2.已知 a ? b ? (2,8), a ? b ? (?8,16) ,求 a ? b . 3.设向量 a 、 b 满足 a ? 8, b ? 3, a ? b ? 12 ,求向量 a 、 b 的夹角. 4.求下列各组中两个向量 a 、 b 的夹角: (1) a ? ( 3,1), b ? (?2 3, 2) ; (2) a ? (1,1), b ? (1 ? 3,1 ?

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