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2009-2010第一学期线性代数试卷A



山东建筑大学试卷
··································· ···································· ···································· ································ ·································

·································

共 二、填空(每小题 3 分,共 15 分)

4 页



1 页

2009 至 2010 第 2 学期 课程名称 专业: 考试性质: 闭卷 题号 分数 一、 选择(每小题 3 分,共 15 分) 1.设四阶矩阵 A
? ?? , ? 2 , ? 3 , ?
4

线性代数
120 分钟

试卷

A (A、B) 1. f ? x ? ?

2x ? x 1

1 ? x 2

?1 x x

中, x 3 的系数是



班级 ______________ 姓名 ______________学号 ______________

考试时间 三 四





总分

2.设 A 为 3 阶方阵,且
? 3 x ? ky ? z ? 0 ? 4y ? z ? 0 3.如果 ? ? kx ? 5 y ? z ? 0 ?

A ? 2

,则 3 A ? 1

? 2A* ?



有非零解,则 k

?



?, B

? ?? , ? 2 , ? 3 , ?

4

? ,其中 ? , ? , ? 2 , ? 3 , ? 4 均为 4 维列向


4.设 A 为 n 阶方阵, n 量,且已知行列式 (A) 5 ;
A ? 4

? 3

,且

R?A? ? n ? 2

,则 R ? A * ? ? 的特征值为
1 1 1 1 , , , 2 3 4 5

。 ,则行列式



B ?1

,则

A? B ?



(B) 4 ;

(C) 64 ;
? B? ? A
2

(D) 40 。
2

5.若四阶矩阵
2

A



B

相似,矩阵

A

2.设 A , B 为 n 阶方阵,则 ? A (A) A
? E

? 2 AB ? B

的充分必要条件是(
? BA


? B

B

?1

? E ?



装 订 线



(B) A

? O

或B

?O



(C) AB


? 0

(D) A



三、计算与证明(共 70 分)
1 ?1 ?1 a ?1 ?1 1 a ?1 1 1 a ?1 ?1 ?1 ?1

3.设 A 是 n 阶方阵,其 A 的秩 R ? A ? ? 解向量,则( (A) ? 1 )为 Ax
? 0

n?3

,且 ? 1 , ? 2 , ? 3 是 Ax

的三个线性无关的 1. 分)计算行列式 (6

1 1

的基础解系。 (B) ? 2 (D) ? 1
? ? 1 ,? 3 ? ? 2 ,? 1 ? ? 3

? ? 2 ,? 2 ? ? 3 ,? 3 ? ? 1 ;
??1, 1 2



a ?1

(C) 2 ? 2

? 3 ? ? 2 ,? 1 ? ? 3 ;

? ? 2 ? ? 3 , ? 3 ? ? 2 , ? ? 1 ? 2? 3 。

4.设 A 是 n 阶方阵, ? 1 , ? 2 是 A 的特征值, ? 1 , ? 2 是 A 的分别对应于 ? 1 , ? 2 的特征向量, 则( (A) ? 1 (C) ? 1 )
? ? 2 时, ? 1 , ? 2 一定线性相关;(B) ? 1 ? ? 2 时, ? 1 , ? 2 一定线性无关; ? ? 2 时, ? 1 , ? 2 一定线性相关;(D) ? 1 ? ? 2 时, ? 1 , ? 2 一定线性无关。
A ? 0

5.设 A 是四阶方阵, A 的行列式 (A)必有一列元素全为零;

,那么 A 中(



(B)必有一个列向量是其余列向量的线性组合;

(C)必有两列元素对应成比例; (D)任意一个列向量是其余列向量的线性组合。

山东建筑大学试卷
2 页 2.(8 分)设矩阵
?1 ? ?1 A ? ?0 ? ?0 ? ?0 4 3 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 1 5 0 0? ? 0? 0? ? 0? ? 8?
?1 ? ,B ? ?2 ?1 ? 0 0 1 2 1 0 3 2 0 0? ? 0? 1? ?



4 页



3. 分) (6 已知 n 阶矩阵满足关系式 2 A ? A

? E?? A

3

, 证明:E

? A

可逆, 并求 ? E

? A?

?1



求 A ? 1 ,及 A ? 1 B T 4.(10 分)设 3 维向量
?1
?1 ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? ? ? ? ,? ? ? ? 1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? 1 ? ? ?

2

,? 3

? 1 ? ? ? ? ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ?

? 0 ? ,? ? ? ? ??2 ?

? ? ? ? ?

问:当 ? 取何值时 (1) ? 可由 ? 1 , ? 2 , ? 3 线性表示,且表示惟一? (2) ? 可由 ? 1 , ? 2 , ? 3 线性表示,但表示不惟一?

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5. (14 分)已知 A , B 为 4 阶方阵,若满足方程 AB
A ? E ? A ? 2E ? 0,
? 2B ? O

共 , R ?B ? ?
2

4 页

第 3 页

(10 分)设 ? 是非齐次线性方程组 AX ,且行列式 6.

? b

的解, ? 1 , ? 2 , ? , ? s 是其对应的齐次线性

··································· ···································· ···································· ································ ································· ·································

方程组的基础解系。证明 ? , ? 1 , ? 2 , ? , ? s 线性无关。

(1)求 A 的特征值; (2)证明 A 可对角化; (3)计算行列式
A ? 3E



装 订 线

山东建筑大学试卷



4 页

第4 页

7. (16 分)设 f ? x 1 , x 2 , x 3 ? ? 可化为标准型
f ? y2 ? 2 y3
2 2

x 1 ? x 2 ? x 3 ? 2 ax 1 x 2 ? 2 x 1 x 3 ? 2 bx 2 x 3
2 2 2

经正交变换 X

? PY



(1)求常数 a , b ; (2)求出该正交变换所用的正交矩阵 P 。



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