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1-2-2-1函数的表示法精品教案


1.已知 f(x)是一次函数,2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则 f(x)=( A.3x+2 B.3x-2 C.2x+3 D.2x-3 解析:设 f(x)=kx+b(k≠0), ∵2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,
?k-b=5, ?k=3, ? ? ∴? ∴? ∴f(x)=3x-2. ?k+b=1, ?b=-2, ? ?

)

答案:B 1-x2 1 2.若 f(1-2x)= 2 (x≠0),那么 f( )等于( x 2 A.1 B.3 C.15 D.30 1-t 解析:解法一:令 1-2x=t,则 x= (t≠1), 2 ∴f(t)= 4 -1, ?t-1?2 )

1 ∴f( )=16-1=15. 2 1 1 解法二:令 1-2x= ,得 x= , 2 4 1?2 1-? 4? ? 1 1 ? ∴f? ?2?=f(1-2×4)= ?1?2 =15. ?4? 答案:C 3.一个面积为 100 cm2 的等腰梯形,上底长为 x cm,下底长为上底长的 3 倍,则把它 的高 y 表示成 x 的函数为( A.y=50x(x>0) 50 C.y= (x>0) x 解析:由梯形面积公式得 1 (x+3x)· y=100 2 ∴xy=50, 50 ∴y= (x>0). x 答案:C 4.设二次函数 f(x)满足 f(2+x)=f(2-x),对于 x∈R 恒成立,且 f(x)=0 的两个实数根 ) B.y=100x(x>0) 100 D.y= (x>0) x

的平方和为 10,f(x)的图象过点(0,3),求 f(x)的解析式. 解析:∵f(2+x)=f(2-x), ∴f(x)的图象关于直线 x=2 对称. 于是,设 f(x)=a(x-2)2+k(a≠0), 则由 f(0)=3,可得 k=3-4a, ∴f(x)=a(x-2)2+3-4a =ax2-4ax+3. ∵ax2-4ax+3=0 的两实数根的平方和为 10, 6 2 2 ∴10=x1 +x2 2=(x1+x2) -2x1x2=16- , a ∴a=1,∴f(x)=x2-4x+3.

题组一(基础巩固) a 1.函数 y=ax2+a 与 y= (a≠0)在同一坐标系中的图象可能是( x )

解析:当 a>0 时,二次函数的图象开口向上,且与 y 轴交于(0,a)点,在 y 轴上方,反 比例函数的图象在第一、三象限,没有满足此条件的图象;当 a<0 时,二次函数的图象开 口向下,且与 y 轴交于(0,a)点,在 y 轴下方,反比例函数的图象在第二、四象限;综合来 看,只有选项 D 满足条件. 答案:D 2.已知函数 f(x)满足 2f(x)+f(-x)=3x+2,则 f(2)=( 16 A.- 3 16 C. 3 解析:因为 2f(x)+f(-x)=3x+2,① 所以 2f(-x)+f(x)=-3x+2,② 2 ①×2-②得 f(x)=3x+ . 3 2 20 所以 f(2)=3×2+ = . 3 3 答案:D 3.已知 f(x-1)=x2-2,则 f(2)=( A.6 ) B.2 20 B.- 3 20 D. 3 )

C.7 解析:f(2)=f(3-1)=32-2=9-2=7. 答案:C

D.9

1 1 4.已知 x≠0 时,函数 f(x)满足 f(x- )=x2+ 2,则 f(x)的表达式为( x x 1 A.f(x)=x+ (x≠0) x B.f(x)=x2+2(x≠0) C.f(x)=x2(x≠0) 1 D.f(x)=(x- )2(x≠0) x 1 1 1 解析:f(x- )=x2+ 2=(x- )2+2, x x x ∴f(x)=x2+2(x≠0). 答案:B

)

5. 已知函数 f(x)对任意实数 a, b 都满足: f(a+b)=f(a)+f(b), 且 f(2)=3, 则 f(3)=________. 解析:∵f(2)=f(1)+f(1)=2f(1)=3, 3 ∴f(1)= , 2 3 9 9 ∴f(3)=3f(1)=3× = 或 f(3)=f(2)+f(1)= . 2 2 2 9 答案: 2 6.已知函数 f(2x+1)=3x+2,且 f(a)=4,则 a=________. 3 1 3 1 3 1 解析:因为 f(2x+1)= (2x+1)+ ,所以 f(a)= a+ .又 f(a)=4,所以 a+ =4,则 a 2 2 2 2 2 2 7 = . 3 7 答案: 3 7.已知 f(x)是一次函数,且 f(f(x))=4x+3,求 f(x)的解析式. 解析:设 f(x)=ax+b(a≠0), ∴f(f(x))=af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b. ∴a2x+ab+b=4x+3.
?a2=4, ?a=2, ?a=-2, ? ? ? ∴? ∴? 或? ? ? ? ?ab+b=3. ?b=1, ?b=-3.

∴f(x)=2x+1 或 f(x)=-2x-3. 8.已知函数 f(x)是二次函数,且它的图象过点(0,2), f(3)=14,f(- 2)=8+5 2,求 f(x)

的解析式. 解析:设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则由题意,得

?c=2, ? ?9a+3b+c=14, ? ?2a- 2b+c=8+5 2,
所以 f(x)=3x2-5x+2. 题组二(能力提升)

c=2, ? ? 解得?a=3, ? ?b=-5.

9.对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d),规定(a,b)=(c,d),当且仅当 a=c,b=d; 运算“?”为(a,b)?(c,d)=(ac-bd,bc+ad);运算“⊕”为:(a,b)⊕(c,d)=(a+c,b +d).设 p,q∈R,若(1,2)?(p,q)=(5,0),则(1,2)⊕(p,q)=( A.(4,0) C.(0,2) 解析:由题设可知:
? ? ?p-2q=5. ?p=1, ? 解得? ? ? ?2p+q=0, ?q=-2,

)

B.(2,0) D.(0,-4)

∴(1,2)⊕(p,q)=(1+p,2+q)=(2,0). 答案:B 10.已知函数 f(x)满足 f(x)+2f(3-x)=x2,则 f(x)的解析式为( A.f(x)=x2-12x+18 1 B.f(x)= x2-4x+6 3 C.f(x)=6x+9 D.f(x)=2x+3 解析:用 3-x 代替原方程中的 x 得 f(3-x)+2f[3-(3-x)]=f(3-x)+2f(x)=(3-x)2=x2 -6x+9,
2 ? ?f?x?+2f?3-x?=x ? ∴ 2 ?f?3-x?+2f?x?=x -6x+9 ?

)

① ②

①-②×2 得-3f(x)=-x2+12x-18, 1 ∴f(x)= x2-4x+6. 3 答案:B 11.已知函数 f(x)=x2+2x+a,f(bx)=9x2-6x+2,其中 x∈R,a,b 为常数,则方程 f(ax+b)=0 的解集为________. 解析:f(bx)=(bx)2+2bx+a=b2x2+2bx+a=9x2-6x+2,

b =9, ? ? ∴?2b=-6, ? ?a=2,

2

?a=2, ? 解得? ? ?b=-3,

∴f(ax+b)=f(2x-3)=4x2-8x+5 ∵Δ=64-4×4×5=-16<0, ∴方程 f(ax+b)=0 的解集为?. 答案:? 12.画出函数 f(x)=-x2+2x+3 的图象,并根据图象回答下列问题: (1)比较 f(0)、f(1)、f(3)的大小; (2)若 x1<x2<1,比较 f(x1)与 f(x2)的大小; (3)求函数 f(x)的值域. 解析:因为函数 f(x)=-x2+2x+3 的定义域为 R,列表: x y ? ? -2 -5 -1 0 0 3 1 4 2 3 3 0 4 -5 ? ?

连线,描点,得函数图象如图:

(1)根据图象,容易发现 f(0)=3,f(1)=4,f(3)=0, 所以 f(3)<f(0)<f(1). (2)根据图象,容易发现当 x1<x2<1 时,有 f(x1)<f(x2). (3)根据图象,可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点,开口向下的抛物线,因此,函数 的值域为(-∞,4]. 题组三(探究拓展) 13.已知二次函数 f(x)=ax2+bx(a,b 为常数,且 a≠0)满足条件:f(x-1)=f(3-x)且方 程 f(x)=2x 有等根. (1)求 f(x)的解析式; (2)是否存在实数 m,n(m<n),使 f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n].如果存在, 求出 m,n 的值;如果不存在,请说明理由. 解析:(1)∵二次函数 f(x)=ax2+bx(a,b 为常数,且 a≠0)与方程 f(x)=2x 有等根,即方 程 ax2+bx-2x=0 有等根, ∴Δ=(b-2)2=0,得 b=2.

b 由 f(x-1)=f(3-x),知此函数图象的对称轴方程为 x=- =1,得 a=-1, 2a 故 f(x)=-x2+2x. (2)∵f(x)=-(x-1)2+1≤1, 1 ∴4n≤1,即 n≤ . 4 而抛物线 y=-x2+2x 的对称轴为 x=1,
?f?m?=4m, ? ∴若满足题设条件的 m,n 存在,则? ?f?n?=4n, ? ?-m2+2m=4m, ?m=0或m=-2, ? ? 1 即? 2 ?? 又 m<n≤ , 4 ? ? ?-n +2n=4n ?n=0或n=-2,

∴m=-2,n=0,这时,定义域为[-2,0],值域为[-8,0]. 由以上知满足条件的 m,n 存在,m=-2,n=0.



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