9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学竞赛专题讲座---不等式与函数性质的综合应用(1)



不等式与函数性质的综合应用
数学竞赛中我们经常遇到这类不等式:函数 f(x)在(a,b)连续,x1,x2,x3 ? (a,b),且 x1+x2+x3 为定值, 求或证明 f(x1)+f(x2)+f(x3)的最值。本文将举例给出解决此类问题的方法。首先我们建立以下三个定理。 定理 1 若连续函数 f(x)在(a,b)上下凸,对任意 x0 ? (a,b),不等式 f ( x

) ? f ?( x0 )(x ? x0 ) ? f ( x0 ) 成立;若连续函数 f(x)在(a,b)上上凸,给定的对任意 x0 ? (a,b),不等式 f ( x) ? f ?( x0 )(x ? x0 ) ? f ( x0 ) 成立。 定理 1 的几何意义为:设 M(x0,y0)为函数 f(x)图像上任意一点,若连续函数 f(x)在(a,b)上下凸,则 除切点外,函数 f(x)的图像一定在点 M(x0,y0)处的切线(如果存在切线)上方;若连续函数 f(x)在(a,b) 上上凸,则除切点外,函数 f(x)的图像一定在点 M(x0,y0)处的切线(如果存在切线)下方。 定理 2 对任意 (m, n) ? (a, b) ,若连续函数 f(x)在(a,b)上下凸,当 x ? (m, n) 时,不等式

f ( n ) ? f ( m) ( x ? m) ? f (m) 成立;若连续函数 f(x)在(a,b)上上凸,当 x ? (m, n) 时,不等式 n?m f ( n ) ? f ( m) f ( x) ? ( x ? m) ? f (m) 成立。 n?m f ( x) ?
定理 2 的几何意义为:若连续函数 f(x)在(a,b)上下凸,函数 f(x)的图像夹在点 M,N 之间的部分在 过这两点的弦的下方;若连续函数 f(x)在(a,b)上上凸,函数 f(x)的图像夹在点 M,N 之间的部分在过这 两点的弦的上方。 定理 3 函数 f(x)在(a,b)上连续,给定的 x0 ? (a,b),若对任意 x ? (a,b),不等式

f ( x) ? f ?( x0 )(x ? x0 ) ? f ( x0 ) 成立,则当 x1,x2 ? (a,b),且 x1+x2=2x0 时,f(x1)+f(x2)≥2f(x0)成立;若
对任意 x ? (a,b),不等式 f ( x) ? f ?( x0 )(x ? x0 ) ? f ( x0 ) 成立,则当 x1,x2 ? (a,b),且 x1+x2=2x0 时, f(x1)+f(x2)≤2f(x0)成立。 定理 3 容易推广到 n 个变量的情况。 利用函数极限的性质与导数的定义,凸函数的定义不难证明这三个定理,本文从略。定理 1,2 实质 是“化曲为直” ,利用切线或弦估计函数 f(x)的情况。 例 1 已知 a ? b ? c ? 1, a, b, c ? R ? ,求证: (1 ? a ) ? (1 ? b ) ? (1 ? c ) ?
2 2 2 2 2 2 3 2 2 证:记 f ( x) ? (1 ? x ) ,(0 ? x ? 1) ,则 f ?( x) ? 4 x ? 4 x, f ?( ) ? ?

64 27

1 3

32 , 27

(1 ? x 2 ) 2 ? ?
式恒成立。

32 1 64 (x ? ) ? ? 27(1 ? x 2 ) 2 ? 32(1 ? x) ? (3x ?1)2 (1 ? x)(3x ? 5) ? 0 而 0 ? x ? 1 ,故上 27 3 81 32 64 64 (a ? b ? c ? 1) ? ? ,等号再 a=b=c 是成立。 27 27 27

从而 f (a) ? f (b) ? f (c) ? ?

例 2 已知 x,y,z 是正实数,且 x+y+z=1,求证:

3 x 2 ? x 3 y 2 ? y 3z 2 ? z ? ? ?0 1? x2 1? y2 1? z2

(2003 湖南省
1

高中数学竞赛试题) 证: f ( x) ? 记

1 9 3x 2 ? x x 2 ? 6x ? 1 / 1 (0<x<1) 则 f(x)的导函数为 f / ( x) ? , , x ? 时,f ( ) ? 当 , 2 2 2 3 3 10 1? x ( x ? 1)

所以 f(x)在 x ?

1 9 1 3x 2 ? x 9 x 3 ( x ? ) ,下证:当 0<x<1 时,不等式 ? 处的切线方程为: y ? ? 3 10 3 10 10 1? x2

事实上, 0<x<1 时, 3x ? 1) 2 ( x ? 3) ? 0 成立, 10(3x 2 ? x) ? (1 ? x 2 )(9 x ? 3) 成立, 当 故 所以当 0<x<1 (

3x 2 ? x 9 x 3 ? 成立。 时,不等式 ? 10 10 1? x2
由定理 3 知:

3x 2 ? x 3 y 2 ? y 3z 2 ? z 9 9 当且仅当 x ? y ? z 时取等号。 ? ? ? ( x ? y ? z) ? ? 0 , 2 2 2 10 10 1? x 1? y 1? z

说明:(1)对给定的 x0,若 f ( x) ? f ( x0 ) ? (?) f ?( x0 )(x ? x0 ) 在(a,b)上成立,f(x)在(a,b)上并不一 定下凸(或上凸);(2)x0 的选择可视原不等式成立的条件而定。 例 3 已知 a,b,c>0,证明:

a b c 9 2a 2b 2c ? ? ? ?( ? ? ) b?c a?c b?a 2 b?c a?c b?a

证:不仿 a+b+c=3,a,b,c,>0,则原不等式等价于

a b c 2a 2b 2c 9 ? ? ? ? ? ? . 3? a 3?b 3?c 3? a 3?b 3?c 2
记 f ( x) ?

x 2x 3 ? (0<x<3)在 x=1 处的切线为 y ? x ,下证:当 0<x<3 时, 2 3? x 3? x


x 2x 3x . ? ? 3? x 3? x 2
事实上,当 3 ? x ?

2x x 2x 3x 3x x x (7 ? 3 x ) 7 ? 0, ? ? ? ? ? 0 ,故 时, , 3 3? x 2 3? x 2(3 ? x) 3? x 3? x 2

当0 ? x ?

x 2x 3x 7 ? ? ? ( x ? 1) 2 (3x ? 8) ? 0 ,从而当 0<x<3 时,不等式①成立,由定理 时, 3 3? x 3? x 2

3 知:

a b c 2a 2b 2c 3 9 ? ? ? ? ? ? (a ? b ? c) ? ,等号在 a=b=c=1 时取到。 3? a 3?b 3?c 3? a 3?b 3?c 2 2

说明:将本题的结论稍作变形,即可得出另一优美的不等式。

(

a 1 2 b 1 2 c 1 2 ,此不等式与本例的不等式 ? ) ?( ? ) ?( ? ) ? 6 (a,b,c? R ? ) b?c c?a a?b 2 2 2
2

均出自《中等数学》数学奥林匹克问题栏目。 例 4 正实数 a,b,c 满足 a +b +c =1.求: 题,1989) 解:令 x=a ,y=b ,z=c ,则原题等价于正实数 x,y,z 满足 x+y+z=1.求:
2 2 2 2 2 2

a b c ? ? 的最小值.(加拿大国家集训队训练 2 2 1? a 1? b 1? c2

y x z 的最小值. ? ? 1? x 1? y 1? z

记 函数 f ( x) ?

1 x 3 3 1 3 ( 0<x<1 )在 x ? 处 的切 线方 程为 y ? , 下 证: 0<x<1 时, (x ? ) ? 3 1? x 2 3 2


x 3 3 1 3 ? (x ? ) ? 1? x 2 3 2
事实上,当 0<x<1 时,

x 3 3 1 3 ? (x ? ) ? ? (3x ? 1) 2 (3x ? 4) ? 0 ,从而不等式②成立,由 1? x 2 3 2

定理 3 知:

y a b c x z 3 3 3 3 3 3 ? ? ,即 的最小 ? ? ? ( x ? y ? z ? 1) ? ? 2 2 1? a 1? b 1? c2 1? x 1? y 1? z 2 2 2

值为

3 3 ,当且仅当 a ? b ? c 时取等号。 2
例 5 已知 ? , ? , ? 均为锐角, sin3 ? ? sin3 ? ? sin3 ? ? 1 , 且 求证:tan ? ? tan ? ? tan ? ?
2 2 2

3 3 9 ?1

证明:令 x ? sin

3

? , y ? sin3 ? , z ? sin3 ? ,则 x ? y ? z ? 1 ,于是
2 2 2

x3 y3 z3 sin 2 ? sin 2 ? sin 2 ? ? ? ? tan 2 ? ? tan 2 ? ? tan 2 ? ? ? ? 2 2 2 1 ? sin 2 ? 1 ? sin 2 ? 1 ? sin 2 ? 1? x3 1? y 3 1? z 3
记 f ( x) ?
3

x2
3 2

1? x

(0 ? x ? 1) ,则 f ?( x) ?

2 3 x (1 ? 3 x 2 )2
3



1 x 2 1 9 , ? (x ? ) ? 现考虑 3 2 3 1 1 1 1? x 3 3 (1 ? 3 ) 2 1? 3 3 9 9
3 2 3



为方便,记 p ?

3

x, q ?

3

1 , 3

p2 2 q2 3 3 则① ? ? (p ?q )? ? ( p ? q)2 (1 ? q2 )[2 p3 ? 4 p2q ? (3q2 ?1)(2 p ? q)] ? 0 2 2 2 2 1? p 3q(1 ? q ) 1? q
因为 3q2 ?1 ? 3 3 ?1 ? 0, 2 p ? q ? 0, 2 p3 ? 4 p2q ? 0,1 ? q2 ? 0,( p ? q)2 ? 0 ,所以①式成立。从而

3

1 9 ? 3 ,即 ? ? ? ( x ? y ? z ? 1) ? 1 3 9 ?1 1 ? 3 x 2 1 ? 3 y 2 1 ? 3 z 2 3 3 1 (1 ? 3 1 ) 2 1? 3 3 9 9
3

x2

3

y2

3

z2

2

33

tan 2 ? ? tan 2 ? ? tan 2 ? ?

3

3 成立。 9 ?1

例 6 已知 a ? b ? c ?

1 a b c , a, b, c ? R ? ,求 的最大值。 ? ? 2 4a ? 1 4b ? 1 4c ? 1

解:记 f ( x) ?

x 1 1? 4x 48 x 2 ? 24 x ? 1 , , (0 ? x ? ) ,则 f ?( x) ? , f ??( x) ? 4x ?1 2 2 x (4 x ? 1)2 4 x3 (4 x ? 1)3 x 3 6 1 6 恒成立; ? (x ? ) ? 4 x ? 1 50 6 10

所以当 x ? (0, ] 时, f ??( x) ? 0, f ( x) 上凸,

1 4

当 x ? [ , ) 时, f ?( x) ? 0,

1 1 4 2 1 2

x 1 3 6 1 6 恒成立, ? f ( x) ? f ( ) ? (x ? ) ? 4x ?1 4 50 6 10

即当 x ? (0, ) 时,

x 3 6 1 6 恒成立。 ? (x ? ) ? 4 x ? 1 50 6 10 3 6 1 3 6 3 6 ,等号再 a=b=c 是成立。 (a ? b ? c ? ) ? ? 50 2 10 10

从而 f (a) ? f (b) ? f (c) ? ?

例 7 设 a,b,c 为正实数,证明:

a b c ? ? ?2 b?c c?a a?b a b c ? ? ?2 3?a 3?b 3?c

证:由于齐次性,不妨设 a+b+c=3,则问题等价于

f ( x) ?

2 3 2x x ( 0<x<3) 在 x ? 1.5 处 的切线 方程 为: y ? ( x ? ) ? 1 ? , 易证 当 0<x<3 时 , 3 2 3 3? x

x 2 ? x ,③ 3? x 3
事 实 上 , 当 0<x<3 时 ,

x 2 ? x ? (2 x ? 3) 2 ? 0 , 从 而 不 等 式 ③ 成 立 。 由 定 理 3 知 : 3? x 3

a b c 2 ? ? ? (a ? b ? c) ? 2 ,但等号不能取到。 b?c c?a a?b 3

4

5 a2 b2 c2 25 例 8 已知 a,b,c 为直角或钝角三角形三边,求证: ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 2 3 b ?c 10 c ?a a ?b
证:不仿 a≤b<c,a +b +c =3,由于已知 a,b,c 为直角或钝角三角形三边,故 3=a +b +c ≤2c ,c ≥ 又 a+b>c>0,故 2(a +b )≥(a+b) >c ,从而 3=a +b +c 〉 (1) 记函数 f ( x) ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 , 2

3 2 2 3 3 2 2 2 c ,c <2,总之 ≤c <2,1<a +b ≤ 。 2 2 2

x 6 3 (0<x<3), f ?( x) ? 则 ,f ??( x) ? , 0<x<3 时,f ??( x) ? 0 , 当 2 3? x (3 ? x) 3 (3 ? x)

a2 ? b2 2( ) a2 b2 x 6 ? 2c 2 2 ? ? ? 从而函数 f ( x) ? 在(0,3)上下凸,所以 , 3? x 3 ? c2 3 ? a2 3 ? b2 a2 ? b2 3? 2


6 ? 2c 2 c2 3c 4 ? 9c 2 ? 18 a2 b2 c2 ? 2 ? 2 ? ? ? . b2 ? c2 c ? a2 a ? b2 3 ? c2 3 ? c2 9 ? c4
由于 g (c ) ?
2

5 3c 4 ? 9c 2 ? 18 2 在 [1.5,2) 上是增函数,所以 g (c ) ? g (1.5) ? , 4 3 9?c

3 3 a2 b2 c2 5 ? 2 ? 2 ? ,等号当且仅当 a2=b2= ,c2= 时取到. 故 2 2 2 2 4 2 3 b ?c c ?a a ?b
(2) 设 a +b =k,则 c =3-k,1<k≤1.5,由定理 2 知:当 x ? (0,k)时,曲线全在直线 y=
2 2 2

x 的下方, 3?k

所以

a2 b2 k a2 b2 c2 k 3? k 9 ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? ?2 ? ? 2.5 ,从而 2 2 2 2 2 2 3?k 3?k k 3? a 3?b b ?c c ?a a ?b 3k ? k 2

由(1)(2)本例不等式得证。 说明:三个变量时,一次放缩不便时,可先考虑对两个变量的情况,这样做即起减元之用,又起调节 放缩差距之用。 例 9 已知 0≤x,y,z≤1,且 x+y+z=1,求证: 2 ?

1? x 1? y 1? z 2 ? ? ? ?1. 1? x 1? y 1? z 3
1 3

证:记 f ( x) ?

? ? 1? x (0 ? x ? 1) ,易知: f ?( x) ? ?(1 ? x) 2 (1 ? x) 2 ; 1? x
3 5

? ? 1 f ??( x) ? ? (1 ? x) 2 (1 ? x) 2 (4 x ? 2) . 2

(1) f ?(0) ? ?1 ,所以 f(x)在 x=0 处的切线为:y=-x+1,而

1? x ? ? x ? 1 在 0≤x≤1 上恒成立,所 1? x
5



1? x 1? y 1? z ? ? ? ?( x ? y ? z) ? 3 ? 2 ,等号在 x=y=0,z=1 时取到。 1? x 1? y 1? z
(2) 当 0 ? x ?

1 1 1 1 3 时,f(x)下凹,当 ? x ? 1 时,f(x)上凸,过(0,1),( , )的曲线在 0 ? x ? 2 2 2 2 3

段的弦为 y ?

1 4 3 5 3 2 3 ?6 ,由函数凸性的几何意义知: x? x ? 1 ,f(x)在 x= 处的切线为: y ? ? 2 9 9 3

当0 ? x ?

1 1 1? x 2 3 ? 6 时,f(x)下凹, ? x ? 1恒成立;当 ? x ? 1 时,f(x)上凸, 2 2 1? x 3

1? x 4 3 5 3 恒成立。由于 x+y+z=1 及对称性,不妨 x≤y≤z。 ?? x? 1? x 9 9
1 1 ,则 y=z= ,x=0,不等式右边成立; 2 2 1 1 1 1 ② 若 x,y,z 中有仅个数不小于 ,则 z≥ ,设 z=t,x+y=1-t,t≥ ,x,y≤ , 2 2 2 2
① 若 x,y,z 中有两个数不小于 所以

1? x 1? y 1? z 2 3 ? 6 4 3 5 3 ? ? ? ( x ? y ) ? 2 ? (? t? ) 1? x 1? y 1? z 3 9 9

?

2 3 ?6 4 3 5 3 2 3 5 3 18 ? 10 3 (1 ? t ) ? 2 ? (? t? )? ? ?( )t 恒成立, 3 9 9 3 9 9
记 g (t ) ?

2 3 5 3 18 ? 10 3 ? ?( )t 3 9 9

2 1 ? 1 ,所以不等式右边成 ( ? t ? 1) ,g(t)的最小值为 2 3

立; ③若 x,y,z 都不大于

1 1? x 1? y 1? z 2 3 ? 6 2 3 ,则所以 ? ? ? ( x ? y ? z) ? 3 ? ? 1 ,等 2 1? x 1? y 1? z 3 3

号在 x=0,y=z=

1 时取到,所以不等式右边成立。综合①②③知:不等式右边成立。 2

例 10 设 a,b,c 为正实数,证明:

(b ? c) 2 ( a ? c) 2 (a ? b) 2 ? 2 ? 2 ?2 2a 2 ? (b ? c) 2 2b ? (a ? c) 2 2c ? (b ? a) 2

(3 ? a) 2 (3 ? b) 2 (3 ? c) 2 证:不仿设 a+b+c=3,从而原不等式可化为 ? ? ?2 2a 2 ? (3 ? a) 2 2b 2 ? (3 ? b) 2 2c 2 ? (3 ? c) 2
记函数 f ( x) ?

2x 4 3 (3 ? x) 2 ? ,因为当 0<x ? 时, (0<x<3)在 x ? 1 处的切线方程为 y ? ? 2 2 3 3 2 2 x ? (3 ? x) 2x 4 (3 ? x) 2 ? 成立。 ?? 2 2 3 3 2 x ? (3 ? x)
6

( x ? 1) 2 (2x ? 3) ? 0 成立,故 (3 ? x) 2 ? ( x 2 ? 2x ? 3)(?2x ? 4) ,所以

由于 a,b,c 为正数,且 a+b+c=3,故最多只有一个变量不小于

3 。 2

(1) 当 a,b,c 均小于

3 (3 ? a) 2 (3 ? b) 2 (3 ? c) 2 2 时, 2 ? 2 ? 2 ? ? ( a ? b ? c) ? 4 ? 2 2 2 2 2 3 2a ? (3 ? a) 2b ? (3 ? b) 2c ? (3 ? c)

当且仅当 a ? b ? c ? 1时取等号。 (2)当 a,b,c 中有变量不小于

3 3 3 时,不妨 a≥ ,记 b+c=2t,a=3-2t,则 0 ? t ? 。下证:对任意 2 2 4

t ? (0, ] ,不等式 f ( x) ? f ?(t )(x ? t ) ? f (t ) 在 x ? (0,1.5]时成立。 事实上,不等式 f ( x) ? f ?(t )(x ? t ) ? f (t ) ?

3 4

(3 ? x) 2 4t 2 ? 12t ? 2 (x ? t) 2 x 2 ? (3 ? x) 2 3(t ? 2t ? 3) 2
3 2 2 2 ,所以 6tx+3t -2xt -9<0,而(x-t) ≥0,从而 4

? (x-t)2(6tx+3t2-2xt2-9)≤0,由于 0<x≤1.5, 0 ? t ?
3 4

对任意 t ? (0, ] ,不等式 f ( x) ? f ?(t )(x ? t ) ? f (t ) 在 x ? (0,1.5]时成立。于是有定理 3 知:

(3 ? b) 2 (3 ? c) 2 ? 2 ? 2b 2 ? (3 ? b) 2 2c ? (3 ? c) 2

b?c 2 ) 2(3 ? t ) 2 2 = ,由于 b?c 2 b ? c 2 3(t 2 ? 2t ? 3) 2( ) ? (3 ? ) 2 2 2(3 ?

4t 2 (3 ? a) 2 4t 2 (3 ? t ) 2 4t 2 4t 2 ,2 ? , , ? ? 2 ? 3(a 2 ? 2a ? 3) 3(4t 2 ? 8t ? 6) 3(t 2 ? 2t ? 3) 3(t ? 2t ? 3) 3(4t 2 ? 8t ? 6) 3(t 2 ? 2t ? 3)


(3 ? a) 2 (3 ? b) 2 (3 ? c) 2 ? ? ?2。 2a 2 ? (3 ? a) 2 2b 2 ? (3 ? b) 2 2c 2 ? (3 ? c) 2
综合(1),(2)知:不等式

(b ? c) 2 ( a ? c) 2 (a ? b) 2 ? 2 ? 2 ? 2 成立,当且仅 2a 2 ? (b ? c) 2 2b ? (a ? c) 2 2c ? (b ? a) 2

当 a ? b ? c ? 1时取等号。

x2 y2 z2 例 11 设正数 a,b,c,x,y,z 满足 cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c,求函数 f(x,y,z)= 的 ? ? 1? x 1? y 1? z
最小值。 (2005 全国高中数学联赛,二试第二题) 解:由条件易得: x ?

b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 a2 ? b2 ? c2 ,y? ,z ? ,由于 a,b,c,x,y,z 均 2bc 2ac 2ab
2 2 2 2 2 2

为正数,所以 b ? c ? a , a ? c ? b , a ? b ? c ,故以 a,b,c 为边长可构成锐角三角形。
2 2 2

设 x=cosA,y=cosB,z=cosC,A+B+C= ? ,且不妨 0<A≤B≤C<

? ? ,则 B,C 都不小于 。 2 4

令 g(t)=

? cos2 t ? sin t (cos2 t ? 2 cost ) / ( >t>0),则 g(t)的导函数为 g (t)= , 1 ? cost 2 (1 ? cost ) 2
7

g ??(t ) ?

? ? ? ? (?5 cos4 t ? 11cos3 t ? 8 cost ? 2) ,易知当 t ? [ , ] 时, g ??(t ) ? 0 ,即函数 g(t)在 t ? [ , ] 3 4 2 4 2 (1 ? cost )
2 2

C?B A ) 2 sin 2 cos C cos B 2 2 , 时下凸,所以 ? ? ? C?B A 1 ? cosC 1 ? cos B 1 ? cos( ) 1 ? sin 2 2 A 2 sin 2 2 2 2 2 cos C cos B cos A 2 ? cos A 从而 ? ? ? A 1 ? cos A 1 ? cosC 1 ? cos B 1 ? cos A 1 ? sin 2 A A 4 sin 4 ? 4 sin 2 ? 1 ? 1 1 A A A 1 2 2 ? .等号可在 A=B=C= ,即 x=y=z= ? ? 2tg 2 (sin 2 ? sin ) ? A A 2 2 3 2 2 2 2 cos2 2 cos2 2 2 1 时取到,所以函数 f(x,y,z)的最小值为 . 2 2 cos2 (

8



更多相关文章:
高中数学竞赛专题讲座函数的基本性质
高中数学竞赛专题讲座函数的基本性质_学科竞赛_高中教育_教育专区。基础知识: ...a(1-x1)(1-x2)>1 f(0)=ax1x2>1 由基本不等式 x1(1-x1)x2(1-x...
高中数学竞赛专题讲座:集合与函数
高中数学竞赛专题讲座:集合与函数_高一数学_数学...1, x2 > 1 则 的取值范围是 a 1 1 1 A. ...(2006 年上海)对于任意实数 a,b,不等式 max a ...
高中数学竞赛专题讲座函数的基本性质
高中数学竞赛专题讲座函数的基本性质高中数学竞赛专题讲座函数的基本性质隐藏>...基本不等式 x1(1-x1)x2(1-x2)≤[ 1 1 2 4 (x1+(1-x1)+x2+(1...
专题二十四:不等式综合应用(1)
高中数学竞赛专题讲座--... 8页 1下载券 2012届中考数学二轮专题... 10页 ...不等式综合应用(1) 专 题 江苏省 江苏省丰县中学 专题基础练习 不等式综合...
高中数学竞赛专题讲座——不等式(缺答案)
高中数学竞赛专题讲座之四一,选择题部分 1 . (2006 年浙江省预赛 ) 下列三数 ( )w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (A) 不等式 3 , log16 82, log 27 124...
高中数学竞赛_集合 函数 不等式 导数
高中数学竞赛_集合 函数 不等式 导数_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛专题二 集合 函数 不等式 导数 一 能力培养 1,函数与方程思想; 4,运算能力; 二...
...高中数学竞赛专题讲座---排序、均值、柯西不等式及...
R0019,高中数学竞赛专题讲座---排序、均值、柯西不等式及其应用(2) 隐藏>> 排序...则 a1b1 + a2b2 + L + an bn (同序) ai1b j1 + ai 2b j 2 +...
高中数学竞赛专题讲座---排序、均值、柯西不等式及其应...
高中数学竞赛专题讲座---排序、均值、柯西不等式及其应用(2)_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛专题讲座---排序、均值、柯西不等式及其应用(2) ...
高中数学竞赛专题讲座---数学归纳
高中数学竞赛专题讲座---数学归纳_高三数学_数学_高中...(一)数学归纳法的基本形式 (1)第一数学归纳法 设..., m ≥1时) ,不等式成立, 证: 对 m 用数学...
高中数学竞赛专题讲座---数学归纳法在高考及竞赛中的应用
高中数学竞赛专题讲座---数学归纳法在高考及竞赛中...(一)数学归纳法的基本形式 (1)第一数学归纳法 设...2m (对任意的 m ? N , m ? 1 时) ,不等式...
更多相关标签:
高中数学竞赛专题讲座    初中数学竞赛专题讲座    不等式的基本性质    不等式的性质    不等式的基本性质ppt    不等式性质    不等式的性质ppt    9.1.2不等式的性质ppt    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图