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复数的概念



? 复数的概念

4.1 复数的概念
知识回顾
2 ax ? bx ? c ? 0 对于实系数一元二次方程

?0 ,当 b2 ? 4ac 时, 没有实数根.我们能否将实数集进行扩充,使得在 新的数集中,该问题能得到圆满解决呢?

解决这一问题,其本质就是解决一个什么问题呢?

4.1 复数的概念
自然数 数 系 的 扩 充 整数 有理数 无理数

实数
复数

新授课

引入一个新数

i ,i 叫做虚数单位,并规定:

(1)它的平方等于-1,即

i

2

? ?1

(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时 ,原有的加、乘运算律仍然成立. 根据对虚数单位i的运算规定易知:

i ? 1, i
4n

4 n?1

? i, i

4 n? 2

? ?1, i

4 n ?3

? ?i

新授课

形如 a ? bi(a, b ? R) 的数,叫做复数. 全体复数所形成的集合叫做复数集,一般用字母C 表示 .
N Z Q R C

N Z RQ

C

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实部

虚部

复数的表示: 通常用字母 z 表示,即 z ? a ? bi(a, b ? R) 当 b ? 0 时,z 是实数a. 复数 叫做纯虚数.

当 b ? 0时,z 叫做虚数. 当 a ? 0 且 b ? 0时,z ? bi

复数集C 虚数集I 实 数 集 R

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例1:实数m取什么值时,复数 z ? m ? 1 ? (m ? 1)i 是 (1)实数? (2)虚数? (3) 纯虚数? 解:(1)当 m ? 1 ? 0 ,即 m ? 1 时,复数z是实数. (2)当 m ? 1 ? 0,即 m ? 1 时,复数z是虚数. (3)当 m ? 1 ? 0 ,且 m ? 1 ? 0 ,即 m ? ?1 时, 复数z 是纯虚数.

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如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就 说这两个复数相等.即如果 a , b, c, d ? R ,那么

a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d
例2 已知 (2 x ? 1) ? i ? y ? (3 ? y )i ,其中 x, y ? R , 求 x与 y .

解:更具复数相等的定义,得方程组
?2 x ? 1 ? y ? ?1 ? ?( 3 ? y )
5 所以 x ? , y ? 4 2

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从复数相等的定义,我们知道,任何一个复数 z ? a ? bi ,都可以由一个有序的实数对 ( a, b) 唯一确定,;我 们还知道,有序的实数对 ( a, b)与平面直角坐标系中 的点是一一对应的。因此我们可以建立复数集与平面 直角坐标系中的点集之间的一一对应
如图,点Z的横坐标是a, 纵坐标是b,复数 z=a+bi可用Z(a,b) 表示。 这个建立了直角坐标 系来表示复数的平面 叫做复平面 y Z(a,b)

O

x

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x轴叫实轴,y轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数; 除了原点y,虚轴上的点都表示纯虚数。象限中的 点都表示非纯虚数。
y 按照这种表示方法, 每一个复数,有复平 Z(a,b) 面内唯一确定的点和 它对应;反过来,复 平面上的每一个点, 有唯一确定的复数和 它对应。即复数集C和 O x 复平面内的点所组成 的集合是一一对应的。 复数z=a+bi?复平面内的点Z(a,b)

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例3:课本P150 练习1,2 例4:实数m取什么值时,复数
(m2 ? 8m ? 15) ? (m2 ? 5m ? 14)i

对应的点 (1)位于第一、三象限? (2)位于第四象限?

练习

课后习题1,2,3
课堂小结

1.复数有关的概念,复数的代数表示形式; 2.复数相等的定义.
作业:

P 161

复习参考题四2,3,

自然数
自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。 古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数 。
英文calculate(计算)一词是从希腊文calculus (石卵)演变来的。中国古藉《易.系辞》中说: 「上 古结绳而治,后世圣人易之以书契。」 直至1889年,皮亚诺才建立自然数序数 理论。

整数
零不仅表示「无」,更是表示空位的符号。中国古代用
算筹计算数并进行运算时,空位不放算筹,虽无空 位记号, 但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度-阿拉伯 命数法中的零(zero)来自印度的(sunya )字,其原意也是 「空」或「空白」。 中国最早引进了负数。《九章算术.方程》中论述的「正 负数」,就是整数的加减法。减法的需要也促进 了负整数的 引入。减法运算可看作求解方程a+x=b,如果a,b是自然数, 则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解,就有必要把自 然数系扩大为整数系。

分 数
原始的分数概念来源于对量的分割。如《说 文·八部》对“分”的解释:“分,别也。从八从 刀,刀以分别物也。”但是,《九章算术》中的分

数是从除法运算引入的。其“合分术”有云:“实
如法而一。不满法者,以法命之。”这句话的今译 是:被除数除以除数。如果不能除尽,便定义了一 个分数。 古埃及人约于公元前17世纪已使用分数。

无理数
为表示各种几何量(例如长度、面积、体积)与物 理量(例如速率、力的大小),人类很早已发现有必要 2 引进无理数。约在公元前530,毕达哥拉斯学派已知道边 长为1的正方形的对角线的长度(即 )不能是有理数。 15世纪达芬奇(Leonardo da Vinci, 1452- 1519) 把它们称为是“无理的数”(irrational number),开 普勒(J. Kepler, 1571- 1630)称它们是“不可名状” 的数。 法国数学家柯西(A.Cauchy,1789- 1875)给出了回 答:无理数是有理数序列的极限。 由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数,人 们想到用“无限不循环小数”来定义无理数,这也是直 至19世纪中叶以前的实际做法。

实数
实数系的逻辑基础直到 19 世纪 70 年代才得以奠 定。从 19 世纪 20 年代肇始的数学分析严密化潮流,

使得数学 家们认识到必须建立严格的实数理论,尤
其是关于实数系的连续性的理论。在这方面,外尔 斯特拉斯(1859年 开始)、梅雷(1869)、戴德金 (1872)与康托尔(1872 )作出了杰出的贡献。

复数 从16世纪开始,解高于一次的方程的需要导致复
数概念的形式。用配方法解一元二次方程就会遇到负 数开 平方的问题。卡尔达诺在《大法》(1545)中 阐述一元三次方程解法时,发现难以避免复数。关于 复数及其代 数运算的几何表示,是18世纪末到19世 纪30年代由韦塞尔、阿尔根和高斯等人建立的。 哈密顿认真地研究了从实数扩张到复数的过程。 他于1843年提出了「四元数」的概念,其后不久,凯 莱又 用四元数的有序对定义了八元数。它们都被称 为「超复数」,如果舍弃更多的运算性质,超复数还 可扩张到十六元数、三十二元数等等。



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