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上海外国语大学附属外国语学校2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题



上海外国语大学附属中学高二年级数学期中试卷 2015/11/13 一、填空题(共 14 题,每题 3 分,共 42 分) 1、某礼堂有 20 排座位,第一排有 18 个座位,以后每排都比第一排多 2 个位置,这个礼堂共 能做 人. . .

2、已知向量 a ? ?x, y ?, b?-1 , 2? ,且 a ? b ? ?1,3? ,且 a ? 2b 等于

3、若数列 ?an ?的前 n 项和 Sn ? 4n2 ? 5 ,则通项 an = 4、循环小数 0.2 34 化为最简分数

??

a ,则 a ? b = b

.

5、向量 a ? sin ? , 3 , b ? ?1, cos? ?,其中 ? ? ? -

?

?

? ? ?? , ? ,则 a ? b 的范围是 ? 2 2?
.
?

.

? an ? 2n ? 1 ? 1 ? 6、若 lim ? 2 n ? ? ? = ,则 a ? b =
2

n??

?

bn ? 3

? 2

7、已知数列 ?an ?中, a1 ? ?16,3an ? 3an?1 ? 2 ( n ? N ) ,若 an an? 2 ? 0 ,则 n = 8、数列 ?an ?中, an ? 0, a1 ? 2 且 2an an?1 ? an?1 ? an ? 0 ( n ? N ),则 a15 =
?

. . .

9、数列 ?an ?中, a1 ? ?60, an?1 ? an ? 3 , n ? N ,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? a30 =
?

lim (a ? a ? a ? ? ? ? ? a ) ? 1 ,则 a 的取值范围 10 、若数列 ?an ? 为无穷等比数列,且 n 1 n ?? 1 2 3 7
是 .

11 、 如 图 , 已 知 正 △ A1 B1C1 的 边 长 是 1 , 面 积 是 P1 , 取 △ A1 B1C1 各 边 的 中 点

A2 , B2 , C2 , △A2 B2C2 的面积为 P2 ,再取 △A2 B2C2 的各边的中点 A3 , B3 , C3 , △A3 B3C3 的面
lim S = 积为 P 3 ,依此类推,记 Sn ? P 1?P 2 ? ??? ? P n ,则 n ?? n

12、已知数列 ?an ?的通项 an ?

2n ? 2015 ,则该数列中最大项是第 2n ? 2016

项.

13 、 知 数 列 ?an ? 的 通 项 an ? n (cos
2

2

n? n? ? sin 2 ) , n ? N ? , 其 前 n 项 和 为 Sn , 则 3 3

S 60 =

.

14、 记号 [ x ] 表示不大于 x 的最大整数, 数列 {an } 的通项 an ? 项和,则 [S2500 ] ? _______ 二、选择题(共 6 题,每题 3 分,共 18 分) 15、代数式 1+

1 (n ? N ? ) , Sn 为 {an } 的前 n n

1 1 1 + +…+ 的和等于 1+2 1+2+3 1+2+3+…+n n 2n ? 1
C. 2n n ?1





A.

2n 2n ? 1

B.

D.

2n n ?1

? 1 1 ? n ? 1000 ? ? n2 16、数列 {an } 中, an ? ? ,数列的极限值是( 2 n ? n ? 1001 ? ? n 2 ? 2n
A. 0 B. 1




C.

0或1

D. 不存在

17、下列命题中真命题是(

? ? ? ? A. 若 a 与 b 互为负向量,则 a+b ? 0 ? ? ? ? ? ? B. 若 a ? c ? b ? c ,则 a ? b ? ? ? ? C. 若 k 为实数且 ka ? 0 ,则 k ? 0或a ? 0

? ? ? ? ? D. 若 a ? b ,则 a 在 b 上的投影为 |a|
18、已知 |a|=3 , |b|=4 , (a ? b) ? (a ? 3b) ? 33 ,则 a 与 b 的夹角为(

?

?

? ?

?

?

?

?



A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6


19、等差数列 {an } 、 {bn } 中的前 n 项和分别为 Sn、Tn ,

Sn a10 2n ? ? ( ,则 Tn 3n ? 1 b10 n
D.

A.

20 31

B.

19 29

C.

17 28

16 27

20、已知数列 ?an ? 中 a1 ? 1 ,关于 x 的方程 x2 ? an?1 ? tan ? cos x ? ? ? 2an ? 1? ? tan1? 0 有唯一解,

设 bn ? nan ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,则 Sn ? (



A. 8143

B.

8152

C.

8146

D.

8149

三、解答题(共 5 题 40 分,6+8+8+8+10) 21、数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,且 值.
1 an ?1 3 ? 0 n ? N ? ,数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,求 lim Sn 的 n?? an

?

?

22、设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? 1, S n ? nan ? 2n(n ? 1)(n ? N * ) . (1)求证:数列 {an } 为等差数列,并求出其通项公式; (2)若 S1 ?

S S 2 S3 ? ? ? ? m ? 400 ,求正整数 m 的值; 2 3 m

23、 为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,某市计划用若干年时间更换一万辆燃油 型公交车.每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合动力型车 . 今年初投入了电力型公交车 120 辆,混合动力型公交车 300 辆,计划以后电力型车每年 的投入量比上一年增加 50%, 混合动力型车每年比上一年多投入 m 辆.设 a n , bn 分别为第 n 年投入的电力型公交车,混合动力型公交车的数量,设 S n , Tn 分别为 n 年里投入的电力 型公交车,混合动力型公交车的总数量. (1)求 S n , Tn ,并求 n 年里投入的所有新公交车的总数 Fn ; (2)该市计划用 8 年的时间完成全部更换,求 m 的最小值;

24、已知 OP ? (cos? , sin ? ) ,
?

?

OQ ? (1 ? sin ? ,1 ? cos? ) ,且 0 ? ? ? ? .
?

?

(1)求 PQ 模的最大值,并求出当 | PQ | 取最大值时 ? 的值; (2)当 | PQ | 取最大值时,求 OP 与 OQ 的夹角 ? (用反三角函数表示).
?
?

?

25、如图, P 1 ( x1 , y1 ) , P 1 ( x 2 , y 2 ) ,┄, P n ( xn , y n ) ,┄是曲线 C : y ?
2

1 x( y ? 0) 上的点, 2

A1 (a1 ,0) , A2 (a2 ,0)
┄, An (a n ,0) ,┄是 x 轴正半轴上的点,且 ?A0 A1 P 1 A2 P 2 ,┄, ?An ?1 An P n ,┄均为 1 , ?A 斜边在 x 轴上的等腰直角三角形( A0 为坐标原点). (1)直接写出 a n ?1 , a n 和 xn 之间的等量关系,以及 a n ?1 , a n 和 y n 之间的等量关系; (2)猜测并证明数列 {an } 的通项公式 an ; (3)设 bn ?

1 1 1 1 ? ? ??? ,集合 B ? {b1 , b2 , b3 ,?, bn ,? }, an?1 an? 2 an?3 a2n

A ? {x | x 2 ? 2ax ? a 2 ? 1 ? 0, x ? R}, 若 A ? B ? ? ,求实常数 a 的取值范围.
y
P1 A0 O A1 P2 P3

A2

x



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