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1[1].3.1函数的单调性与最大最小值



------函数的单调性

一、引入课题 观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相 应函数的哪些变化规律:
y y y

1

1

1

-1

1 -1

x

-1

1 -1<

br />
x

-1

1 -1

x

问:随x的增大,y的值有什么变化?

画出下列函数的图象,观察其变化规律:

1.f (x) = x
① 从左至右图象上升还是下______? ②在区间 ____________ 上,随着x的增大,f (x)的 值随着 ________ . 2.f (x) = -2x+1 ① 从左至右图象上升还是下降 ______?

②在区间 ____________ 上,随着x的增大,f (x)的值随
着 ________ .

3.f (x) = x 2

①在区间 ____________ 上,f (x)的值随
着x的增大而 ________ .

② 在区间 ____________ 上,f (x)的值随
着x的增大而 ________ .

二、新课教学
(一)函数单调性定义

1.增函数

一般地,设函数y=f (x)的定义域为I,如果对于定义域
都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数 (increasing function).

I 内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2 ,当x1 <x2 时,

y

y

f ( x)

f ( x)

f ( x1 ) x1
图3

f ( x2 ) x2

f ( x1 ) x1

f ( x2 ) x2
x

x

图4

思考:仿照增函数的定义说出减函数的定义.

注意:
① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是

函数的局部性质;
②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当

x1<x2时,总有f(x1)<f(x2) .

2.单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数,那么就

说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做
y=f(x)的单调区间: 注意:⑴函数的单调区间是其定义域的子集; ⑵应是该区间内任意的两个实数, y 忽略需要任意取值这个条件,就 f ( x) 不能保证函数是增函数(或减函 数),例如,图5中,在那样的特 f ( x1 ) f ( x ) 定位置上,虽然使得f( )>f( ), 2 但显然此图象表示的函数不是一 x1 x2 x2 x1 x 个单调函数; 图5

⑶几何特征:在自变量取值区间上,若单调函数的图象上升,则

为增函数,图象下降则为减函数.
结论1:一次函数 y 结论2:二次函数

? kx ? b(k ? 0) 的单调性,单调区间:

的单调性,单调区间:y

? ax2 ? bx ? c(a ? 0)

(二)典型例题

例1 如图6是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象, 根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每一单调区间 上,函数y=f(x)是增函数还是减函数.
y

f ( x)
-2 -5 x

1 图6

3

5

注意:函数的单调性是对某个区间而言的,对于单独的

一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,因而没有增
减变化,所以不存在单调性问题;对于闭区间上的连续

函数来说,只要在开区间上单调,它在闭区间上也就单
调,因此,在考虑它的单调区间时,包括不包括端点都 可以;

例2 作出函数 y = x2 - 4 | x | + 3 的图象并指出它的的 单调区间.
k 例3 物理学中的玻意定律 p = V

(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当体积V 减小 时,压强 P 将增大.试用函数的单调性证明之.

3.判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般 步骤: ① 任取x1,x2∈D,且x1<x2;

② 作差f(x1)-f(x2);
③ 变形(通常是因式分解和配方); ④定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); ⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

1 探究:P30 画出反比例函数 y ? 的图象. x ①这个函数的定义域是什么?
②它在定义域I上的单调性怎样?证明你的结论.

k 结论3:反比例函数 y ? ( k ? 0) x 的单调性,单调区间:

1 例4 证明函数 y ? x ? 在(1,+∞)上为增函数. x
2 f(x) ? x ? 2ax ? 3 在(-2,2)内的单调性. 例5 讨论函数

三、归纳小结
1.函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定:函数

的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证
明.画函数图象通常借助计算机,求函数的单调区间 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 2.直接利用初等函数的单调区间。

时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分五步:

四、作业布置 书面作业:课本P32 练习:2、3 P39习题1.3(A组) 第1- 4题. 2(选做) 证明函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上是增函数.

------函数的最大(小)值

画出下列函数的草图,并根据图象解答下列问题:

(1) f ( x) ? ?2 x ? 3

2 f ( x ) ? ? x ? 2x ? 1 (2)

1.说出y=f(x)的单调区间,以及在各单调区间上的单调性;

2.指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现函数的什么
特征?

y

y -1 o o x

2

x

1.最大值

一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实
数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0) = M

那么,称M是函数y=f(x)的最大值

2.最小值 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在 实数M满足:
(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M; (2)存在x0∈I,使得f(x0) = M 那么,称M是函数y=f(x)的最小值

注 意:

1.函数最大(小)值首先应该是某一个函数值, 即存在x0∈I,使得f (x0) = M; 2.函数最大(小)值应该是所有函数值中最大(小) 的,即对于任意的x∈I,都有f(x)≤M(f (x)≥M).

例3 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期
望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地面高度h m与时间t s之间的 关系为:h(t)= -4.9t2+14.7t+18 , 那么烟花冲出后什么时候是 它的爆裂的最佳时刻?这时 距地面的高度是多少(精确

到1m)

解:作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然,函 数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是

烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距地面的高度.

由于二次函数的知识,对于 h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:
14.7 当t ? ? ? 1.5时,函数有最大值 2 ? (?4.9) 4 ? (?4.9) ?18 ? 14.7 2 h? ? 29 4 ? (?4.9) 于是,烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面

的高度为29 m.

2 例3 求函数 y ? 在区间[2,6]上的最大值和最小值. x ?1
解:设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x1<x2,则
2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 2[(x2 ? 1) ? ( x1 ? 1)] 2( x2 ? x1 ) ? ? ( x2 ? 1)(x1 ? 1) ( x2 ? 1)(x1 ? 1)

由于2<x1<x2<6,得x2- x1>0,(x1-1) (x2-1)>0,于是 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 即 f ( x1 ) ? f ( x2 )

2 所以,函数 y ? 是区间[2,6]上的减函数. x ?1

最大值和最小值,即在点x=2时取最大值,最大值是2,在x=6 时取最小值,最小值为0.4 .

2 因此,函数 y ? 在区间[2,6]上的两个端点上分别取得 x ?1

2 y? x ?1

(二)利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法
1.利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 2. 利用图象求函数的最大(小)值

3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则函数y=f(x) 在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ; 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上

单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);

课堂练习 1.函数f(x)=y2+4ax+2在区间(-∞,6]内递减,则a的取值 范围是( D )

A.a≥3
C.a≥-3

B.a≤3
D.a≤-3

2.在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞,-2]上递减,在[-2,+∞) [21,39] 上递增,则f(x)在[1,2]上的值_________.



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