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北京市海淀区2015届高三第一学期期中练习 数学理



海淀区高三年级第一学期期中练习



学(理)

2014.11

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题

目 要求的一项。 (1)设集合 A ? {x ? R | x ? 1} , B ? {x ? R | ?1≤x≤2} ,则 A (A) [?1, ??) (B) (1, ??) (C) (1, 2] ) (D) 3 ) (D) 25 )

B?(



(D) [?1,1)

(2)已知向量 a ? (2, ?1) , b ? (3, x) . 若 a ? b ? 3 ,则 x ? ( (A) 6 (B) 5 (C) 4

(3)若等比数列 {an } 满足 a1 ? a3 ? 5 ,且公比 q ? 2 ,则 a3 ? a5 ? ( (A) 10 (B) 13 (C) 20

(4)要得到函数 y ? sin(2 x ? (A)向左平移

π ) 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x 的图象( 3
(B)向左平移

? 个单位 3 ? 个单位 3

? 个单位 6 ? 个单位 6

(C)向右平移

(D)向右平移

1 1 1 (5)设 a ? ( ) 3 , b ? log 2 , c ? log2 3 ,则( 3 2
(A) a ? b ? c (B ) c ? a ? b

) (D) c ? b ? a

(C) a ? c ? b

(6) 设 a, b ? R ,则“ ab ? 0 且 a ? b ”是“ (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

1 1 ? ”的( a b



(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(7) 已知函数 f ( x) ? ?

? ?? x, x ? 0, 若关于 x 的方程 f ( x) ? a( x ? 1) 有三个不 恒谦 相等的实数 ? ? x , x ≥ 0.
) (C) (0,1)
an(Sn)

根,则实数 a 的取值范围是( (A) [ , ??)

1 2

(B) (0, ??)

(D) (0, )

1 2

( 8 )设等差数列 {an } 的前 n 项和为

Sn .在同一个坐标系中, an ? f (n) 及 Sn ? g (n) 的部分图象如图所示,则
( )

0.7 7 -0.4 -0.8 O 8 n

(A)当 n ? 4 时, Sn 取得最大值 (C)当 n ? 4 时, Sn 取得最小值

(B)当 n ? 3 时, Sn 取得最大值 (D)当 n ? 3 时, Sn 取得最小值

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)设复数 z ?

i ,则 z ? ______. 1? i
x?a

(10) 已知函数 y ? 2 (11)

的图象关于 y 轴对称,则实数 a 的值是

.

?

π



( x ? sin x)dx ? ________.

(12)为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度 C (单 位: mg / L )随时间 t (单位: h )的变化关系为 C ? 水中药品的浓度达到最大.

20t ,则经过_______ h 后池 t ?4
2

D 为 BC 边上的一点,且 BD ? 2 DC . (13) 如图所示, 在△ ABC 中,
若 AC ? mAB ? nAD(m, n ? R) ,则 m ? n ? ____ .

A

B

D

C

(14)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A, ? , ? 是常数, A ? 0, ? ? 0 )的最小正周期为 π , 设集合 M ? {直线 l l 为曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线,x0 ?[0, π) }.若集合

M 中有且只有两条直线互相垂直,则 ? =

;A=

.

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 (15) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? sin( x ? (Ⅰ )求 f ( ) 的值; (Ⅱ )求 f ( x ) 的单调递增区间. (16) (本小题满分 13 分) 已知 {an } 是各项均为正数的等比数列, a1 ? (Ⅰ )求 {an } 的通项公式; (Ⅱ )求数列 {an ? n} 的前 n 项和 Sn .

π ). 3

π 2

1 ,且 a1 , a3 , ?a2 成等差数列. 2

(17) (本小题满分 13 分) 如图所示,在四边形 ABCD 中, ?D ? 2?B ,且

A D

AD ? 1, CD ? 3, cosB ?
(Ⅰ )求△ ACD 的面积;

3 . 3

(Ⅱ )若 BC ? 2 3 ,求 AB 的长.

B

C

(18) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2a ln x ? x2 ? 1 . (Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (Ⅱ)若 a ? 0 ,求函数 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上的最大值; (Ⅲ)若 f ( x) ? 0 在区间 [1,??) 上恒成立,求 a 的最大值. (19) (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ?

n(1 ? an ) (n ? 1, 2,3, ) . 2

(Ⅰ)求 a1 的值; (Ⅱ)求证: (n ? 2)an ? 1 ? (n ? 1)an?1 (n ? 2) ; (Ⅲ)判断数列 {an } 是否为等差数列,并说明理由.

(20) (本小题满分 14 分)

1 1 , L 为曲线 C : y ? f ( x) 在点 (?1, ) 处的切线. 5x2 ? 16 x ? 23 12 (Ⅰ)求 L 的方程;
设函数 f ( x) ?

1 1 (Ⅱ)当 x ? ? 时,证明:除切点 (?1, ) 之外,曲线 C 在直线 L 的下方; 5 12
(Ⅲ)设 x1 , x2 , x3 ? R ,且满足 x1 ? x2 ? x3 ? ?3 ,求 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) 的最大值.

海淀区高三年级第一学期期中练习

数学(理)答案及评分参考
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)C (5)B (2)D (6)A (3)C (7)D

2014.11

(4)B (8)A

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。有两空的小题,第一空 2 分,第二空 3 分) (9)

2 2

(10) 0 (13) ?2

(11) 0 (14)2;

(12) 2

1 2

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ) f ( ) ? sin 分 (Ⅱ) f ( x) ? sin x ? sin( x ?

π 2

π π π 1 1 ? sin( ? ) ? 1 ? ? . 2 2 3 2 2

?????? 3

π ) 3 π π ? sin x ? (sin x cos ? cos x sin ) 3 3

?????? 5



1 3 1 3 π ? sin x ? ( sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ? sin( x ? ) . 2 2 2 2 3
?????? 分 函数 y ? sin x 的单调递增区间为 [2kπ ? 由 2kπ ? 分 得 2kπ ? 9

π π , 2kπ ? ](k ? Z) , 2 2
?????? 11

π π π ≤x ? ≤2kπ ? (k ? Z) , 2 3 2 π 5π ≤x≤2kπ ? (k ? Z) . 6 6

所以 f ( x ) 的单调递增区间为 [2kπ ? 分

π 5π , 2kπ ? ](k ? Z) . ?????? 13 6 6

(16) (共 13 分) 解: (Ⅰ )因为 a1 , a3 , ?a2 成等差数列, 所以 2a3 ? a1 ? a2 . 分 设数列 {an } 的公比为 q(q ? 0) ,由 a1 ? ?????? 2

1 可得 2
?????? 4

1 1 1 2 ? q2 ? ? q , 2 2 2
分 即 2q 2 ? q ? 1 ? 0 . 解得: q ? 分 所以 an ? 分 (Ⅱ )由(Ⅰ )得: an ? n ?

1 或 q ? ?1 (舍). 2 1 1 n ?1 1 ?( ) ? n . 2 2 2

?????? 5

??????7

1 ?n . 2n 1 1 1 所以 S n ? ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 2 2 2 1 1 1 ? ? ? 2 2 2 23

?

1 ?n 2n

??????8



?


?

1 ?1? 2 ? 3 ? 2n

?n

??????9

1 1 (1 ? n ) 2 ? n(n ? 1) ? 1 ? 1 ? n(n ? 1) . ?2 1 2 2n 2 1? 2


?????? 13

(17) (共 13 分)

解: (Ⅰ)因为 ?D ? 2?B , cos B ?
2

3 , 3
1 . 3
?????? 3

所以 cos D ? cos 2 B ? 2 cos B ? 1 ? ? 分 因为 ?D ? (0, π) ,

所以 sin D ? 1 ? cos D ?
2

2 2 . 3

?????? 5

分 因为 AD ? 1, CD ? 3 ,

所以 △ ACD 的面积 S ?

1 1 2 2 AD ? CD ? sin D ? ?1? 3 ? ? 2. 2 2 3
?????? 7

分 (Ⅱ)在△ ACD 中, AC 2 ? AD2 ? DC 2 ? 2 AD ? DC ? cos D ? 12 . 所以 AC ? 2 3 . 分 因为 BC ? 2 3 , 分 所以 ?????? 9

AC AB ? , sin B sin ?ACB

?????? 11

2 3 AB AB AB AB . ? ? ? ? sin B sin(? ? 2 B) sin 2 B 2sin B cos B 2 3 sin B 3
?????? 13

所以 AB ? 4 . 分 (18) (共 14 分)
2 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 2ln x ? x ? 1 .

f ?( x) ?


2 ?2( x 2 ? 1) ? 2x ? ,x ? 0. x x

?????? 2

令 f ?( x) ?

?2( x 2 ? 1) ? 0. x

因为 x ? 0 , 所以 x ? 1 . 分 所以 函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (1, ??) . 分 (Ⅱ) f ?( x) ? ?????? 4 ?????? 3

2a ? 2( x 2 ? a) , x ? 0. ? 2x ? x x
?????? 5

令 f '( x) ? 0 ,由 a ? 0 ,解得 x1 ? a , x2 ? ? a (舍去). 分

① 当 a ? 1 ,即 0 ? a ? 1 时,在区间 [1, ??) 上 f '( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 是减函数. 所以 函数 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上的最大值为 f (1) ? 0 ; 分 ② 当 a ? 1 ,即 a ? 1 时, x 在 [1, ??) 上变化时, f '( x), f ( x) 的变化情况如下表 ?????? 7

x
f '( x)

1

(1, a )
+

a
0
a ln a - a + 1

( a, +


)

f ( x)

0



所以 函数 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上的最大值为 f ( a ) ? a ln a ? a ? 1 . ?????? 10 分 综上所述:当 0 ? a ? 1 时,函数 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上的最大值为 f (1) ? 0 ; 当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 在区间 [1, ??) 上的最大值为 f ( a ) ? a ln a ? a ? 1 . (Ⅲ)由(Ⅱ)可知:当 0 ? a ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 在区间 [1,??) 上恒成立; ?????? 11 分

当 a ? 1 时,由于 f ( x) 在区间 [1, a ] 上是增函数, 所以 f ( a ) ? f (1) ? 0 ,即在区间 [1,??) 上存在 x ?

a 使得 f ( x) ? 0 .
?????? 13

分 综上所述, a 的最大值为 1 . 分 ?????? 14

(19) (共 13 分) (Ⅰ)解:由题意知: S1 ? 解得: a1 ? 1 . 分 (Ⅱ)证明:因为 S n ?

1 ? a1 1 ? a1 ,即 a1 ? . 2 2
?????? 2

n(1 ? an ) (n ? 1, 2,3, ) , 2 (n ? 1)(1 ? an ?1 ) 所以 S n ?1 ? ( n ≥ 2 ). 2
分 因为 an ? Sn ? Sn?1 ( n ≥ 2 ). 分 所以 an ?

?????? 4

?????? 6

nan ? 1 ? (n ? 1)an ?1 ,即 (n ? 2)an ? 1 ? (n ? 1)an?1 (n ? 2) . 2
?????? 7

分 (Ⅲ)数列 {an } 是等差数列.理由如下: 分 又 Sn?2 ? ?????? 8

(n ? 2)(1 ? an ? 2 ) (n ≥ 3) ,由(Ⅱ)可得: 2 (n ? 1)an ?1 ? 1 ? (n ? 2)an ? 2 ( n ≥ 3 ). an?1 ? Sn?1 ? Sn?2 ? 2 nan ? 2(n ? 1)an ?1 ? (n ? 2)an ? 2 , 2

?????? 9

分 所以 an ? an ?1 ?

即 (n ? 2)an ? 2(n ? 2)an?1 ? (n ? 2)an?2 ? 0 . 分 因为 n ≥ 3 , 所以 an ? 2an?1 ? an?2 ? 0 ,即 an ? an?1 ? an?1 ? an?2 ( n ≥ 3 ). 所以 数列 {an } 是以 1 为首项, a2 ? 1 为公差的等差数列. 分

?????? 11

?????? 13

(20) (共 14 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ? ? 所以 f ?(?1) ? ?
10 x ? 16 . (5 x 2 ? 16 x ? 23) 2

1 . 24
?????? 3

1 1 所以 L 的方程为 y ? 1 ? ? 1 ( x ? 1) ,即 y ? ? x ? . 24 24 12 24
分 (Ⅱ)要证除切点 (?1,

1 ) 之外,曲线 C 在直线 L 的下方,只需证明 12 1 1 1 1 恒成立. ?? x? ?x ? (??, ?1) (?1, ? ) , 2 5x ? 16x ? 23 24 24 5

因为 5 x 2 ? 16 x ? 23 ? 0 , 所以 只需证明 ?x ? (??, ?1)

1 (?1, ? ) , 5x3 ? 11x 2 ? 7 x ? 1 ? 0 恒成立即可. 5 ?????? 5



1 设 g ( x) ? 5x3 ? 11x2 ? 7 x ? 1 ( x ≤ ? ). 5
则 g ?( x) ? 15x2 ? 22x ? 7 ? ( x ? 1)(15x ? 7) . 令 g ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?1 , x2 ? ? 分

7 . 15

?????? 6

1 当 x 在 (??, ? ] 上变化时, g '( x), g ? x ? 的变化情况如下表 5
x
g '( x )

(??, ?1)
+

?1

(?1, ?
-

7 ) 15

-

7 15
0

(-

7 1 ,- ) 15 5
+

?

1 5

0

g ( x)



0





0

所以 ?x ? (??, ?1) 分

1 (?1, ? ) , 5x3 ? 11x 2 ? 7 x ? 1 ? 0 恒成立. 5

?????? 8

1 1 1 (Ⅲ) (ⅰ)当 x1 ? ? , x2 ? ? , 且 x3 ? ? 时, 5 5 5 1 1 1 ≤ ? x1 ? 由(Ⅱ)可知: f ( x1 ) ? 2 , 5 x1 ? 16 x1 ? 23 24 24
f ( x2 ) ? 1 1 1 1 1 1 ≤ ? x2 ? , f ( x3 ) ? 2 . ≤? x3 ? 5 x2 ? 16 x2 ? 23 24 24 5 x3 ? 16 x3 ? 23 24 24
2

三式相加,得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? ? 因为 x1 ? x2 ? x3 ? ?3 , 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ≤ 分

1 1 ( x1 ? x2 ? x3 ) ? . 24 8

1 ,且当 x1 ? x2 ? x3 ? ?1 时取等号. ?????? 11 4

1 (ⅱ)当 x1 , x2 , x3 中至少有一个大于等于 ? 时, 5 1 8 51 1 8 51 不妨设 x1 ≥ ? ,则 5x12 ? 16x1 ? 23 ? 5( x1 ? )2 ? ≥ 5(? ? )2 ? ? 20 , 5 5 5 5 5 5
8 51 51 8 51 51 因为 5x22 ? 16x2 ? 23 ? 5( x2 ? )2 ? ≥ , 5x32 ? 16x3 ? 23 ? 5( x3 ? )2 ? ≥ , 5 5 5 5 5 5
所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 )≤

1 5 5 1 ? ? ? . 20 51 51 4 1 .?????? 14 4

综上所述,当 x1 ? x2 ? x3 ? ?1时 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) 取到最大值 分



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