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2014届周末提优四教师版



2014 届周末提优四 一、选择题 1.(2011· 潜江)如图,在 6×6 的方格纸中,每个小方格都是边长为 1 的正方形,其中 A、 B、C 为格点,作△ABC 的外接圆⊙O,则 AC 的长等于( )

3 5 3 5 π B. π C. π D. π 4 4 2 2 答案 D 解析 如图, 易知 AC=BC, AC⊥BC, 所以 AB 是⊙O 的直径,

连 OC, 则∠AOC=90° , 90 5 A C 的长等于 π× 5= π . 180 2 2.(2010· 丽水)小刚用一张半径为 24 cm 的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子 侧面(接缝忽略不计),如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为 10 cm,那么这张扇形纸板 的面积是( ) A.

A.120π cm2 B.240π cm2 C.260π cm2 D.480π cm2 答案 B 解析 根据圆的周长公式,得圆的底面周长=2π ×10=20π ,即扇形的弧长是 20π , 1 1 所以扇形的面积= lr= ×20π ×24=240π ,故选 B. 2 2 3.(2011· 广安)如图,圆柱的底面周长为 6 cm,AC 是底面圆的直径,高 BC=6 cm,点 2 P 是母线 BC 上一点,且 PC= BC.一只蚂蚁从 A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点 P 的最 3 短距离是( )

6 A.(4+ ) cm π C.3 5cm 答案 B

B.5 cm D.7 cm

1 2 2 解析 如图,将圆柱的侧面展开,可求得 AC= ×6=3,PC= BC= ×6=4. 2 3 3 在 Rt△PAC 中,PA= 32+42=5,所以从 A 点到 P 点的最短距离是 5.

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4. (2011· 常德)已知圆锥底面圆的半径为 6 cm, 高为 8 cm, 则圆锥的侧面积为( )cm2. A.48 B.48π C.120π D.60π 答案 D 解析 ∵r=6,h=8,又 r2+h2=l2,∴l= 62+82=10, ∴S 圆锥侧=πrl=π×6×10=60π. 5. (2011· 泉州)如图, 直径 AB 为 6 的半圆, 绕 A 点逆时针旋转 60° , 此时点 B 到了点 B′, 则图中阴影部分的面积是( )

A.3π B.6π C.5π D.4π 答案 B 解析 设 AB′与半圆周交于 C,半圆圆心为 O,连接 OC.

∵∠B′AB=60° ,OA=OC, 60 ∴△AOC 是等边三角形,∠AOC=60° ,∠BOC=120° ,S 扇形 ABB′= π×62=6π,∴S 360 阴影=S 半圆 AB′+S 扇形 AB′B-S 半圆 AB=S 扇形 AB′B=6π. 二、填空题 6.(2011· 德州)母线长为 2,底面圆的半径为 1 的圆锥的侧面积为___________. 答案 2π 解析 S 圆锥侧=π×1×2=2π. 7.(2011· 绍兴)一个圆锥的侧面展开图是半径为 4,圆心角为 90° 的扇形,则此圆锥的底 面半径为______. 答案 1 90 90 解析 圆锥展开图扇形面积为 π×42 ,圆锥的侧面积为 π×r×4 ,∴ π×42 = 360 360 π×r×4,r=1. 4 8.(2011· 重庆)在半径为 的圆中,45° 的圆心角所对的弧长等于________. π 答案 1 4 45×π× π nπr 解析 据弧长公式,l= = =1. 180 180 9. (2011· 台州)如图, CD 是⊙O 的直径, 弦 AB⊥CD, 垂足为点 M, AB=20.分别以 DM、 CM 为直径作两个大小不同的⊙O1 和⊙O2,则图中所示的阴影部分面积为___________.(结 果保留 π)

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答案 50π 解析 ∵直径 DC⊥AB, 1 ∴AM=BM= ×20=10. 2 由相交弦定理,得 CM· DM=AM· BM=10×10=100, 1 1 ?2 ? ?2 ?1 ?2 ∴S 阴影=π×? ?2CD? -π×?2DM? -π×?2CM? 1 = π×(CD2-DM2-CM2) 4 1 = π×[(CM+DM)2-DM2-CM2] 4 1 = π×(2CM×DM) 4 1 1 = π×CM×DM= π×100=50π. 2 2 10.(2011· 泉州)如图,有一直径为 4 的圆形铁皮,要从中剪出一个最大圆心角为 60° 的 扇形 ABC.那么剪下的扇形 ABC(阴影部分)的面积为______;用此剪下的扇形铁皮围成一个 圆锥,该圆锥的底面圆的半径 r=______.

3 3 解析 连接 OA、OB,画 OD⊥AC 于 D. 答案 2π;

∵扇形 ABC 为最大圆心角为 60° 的扇形, ∴点 B、O、D 在同一条直线上,BD⊥AC. ∵OA=OB,∴∠ABD=∠BAO=30° ,∠OAD=30° . 在 Rt△OAD 中,OA=2, ∴OD=1,AD= 3,AC=2AD=2 3. 60 ∴S 阴影= π×(2 3)2=2π. 360 60 ∵弧 BC 的长= π×2 3, 180 60 ∴2πr= π×2 3, 180

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3 . 3 三、解答题 11.(2011· 汕头)如图,在平面直角坐标系中,点 P 的坐标为(-4,0),⊙P 的半径为 2, 将⊙P 沿着 x 轴向右平移 4 个长度单位得⊙P1. (1)画出⊙P1,并直接判断⊙P 与⊙P1 的位置关系; ∴r= (2)设⊙P1 与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点为 A、B,求劣弧 AB 与弦 AB 围成的图形 的面积(结果保留 π).



(1)如图所示,两圆外切.

90π·2 (2)劣弧的长度 l= =π. 180 1 1 劣弧和弦围成的图形的面积为 S= π·4- ×2×2=π-2. 4 2 12.(2011· 杭州)在△ABC 中,AB= 3,AC= 2,BC=1. (1)求证:∠A≠30° ; (2)将△ABC 绕 BC 所在直线旋转一周,求所得几何体的表面积. 解 (1)证明:在△ABC 中,∵AB2=3,AC2+BC2=2+1=3,∴AC2+BC2=AB2,∴∠ BC 1 ACB=90° ,∴sin A= = 3≠ ,∴∠A≠30° . AB 2 (2)将△ABC 绕 BC 所在直线旋转一周,所得的几何体为圆锥,由题意得 r= 2,l= 3. ∴S 圆锥侧=π× 2× 3= 6π,S 底=π×( 2)2=2π. ∴S 表面积= 6π+2π. 13.(2011· 湖州)如图,已知 AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB,垂足为 E,∠AOC=60° , OC=2.

(1)求 OE 和 CD 的长; (2)求图中阴影部分的面积. 解 (1)在△OCE 中, ∵∠CEO=90° ,∠EOC=60° ,OC=2,

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1 3 ∴OE= OC=1,∴CE= OC= 3. 2 2 ∵OA⊥CD,∴CE=DE,∴CD=2 3. 1 1 (2) ∵S△ABC= AB· CE= ×4× 3=2 3, 2 2 1 ∴S 阴影= π×22-2 3=2π-2 3. 2 14.(2011· 泉州)如图,在△ABC 中,∠A=90° ,O 是 BC 边上一点,以 O 为圆心的半圆 分别与 AB、AC 边相切于 D、E 两点,连接 OD.已知 BD=2,AD=3.求:

(1)tan C; (2)图中两部分阴影面积的和. 解 (1)如图,连接 OE.

∵AB、AC 分别切⊙O 于 D、E 两点, ∴∠ADO=∠AEO=90° . 又∵∠A=90° , ∴四边形 ADOE 是矩形. ∵OD=OE, ∴四边形 ADOE 是正方形. ∴OD∥AC,OD=AD=3. ∴∠BOD=∠C. BD 2 在 Rt△BOD 中,tan∠BOD= = . OD 3 2 ∴tan C= . 3 (2)如图,设⊙O 与 BC 交于 M、N 两点. 由(1)得,四边形 ADOE 是正方形, ∴∠DOE=90° . ∴∠COE+∠BOD=90° . 2 ∵在 Rt△EOC 中,tan C= ,OE=3, 3 9 ∴EC= . 2 1 1 9 ∴S 扇形 DOM+S 扇形 EON=S 扇形 DOE= S⊙O= π×32= π. 4 4 4 ∴S 阴影=S△BOD+S△COE-(S扇形DOM+S扇形EON) 1 1 9 9 39 9 = ×2×3+ ×3× - π= - π. 2 2 2 4 4 4 39 9 ∴图中两部分阴影面积的和为 - π. 4 4 15.(2011· 怀化)如图,已知 AB 为⊙O 的直径,CD 是弦,AB⊥CD 于 E,OF⊥AC 于 F, BE=OF.
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(1)求证:OF∥BC; (2)求证:△AFO≌△CEB; (3)若 EB=5 cm,CD=10 3cm,设 OE=x,求 x 值及阴影部分的面积. 解 (1)∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ACB=90° . 又∵OF⊥AC 于 F,∴∠AFO=90° , ∴∠ACB=∠AFO. ∴OF∥BC. (2)由(1)知,∠CAB+∠ABC=90° . ∵AB⊥CD 于 E, ∴∠BEC=90° ,∠BCE+∠ABC=90° , ∴∠BCE=∠CAB. 又∵∠AFO=∠BEC,BE=OF, ∴△AFO≌△CEB. (3)∵AB 为⊙O 的直径,CD 是弦,AB⊥CD, 1 1 ∴∠OEC=90° ,CE= CD= ×10 3=5 3. 2 2 在 Rt△OCE 中,OE=x,则 OB=5+x=OC, 由勾股定理得:OC2=OE2+EC2, ∴(5+x)2=(5 3)2+x2,解得 x=5. 在 Rt△OCE 中, 5 3 tan∠COE= = 3. 5 ∵∠COE 为锐角, ∴∠COE=60° . 由圆的轴对称性可知阴影部分的面积为: S 阴影=2(S 扇形 OBC-SΔOEC) 60π×102 1 =2×( - ×5 3×5) 360 2 = 100π -25 3 3(cm2).

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