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河北冀州中学2013-2014学年高二上学期期中考试数学理A卷试题



试卷类型:A 卷

冀州市中学

2013-2014 学年上学期期中考试 高二数学(理)试题
本试卷满分 150 分,考试时间为 120 分钟

一、选择题:本大题共 15 小题,每小题 4 分,共 60 分.
2 1.已知集合 M ? ? x lg x ? 0? , N ? x x ? 4 ,则 M

? N ? (

?

?



A、 (1, 2)

B、 [1, 2)

C、 (1, 2]

D、 [1, 2] )

2. 已知向量 a=(1,-1),b=(1,2),向量 c 满足(c+b)⊥a,(c-a)∥b,则 c=( A.(2,1) B.(1,0) ?3 1? C.?2,2? ? ? D.(0,-1)

3.下列命题(1)函数 y ? (2)函数 y ? x 2 ? 2 ?
2

1 ? x ( x ? 0) 的值域是 (??, ?2] ; x

1 最小值是 2; (3)若 a, b 同号 x ?2

a b 且 a ? b ,则 ? ? 2 。其中正确的命题是 b a A.(1)(2)(3) B. (1)(2) C. (2)(3) D. (1) (3) 4.某正三棱柱的三视图如右图所示,其中正视图是边长 为 2 的正方形,则该正三棱柱的表面积为( )

A、 6 ? 3 C、 12 ? 3

B、 12 ? 2 3 D、 24 ? 2 3

5.等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a2 ? a7 ? a9 ? 15, 则 S11 的值为( A.
55 2



B.50

C.55

D.110
3 1 an ? ,则 an ? ( 2 2

6.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S n ? A、 2n B、 3n



C、 2n?1 )

D、 3n?1

7.函数 f ( x) ? 2 x ? x 3 ? 4 的零点所在区间为( A、 (?1, 0) B、 (0,1) C、 (1, 2)

D、 (2,3)

? 8. .将函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像平移后所得的图像对应的函数为 y ? cos 2 x ,则进行 3

的平移是(

) ? A、向右平移 个单位
12

B、向左平移 D、向左平移

?
12

个单位

C、向右平移

?

6

个单位

?

6

个单位

9.与圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 6 y ? 26 ? 0, C2 : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 都相切的直线有 A、1 条 B、2 条 C、3 条 D、4 条 )

?x ? y ?1 ? 0 ? 10.设 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 x 2 ? y 2 的最小值为( ? x?2 ?
A、1 B、5 C、
2 2

D、

1 2

11. 执行右图的程序框图,若输出的 n ? 5 , 则输入整数 p 的最大值是( ) A.15 B.14 C.7 D.6 12.某地区高中分三类, 类学校共有学生 2000 人, 类 A B 学校共有学生 3000 人,C 类学校共有学生 4000 人,若 采取分层抽样的方法抽取 900 人, A 类学校中的学生 则 甲被抽到的概率为 ( ) A.
1 10

B.

9 20

C.

1 2000

D.

1 2

13. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)=3f(x), x∈[0,2]时, 当
f(x)=x2-2x,则当 x∈[-4,-2]时,f(x)的最小值是( 1 1 1 A.- B.- C. D.-1 9 3 9 )

14.设函数 f(x)满足 f(x)= f(4–x) ,当 x>2 时,f(x)为增函数,则 a = f(1.10.9) 、 1.1 b = f(0.9 ) = f(log 1 4 )的大小关系是 、c ( )
2

A.a>b>c

B.b>a>c

C.a>c>b

D.c>b>a

x2 y2 15.已知椭圆: ? 2 ? 1(0 ? b ? 2) , 左右焦点分别为 F,F2 , F1 的直线 l 交椭圆于 A, 过 1 4 b
B 两点,若 | BF2 | ? | AF2 | 的最大值为 5,则 b 的值是 A.1 B. 2 C.
3 2

D. 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把答案填在答题卡相应位 置上。

? 1 ? 2x , x ? 0 16.已知函数 f ( x) ? ? ? x ,则 f ( f (1)) ? __________. ?2 ? 1, x ? 0

78 82 4 6 6 7

17.如图是 2013 年元旦歌咏比赛,七位评委为某班打出的分数的 9 2 茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的方差 为_ _.
x2 y 2 ? ? 1 的右焦点 F2 ,倾斜角为 300 的直线交双曲线于 A、B 两点,则 3 6

18.过双曲线
AB ? _____ .

19. OX,OY,OZ 是空间交于同一点 O 的互相垂直的三条直线,点 P 到这三条直线的 距离分别为 3,4,5,则 OP 长为_______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 20. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 且满足 ? 2b ? c ? cos A ? a cos C. (1)求角 A 的大小;
??? ??? ? ? (2)若 b ? 2, c ? 3 ,求 | AB ? CA | .

21. (本小题满分 12 分)一次数学模拟考试,共 12 道选择题,每题 5 分,共计 60 分,每 道题有四个可供选择的答案,仅有一个是正确的.学生甲只能确定其中 10 道题的正确 答案,其余 2 道题完全靠猜测回答. 学生甲所在班级共有 40 人,此次考试选择题得分情况统计表如下: 得分(分) 40 百分率 15% 45 10% 50 25% 55 40% 60 10%

现采用分层抽样的方法从此班抽取 20 人的试卷进行选择题质量分析. (1)应抽取多少张选择题得 60 分的试卷? (2)求学生甲得 60 分的概率; (3)若学生甲选择题得 60 分,求他的试卷被抽到的概率. 22. (本小题满分 12 分) 数列 {an } 是首项为 1000 ,公比为

1 的等比数列,数列 {b n } 满足 10

1 bk ? (lg a1 ? lg a2 ? ? ? lg ak ) k

(k ? N * ) ,

(1) 求数列 {b n } 的前 n 项和的最大值; (2) 求数列 {|b n |} 的前 n 项和 S n? .
' (3) 若 ? n ? S n 对任意 n ? N * 都成立, 求实数

? 的取值范围。
23. (本小题满分 12 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是直角梯形,

1 AB / / CD, AD ? AB, AD ? AB ? CD ? 1 , 2
PD ? 面ABCD , PD ? 2 , E 是 PC 的中点

(1)证明: BE / / 面PAD ; (2)求二面角 E ? BD ? C 的大小.

24. (本小题满分 12 分)解关于 x 的不等式 ax 2 ? 2 ? 2 x ? ax (a ? R)
x2 y2 6 25. (本小题满分 12 分)已知椭圆 2 ? 2 (a>b>0)的离心率 e ? ,过点 A(0, ?b) a b 3

和 B(a,0) 的直线与原点的距离为 (1)求椭圆的方程.

3 . 2

(2)已知定点 E (?1, 0) ,若直线 y=kx+2(k≠0)与椭圆交于 C、D 两点.问:是否存 在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点?请说明理由.

高二数学期中数学试题答案
[A 卷]CADBC DCBAD 16.-1;17.3.2 AAADD 16 18. 3 19.5 5

20. 解: (1)由正弦定理可得: 2sin B cos A ? sin C cos A ? cos C sin A,
? 2sin B cos A ? sin( A ? C ) ? sin B

-------------------------2 分

1 ? sin B ? 0,? cos A ? . 2

?A?

? . 3

-------5 分

??? ??? 2 ??? 2 ??? 2 ? ? ? ? ??? ??? ? ? (2) AB ? CA ? AB ? CA ? 2 AB CA cos(? ? A)
? 7 ? 2 3.

------------------------------8 分 -------------------------10 分
20 , 40

??? ??? ? ? ? AB ? CA ? 7 ? 2 3

21.解 (1) 60 分的人数为 40×10%=4.设抽取 x 张选择题得 60 分的试卷,则 x ? 得

x=2,故应抽取 2 张选择题得 60 分的试卷…………………4 分 1 1 (2)其余两道题每道题答对的概率为 ,两道同时答对的概率为 ,所以学生 4 16 1 甲得 60 分的概率为 。…………………8 分 16 (3)设学生甲的试卷为 a1,另三名得 60 分的同学的试卷为 a2,a3,a4,所有抽取 60 分试卷的方法为:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a2,a3),(a2,a4),(a3,a4)共 6 种,其中小张的 3 1 试卷被抽到的抽法共有 3 种,故小张的试卷被抽到的概率为 P= ? …………12 分 6 2 22. 解: (1)由题意: an ? 104? n ,∴ lg an ? 4 ? n , ∴数列 {lg an } 是首项为 3,公差为 ?1 的等差数列, ∴ lg a1 ? lg a2 ? ? ? lg ak ? 3k ?

k (k ? 1) 1 n(n ? 1) 7 ? n ]? ,∴ bn ? [3n ? 2 n 2 2

?bn ? 0 21 由? ,得 6 ? n ? 7 ,∴数列 {b n } 的前 n 项和的最大值为 S6 ? S7 ? ……4 分 2 ?bn ?1 ? 0

(2)由(1)当 n ? 7 时, bn ? 0 ,当 n ? 7 时, bn ? 0 , ∴当 n ? 7 时, S n? ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ( 当 n ? 7 时,
3? 7?n 2 )n ? ? 1 n 2 ? 13 n 2 4 4

1 13 S n? ? b1 ? b2 ? ? ? b7 ? b8 ? b9 ? ? ? bn ? 2 S7 ? (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? n 2 ? n ? 21 4 4

? 1 2 13 (n ? 7) ?? n ? 4 n ??? 4 ∴ Sn ? ………8 分 ? 1 n 2 ? 13 n ? 21 (n ? 7) ?4 ? 4

1 13 ( 3 ) 只 要 ? n ? n2 ? n ? 21 ( ? 7 )恒 成 n 4 4 1 21 13 立 , 即 ? ? n? ? , n ? (7, 2 21) 时 4 n 4 1 21 13 , ) 递 减 , n ? ( 2 2 1? ? 时 f ( n) ? n ? ? 4 n 4 1 21 13 递 增 , f ( n) ? n ? ? 4 n 4 4 1 3 9? 2 f? 2 1 f ? 1 最小 0 3 1 0 13 ? ? ? ………………12 分 10

?f ,

n? ( z

1 9 1

3 ) 0

,

(

23. (本小题满分 12 分) 证明:取 PD 的中点为 F , 连接 EF ,
EF // CD, EF ? 1 CD, ------------2 分 2

F y

1 AB // CD且AB ? CD, 又 2 ? EF // AB, EF ? AB,

x

? ABEF 是平行四边形, ---------4 分 ? BE // AF , 又BE ? 面PAD,AF ? 面PAD, ? BE / / 面PAD.

………………………………6 分

(2)建系:以 DA,DB,DP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴,
2 ) B(1,1,0), C (0,2,0), P(0,0, 2 ), 则 E (0,1, 2 ??? ? ??? ? 2 DB ? (1,1, 0), BE ? (?1, 0, )................8分 2
? 设平面EDB的法向量为n ? ( x, y, z )

-------------------7 分

?x ? y ? 0 ? ? 2 z?0 ?? x ? ? 2

? ? n ? ( x, ? x, 2 x) ? x(1, ?1, 2) ? 令 x=1,则? n ? (1, ?1, 2)
?? 又因为 平面ABCD的法向量为m ? (0, 0,1),

---------------------- -------10 分

cos m, n ?

2 , 2

所以二面角 E ? BD ? C 为 450.

------------------12 分

24.解:原不等式可化为? ax2+(a-2)x-2≥0, (1)a=0 时,x≤-1,即 x∈(-∞,-1]…………………2 分 (2)a?0 时,不等式即为(ax-2)(x+1)≥0. 2 ① a>0 时, 不等式化为 ( x ? )( x ? 1) ? 0 , a ?a ? 0 2 ? 当 ?2 ,即 a>0 时,不等式解为 (??,?1] ? [ ,??) . a ? ? ?1 ?a ?a ? 0 ? 当 ?2 ,此时 a 不存在…………………6 分 ? ? ?1 ?a 2 ② a<0 时,不等式化为 ( x ? )( x ? 1) ? 0 , a ?a ? 0 2 ? 当 ?2 ,即-2<a<0 时,不等式解为 [ ,?1] a ? ? ?1 ?a ?a ? 0 2 ? 当 ?2 ,即 a<-2 时,不等式解为 [?1, ] . a ? ? ?1 ?a ?a ? 0 ? 当 ?2 ,即 a=-2 时,不等式解为 x=-1…………………10 分 ? ? ?1 ?a 综上: 2 a=0 时,不等式解为(-∞,-1 ] ;a>0 时,不等式解为 (??,?1] ? [ ,??) ;2<a<0 a 2 2 时,不等式解为 [ ,?1] ;a<-2 时,不等式解为 [?1, ] . a=-2 时,不等式解集 ?1? 。 a a 25. 解(1)直线 AB 方程为:bx-ay-ab=0.

?c 6 , ? ? 3 ?a 依题意 ? 3 ? ab ? ? a2 ? b2 2 ?

解得

?a ? 3 , ∴ ? ?b ? 1

椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 .………4 3



? y ? kx ? 2, (2)假若存在这样的 k 值,由 ? 2 得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12kx ? 9 ? 0 . 2 ?x ? 3 y ? 3 ? 0

? ? (12k ) 2 ? 36(1 ? 3k 2 ) ? 0 .



12k ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 3k 2 , ? 设 C (x1 , y1 ) 、 D(x2 , y2 ) ,则 ? ?x ? x ? 9 ? 1 2 1 ? 3k 2 ?



…8分

而 y1 ? y 2 ? (kx1 ? 2)(kx 2 ? 2) ? k 2 x1 x 2 ? 2k ( x1 ? x 2 ) ? 4 . 要使以 CD 为直径的圆过点 E(-1,0) ,当且仅当 CE⊥DE 时,则 即 y1 y2 ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 0 .………………10 分 ∴
(k 2 ? 1) x1 x 2 ? 2(k ? 1)( x1 ? x 2 ) ? 5 ? 0 .
y1 ? y2 ? ?1 , x1 ? 1 x2 ? 1



将②式代入③整理解得 k ? 综上可知,存在 k ?

7 7 .经验证, k ? ,使①成立. 6 6

7 ,使得以 CD 为直径的圆过点 E.………………………12 分 6



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