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高考数学常用公式(全)



高考数学常用公式(2004.11.10)
1.德摩根公式 CU ( A ? B) ? CU A ? CU B; CU ( A ? B) ? CU A ? CU B . 2. A ? B ? A ? A ? B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A ? A ? CU B ? ? ? CU A ? B ? R 3. card ( A ? B) ? cardA

? cardB ? card ( A ? B)

card ( A ? B ? C ) ? cardA ? cardB ? cardC ? card ( A ? B) ? card ( A ? B) ? card ( B ? C ) ? card (C ? A) ? card ( A ? B ? C ) .
4. 二 次 函 数 的 解 析 式 的 三 种 形 式 ① 一 般 式 f ( x) ? a 2 x ? bx ? (c a ? 0; )② 顶点式 5.设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么

f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ;③零点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) .
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在? a, b ? 上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在? a, b ? 上是减函数. x1 ? x2

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?

设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 为增函数;如果 f ?( x) ? 0 ,则

f ( x) 为减函数. 6. 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 的 对 称 性 : ① 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 x ? a 对 称 a?b ? f ( a? x ) ? f( a? ? ) x f ( 2a ? x) ? f ( x .) ②函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 2 对称 ? f (a ? mx) ? f (b ? mx) ? f (a ? b ? mx) ? f (mx) . 7.两个函数图象的对称性:①函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴) a?b 对称 . ②函数 y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线 x ? 对称 . ③函数 2m y ? f ( x) 和 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y=x 对称.
8.分数指数幂 a
m n

?

1
n

a

m

( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).
?

a

m ? n

?

1
m n

( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ).

a 9. loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) . n log m N n 10.对数的换底公式 log a N ? .推论 log a m b ? log a b . m log m a
11. an ? ?

n ?1 ?s1 , ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ). ?sn ? sn?1 , n ? 2
*

12.等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N ) ; 其前 n 项和公式 sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? d )n . 2 2 2 2

13.等比数列的通项公式 an ? a1q

n ?1

?

a1 n ? q (n ? N * ) ; q

? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ?1 ,q ?1 ? ? 其前 n 项的和公式 sn ? ? 1 ? q 或 sn ? ? 1 ? q . ?na , q ? 1 ? na , q ? 1 ? 1 ? 1
14.等比差数列 ?an ? : an?1 ? qan ? d , a1 ? b(q ? 0) 的通项公式为

?b ? (n ? 1)d , q ? 1 ? an ? ? bq n ? (d ? b)q n ?1 ? d ; ,q ?1 ? q ?1 ? ?nb ? n(n ? 1)d , q ? 1 ? 其前 n 项和公式为 sn ? ? . d 1 ? qn d ( b ? ) ? n, q ? 1 ? 1 ? q q ?1 1 ? q ?

ab(1 ? b)n 元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为 b ). (1 ? b)n ? 1 sin ? 2 2 16.同角三角函数的基本关系式 sin ? ? cos ? ? 1 , tan ? = , tan ? ? cot? ? 1 . cos ?
15.分期付款(按揭贷款) 每次还款 x ? 17.正弦、余弦的诱导公式
n ? n? ?(?1) 2 sin ? , sin( ? ? ) ? ? n ?1 2 ?(?1) 2 co s ? , ?

α 为偶数 α 为奇数 α 为偶数 α 为奇数

? n? ?(?1) co s ? , co s( ? ? ) ? ? n ?1 2 ?(?1) 2 sin ? , ?
n 2

18.和角与差角公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? . 1 ? tan ? tan ?

sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? (平方正弦公式); cos(? ? ? )cos(? ? ? ) ? cos2 ? ? sin 2 ? .
a sin ? ? b cos ? =
定, tan ? ?

a 2 ? b2 sin(? ? ? ) ( 辅 助 角 ? 所 在 象 限 由 点 (a, b) 的 象 限 决

b ). a 19.二倍角公式 sin 2? ? sin ? cos ? .

2 tan ? . 1 ? tan 2 ? 20.三角函数的周期公式 函数 y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A,ω , ? 2? ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期 T ? ;函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ? , k ? Z (A, ? 2

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? . tan 2? ?

ω , ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期 T ? 21.正弦定理

? . ?

a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22.余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A ; b ? c ? a ? 2ca cos B ; c ? a ? b ? 2ab cos C . 1 1 1 23.面积定理(1) S ? aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 (| OA | ? | OB |) 2 ? (OA ? OB ) 2 . (3) S ?OAB ? 2
24.三角形内角和定理 在△ABC 中,有

A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) ?
25.平面两点间的距离公式

C ? A? B ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . 2 2 2

??? ? ??? ? ??? ? d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).

26.向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 a ? b ? b=λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . a ? b(a ? 0) ? a·b=0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 27.线段的定比分公式

??? ? ???? PP 1 ? ? PP 2 ,则

? 是实数,且 设P 1 2 的分点, 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) , P( x, y) 是线段 PP

x ? ? x2 ? ???? ???? x? 1 ??? ? ??? ? ???? ??? ? OP ? ? OP ? 1 ? 1? ? 1 2 t? ). ? OP ? ? OP ? tOP ? 1 ? (1 ? t )OP 2( 1? ? 1? ? ? y ? y1 ? ? y2 ? 1? ? ?
28.三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、 B(x2 ,y2 )、 C(x3 ,y3 ) ,

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 3 3 ???? ??? ? ????' ? x' ? x ? h ? x ? x' ? h ? ? ' ?? 29.点的平移公式 ? ' ? OP ? OP ? PP (图形 F 上的任意一点 P(x, ' ?y ? y ? k ?y ? y ? k ? ? ???? ' ' ' ' ' y)在平移后图形 F 上的对应点为 P ( x , y ) ,且 PP 的坐标为 ( h, k ) ).
则△ABC 的重心的坐标是 G ( 30.常用不等式:

(1) a, b ? R ? a ? b ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).
2 2

a?b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2 (3) a3 ? b3 ? c3 ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0).
(2) a, b ? R ? ? (4)柯西不等式 (a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 , a, b, c, d ? R. (5) a ? b ? a ? b ? a ? b 31.极值定理 已知 x, y 都是正数,则有 (1)如果积 xy 是定值 p ,那么当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ;

1 2 s . 4 2 32.一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) , 如果 a 与 ax ? bx ? c
(2)如果和 x ? y 是定值 s ,那么当 x ? y 时积 xy 有最大值 同号,则其解集在两根之外;如果 a 与 ax ? bx ? c 异号,则其解集在两根之间.简言之:同 号两根之外,异号两根之间.
2

x1 ? x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) ; x ? x1 , 或x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) .
33.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时,有

x ? a ? x 2 ? a ? ?a ? x ? a .
2

x ? a ? x2 ? a2 ? x ? a 或 x ? ?a .
34.无理不等式(1)

? f ( x) ? 0 ? . f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

(2)

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? . f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? g ( x ) ? 0 ? 2 ? f ( x) ? [ g ( x)] ? ? f ( x) ? 0 ? . f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ?

(3)

35.指数不等式与对数不等式 (1)当 a ? 1 时,

a

f ( x)

?a

g ( x)

? f ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? g ( x) ; log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? g ( x) ; log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

(2)当 0 ? a ? 1 时,

a

f ( x)

?a

g ( x)

36.斜率公式 k ?

y2 ? y1 (P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ). x2 ? x1

37.直线的四种方程 (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). (3)两点式 (4)一般式

y ? y1 x ? x1 ( y1 ? y2 )( P ? 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). y2 ? y1 x2 ? x1 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).

38.两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y ? k1x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 ? l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ;② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . (2)若 l1 : A 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零,

A1 B1 C1 ;② ? ? l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0 ; A2 B2 C2 k ? k1 39.夹角公式 tan ? ?| 2 | .( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1) 1 ? k2 k1
① l1 ? l2 ?

A1B2 ? A2 B1 ( l1 : A ). 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A 2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A 1 A2 ? B 1B2 ? 0 A1 A2 ? B1B2 ? 直线 l1 ? l2 时,直线 l1 与 l2 的夹角是 . 2 | Ax0 ? By0 ? C | 40.点到直线的距离 d ? (点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ). A2 ? B 2 tan ? ?
41. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r .
2 2 2

(2)圆的一般方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F >0).
2 2

(3)圆的参数方程 ?

? x ? a ? r cos? . ? y ? b ? r sin ?

(4)圆的直径式方程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 (圆的直径的端点是 A( x1 , y1 ) 、

B( x2 , y2 ) ).
? x ? a cos? x2 y 2 42.椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 ? . a b ? y ? b sin ?
x2 y 2 a2 a2 ? ? 1( a ? b ? 0) PF ? e ( x ? ) PF ? e ( ? x) . 焦半径公式 , 1 2 a 2 b2 c c x2 y 2 44.双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦半径公式 a b a2 a2 PF1 ?| e( x ? ) | , PF2 ?| e( ? x) | . c c
43.椭圆

y 45. 抛 物 线 y ? 2 px 上 的 动 点 可 设 为 P ( ? , y? ) 或 P(2 pt 2 ,2 pt)或 P ( x? , y? ) , 其 中 2p
2

2

y?2 ? 2 px? .
46.二次函数 y ? ax ? bx ? c ? a( x ?
2

b 2 4ac ? b2 ) ? (a ? 0) 的图象是抛物线: (1)顶点坐标 2a 4a b 4ac ? b2 b 4ac ? b 2 ? 1 , ); , ); 为 (? ( 2 ) 焦 点 的 坐 标 为 (? (3)准线方程是 2a 4a 2a 4a 4ac ? b 2 ? 1 y? . 4a
( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 或
( 弦 端 点

47.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ?

AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ?| x1 ? x2 | 1 ? tan 2 ? ?| y1 ? y2 | 1 ? co t 2 ?
A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,由方程 ?

?y ? kx ? b 2 消去 y 得到 ax ? bx ? c ? 0 , ? ? 0 , ? 为直线 ?F( x, y) ? 0

AB 的倾斜角, k 为直线的斜率).
48.圆锥曲线的两类对称问题: (1)曲线 F ( x, y) ? 0 关于点 P( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 ? y) ? 0 . (2)曲线 F ( x, y) ? 0 关于直线 Ax ? By ? C ? 0 成轴对称的曲线是

2 A( Ax ? By ? C ) 2 B( Ax ? By ? C ) ,y? )?0. 2 2 A ?B A2 ? B 2 2 49. “四线” 一方程 对于一般的二次曲线 Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 , 用 x0 x 代 x , F (x ? x0 y ? xy0 x ?x y ?y 代 xy ,用 0 代 x ,用 0 代 y 即得方程 2 2 2 x y ? xy0 x ?x y ?y Ax0 x ? B ? 0 ? Cy0 y ? D ? 0 ?E? 0 ? F ? 0 ,曲线的切线,切点弦,中点弦, 2 2 2
用 y0 y 代 y 2 ,用 弦中点方程均是此方程得到. 50.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠0 ),a∥b ? 存在实数λ 使 a=λ b. 51.对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C,满足 OP ? xOA ? yOB ? zOC , 则四点 P、A、B、C 是共面 ? x ? y ? z ? 1 . 52. 空间两个向量的夹角公式 cos〈a,b〉= = (b1 , b2 , b3 ) ).

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

a1b1 ? a2b2 ? a3b3
2 2 2 a ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32 2 1

(a= (a1 , a2 , a3 ) ,b

??? ? ?? AB ? m ?? ? ?? ( m 为平面 ? 的法向量). 53.直线 AB 与平面所成角 ? ? arc sin ??? | AB || m | ?? ? ?? ? ?? ? m? n m? n 54.二面角 ? ? l ? ? 的平面角 ? ? arc cos ?? ? 或 ? ? arc cos ?? ? ( m ,n 为平面 ? , | m || n | | m || n |

? 的法向量).
55.设 AC 是α 内的任一条直线,且 BC⊥AC,垂足为 C,又设 AO 与 AB 所成的角为 ? 1 ,AB 与 AC 所成的角为 ? 2 ,AO 与 AC 所成的角为 ? .则 cos? ? cos?1 cos? 2 . 56.若夹在平面角为 ? 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 ? 1 , ? 2 ,与二面角 的棱所成的角是θ ,则有 sin2 ? sin2 ? ? sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? 2sin?1 sin?2 cos? ;

| ?1 ??2 |? ? ? 180? ? (?1 ??2 ) (当且仅当 ? ? 90? 时等号成立).
57.空间两点间的距离公式 若 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则

??? ? ??? ? ??? ? d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 .

58. 点 Q 到 直 线 l 距 离 h ? a= PA ,向量 b= PQ ).

??? ?

??? ?

1 (| a || b |)2 ? (a ? b)2 ( 点 P 在直 线 l 上 , 直 线 l 的 方 向 向量 |a|

??? ? ?? ? ? | CD ? n | ? ( l1 , l2 是两异面直线,其公垂向量为 n , C、D 分别是 l1 , l2 59.异面直线间的距离 d ? |n| 上任一点, d 为 l1 , l2 间的距离). ??? ? ?? ? | AB ? n | ? ? 60.点 B 到平面 ? 的距离 d ? ( n 为平面 ? 的法向量, AB 是经过面 ? 的一条斜线, |n| A ?? ).
61.异面直线上两点距离公式 d ? d 2 ? m2 ? n2 ? 2mn cos? (两条异面直线 a、b 所成的角为θ ,其公垂线段 AA 的长度为 h.在直线 a、b 上分别取两点 E、
' F, A E ? m , AF ? n , EF ? d ).
'

2 62. l 2 ? l12 ? l2 ? l32 ? cos2 ?1 ? cos2 ?2 ? cos2 ?3 ? 1

(长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 l1、 l2、 l3 ,夹角分别为 (立几中长方体对角线长的公式是其特例). ?1、? 2、?3 ) 63. 面积射影定理 S ?

S' cos?
'

(平面多边形及其射影的面积分别是 S 、 S ,它们所在平面所成锐二面角的为 ? ). 64.欧拉定理(欧拉公式) V ? F ? E ? 2 (简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F)

4 ? R 3 ,其表面积是 S ? 4? R2 . 3 66.分类计数原理(加法原理) N ? m1 ? m2 ? ? ? mn .
65.球的半径是 R,则其体积是 V ? 67.分步计数原理(乘法原理) N ? m1 ? m2 ??? mn .

n! * .( n , m ∈N ,且 m ? n ). (n ? m)! n m m m m?1 m m?1 An 69.排列恒等式 (1) An ? (n ? m ? 1) An ;(2) An ? ?1 ;(3) A n ? nA n?1 ; (4) n?m
m 68.排列数公式 An = n(n ? 1)?(n ? m ? 1) =

n n?1 n m m m?1 . nAn ? An ?1 ? A n ;(5) A n?1 ? A n ? mA n

70.组合数公式 C

m n =

Anm n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) n! * = = ( n , m ∈N ,且 m ? n ). m 1? 2 ? ? ? m m! ? (n ? m)! Am

m m n?m m?1 m = Cn ;(2) C n + Cn = Cn Cn ?1 n ? m ? 1 m ?1 n n m ?1 m m m m Cn ? Cn ; Cn ? Cn Cn ? Cn 72.组合恒等式 (1) (2) (3) ?1 ; ?1 ; m n?m m

71.组合数的两个性质(1)

(4)

?C
r ?0

n

r n

r r ?1 = 2 ;(5) Crr ? Crr?1 ? Crr?2 ? ? ? Cn ? Cn ?1 .
n

m m 73.排列数与组合数的关系是: An . ?m ! ? Cn

0 n 1 n?1 2 n ?2 2 r n ?r r n n 74.二项式定理 (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b ; r n ?r r 1, 2?,n) . 二项展开式的通项公式: Tr ?1 ? Cn a b (r ? 0,

75.等可能性事件的概率 P ( A) ?

m . n

76.互斥事件 A,B 分别发生的概率的和 P(A+B)=P(A)+P(B). 77. n 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1+A2+?+An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An). 78.独立事件 A,B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B). 79.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An).
k k n ?k 80.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 P . n (k ) ? Cn P (1 ? P)

81.离散型随机变量的分布列的两个性质: (1) P ) ;(2) P i ? 0(i ? 1, 2,? 1?P 2 ? ? ? 1. 82.数学期望 E? ? x1P 1 ? x2 P 2 ? ? ? xn P n ?? 83.数学期望的性质: (1) E (a? ? b) ? aE (? ) ? b ; (2)若 ? ~ B(n, p) ,则 E? ? np . 84.方差 D? ? ? x1 ? E? ? ? p1 ? ? x2 ? E? ? ? p2 ? ? ? ? xn ? E? ? ? pn ? ?
2 2 2

85.标准差 ?? = D? . 86. 方差的性质 (1) D ?? ? ? E? ? (E? ) ;(2) D ? a? ? b? ? a D? ; ( 3 )若 ? ~ B(n, p) ,则
2 2 2

D? ? np(1? p) .
87.正态分布密度函数 f ? x ? ?
? 1 e 2? 6

? x ? ? ?2
262

, x ? ? ??, ?? ? 式中的实数μ , 是参数, ?( ? >0)
2

分别表示个体的平均数与标准差.
x ? 1 88.标准正态分布密度函数 f ? x ? ? e 2 , x ? ? ??, ?? ? . 2? 6 ? x?? ? 2 89.对于 N (?, ? ) ,取值小于 x 的概率 F ? x ? ? ? ? ?. ? ? ? P?x1 ? x0 ? x2 ? ? P?x ? x2 ? ? P?x ? x1 ? ? F ? x2 ? ? F ? x1 ?

? x ?? ? ? x1 ? ? ? ? ?? 2 ? ??? ?. ? ? ? ? ? ?
n n ? x ? x y ? y xi yi ? nx y ? ?? ? ? ? i i ? i ?1 i ?1 ? ? n ?b ? n ? . 2 y ? a ? bx ,其中 ? x ? x xi 2 ? nx 2 ? i ? ? ? ? i ?1 i ?1 ? a ? y ? bx ? ?

90.回归直线方程

91.相关系数

r?

? ? xi ? x ?? yi ? y ?
i ?1

n

? (x ? x ) ? ( y ? y)
2 i ?1 i i ?1 i
n

n

n

?
2

? ? x ? x ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

(? xi ? nx )(? yi ? ny )
2 2 2 2 i ?1 i ?1

n

n

.

|r|?1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小.

?0 ? 92.特殊数列的极限 (1) lim q ? ?1 n ?? ?不存在 ?

| q |? 1 q ?1 | q |? 1或q ? ?1
.

?0 ? ak n k ? ak ?1n k ?1 ? ? ? a0 ? at (2) lim ?? n ?? b n t ? b n t ?1 ? ? ? b t t ?1 0 ? bk ?不存在 ?
(3) S ? lim
x ? x0

(k ? t ) (k ? t ) . (k ? t )

a1 1 ? q n 1? q

?

n ??

??

a1 1? q

( S 无穷等比数列

?a q ?
n ?1 1

( | q |? 1 )的和).

93. lim f ( x) ? a ? lim? f ( x) ? lim? f ( x) ? a .这是函数极限存在的一个充要条件.
x ? x0 x ? x0

94.函数的夹逼性定理 如果函数 f(x),g(x),h(x)在点 x0 的附近满足: (1) g ( x) ? f ( x) ? h( x) ;(2) lim g ( x) ? a, lim h( x) ? a (常数),则 lim f ( x) ? a .
x ? x0 x ? x0 x ? x0

本定理对于单侧极限和 x ? ? 的情况仍然成立. 95.两个重要的极限 (1) lim

sin x ? 1? ? 1; (2) lim ?1 ? ? ? e (e=2.718281845?). x ?0 x ?? x ? x?

x

96. f ( x ) 在 x0 处的导数(或变化率或微商)

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim . ? x ? 0 ?x ?x ?s s (t ? ?t ) ? s (t ) ? lim 97.瞬时速度 ? ? s?(t ) ? lim . ?t ?0 ?t ?t ? 0 ?t ?v v(t ? ?t ) ? v(t ) ? lim 98.瞬时加速度 a ? v?(t ) ? lim . ?t ? 0 ?t ?t ? 0 ?t dy df ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ? lim ? lim 99. f ( x) 在 ( a, b) 的导数 f ?( x) ? y ? ? . ? x ? 0 ? x ? 0 dx dx ?x ?x f ?( x0 ) ? y?
x ? x0

? lim

?x ?0

100.函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) , 相应的切线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) . 101.几种常见函数的导数 (1) C ? ? 0 (C 为常数). (2) ( xn )' ? nxn?1 (n ? Q) . (3) (sin x)? ? cos x . (4) (cosx)? ? ? sin x .

1 1 e x ; (log a )? ? log a . x x x x x x (6) (e )? ? e ; (a )? ? a ln a .
(5) (ln x )? ? 102.复合函数的求导法则 设函数 u ? ? ( x) 在点 x 处有导数 ux ' ? ? ' ( x) ,函数 y ? f (u ) 在点

x 处的对应点 U 处有导数 yu ' ? f ' (u) ,则复合函数 y ? f (? ( x))在点 x 处有导数,且
' ' ' ,或写作 f x' (? ( x)) ? f ' (u)? ' ( x) . yx ? yu ? ux 103.可导函数 y ? f ( x) 的微分 dy ? f ?( x)dx . 104. a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d .( a, b, c, d ? R )

105.复数 z ? a ? bi 的模(或绝对值) | z | = | a ? bi | = a 2 ? b2 . 106.复数的四则运算法则 (1) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (2) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (3) (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ; (4) (a ? bi ) ? (c ? di ) ?

ac ? bd bc ? ad ? i(c ? di ? 0) . c2 ? d 2 c2 ? d 2
( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ( z1 ? x1 ? y1i ,

107. 复平面上的两点间的距离公式 d ?| z1 ? z2 |?

z2 ? x2 ? y2i ).

108.向量的垂直 非零复数 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di 对应的向量分别是 OZ1 , OZ2 ,则

???? ?

???? ?

???? ? ???? ? z OZ1 ? OZ2 ? z1 ? z2 的实部为零 ? 2 为纯虚数 ? | z1 ? z2 |2 ?| z1 |2 ? | z2 |2 z1

? | z1 ? z2 |2 ?| z1 |2 ? | z2 |2 ? | z1 ? z2 |?| z1 ? z2 | ? ac ? bd ? 0 ? z1 ? ?iz2 (λ 为非零实
数). 109.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ,①若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,
2 2

b ?b ? b2 ? 4ac 2 2 ;②若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ? ;③若 ? ? b ? 4ac ? 0 , 2a 2a 它在实数集 R 内没有实数根;在复数集 C 内有且仅有两个共轭复数根
则 x1,2 ?

x?

?b ? ?(b2 ? 4ac)i 2 (b ? 4ac ? 0) . 2a

高 中 数 学 基本知识·基本思想·基本方法 一、集合与简易逻辑 1.必须弄清集合的元素是什么,是函数关系中自变量的取值?还是因变量的 取值?还是曲线上的点?? ; 2.数形结合是解集合问题的常用方法,解题时要尽可能地借助数轴、直角坐 标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利 用数形结合的思想方法解决; 3.一个语句是否为命题,关键要看能否判断真假,陈述句、反诘问句都是命 题,而祁使句、疑问句、感叹句都不是命题; 4.判断命题的真假要以真值表为依据。原命题与其逆否命题是等价命题 ,逆 命题与其否命题是等价命题 ,一真俱真,一假俱假,当一个命题的真假不 易判断时,可考虑判断其等价命题的真假; 5.判断命题充要条件的三种方法: (1)定义法; (2)利用集合间的包含关系 判断,若 A ? B ,则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件;若 A=B,则 A 是 B 的充要条件; (3)等价法:即利用等价关系 " A ? B ? B ? A" 判断,对 于条件或结论是不等关系(或否定式)的命题,一般运用等价法; 6.(1)含 n 个元素的集合的子集个数为 2n,真子集(非空子集)个数为 2n-1; (2) A ? B ? A ? B ? A ? A ? B ? B; (3) CI ( A ? B) ? CI A ? CI B, CI ( A ? B) ? CI A ? CI B; 二、函数: 研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。 1.复合函数的有关问题 (1) 复合函数定义域求法: 若已知 f(x)的定义域为 [a, b] ,其复合函数 f[g(x)] 的定义域由不等式 a?g(x)?b 解出即可; 若已知 f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x) 的定义域,相当于 x∈[a,b]时,求 g(x)的值域(即 f(x)的定义域) ; (2)复合函数的单调性由“同增异减”判定; 2.函数的奇偶性 (1)若 f(x)是偶函数,那么 f(x)=f(-x)= f ( x ) ; (2)定义域含零的奇函数必过原点(可用于求参数) ; (3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式:f(x)±f(-x)=0 或
f (? x) ? ?1 (f(x) f ( x)

≠0); (4)若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性; (5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间

内有相反的单调性; 3.函数图像(或方程曲线的对称性) (1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的 对称点仍在图像上; (2)证明图像 C1 与 C2 的对称性,即证明 C1 上任意点关于对称中心(对称 轴)的对称点仍在 C2 上,反之亦然; (3)曲线 C1:f(x,y)=0,关于 y=x+a(y=-x+a)的对称曲线 C2 的方程为 f(y- a,x+a)=0(或 f(-y+a,-x+a)=0); (4)曲线 C1:f(x,y)=0 关于点(a,b)的对称曲线 C2 方程为:f(2a-x,2b-y)=0; (5)若函数 y=f(x)对 x∈R 时,f(a+x)=f(a-x)恒成立,则 y=f(x)图像关于直 线 x=a 对称; (6)函数 y=f(x-a)与 y=f(b-x)的图像关于直线 x=
a?b 对称; 2

4.函数的周期性 (1)y=f(x)对 x∈R 时,f(x +a)=f(x-a) 或 f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成立,则 y=f(x) 是周期为 2a 的周期函数; (2)若 y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线 x=a 对称,则 f(x)是周期为 2︱a ︱的周期函数; (3)若 y=f(x)奇函数,其图像又关于直线 x=a 对称,则 f(x)是周期为 4︱a ︱的周期函数; (4)若 y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则 f(x)是周期为 2 a ? b 的周期函数; (5) y=f(x)的图象关于直线 x=a,x=b(a≠b)对称, 则函数 y=f(x)是周期为 2 a ? b 的周期函数; (6)y=f(x)对 x∈R 时,f(x+a)=-f(x)(或 f(x+a)= ? 1 ,则 y=f(x)是周期为
f ( x)

2 a 的周期函数; 5.方程 k=f(x)有解 ? k∈D(D 为 f(x)的值域); 6.a?f(x) ? a?[f(x)]max,; a?f(x) ? a?[f(x)]min; 7.(1) loga b ? logan b n (a>0,a≠1,b>0,n∈R+); (2) l og a N=
logb N ( a>0,a≠1,b>0,b≠1); logb a

(3) l og a b 的符号由口诀“同正异负”记忆; (4) a log a N= N ( a>0,a≠1,N>0 ); 8.能熟练地用定义证明函数的单调性,求反函数,判断函数的奇偶性。 9.判断对应是否为映射时,抓住两点: (1)A 中元素必须都有象且唯一; (2) B 中元素不一定都有原象,并且 A 中不同元素在 B 中可以有相同的象;

10.对于反函数, 应掌握以下一些结论: (1) 定义域上的单调函数必有反函数; (2)奇函数的反函数也是奇函数; (3)定义域为非单元素集的偶函数不存 在反函数;(4)周期函数不存在反函数; (5)互为反函数的两个函数具有相 -1 同的单调性;(5) y=f(x)与 y=f (x)互为反函数,设 f(x)的定义域为 A,值域为 B,则有 f[f-1(x)]=x(x∈B),f-1[f(x)]=x(x∈A). 11.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值,求最 值问题用“两看法” :一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关 系; 12.恒成立问题的处理方法: (1)分离参数法; (2)转化为一元二次方程的根 的分布列不等式(组)求解; 13.依据单调性, 利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问

(a ? u ? b) ? ? 题: f (u) ? g ( x)u ? h( x) ? 0(或 ? 0)
14.掌握函数 y ? 函 数 定 义 域 值 域 奇 偶 性

?f(a) ? 0 ?f(a) ? 0 (或? ); ?f(b) ? 0 ?f(b) ? 0

ax ? b b ? ac c ?a? (b ? ac ? 0); y ? x ? (c ? 0) 的图象和性质; x?c x?c x ax ? b b ? ac a y? ? a? y ? x ? (a ? 0 ) x?c x?c x (b – ac≠0)

(??,?c) ? (c,??) (??, a) ? (a,??)

(??,0) ? (0,??)

(??,?2 a ] ? [2 a ,??)
奇函数 在 (??,? a ],[ a ,??) 上 单调递增; 在 [? a, 0),(0, a ] 上单调 递增;

非奇非偶函数 当 b-ac>0 时: 分别在

单 调 性

(??,?c), (c,??) 上单调

递减; 当 b-ac<0 时: 分别在
(??,?c), (c,??) 上单调

递增;

y

y



Y=a o X=-c x


o X

三、数列 1.由 Sn 求 an,an={
S1 (n ? 1) Sn ? Sn ?1 (n ? 2, n ? N * )

注意验证 a1 是否包含在后面 an 的公

式中,若不符合要单独列出。一般已知条件中含 an 与 Sn 的关系的数列题均 可考虑用上述公式; 2.等差数列 {an} ? an ? an ?1 ? d (d为常数) ? 2an ? an ?1 ? an ?1 (n ? 2, n ? N*)
? an ? an ? b ? sn ? An2 ? Bn ;

3.等比数列 {a n } ? a n ? a n-1 ? a n ?1 (n ? 2, n ? N) ? a n ? a1 ? q n-1 ; 4.首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前 n 项和的最大(或最
an ? 0 ? ?an ? 0 ? 解决; 小)问题,转化为解不等式 ? ? 或? ? ? ? ? ?an ?1 ? 0? ?an ?1 ? 0 ?

2

5.熟记等差、等比数列的定义,通项公式,前 n 项和公式,在用等比数列前 n 项和公式时,勿忘分类讨论思想; 6.等差数列中, am=an+ (n-m)d,
d?


am ? an m?n

; 等比数列中,an=amqn-m; q= n ? m a n ;
am

7.当 m+n=p+q(m、n、p、q∈N )时,对等差数列{an}有:am+an=ap+aq; 对等比数列{an}有:aman=apaq; 8.若{an}、{bn}是等差数列,则{kan+bbn}(k、b、a 是非零常数)是等差数列; 若{an}、{bn}是等比数列,则{kan} 、{anbn}等也是等比数列; 9.等差(或等比)数列的“间隔相等的连续等长片断和序列” (如 a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9…)仍是等差(或等比)数列; 10.对等差数列{an},当项数为 2n 时,S 偶—S 奇=nd;项数为 2n-1 时,S 奇 -S 偶=a 中(n∈N*) ; 11.若一阶线性递归数列 an=kan-1+b(k≠0,k≠1),则总可以将其改写变形成如 下形式: an ? b ? k (an ?1 ? b ) (n?2), 于是可依据等比数列的定义求出其通项
k ?1 k ?1

公式; 四、三角函数

1.三角函数符号规律记忆口诀:一全正,二正弦,三是切,四余弦; 2.对于诱导公式,可用“奇变偶不变,符号看象限”概括; 3.记住同角三角函数的基本关系,熟练掌握三角函数的定义、图像、性质; 4.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式,正余弦定理,处理三角形内的 三角函数问题勿忘三内角和等于 1800,一般用正余弦定理实施边角互化; 5.正弦型函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的对称轴为 x ? 为(
k? ?

?
2

??

?

(k ? Z ) ;对称中心

k? ? ? ,0)( k ? Z ) ;类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心; ?

6.(1)正弦平方差公式:sin2A-sin2B=sin(A+B)sin(A-B);(2)三角形的内 切圆半径 r=
2 S ?ABC ; (3)三角形的外接圆直径 a?b?c

2R=

a b c ? ? ; sin A sin B sin C

五、平面向量 1.两个向量平行的充要条件,设 a=(x1,y1),b=(x2,y2), ? 为实数。 (1)向量式:a ∥b(b≠0) ? a= ? b;(2)坐标式:a∥b(b≠0) ? x1y2-x2y1=0; 2.两个向量垂直的充要条件, 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2), (1)向量式:a⊥b(b≠ 0) ? a ? b=0; (2)坐标式:a⊥b ? x1x2+y1y2=0; 3.设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a ? b= a b cos? =x1x2+y1y2;其几何意义是 a ? b 等于 a 的长度与 b 在 a 的方向上的投影的乘积; 4.设 A(x1,x2) 、B(x2,y2),则 S⊿AOB= 1 x1 y 2 ? x 2 y1 ;
2

5.平面向量数量积的坐标表示: (1)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a ? b=x1x2+y1y2; AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ;
? (2)若 a=(x,y),则 a2=a ? a=x2+y2, a ? x2 ? y2 ;

六、不等式 1.掌握不等式性质,注意使用条件; 2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不 等式)的解法,尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式;勿忘数轴标 根法,零点分区间法; 3.掌握用均值不等式求最值的方法, 在使用 a+b? 2 ab (a>0,b>0)时要符合 “一
2 2 正二定三相等” ; 注意均值不等式的一些变形, 如 a ? b ? ( a ? b ) 2 ; ab ? ( a ? b ) 2 ;

2

2

2

七、直线和圆的方程 1.设三角形的三个顶点是 A(x1,y1) 、B(x2,y2)、C(x3,y3),则⊿ABC 的重心 G

为( x1 ? x2 ? x3 , y1 ? y 2 ? y3 ) ;
3 3

2.直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2: A2x+B2y+C2=0 垂直的充要条件是 A1A2+B1B2=0; 3.两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离是 d ? C1 ? C 2 ; 2 2
A ?B

4.Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件 :A=C≠0 且 B=0 且 D2+E2 -4AF>0; 5.过圆 x2+y2=r2 上的点 M(x0,y0)的切线方程为:x0x+y0y=r2; 6.以 A(x1,y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0; 7.求解线性规划问题的步骤是: (1)根据实际问题的约束条件列出不等式; (2)作出可行域,写出目标函数; (3)确定目标函数的最优位置,从而获 得最优解; 八、圆锥曲线方程
2 2 1.椭圆焦半径公式:设 P(x0,y0)为椭圆 x 2 ? y 2 ? 1(a>b>0)上任一点,焦点

a

b

为 F1(-c,0),F2(c,0),则 PF ; 1 ? a ? ex0 , PF 2 ? a ? ex0 (e 为离心率) 2.双曲线焦半径公式:设 P(x0,y0)为双曲线 x 2 ? y 2 ? 1(a>0,b>0)上任一点,
a b
2 2

焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),则: (1)当 P 点在右支上时, PF 1 ? a ? ex0 , PF 2 ? ?a ? ex0 ; (2)当 P 点在左支上时, PF (e 为离心率) ; 1 ? ?a ? ex0 , PF 2 ? a ? ex0 ;
2 2 2 2 另:双曲线 x 2 ? y 2 ? 1(a>0,b>0)的渐进线方程为 x 2 ? y 2 ? 0 ;

a

b

a

b

3.抛物线焦半径公式:设 P(x0,y0)为抛物线 y =2px(p>0)上任意一点,F 为 p p 2 焦点, 则 PF ? x 0 ? ; y =2px(p<0)上任意一点, F 为焦点, 则 PF ? ? x0 ? ; 2 2 4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题; 5.共渐进线 y ? ? x 的双曲线标准方程为 x 2 ? y 2 ? ? (? 为参数, ? ≠0) ;
a b

2

b a

2

2

6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式, 一般地,若斜率为 k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为 AB, A、B 两点分 别为 A(x1,y1)、B(x2,y2),则弦长
AB ? 1 ? k 2 ? x2 ? x1 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ]

? 1?

1 1 ? y2 ? y1 ? (1 ? 2 ) ? [( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] ,这里体现了解析几何“设而 2 k k

不求”的解题思想;

7.椭圆、双曲线的通径(最短弦)为 2b ,焦准距为 p= b ,抛物线的通径为
2

2

a

c

2p,焦准距为 p; 双曲线 x 2 ? y 2 ? 1(a>0,b>0)的焦点到渐进线的距离为 b;
a b

2

2

8.中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆,双曲线方程可设为 Ax2+Bx2=1; 9.抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦(过焦点的弦)为 AB,A(x1,y1) 、B(x2,y2),
2 则有如下结论: (1) AB =x1+x2+p;(2)y1y2=-p2,x1x2= p ;

4

10.过椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 (a>b>0) 左焦点的焦点弦为 AB, 则 AB ? 2a ? e( x1 ? x 2 ) ,
a b

2

2

过右焦点的弦 AB ? 2a ? e( x1 ? x 2 ) ; 11.对于 y2=2px(p≠0)抛物线上的点的坐标可设为(
2 y0 ,y0),以简化计算; 2p

12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法,设 A(x1,y1)、
2 2 B(x2,y2)为椭圆 x 2 ? y 2 ? 1(a>b>0)上不同的两点,M(x0,y0)是 AB 的中点,则

a

b

KABKOM= ? b 2 ;对于双曲线 x 2 ? y 2 ? 1(a>0,b>0) ,类似可得:KAB.KOM= b 2 ;
2

2

2

2

a

a

b

a

对于 y =2px(p≠0)抛物线有 KAB= 2 p y1 ? y 2
2

13.求轨迹的常用方法: (1)直接法:直接通过建立 x、y 之间的关系,构成 F(x,y)=0,是求轨迹的 最基本的方法; (2)待定系数法:所求曲线是所学过的曲线:如直线,圆锥曲线等,可先 根据条件列出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程 即可; (3)代入法(相关点法或转移法) :若动点 P(x,y)依赖于另一动点 Q(x1,y1) 的变化而变化,并且 Q(x1,y1)又在某已知曲线上,则可先用 x、y 的代数式表 示 x1、y1,再将 x1、y1 带入已知曲线得要求的轨迹方程; (4)定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲 线的定义直接写出方程; (5)参数法:当动点 P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关 动点可用时,可考虑将 x、y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程, 再消去参数得普通方程。 九、直线、平面、简单几何体 1.从一点 O 出发的三条射线 OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,则点 A 在平 面∠BOC 上的射影在∠BOC 的平分线上; 2. 已知:直二面角 M-AB-N 中, AE ? M, BF ? N,∠EAB= ? 1 ,∠ABF= ? 2 ,

异面直线 AE 与 BF 所成的角为 ? ,则 cos? ? cos?1 cos? 2; 3.立平斜公式:如图,AB 和平面所成的角是 ? 1 ,AC 在平面内,AC 和 AB 的射影 AB 成 ? 2 ,设∠BAC= ? 3 ,则 cos ? 1 cos ? 2 =cos ? 3 ; 4.异面直线所成角的求法: (1)平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行 线; (2)补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六 面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系; 5.直线与平面所成的角 斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角,它的三条边分别是平面的垂 线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平 面的垂线段,垂足和斜足的连线,是产生线面角的关键; 6.二面角的求法 (1)定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点) ,分别在两个半平面内 作棱的垂线,得出平面角,用定义法时,要认真观察图形的特性; (2)三垂线法:已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线,用三垂线 定理或逆定理作出二面角的平面角; (3)垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两 个半平面的交线所成的角即为平面角,由此可知,二面角的平面角所在的平 面与棱垂直; (4)射影法:利用面积射影公式 S 射=S 原 cos ? ,其中 ? 为平面角的大小,此 方法不必在图形中画出平面角; 特别:对于一类没有给出棱的二面角,应先延伸两个半平面,使之相交出现 棱,然后再选用上述方法(尤其要考虑射影法) 。 7.空间距离的求法 (1)两异面直线间的距离,高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直 作出公垂线,然后再进行计算; (2)求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解; (3)求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作,因此, 确定已知面的垂面是关键;二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用 等体积法列方程求解; 8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为 ? ,则 S 侧 cos ? =S 底; 9.已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 ? , ? , ? , 因此 有 cos2 ? +cos2 ? +cos2 ? =1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的 角分别为 ? , ? , ? , 则有 cos2 ? +cos2 ? +cos2 ? =2;

10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长; 11.欧拉公式:如果简单多面体的顶点数为 V,面数为 F,棱数为 E.那么 V+F- E=2;并且棱数 E=各顶点连着的棱数和的一半=各面边数和的一半; 12.球的体积公式 V= ?R 3 ,表面积公式 S ? 4?R 2 ;掌握球面上两点 A、B 间 的距离求法: (1)计算线段 AB 的长, (2)计算球心角∠AOB 的弧度数;(3) 用弧长公式计算劣弧 AB 的长; 十、排列组合和概率
m 1.排列数公式: An =n(n-1)(n-2)?(n-m+1)= ( n?m)! (m?n,m、n∈N*),当 m=n 时 n 为全排列 An =n(n-1)(n-2)?3.2.1;
m 2.组合数公式: Cnm ? An ?

4 3

n!

m!

n ? (n ? 1) ? ? ? (n ? m ? 1) (m?n), C 0 ? C n ? 1 ; n n m ? (m ? 1) ? (m ? 2) ? ? ? 3 ? 2 ? 1

m n ?m r r ?1 r 3.组合数性质: Cn ? Cn ; Cn ? Cn ? Cn?1 ;
r r r r ?1 n n?1 n 4.常用性质:n.n!=(n+1)!-n!;即 nAn ? An ?1 ? An ; Cr ? Cr ?1 ? ? ? ? ? Cn ? Cr ?1 ; (1

?r?n);
r n ?r r 5.二项式定理: (1)掌握二项展开式的通项: Tr ?1 ? Cn a b (r ? 0,1,2,...,n);

(2)注意第 r+1 项二项式系数与第 r+1 系数的区别; 6.二项式系数具有下列性质: (1) 与首末两端等距离的二项式系数相等; n (2) 若 n 为偶数,中间一项(第 +1 项)的二项式系数最大;若 n 为奇数, 2 n ?1 n ?1 中间两项(第 和 +1 项)的二项式系数最大; 2 2
0 1 2 n 0 2 1 3 (3) Cn ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? 2n ; Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? 2n?1 ;

1 7.F(x)=(ax+b)n 展开式的各项系数和为 f(1);奇数项系数和为 [ f (1) ? f (?1)] ; 2 1 偶数项的系数和为 [ f (1) ? f (?1)] ; 2

8.等可能事件的概率公式: (1)P(A)= n ; (2)互斥事件分别发生的概率
m

公式为: P(A+B)=P(A)+P(B); (3) 相互独立事件同时发生的概率公式为 P(AB)
k =P(A)P(B); (4) 独立重复试验概率公式 Pn(k)= Cn ? p k (1 ? p) n?k ; (5)如果事件

A、B 互斥,那么事件 A 与 B 、 A 与 B 及事件 A 与 B 也都是互斥事件; (6)

如果事件 A、B 相互独立,那么事件 A、B 至少有一个不发生的概率是 1-P (AB)=1-P(A)P(B); (6)如果事件 A、B 相互独立,那么事件 A、B 至 少有一个发生的概率是 1-P( A ? B )=1-P( A )P( B ); 理科选修内容基本知识 十、概率与统计 1.理解随机变量,离散型随机变量的定义,能够写出离散型随机变量的分布 列,由概率的性质可知,任意离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质: (1)pi?0,i=1,2,?; (2) p1+p2+?=1;
k k n?k 2.二项分布:记作 ? ~B(n,p),其中 n,p 为参数, P(? ? k ) ? Cn p q , 并记 k k n ?k Cn p q ? b(k; n, p) ;

3.记住以下重要公式和结论:

?
P

x1 P1

X2 P2

? ?

xn Pn

? ?

(1)期望值 E ? = x1p1 + x2p2 + ? + xnpn + ? ; (2)方差 D ? = ( x1 ? E? )2 p1 ? ( x2 ? E? )2 p2 ? ? ? ? ? ( xn ? E? )2 pn ? ? ? ? ; (3)标准差 ?? ? D? ; E(a? ? b) ? aE? ? b; D(a? ? b) ? a2 D? ; (4)若 ? ~B(n,p),则 E ? =np, D ? =npq,这里 q=1- p; 4.掌握抽样的三种方法: (1)简单随机抽样(包括抽签法和随机数表法) ; (2) 系统抽样,也叫等距离抽样; (3)分层抽样,常用于某个总体由差异明显的 几部分组成的情形; 5.总体分布的估计:用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法, 一般地,样本容量越大,这种估计就越精确,要求能画出频率分布表和频率 分布直方图; 6.正态总体的概率密度函数: f ( x) ? 表示总体的平均数与标准差; 7.正态曲线的性质: (1)曲线在 x= ? 时处于最高点,由这一点向左、向右 两边延伸时,曲线逐渐降低; (2)曲线的对称轴位置由确定;曲线的形状由 确定,越大,曲线越矮胖;反过来曲线越高瘦; (3)曲线在 x 轴上方,并且
1 2? ?
( x?? )2

e

2? 2

, x ? R, 式中 ? , ? 是参数,分别

关于直线 x= ? 对称; 8.利用标准正态分布的分布函数数值表计算一般正态分布 N (?,? 2 ) 的概率 P (x1< ? <x2),可由变换 =?(
x2 ? ? ) ? ?( x1 ? ?
x??

?

? t 而得 F ( x) ? ? (

x??

?

) ,于是有 P(x1< ? <x2)

?

?

);

9.假设检验的基本思想: (1)提出统计假设,确定随机变量服从正态分布 (2)确定一次试验中的取值 a 是否落入范围 (? ? 3? , ? ? 3? ) ; (3) N (?, ? 2 ) ; 作出推断: 如果 a∈ (? ? 3? , ? ? 3? ) , 接受统计假设; 如果 a ? (? ? 3? , ? ? 3? ) , 由于这是小概率事件,就拒绝假设; 十一、极限 1.与自然数有关的命题常用数学归纳法证明,其步骤是: (1)验证命题对于 第一个自然数 n=n0 (k?n0)时成立;(2)假设 n=k 时成立,从而证明当 n=k+1 时命题也成立, (3)得出结论。数学归纳法是一种完全归纳法,其中两步在 推理中的作用是:第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,二者缺一不 可。第二步证明时要一凑假设,二凑结论; 2. 数列极限(1)掌握数列极限的直观描述性定义; (2)掌握数列极限的四 则运算法则,注意其适用条件:一是数列{ an}{bn}的极限都存在;二是仅 适用于有限个数列的和、差、积、商,对于无限个数列的和(或积) ,应先 求和(或积) ,再求极限; (3)常用的几个数列极限:lim C ? C (C 为常数) ;
n ??

n ??

lim

1 ?0 n

, lim q n ? 0 ( a <1,q 为常数); (4)无穷递缩等比数列各项和公式
n ??

S ? lim Sn ?
n ??

a1 1? q

(0< q ? 1 );

3.函数的极限: (1)当 x 趋向于无穷大时,函数的极限为 a ? lim f ( x) ? lim f ( x) ? a
n ? ?? n ? ??

f ( x) ? lim f ( x) ? a : (2)当 x ? x0 时函数的极限为 a ? lim ? ?
x ? x0 x ? x0

(3)掌握函数极限的四则运算法则; 4.函数的连续性: (1)如果对函数 f(x)在点 x=x0 处及其附近有定义,而且还 有 lim f ( x) ? f ( x0 ) ,就说函数 f(x)在点 x0 处连续; (2)若 f(x)与 g(x)都在点
x ? x0

x0 处连续,则 f(x)±g(x),f(x)g(x),

f ( x) (g(x)≠0)也在点 x0 处连续; (3)若 u(x) g ( x)

在点 x0 处连续,且 f(u)在 u0=u(x0)处连续,则复合函数 f[u(x)]在点 x0 处也连 续; 5.初等函数的连续性:①指数函数、对数函数、三角函数等都属于基初等函数, 基本初等函数在定义域内每一点处都连续;②基本初等函数及常数函数经有限 次四则运算和复合后所得到的函数,都是初等函数.初等函数在定义域内每一 点处都连续;③连续函数的极限运算:如果函数在点 x0 处有极限,那么
x ? x0

lim f ( x) ? f ( x0 ) ;

十二、导数 1.导数的定义: f(x)在点 x0 处的导数记作 y ? x ? x ? f ?( x0 ) ? lim f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; ?x ?0
0

?x

2.根据导数的定义,求函数的导数步骤为: (1)求函数的增量 (2) ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x); (2)求平均变化率 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ;
?x ?x

(3)取极限,得导数 f ?( x) ? lim ?y ; ?x ? 0
?x

3.可导与连续的关系:如果函数 y=f(x)在点 x0 处可导,那么函数 y=f(x)在点 x0 处连续;但是 y=f(x)在点 x0 处连续却不一定可导; 4.导数的几何意义:曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率是 f ?( x0 ). 相应地,切线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ); 5.导数的四则运算法则: (u ? v)? ? u ? ? v ?; (uv )? ? u ?v ? uv ?; ( )? ?
u v u ?v ? uv ? ; v2

6.常见函数的导数公式: C? ? 0(C为常数);(xm )? ? mxm-1 (m ? Q);(sinx)? ? cosx;
?? (cosx )? ? -sinx; (e x )? ? e x ; (a x ) ? a x l n a(;l n)x 1 1 x e ;( l oa g )? ? l o g a; x x

? ? 7.复合函数的导数: y ? x ? yu ? u x ;

8.导数的应用: (1)利用导数判断函数的单调性:设函数 y=f(x)在某个区间内可导,如 果 f ?( x) ? 0, 那么 f(x)为增函数;如果 f ?( x) ? 0, 那么 f(x)为减函数;如果在某 个区间内恒有 f ?( x) ? 0, 那么 f(x)为常数;

(2)求可导函数极值的步骤:①求导数 f ?( x) ;②求方程 f ?( x) ? 0 的根;③ 检验 f ?( x) 在方程 f ?( x) ? 0 根的左右的符号,如果左正右负,那么函数 y=f(x) 在这个根处取得最大值;如果左负右正,那么函数 y=f(x)在这个根处取得最 小值; (3)求可导函数最大值与最小值的步骤:①求 y=f(x)在(a,b)内的极值;②将 y=f(x)在各极值点的极值与 f(a) 、f(b)比较,其中最大的一个为最大值, 最小的一个是最小值。 十四、复数 1.理解复数、实数、虚数、纯虚数、模、辐角、辐角主值、共轭复数的概念 和复数的几何表示; 2.熟练掌握、灵活运用以下结论:(1)a+bi=c+di ? a=c 且 c=d(a,b,c,d∈R);(2) 复数是实数的条件: ①z=a+bi∈R ? b=0 (a,b∈R);②z∈R ? z= z ;③z∈R ? z2 ?0; 3.复数是纯虚数的条件: ①z=a+bi 是纯虚数 ? a=0 且 b≠0(a,b∈R); ②z 是纯 虚数 ? z+ z =0(z≠0);③z 是纯虚数 ? z2<0; 4.解答复数问题,要学会从整体的角度出发去分析和求解(整体思想贯穿整 个复数内容) 。 如果遇到复数就设 z=a+bi(a,b∈R),则有时会给问题的解答带来 不必要的运算上困难,若能把握住复数的整体性质,充分运用整体思想,则 能事半功倍; 5.复数的代数形式及其运算: (1)复数的加、减、乘、除运算按以下法则进 行,设 z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R) ; z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i. z1.z2 = (a+bi)·
? bd bc ? ad (z ≠0) ; (c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)I ; z1÷z2 = ac ? 2 i 2 2 2 2 c ?d c ?d

6.几个重要的结论:
(1) z1 ? z 2
2

? z1 ? z 2

2

? 2( z1 ? z 2 ); (2) z ? z ? z ? z ; (3)若z为虚数,则 z ? z 2 ;

2

2

2

2

2

6.运算律仍然成立: (1) z m ? z n ? z m?n ; (2)(z m ) n ? z mn ; (3)(z1 ? z2 ) m ? z1m z2 m (m, n ? N ); 7.进行复数的运算时,常要注意 i, ?的性质, 或适当变形创造条件,从而转化为 关于 i, ?的 计算问题.注意以下结论的灵活应用:

?1?(1 ? i) 2 ? ?2i; ?2? 1 ? i ? i; 1 ? i ? ?i;
1? i 1? i

(3)? n ? ? n ?1 ? ? n ? 2 ? 0(n ? N ); (4)i n ? i n ?1 ? i n ? 2 ? i n ? 3 ? 0(n ? N );

1 8. z ? 1 ? z z ? 1 ? z ? ; z

文科选修内容基本知识 十、抽样方法、总体分布的估计与总体的期望和方差 1.掌握抽样的二种方法: (1)简单随机抽样(包括抽签符和随机数表法) ; (2) 分层抽样,常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形; 2.总体分布的估计:用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法, 一般地,样本容量越大,这种估计就越精确,要求能画出频率分布表和频率 分布直方图; 3.总体特征数的估计: (1)学会用样本平均数 x ? 1 ( x1 ? x 2 ? ? ? ? ? x n ) ? 1 ? xi 去
n n
i ?1 n

估计总体平均数; (2)学会用样本方差 S 2
?

?

1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] n
2

1 n 1 n ( xi ? x ) 2 ? ? ( xi2 ? nx 2 ) 去估计总体方差 ? ? n i ?1 n i ?1

及总体标准差; (2)学会用修

2 正的样本方差 S * ? 1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x 2 ? x ) 2 ? ? ? ? ? ( x n ? x ) 2 ] 去估计总体方差

n ?1

? 2 ,会用 S * 去估计 ? ;
十一、导数及应用 1.导数的定义: f(x)在点 x0 处的导数记作 y ? x ? x ? f ?( x0 ) ? lim f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; ?x ?0
0

?x

2.根据导数的定义,求函数的导数步骤为: (1)求函数的增量 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x); (2)求平均变化率 ?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x) ;
?x ?x

(3)取极限,得导数 f ?( x) ? lim ?y ; ?x ? 0
?x

3.导数的几何意义: 曲线 y=f (x) 在点 P (x0,f(x0)) 处的切线的斜率是 f ?( x0 ). 相应地,切线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ); 4.常见函数的导数公式: C ? ? 0(C为常数); (x m )? ? mxm-1 (m ? Q); 5.导数的应用: (1)利用导数判断函数的单调性:设函数 y=f(x)在某个区 间内可导,如果 f ?( x) ? 0, 那么 f(x)为增函数;如果 f ?( x) ? 0, 那么 f(x)为减函 数;如果在某个区间内恒有 f ?( x) ? 0, 那么 f(x)为常数; (2)求可导函数极值的步骤:①求导数 f ?( x) ;②求方程 f ?( x) ? 0 的根;③

检验 f ?( x) 在方程 f ?( x) ? 0 根的左右的符号,如果左正右负,那么函数 y=f(x) 在这个根处取得最大值;如果左负右正,那么函数 y=f(x)在这个根处取得最 小值; (3)求可导函数最大值与最小值的步骤:①求 y=f(x)在(a,b)内的极值;②将 y=f(x)在各极值点的极值与 f(a) 、f(b)比较,其中最大的一个为最大值, 最小的一个是最小值。 中学数学重要数学思想 一、 函数方程思想 函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系,从 而解决问题的一种思维方式,是很重要的数学思想。 1.函数思想:把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来,并研 究这些量间的相互制约关系,最后解决问题,这就是函数思想; 2.应用函数思想解题,确立变量之间的函数关系是一关键步骤,大体可分为下面 两个步骤: (1)根据题意建立变量之间的函数关系式,把问题转化为相应的函数 问题; (2)根据需要构造函数,利用函数的相关知识解决问题; (3)方程思想: 在某变化过程中,往往需要根据一些要求,确定某些变量的值,这时常常列出这 些变量的方程或(方程组) ,通过解方程(或方程组)求出它们,这就是方程思 想; 3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念,它们之间相互渗透,很多方程的 问题需要用函数的知识和方法解决,很多函数的问题也需要用方程的方法的支 援,函数与方程之间的辩证关系,形成了函数方程思想。 二、 数形结合思想 数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一,对于所研究的代数问题,有时可 研究其对应几何的性质使问题得以解决(以形助数) ;或者对于所研究的几何问 题,可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决(以数助形) ,这种解决问题 的方法称之为数形结合。 1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性,发挥数的思路的 规范性与严密性,两者相辅相成,扬长避短。
2.恩格斯是这样来定义数学的: “数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学” 。这就是说:数形结合 是数学的本质特征,宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。因此,数学学习中突出数形结合思想正是 充分把握住了数学的精髓和灵魂。

3.数形结合的本质是:几何图形的性质反映了数量关系,数量关系决定了几何图 形的性质。 4.华罗庚先生曾指出: “数缺性时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔 裂分家万事非。 ”数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形:或 借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助于形的几何直观性来阐明数之 间的某种关系.
5.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中,历年高考的解答题都有关于这个方面的考查(即用代数 方法研究几何问题) 。而以形为手段的数形结合在高考客观题中体现。

6.我们要抓住以下几点数形结合的解题要领:

(1) 对于研究距离、角或面积的问题,可直接从几何图形入手进行求解即可; (2) 对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题,可通过函数的图象求解(函 数的零点,顶点是关键点) ,作好知识的迁移与综合运用; (3) 对于以下类型的问题需要注意: y?a (1) ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ; (2) ; (3) Ax ? By ; (4) F (cos? , sin? );(5)a2 ? ab ? b2 ; 可分别 x?b 通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆 x2+y2=1 上的点 (cos? , sin ? ) 及 余弦定理进行转化达到解题目的。 三、 分类讨论的数学思想 分类讨论是一种重要的数学思想方法,当问题的对象不能进行统一研究时,就需 要对研究的对象进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结果,最终综 合各类结果得到整个问题的解答。 1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决,引起分类讨论的原因 大致可归纳为如下几种: (1)涉及的数学概念是分类讨论的; (2)运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的; (3)求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性; (4)数学问题中含有参变量,这些参变量的不同取值导致不同的结果的; (5)较复杂或非常规的数学问题,需要采取分类讨论的解题策略来解决的。 2.分类讨论是一种逻辑方法,在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准可以 有不同的分类方法,但分类必须从同一标准出发,做到不重复,不遗漏 ,包含 各种情况,同时要有利于问题研究。 四、 化归与转化思想 所谓化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过 变换使之转化,进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂的问题通过变化转化 为简单的问题,将难解问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题转 化为已解决的问题。 立体几何中常用的转化手段有 1.通过辅助平面转化为平面问题,把已知元素和未知元素聚集在一个平面内,实 现点线、线线、线面、面面位置关系的转化; 2.平移和射影,通过平移或射影达到将立体几何问题转化为平面问题,化未知为 已知的目的; 3.等积与割补; 4.类比和联想; 5.曲与直的转化; 6.体积比,面积比,长度比的转化; 7.解析几何本身的创建过程就是“数”与“形”之间互相转化的过程。解析几何 把数学的主要研究对象数量关系与几何图形联系起来,把代数与几何融合为一 体。 中学数学常用解题方法

1. 配方法 配方法是指将一代数形式变形成一个或几个代数式平方的形式,其基本形式 是:ax2+bx+c= a( x ? b ) 2 ? 4ac ? b (a ? 0) .高考中常见的基本配方形式有:
2

2a

4a

(1) a +b = (a + b) - 2a b = (a -b) 2+ 2 ab; (2) (2) a2+ b2+ ab = (a ? 1 b) 2 ? ( 3 b) 2 ;
2 2

2

2

2

(3) (3)a + b +c = (a+b + c) - 2 ab – 2 a c – 2 bc; (4) (4) a2+ b2+ c2- a b – bc – a c = (5) x 2 ?
1 1 ? ( x ? )2 ? 2 ; 2 x x 1 [(a 2

2

2

2

2

- b)2 + (b - c)2 + (a - c)2];

配方法主要适用于与二次项有关的函数、方程、等式、不等式的讨论,求解 与证明及二次曲线的讨论。 2.待定系数法 ㈠ 待定系数法是把具有某种确定性时的数学问题,通过引入一些待定的系数, 转化为方程组来解决。待定系数法的主要理论依据是: (1)多项式 f(x)=g(x)的充要条件是:对于任意一个值 a,都有 f(a)=g(a); (2)多项式 f(x) ≡g(x)的充要条件是:两个多项式各同类项的系数对应相等; ㈡ 运用待定系数法的步骤是: (1)确定所给问题含待定系数的解析式(或曲线方程等) ; (2)根据恒等条件,列出一组含待定系数的方程; (3)解方程或消去待定系数,从而使问题得到解决; ㈢ 待定系数法主要适用于:求函数的解析式,求曲线的方程,因式分解等。 3.换元法 换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量(或代数式) ,对 新的变量求出结果之后,返回去求原变量的结果。换元法通过引入新的元素将分 散的条件联系起来,或者把隐含的条件显示出来,或者把条件与结论联系起来, 或者变为熟悉的问题。其理论根据是等量代换。高中数学中换元法主要有以下两 类: (1)整体换元:以“元”换“式” ; (2)三角换元 ,以“式”换“元” ; (3)此外,还有对称换元、均值换元、万能换元等;换元法应用比较广泛。如 解方程,解不等式,证明不等式,求函数的值域,求数列的通项与和等,另外在 解析几何中也有广泛的应用。运用换元法解题时要注意新元的约束条件和整体置 换的策略。 4.向量法 向量法是运用向量知识解决问题的一种方法,解题常用下列知识: (1)向量的几何表示,两个向量共线的充要条件; (2)平面向量基本定理及其 理论; (3)利用向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题; (4)两点间距离公式、线段的定比分点公式、平移公式;

5.分析法、综合法 (1)分析法是从所求证的结果出发,逐步推出能使它成立的条件,直至已知的 事实为止;分析法是一种“执果索因”的直接证法。 (2)综合法是从已经证明的结论、公式出发,逐步推出所要求证的结论。综合 法是一种“由因导果” ,叙述流畅的直接证法。 (3)分析法、 综合法是证明数学问题的两大最基本的方法。分析法“执果索因” 的分析方法,思路清晰,容易找到解题路子,但书写格式要求较高,不容易叙述 清楚,所以分析法、综合法常常交替使用。分析法、 综合法应用很广,几乎所 有题都可以用这两个方法来解。 6.反证法 反证法是数学证明的一种重要方法, 因为命题 p 与它的否定非 p 的真假相反, 所以要证一个命题为真,只要证它的否定为假即可。这种从证明矛盾命题(即命 题的否定)为假进而证明命题为真的证明方法叫做反证法。 ㈠ 反证法证明的一般步骤是: (1)反设:假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立; (2)归谬:从命题的条件和所作的结论出发,经过正确的推理论证,得出矛盾的结 果; (3)结论:有矛盾判定假设不正确,从而肯定的结论正确; ㈡ 反证法的适用范围: (1)已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少时的 命题; (2) 结论的反面是比原结论更具体、 更简单的命题, 特别是结论是否定形式 ( “不 是” 、 “不可能” 、 “不可得” )等的命题; (3)涉及各种无限结论的命题; (4)以 “最多(少) 、若干个”为结论的命题; (5)存在性命题; (6)唯一性命题; (7) 某些定理的逆定理; (8)一般关系不明确或难于直接证明的不等式等。 ㈢ 反证法的逻辑依据是“矛盾律”和“排中律” 。 7.另外:还有数学归纳法、同一法、整体代换法等.

(合江中学高 05 级数学备课组

选编)



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