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数学方程根与函数零点



高中数学 (1.1 方程的根与函数的零点 第 1 课时)示范教案 新人 教 A 版必修 1
本章教材分析 函数的应用是学习函数的一个重要方面 .学生学习函数的应用,目的就是利用已有的函数知 识分析问题和解决问题.通过函数的应用,对完善函数的思想,激发应用数学的意识,培养分 析问题、解决问题的能力,增强实践的能力等,都有很大的帮助. 本章主要内容:函数与方程、函数模型及其应用、实习作业和小结.在函数与方程这一节中 课本从学生最熟悉的二次函数入手, 通过研究方程的根与函数的零点的关系, 使函数的图象 与性质得到充分的应用,同时也展现了函数和方程的密切关系.求函数零点的近似解不仅展 示了数学方法的严谨性、科学性,也为计算机的应用提供了广阔的空间.让学生进一步受到 数学思想方法的熏陶,激发学生的学习热情. 在函数模型及其应用这一节中让学生近距离接近社会生活, 从生活中学习数学, 使数学在社 会生活中得到应用和提高,让学生体会到数学是有用的,从而培养学生的学习兴趣.“数学 建模”也是高考考查的重点. 本章还是数学思想方法的载体,学生在学习中会经常用到“函数方程思想”“数形结合思 想”“转化思想”,从而提高自己的数学能力. 因此应从三个方面把握本章:(1)知识间的联系;(2)数学思想方法;(3)认知规律. 本章教学时间约需 9 课时,具体分配如下(仅供参考): 3.1 函数与方程 3.2 函数模型及其应用 实习作业 本章复习 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点 整体设计 教学分析 函数作为高中的重点知识有着广泛应用,与其他数学内容有着有机联系.课本选取探究具体 的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标之间的关系作为本 节内容的入口, 其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识, 使新知识与原有知识形成联系. 本节设计特点是由特殊到一般, 由易到难, 这符合学生的认知规律; 本节体现的数学思想是: “数形结合”思想和“转化”思想.本节充分体现了函数图象和性质的应用.因此, 把握课本 要从三个方面入手:新旧知识的联系,学生认知规律,数学思想方法.另外,本节也是传统 数学方法与现代多媒体完美结合的产物. 三维目标 1.让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系, 学会结合函数图象性质判断方程 根的个数,学会用多种方法求方程的根和函数的零点. 2.通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律, 在今后学习中利用这一规律探索 更多的未知世界. 3.通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律, 还要让学生充分体验“数学语言”的 严谨性,“数学思想方法”的科学性,体会这些给他们带来的快乐. 重点难点 根据二次函数图象与 x 轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数;函数零点的概念. 约 3 课时 约 4 课时 约 1 课时 约 1 课时

课时安排 2 课时 第 1 课时 教学过程 方程的根与函数的零点

导入新课 思路 1.(情景导入) 据新华社体育记者报道:昨晚足球比赛跌宕起伏,球迷经历了大喜到大悲,再到大喜的过程 (领先则喜,落后即悲). 请问:整场足球比赛出现几次“比分相同”的时段?学生思考或讨论回答: 三次 :(1) 开场 ;(2) 由领先到落后必经过“比分相同”时段 ;(3) 由落后到领先必经过“平 分”时段. 教师点拨: 足球比赛有“落后”“领先”“比分相同”,函数值有“负”“正”“零”,函数 图象与足球比赛一样跌宕起伏.由此导入课题,为后面学习埋好伏笔. 思路 2.(事例导入) (多媒体动画演示)一枚炮弹从地面发射后,炮弹的高度随时间变化的函数 2 关系式为 h=20t-5t ,问炮弹经过多少秒回到地面? 2 炮弹回到地面即高度 h=0,求方程 20t-5t =0 的根,得 t=4 秒.如图 3-1-1-1.

图 3-1-1-1 思路 3.(直接导入) 教师直接点出课题:上一章我们研究函数的图象性质,这一节我们讨论函数的应用,方程的 根与函数的零点. 推进新课 新知探究 提出问题 2 2 ①求方程 x -2x-3=0 的根,画函数 y=x -2x-3 的图象. 2 2 ②求方程 x -2x+1=0 的根,画函数 y=x -2x+1 的图象. 2 2 ③求方程 x -2x+3=0 的根,画函数 y=x -2x+3 的图象. ④观察函数的图象发现:方程的根与函数的图象和 x 轴交点的横坐标有什么关系? ⑤如何判断一元二次方程根的个数, 如何判断二次函数图象与 x 轴交点的个数, 它们之间有 什么关系? ⑥归纳函数零点的概念. ⑦怎样判断函数是否有零点? ⑧函数的图象不易画出,又不能求相应方程的根时,怎样判断函数是否有零点? 活动:先让学生思考或讨论后再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬,对 回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路: 问题①:先求方程的两个根,找出抛物线的顶点,画出二次函数的图象(图 3-1-1-2).

问题②:方程有一个根,说明抛物线的顶点在 x 轴上(图 3-1-1-3). 问题③:方程没有实数根,抛物线与 x 轴没有交点,找出抛物线的顶点是画二次函数图象的 关键(图 3-1-1-4). 问题④:方程的根与函数的图象和 x 轴交点的横坐标都是实数. 问题⑤:对于其他函数这个结论正确吗? 问题⑥:函数的零点是一个实数. 问题⑦:可以利用“转化思想”. 问题⑧:足球比赛中从落后到领先是否一定经过“平分”?由此能否找出判断函数是否有零 点的方法?函数图象穿过 x 轴则有零点,怎样用数学语言描述呢? 讨论结果:①方程的两个实数根为-1,3. ②方程的实数根为 1. ③方程没有实数根. ④方程的根就是函数的图象与 x 轴交点的横坐标. ⑤一元二次方程根的个数, 就是二次函数图象与 x 轴交点的个数, 可以用判别式来判定一元 二次方程根的个数.a.当 Δ >0 时,一元二次方程有两个不等的实根 x1、x2,相应的二次函数 的图象与 x 轴有两个交点(x1,0)、(x2,0);b.当 Δ =0 时,一元二次方程有两个相等的实根 x1=x2,相应的二次函数的图象与 x 轴有唯一的交点(x1,0);c.当 Δ <0 时,一元二次方程没有 实根,相应的二次函数的图象与 x 轴没有交点. ⑥一般地,对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点. ⑦方程 f(x)=0 有实根 ? 函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y=f(x)有零点. 2 2 ⑧观察二次函数 f(x)=x -2x-3 的图象,我们发现函数 f(x)=x -2x-3 在区间[-2,1] 上有零点.计算 f(-2)与 f(1)的乘积,发现这个乘积特点是小于零.在区间[2,4] 2 同样如此.可以发现,f(-2)f(1)<0,函数 y=x -2x-3 在区间(-2,1)内有零点 x=-1,它是方程 2 2 x -2x-3=0 的一个根.同样地,f(2)f(4)<0,函数 y=x -2x-3 在(2,4)内有零点 x=3,它是方程 2 x -2x-3=0 的另一个根.

图 3-1-1-2 应用示例

图 3-1-1-3

图 3-1-1-4

思路 1 例 1 已知函数 f(x)=|x -2x-3|-a 分别满足下列条件,求实数 a 的取值范围. (1)函数有两个零点; (2)函数有三个零点; (3)函数有四个零点. 活动:根据零点概念,学生先思考或讨论后再回答,教师点拨、提示并及时评价学生.因为 2 2 函数 f(x)=|x -2x-3|-a 的零点个数不易讨论, 所以可转化为方程|x -2x-3|-a=0 根的个数来 2 2 讨论,即转化为方程|x -2x-3|=a 的根的个数问题 , 再转化为函数 f(x)=|x -2x-3| 与函数 f(x)=a 交点个数问题. 2 解:设 f(x)=|x -2x-3|和 f(x)=a 分别作出这两个函数的图象(图 3-1-1-5),它们交点的个
2

数,即函数 f(x)=|x -2x-3|-a 的零点个数.

2

图 3-1-1-5 (1)若函数有两个零点,则 a=0 或 a>4. (2)若函数有三个零点,则 a=4. (3)函数有四个零点,则 0<a<4. 变式训练 1.判断函数 y=|x-1|-2 零点的个数. 解:通过分类讨论把绝对值函数转化为分段函数,作出函数图象(图 3-1-1-6),

图 3-1-1-6 函数 y=|x-1|-2 的图象与 x 轴有两个交点,所以函数 y=|x-1|-2 有两个零点. 2 2.求证:函数 f(x)=2x -3x-2 有两个零点. 2 2 证法一:因为一元二次方程 2x -3x-2=0 的判别式 Δ =3 +4×2×2=25>0, 2 2 所以一元二次方程 2x -3x-2=0 有两个不相等的实根,所以函数 f(x)=2x -3x-2 有两个零点. 2 证法二:因为一元二次方程 2x -3x-2=0 可化为(2x+1)(x-2)=0, 所以一元二次方程 2x -3x-2=0 有两个不相等的实根 x1=2,x2= ?
2 2

1 . 2

所以函数 f(x)=2x -3x-2 有两个零点. 2 证法三:因为函数 f(x)=2x -3x-2 的图象是一条开口向上的抛物线, 且顶点在 x 轴的下方,即 2 f(0)=-2<0,所以函数 f(x)=2x -3x-2 有两个零点.如图 3-1-1-6.

图 3-1-1-7 点评:判断函数零点个数可以结合函数的图象. 方法:零点?函数方程的根?两图象交点. 数学思想:转化思想和数形结合思想. 2 例 2 若关于 x 的方程 3x -5x+a=0 的一根在(-2,0)内,另一个根在(1,3)内,求 a 的取值范 围. 活动:学生自己思考或讨论,再写出(最好用实物投影仪展示写的正确的答案).教师在学生

中巡视其他学生的解答,发现问题及时纠正,并及时评价. 如果用求根公式与判别式来做,运算量很大,能否将问题转化?借助二次函数的图象,从图 象中抽出与方程的根有关的关系式,使得问题解答大大简化.引导学生画出函数的图象观察 分析. 2 解:设 f(x)=3x -5x+a,则 f(x)为开口向上的抛物线,如图 3-1-1-8:

图 3-1-1-8 因为 f(x)=0 的两根分别在区间(-2,0)、(1,3)内,

? f (?2) ? 0, ?22 ? a ? 0, ? f (0) ? 0, ?a ? 0, ? ? 所以 ? 即? 故所求 a 的取值范围是-12<a<0. ? f (1) ? 0, ?? 2 ? a ? 0, ? ? ? f (3) ? 0, ?12 ? a ? 0.
变式训练 2 2 关于 x 的方程 x -ax+a -7=0 的两个根一个大于 2,另一个小于 2,求实数 a 的取值范围. 2 2 解:设 f(x)=x -ax+a -7,图象为开口向上的抛物线(如图 3-1-1-9). 2 2 因为方程 x -ax+a -7=0 的两个根一个大于 2,另一个小于 2, 2 2 所以函数 f(x)=x -ax+a -7 的零点一个大于 2,另一个小于 2. 2 2 即函数 f(x)=x -ax+a -7 的图象与 x 轴的两个交点在点(2,0)的两侧. 2 只需 f(2)<0,即 4-2a+a -7<0,所以-1<a<3.

图 3-1-1-9 思路 2 2 例 1 若方程 2ax -x-1=0 在(0,1)内有解,求实数 a 的取值范围. 活动:学生先思考或讨论,再回答.教师根据实际,可以提示引导: ①有解包括有一解和有两解,要分类讨论. ②用一般解法固然可以,若结合函数图象观察分析,可以找到捷径. ③有两种情况:a.a=0;b.a≠0,Δ ≥0. 2 解:令 f(x)=2ax -x-1, 2 (1)当方程 2ax -x-1=0 在(0,1)内恰有一个解时,f(0)·f(1)<0 或 a≠0 且 Δ =0, 由 f(0)·f(1)<0,得(-1)(2a-2)<0,所以 a>1.由 Δ =0,得 1+8a=0,a= ?

1 8

∴方程为 ?

1 2 x -x-1=0,即 x=-2 ? (0,1)(舍去).综上可得 a>1. 4
2

(2)当方程 2ax -x-1=0 在(0,1)内有两个解时,则

?a ? 0, ?a ? 0, ? f (0) ? 0, ? f (0) ? 0, ? ? ? f (1) ? 0, ? f (1) ? 0, ? ? ? ? 1 1 ?0 ? ? 1, 或 ?0 ? ? 1, 4a 4a ? ? ? 1 ? 1 ? f ( ) ? 0 ? f ( ) ? 0, ? 4a ? 4a ? ? ? ?
容易解得实数 a 不存在. 综合(1)(2),知 a>1. 变式训练 2 若方程 ax +3x+4a=0 的根都小于 1,求实数 a 的取值范围. 解:(1)当 a=0 时,x=0 满足题意. 2 (2)当 a≠0 时,设 f(x)=ax +3x+4a. 2 方法一:若方程 ax +3x+4a=0 的根都小于 1,则

3 ? 3 ?? ? 9 ? 16a 2 ? 0, ?? ? a ? , 4 4 ? ? 3 ? 3 ?a ? 0或a ? ?1.5, ? 1, ∴? ∴0<a≤ . ?? 4 ? 2a ?a ? 0或a ? ?0.6, ? ? ?af (1) ? 0, ? ? 3 综上(1)(2),得 0≤a≤ . 4
方法二:若方程 ax +3x+4a=0 的根都小于 1,则
2

?? ? 9 ? 16a 2 ? 0, ?? ? 9 ? 16a 2 ? 0, ? ? ∴ ? x1 ? x 2 ? 2, ? x1 ? x 2 ? 2, ?( x ? 1)(x ? 1) ? 0, ? x x ? ( x ? x ) ? 1 ? 0, 2 1 2 ? 1 ? 1 2

? ?? ? 9 ? 16a 2 ? 0, ? 3 ? 3 解得 0<a≤ . ?? ? 2, 4 ? a 3 ? 4 ? ? 1 ? 0, ? a ?
综上(1)(2),得 0≤a≤

3 . 4

点评:有两种方法:(1)结合函数图象利用函数符号列不等式组. (2)代数方法,利用根与系数关系结合判别式列不等式组.

例 2 设二次函数 f(x)=ax +bx+c(a>0),方程 f(x)-x=0 的两个根为 x1、x2,满足 0<x1<x2< (1)当 x∈(0,x1)时,求证:x<f(x)<x1; (2)设函数 f(x)的图象关于直线 x=x0 对称,求证:x0<

2

1 . a

x1 . 2

活动: 根据方程与函数关系, 学生先思考或讨论后再回答, 教师点拨、 提示并及时评价学生. 因为方程 f(x)-x=0 的两个根为 x1、x2,可考虑把 f(x)-x 设为双根式,然后判断其符号,再 考虑二次函数的双根与二次函数对称轴的关系. 证明:(1)∵x1、x2 是方程 f(x)-x=0 的两个根,且 0<x1<x2<

1 , a

∴当 x∈(0,x1)时,有 f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)=a(x1-x)(x2-x)>0,即 f(x)-x>0. 又 ∵f(x)-x=a(x1-x)(x2-x)<a·

1 (x1-x)=x1-x, 即 f(x)-x<x1-x, 故 0<f(x)-x<x1-x, 即 a

x<f(x)<x1. 2 (2)∵f(x)-x=ax +(b-1)x+c,且 f(x)-x=0 的两个根为 x1、x2, ∴二次函数 f(x)-x 的对称轴为 x= 又由已知,得 x0= ?

x1 ? x 2 b ?1 x b 1 x2 ? ? . =? .∴ 1 = ? 2a 2 2 2a 2a 2

b x 1 x2 ? . ,∴ 1 =x0+ 2a 2 2a 2 1 1 x2 x 1 x2 x ? >0.故 1 =x0+ ? >x0,即 x0< 1 . 又∵x2< ,∴ a 2a 2 2 2a 2 2
变式训练 1.已知二次函数 f(x)满足 f(3-x)=f(3+x),且其两零点分别为 x1、x2,求 x1+x2. 解:∵对任意 x 都有 f(3-x)=f(3+x),∴函数 f(x)的图象上有两点(3-x,y)、(3+x,y)关于 x=3 对称. ∴二次函数 f(x)的对称轴为 x=3. ∵x1、x2 为二次函数 f(x)的两个零点, ∴x1+x2=6. 2.若函数 f(x)满足 f(3-x)=f(3+x),且函数 f(x)有 6 个零点,求所有零点的和. 解:同理函数 f(x)的对称轴为 x=3,∴3(x1+x2)=18. 点评:①二次函数的双根与二次函数解析式的关系是:若二次项系数为 a,两个根为 x1、x2, 则二次函数解析式为 f(x)=a(x-x1)(x-x2). ②二次函数的双根与二次函数对称轴的关系是:二次函数 f(x)的对称轴为 x=

x1 ? x 2 . 2

总之:二次函数的双根是联系函数与方程的桥梁和纽带,应仔细体会、准确把握. 知能训练 x 讨论函数 y=e +4x-4 的零点的个数. 活动:鼓励学生说出自己的见解,并说明理由.函数零点问题是函数的重要应用,离不开函 数的图象和性质. x x (1)利用 f(a)f(b)<0 及函数的单调性.(2)作出 y=e 和 y=4-4x 的图象,把函数 y=e +4x-4 的 x 零点的个数转化为方程 e =4-4x 根的个数,再转化为上述两函数图象交点的个数. 解:(方法一)利用计算机作出 x,f(x)的对应值表:

x f(x)

0 -3

1 2.71828

由表和图可知,f(0)<0,f(1)>0,则 f(0)f(1)<0,这说明 f(x)在区间(0,1)内有零点,由于函 数在定义域(-∞,+∞)内是增函数,所以它仅有一个零点. x (方法二)作出 y=e 和 y=4-4x 的图象(图 3-1-1-10),即可直观地看出零点的个数为 1.

图 3-1-1-10 总结点评:讨论函数零点个数问题是函数的重要应用,由于函数与方程的特殊关系,所以这 个问题常用的方法是:(1)解方程;(2)画图象;(3)利用 f(a)f(b)<0 及函数的单调性;同时这 些方法是有机联系的. 拓展提升 2 1.2007 山东青岛高三教学质量检测,理 19 已知 m∈R,设 P:x1 和 x2 是方程 x -ax-2=0 的两个根, 不等式|m-5|≤|x1-x2|对任意实数 a∈[1,2]恒成立;Q:函数 f(x)=3x +2mx+m+ 不同的零点,求使 P 和 Q 同时成立的实数 m 的取值范围.
2 解:由题意知 x1+x2=a,x1x2=-2,∴|x1-x2|= (x 1 ? x 2 ) - 4x 1 x 2 = a 2 ? 8 .
2

4 有两个 3

当 a∈[1,2]时, a 2 ? 8 的最小值为 3. 要使|m-5|≤|x1-x2|对任意实数 a∈[1,2]恒成立,只需|m-5|≤3,即 2≤m≤8. 由已知得 Q 中:f(x)=3x +2mx+m+
2

4 4 2 2 的判别式 Δ =4m -12(m+ )=4m -12m-16>0, 得 m<-1 或 m>4. 3 3

综上,要使 P 和 Q 同时成立,只需 ?

?2 ? m ? 8, 解得实数 m 的取值范围是(4,8]. ?m ? ?1或m ? 4,

2.如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且 f(a)f(b)>0,那么 函数 y=f(x)在区间(a,b)内是否有零点?可能有几个零点? 活动:学生先思考或讨论,再回答.利用函数图象进行探索分析: ①有没有零点?②零点的个数是奇数还是偶数? 解析:零点个数可以是任意自然数.下面讨论在区间[-3,3]上函数零点个数, (1)可能没有零点如图(图 3-1-1-11).

图 3-1-1-11 (2)可能有一个零点如图(图 3-1-1-12).

图 3-1-1-12

(3)可能有两个零点如图(图 3-1-1-13).

图 3-1-1-13 图 3-1-1-14 (4)可能有三个零点如图(图 3-1-1-14). * (5)可能有 n(n∈N )个零点,图略. 点评:在区间[-3,3]上函数零点个数可以是任意自然数.借助计算机可以验证同学们的判 断,激发学生学习兴趣. 课堂小结 本节学习了:①零点的概念;②零点的判断方法;③利用函数的单调性证明零点的个数;④零 点的应用. 学习方法:由特殊到一般的方法. 数学思想:转化思想、数形结合思想. 作业 课本 P88 练习 1. 设计感想 本节以事例导入,该事例是学生很感兴趣的话题,发人深思而紧贴本节主题,为后面讲解埋好 了伏笔.因为二次函数、 二次方程永远是高考的重点,所以本节结合二次函数的图象性质详实 讨论了有关二次函数的零点和二次方程的根的问题.本节不仅选用了一些传统经典的题目进 行方法总结,还搜集了一些最新的高三模拟题加以充实提高.另外,本节目的明确、 层次分明、 难度适中,对学生可能产生兴趣的问题进行了拓展,希望大家喜欢.



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