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八年级数学一次函数教案



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变量与函数(1) 知识技能目标 1.掌握常量和变量、自变量和因变量(函数)基本概念; 2.了解表示函数关系的三种方法:解析法、列表法、图象法,并会用解析法表示数量关系. 过程性目标 1.通过实际问题,引导学生直观感知,领悟函数基本概念的意义; 2.引导学生联系代数式和方程的相关知识,继续探索数量关系,增强数学建模意识

,列出函数关系式. 教学过程 一、创设情境 在学习与生活中,经常要研究一些数量关系,先看下面的问题. 问题 1 如图是某地一天内的气温变化图.

看图回答: (1)这天的 6 时、10 时和 14 时的气温分别为多少?任意给出这天中的某一时刻,说出这一时刻的气温. (2)这一天中,最高气温是多少?最低气温是多少? (3)这一天中,什么时段的气温在逐渐升高?什么时段的气温在逐渐降低?解 (1)这天的 6 时、10 时和 14 时的气温分别为-1℃、2℃、5℃; (2)这一天中,最高气温是 5℃.最低气温是-4℃; (3)这一天中,3 时~14 时的气温在逐渐升高.0 时~3 时和 14 时~24 时的气温在逐渐降低. 从图中我们可以看到,随着时间 t(时)的变化,相应地气温 T(℃)也随之变化.那么在生活中是否还有其 它类似的数量关系呢? 二、探究归纳 问题 2 银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率,下表是 2002 年 7 月中国工商银行为“整存整取” 的存款方式规定的年利率:

观察上表,说说随着存期 x 的增长,相应的年利率 y 是如何变化的. 解 随着存期 x 的增长,相应的年利率 y 也随着增长. 问题 3 收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的.下面是一些对应的数值:

观察上表回答: (1)波长 l 和频率 f 数值之间有什么关系?
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(2)波长 l 越大,频率 f 就________. 解 (1) l 与 f 的乘积是一个定值,即 lf=300 000,

或者说

f =

300000 l .

(2)波长 l 越大,频率 f 就 越小 . 问题 4 圆的面积随着半径的增大而增大.如果用 r 表示圆的半径,S 表示圆的面积则 S 与 r 之间满足下列 关系:S=_________. 利用这个关系式,试求出半径为 1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm 时圆的面积,并将结果填入下表:

由此可以看出,圆的半径越大,它的面积就_________. 解 S=πr2.

圆的半径越大,它的面积就越大. 在上面的问题中,我们研究了一些数量关系,它们都刻画了某些变化规律.这里出现了各种各样的量,特 别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量.例如问题 1 中,刻画气温变化规律的量是时间 t 和气温 T,气温 T 随着时间 t 的变化而变化,它们都会取不同的数值.像这样在某一变化过程中,可以取不同数 值的量,叫做变量(variable). 上面各个问题中,都出现了两个变量,它们互相依赖,密切相关.一般地,如果在一个变化过程中,有两 个变量,例如 x 和 y,对于 x 的每一个值,y 都有惟一的值与之对应,我们就说 x 是自变量(independent variable),y 是因变量(dependent variable),此时也称 y 是 x 的函数(function).表示函数关系的方法通常有 三种:

(1)解析法,如问题 3 中的

f =

300000 l ,问题 4 中的 S=π r2,这些表达式称为函数的关系式.

(2)列表法,如问题 2 中的利率表,问题 3 中的波长与频率关系表. (3)图象法,如问题 1 中的气温曲线. 问题的研究过程中, 还有一种量, 它的取值始终保持不变, 我们称之为常量(constant), 如问题 3 中的 300 000, 问题 4 中的 π 等. 三、实践应用 例 1 下表是某市 2000 年统计的该市男学生各年龄组的平均身高.

(1)从表中你能看出该市 14 岁的男学生的平均身高是多少吗? (2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加? (3)上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?哪个是因变量? 解 (1)平均身高是 146.1cm;
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(2)约从 14 岁开始身高增加特别迅速; (3)反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系,其中年龄是自变量,平均身高是因变量. 例 2 写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常量与变量: (1)圆的周长 C 与半径 r 的关系式; (2)火车以 60 千米/时的速度行驶,它驶过的路程 s(千米)和所用时间 t(时)的关系式; (3)n 边形的内角和 S 与边数 n 的关系式. 解 (1)C=2π r,2π 是常量,r、C 是变量; (2)s=60t,60 是常量,t、s 是变量; (3)S=(n-2)×180,2、180 是常量,n、S 是变量. 四、交流反思 1.函数概念包含: (1)两个变量; (2)两个变量之间的对应关系. 2.在某个变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量;数值始终保持不变的量,叫做常量.例如 x 和 y, 对于 x 的每一个值,y 都有惟一的值与之对应,我们就说 x 是自变量,y 是因变量. 3.函数关系三种表示方法: (1)解析法; (2)列表法; (3)图象法. 五、检测反馈 1.举 3 个日常生活中遇到的函数关系的例子. 2.分别指出下列各关系式中的变量与常量:

S=
(1)三角形的一边长 5cm,它的面积 S(cm2)与这边上的高 h(cm)的关系式是

5 h 2 ;

(2)若直角三角形中的一个锐角的度数为 α,则另一个锐角 β(度)与 α 间的关系式是 β=90-α ; (3)若某种报纸的单价为 a 元,x 表示购买这种报纸的份数,则购买报纸的总价 y(元)与 x 间的关系是:y =ax. 3.写出下列函数关系式,并指出式中的自变量与因变量: (1)每个同学购一本代数教科书,书的单价是 2 元,求总金额 Y(元)与学生数 n(个)的关系; (2)计划购买 50 元的乒乓球,求所能购买的总数 n(个)与单价 a(元)的关系. 4.填写如图所示的乘法表,然后把所有填有 24 的格子涂黑.若用 x 表示涂黑的格子横向的乘数,y 表示纵 向的乘数,试写出 y 关于 x 的函数关系式.

变量与函数(2)
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知识技能目标 1.掌握根据函数关系式直观得到自变量取值范围,以及实际背景对自变量取值的限制; 2.掌握根据函数自变量的值求对应的函数值. 过程性目标 1.使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中,增强数学建模意识; 2.联系求代数式的值的知识,探索求函数值的方法. 教学过程 一、创设情境 问题 1 填写如图所示的加法表,然后把所有填有 10 的格子涂黑,看看你能发现什么?如果把这些涂黑的格 子横向的加数用 x 表示,纵向的加数用 y 表示,试写出 y 与 x 的函数关系式.

解 如图能发现涂黑的格子成一条直线. 函数关系式:y=10-x. 问题 2 试写出等腰三角形中顶角的度数 y 与底角的度数 x 之间的函数关系式. 解 y 与 x 的函数关系式:y=180-2x. 问题 3 如图,等腰直角△ABC 的直角边长与正方形 MNPQ 的边长均为 10 cm,AC 与 MN 在同一直线上, 开始时 A 点与 M 点重合,让△ABC 向右运动,最后 A 点与 N 点重合.试写出重叠部分面积 ycm2 与 MA 长度 x cm 之间的函数关系式.

解 y 与 x 的函数关系式:

y=

1 2 x 2 .

二、探究归纳 思考 (1)在上面问题中所出现的各个函数中,自变量的取值有限制吗?如果有,写出它的取值范围. (2)在上面问题 1 中,当涂黑的格子横向的加数为 3 时,纵向的加数是多少?当纵向的加数为 6 时,横向的 加数是多少? 分析 问题 1,观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的数值范围. 问题 2,因为三角形内角和是 180°,所以等腰三角形的底角的度数 x 不可能大于或等于 90°.
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问题 3, 开始时 A 点与 M 点重合, MA 长度为 0cm, 随着△ABC 不断向右运动过程中, MA 长度逐渐增长, 最后 A 点与 N 点重合时,MA 长度达到 10cm. 解 (1)问题 1,自变量 x 的取值范围是:1≤x≤9; 问题 2,自变量 x 的取值范围是:0<x<90; 问题 3,自变量 x 的取值范围是:0≤x≤10. (2)当涂黑的格子横向的加数为 3 时,纵向的加数是 7;当纵向的加数为 6 时,横向的加数是 4. 上面 例子中的函数,都是利用解析法表示的,又例如: s=60t, S=πR2. 在用解析式表示函数时,要考虑自变量的取值必须使解析式有意义.在确定函数中自变量的取值范围时, 如果遇到实际问题,不必须使实际问题有意义.例如,函数解析式 S=πR2 中自变量 R 的取值范围是全体 实数,如果式子表示圆面积 S 与圆半径 R 的关系,那么自变量 R 的取值范围就应该是 R>0. 对于函数 y=x(30-x),当自变量 x=5 时,对应的函数 y 的值是 y=5×(30-5)=5×25=125. 125 叫做这个函数当 x=5 时的函数值. 三、实践应用

例 1 求下列函数中自变量 x 的取值范围:(1) y=3x-1; (4) y =

y=
(2) y=2x2+7;(3)

1 x+2 ;

x?2.

分析 用数学式子表示的函数,一般来说,自变量只能取使式子有意义的值.例如,在(1),(2)中,x 取任

1 意实数,3x-1 与 2x2+7 都有意义;而在(3)中,x=-2 时, x + 2 没有意义;在(4)中,x<2 时, x ? 2
没有意义. 解 (1)x 取值范围是任意实数; (2)x 取值范围是任意实数; (3)x 的取值范围是 x≠-2; (4)x 的取值范围是 x≥2. 归纳 四个小题代表三类题型.(1),(2)题给出的是只含有一个自变量的整式;(3)题给出的是分母中只含有 一个自变量的式子;(4)题给出的是只含有一个自变量的二次根式. 例 2 分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围: (1)某市民用电费标准为每度 0.50 元,求电费 y(元)关于用电度数 x 的函数关系式; (2)已知等腰三角形的面积为 20cm2,设它的底边长为 x(cm),求底边上的高 y(cm)关于 x 的函数关系式; (3)在一个半径为 10 cm 的圆形纸片中剪去一个半径为 r(cm)的同心圆,得到一个圆环.设圆环的面积为 S(cm2),求 S 关于 r 的函数关系式. 解 (1) y=0.50x,x 可取任意正数;

y=
(2)

40 x ,x 可取任意正数;

(3)S=100π-πr2,r 的取值范围是 0<r<10. 例 3 在上面的问题(3)中,当 MA=1 cm 时,重叠部分的面积是多少?
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解 设重叠部分面积为 y cm2,MA 长为 x cm, y 与 x 之间的函数关系式为

y=

1 2 x 2 y= 1 2 1 ×1 = 2 2

当 x=1 时,

1 所以当 MA=1 cm 时,重叠部分的面积是 2 cm2.
例 4 求下列函数当 x = 2 时的函数值: (1)y = 2x-5 ; (2)y =-3x2 ;

y=
(3)

2 x ?1 ;

(4) y =

2? x .

分析 函数值就是 y 的值,因此求函数值就是求代数式的值. 解 (1)当 x = 2 时,y = 2×2-5 =-1; (2)当 x = 2 时,y =-3×22 =-12;

2 (3)当 x = 2 时,y = 2 ? 1 = 2;
(4)当 x = 2 时,y = 2 ? 2 = 0. 四、交流反思 1.求函数自变量取值范围的两个依据: (1)要使函数的解析式有意义. ①函数的解析式是整式时,自变量可取全体实数; ②函数的解析式分母中含有字母时,自变量的取值应使分母≠0; ③函数的解析式是二次根式时,自变量的取值应使被开方数≥0. (2)对于反映实际问题的函数关系,应使实际问题有意义. 2.求函数值的方法:把所给出的自变量的值代入函数解析式中,即可求出相应的函数值. 五、检测反馈 1.分别写出下列各问题中的函数关系式,并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围: (1)一个正方形的边长为 3 cm,它的各边长减少 x cm 后,得到的新正方形周长为 y cm.求 y 和 x 间的关系 式; (2)寄一封重量在 20 克以内的市内平信,需邮资 0.60 元,求寄 n 封这样的信所需邮资 y(元)与 n 间的函
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数关系式; (3)矩形的周长为 12 cm,求它的面积 S(cm2)与它的一边长 x(cm)间的关系式,并求出当一边长为 2 cm 时这 个矩形的面积. 2.求下列函数中自变量 x 的取值范围: (1)y=-2x-5x2; (3) y=x(x+3);

y=
(3)

6x x+3;

(4) y =

2x ? 1 .

3.一架雪橇沿一斜坡滑下,它在时间 t(秒)滑下的距离 s(米)由下式给出:s=10t+2t2.假如滑到坡底 的时间为 8 秒,试问坡长为多少? 4.当 x=2 及 x=-3 时,分别求出下列函数的函数值:

y=
(1) y=(x+1)(x-2);(2)y=2x2-3x+2; (3)

x+2 x ?1 .

函数的图象(1) 知识技能目标 1.掌握平面直角坐标系的有关概念; 2.能正确画出直角坐标系,以及根据点的坐标找出它的位置、由点的位置确定它的坐标; 3.初步理解直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的含义. 过程性目标 1.联系数轴知识、统计图知识,经历探索平面直角坐标系的概念的过程; 2.通过学生积极动手画图,达到熟练的程度,并充分感受直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的含 义. 教学过程 一、创设情境 如图是一条数轴,数轴上的点与实数是一一对应的.数轴上每个点都对应一个实数,这个实数叫做这个点 在数轴上的坐标.例如,点 A 在数轴上的坐标是 4,点 B 在数轴上的坐标是-2.5.知道一个点的坐标,这 个点的位置就确定了.

我们学过利用数轴研究一些数量关系的问题, 在实际生活中. 还会遇到利用平面图形研究数量关系的问题. 二、探究归纳 问题 1 例如你去过电影院吗?还记得在电影院是怎么找座位的吗? 解 因为电影票上都标有“×排×座”的字样,所以找座位时,先找到第几排,再找到这一排的第几座就 可以了.也就是说,电影院里的座位完全可以由两个数确定下来. 问题 2 在教室里,怎样确定一个同学的座位? 解 例如,××同学在第 3 行第 4 排.这样教室里座位也可以用一对实数表示. 问题 3 要在一块矩形 ABCD(AB=40mm,AD=25mm)的铁板上钻一个直径为 10mm 的圆孔,要求: (1)孔的圆周上的点与 AB 边的最短距离为 5mm, (2)孔的圆周上的点与 AD 边的最短距离为 15mm. 试问:钻孔时,钻头的中心放在铁板的什么位置?

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分析 圆 O 的中心应是钻头中心的位置.因为⊙O 直径为 10mm,所以半径为 5 mm,所以圆心 O 到 AD 边 距离为 20mm,圆心 O 到 AB 边距离为 10mm.由此可见,确定一个点(圆心 O)的位置要有两个数(20 和 10). 在数学中,我们可以用一对有序实数来确定平面上点的位置.为此,在平面上画两条原点重合、互相垂直 且具有相同单位长度的数轴(如图) ,这就建立了平面直角坐标系(rightangled coordinates system).通常把 其中水平的一条数轴叫做 x 轴或横轴,取向右为正方向;铅直的 数轴叫做 y 轴或纵轴,取向上为正方向;两数轴的交点 O 叫做坐 标原点. 在平面直角坐标系中, 任意一点都可以用一对有序实数来表示. 例 如,图中的点 P,从点 P 分别向 x 轴和 y 轴作垂线,垂足分别为 M 和 N.这时,点 M 在 x 轴上对应的数为 3,称为点 P 的横坐标 (abscissa);点 N 在 y 轴上对应的数为 2,称为点 P 的纵坐标 (ordinate).依次写出点 P 的横坐标和纵坐标,得到一对有序实数 (3,2), 称为点 P 的坐标(coordinates). 这时点 P 可记作 P(3,2). 在 直角坐标系中,两条坐标轴把平面分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、 Ⅳ四个区域,分别称为第一、二、三、四象限.坐标轴上的点不 属于任何一个象限.

三、实践应用 例 1 在上图中分别描出坐标是(2,3)、(-2,3)、(3,-2)的点 Q、S、 R,Q(2,3)与 P(3,2)是同一点吗?S(-2,3)与 R(3,-2)是同一点 吗? 解 Q(2,3)与 P(3,2)不是同一点; S(-2,3)与 R(3,-2)不是同一点. 例 2 写出图中的点 A、B、C、D、E、F 的坐标.观察你所写出 的这些点的坐标,回答:(1)在四个象限内的点的坐标各有什么 特征? (2)两条坐标轴上的点的坐标各有什么特征?

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解 A(-1,2)、B (2,1)、C (2,-1)、D (-1,-1)、E (0,3)、F (-2,0). (1)在第一象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是正数; 在第二象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是正数; 在第三象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是负数; 在第四象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是负数; (2)x 轴上点的纵坐标等于零; y 轴上点的横坐标等于零. 说明 从上面的例 1、例 2 可以发现直角坐标系上每一个点的位置都能用一对有序实数表示,反之,任何一 对有序实数在直角坐标系上都有唯一的一个点和它对应.也就是说直角坐标系上的点和有序实数对是一一 对应的. 例 3 在直角坐标系中描出点 A(2,-3), 分别找出它关于 x 轴、 轴及原点的对称点, y 并写出这些点的坐标. 观 察上述写出的各点的坐标,回答: (1)关于 x 轴对称的两点的坐标之间有什么关系? (2)关于 y 轴对称的两点的坐标之间有什么关系? (3)关于原点对称的两点的坐标之间又有什么关系? 解

(1)关于 x 轴对称的两点:横坐标相同,纵坐标绝对值相等,符号相反; (2)关于 y 轴对称的两点:横坐标绝对值相等,符号相反,纵坐标相同; (3)关于原点对称的两点:横坐标绝对值相等,符号相反,纵坐标也绝对值相等,符号相反. 例 4 在直角坐标平面内,(1)第一、三象限角平分线上点的坐标有什么特点?(2)第二、四象限角平分线上 点的坐标有什么特点?
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分析 如图,P 为第一、三象限角平分线上位于第一象限内任一点,作 PM⊥x 轴于 M,在 Rt△PMO 中, ∠1=∠2=45°,所以|OM|=|MP|,则 P 点的横坐标,纵坐标绝对值相等,又因为 P 点位于第一象 限内,OM 为正值,MP 也为正值,所以 P 点横坐标与纵坐标相同.同样若 P 点位于第三象限内,则 OM 为负值,MP 也为负值,所以 P 点横坐标与纵坐标也相同.若 P 点为第 二、四象限角平分线上任一点,则 OM 与 MP 一正一负,所以 P 点横坐 标与纵坐标互为相反数. 解 (1)第一、三象限角平分线上点:横坐标与纵坐标相同; (2)第二、四象限角平分线上点:横坐标与纵坐标互为相反数. 四、交流反思 1.平面直角坐标系的有关概念及画法; 2.在直角坐标系中,根据坐标找出点;由点求出坐标的方法; 3.在四个象限内的点的坐标特征; 两条坐标轴上的点的坐标特征;第一、 三象限角平分线上点的坐标特征;第二、四象限角平分线上点的坐标特征; 4.分别关于 x 轴、y 轴及原点的对称的两点坐标之间的关系. 五、检测反馈 1.判断下列说法是否正确: (1)(2,3)和(3,2)表示同一点; (2)点(-4,1)与点(4,-1)关于原点对称; (3)坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为 0; (4)第一象限内的点的横坐标与纵坐标均为正数. 2.在直角坐标系中描出下列各点,顺次用线段将这些点连起来,并将最后一点与第一点连起来,看看得到 的是一个什么图形?

1 1 1 1 1 ( ? , 0),  ( ? ,),( ? 3 , 1 1 3 3 ),( ? 1 , ),( ? 2 , ), 2 2 2 2 2 1 1 1 6 6 8 1 6 6 3 ( ? , ),( ? 1, ),(0, ),( , ),( , ),(2 , ), 2 2 2 1 1 1 1 ( , ),(3 ,),( ,),( , ) 1 3 1 1 0 2 2 2 2
3.指出下列各点所在的象限或坐标轴: A(-3,-5),B(6,-7),C(0,-6),D(-3,5),E(4,0). 4.填空: (1)点 P(5,-3)关于 x 轴对称点的坐标是 ; (2)点 P(3,-5)关于 y 轴对称点的坐标是 ; (3)点 P(-2,-4)关于原点对称点的坐标是 . 5.如图是一个围棋棋盘,我们可以用类似于直角坐标系的方法表示各个棋子的位置.例如,图中右下角的 一个棋子可以表示为(12,十三).请至少说出图中四个棋子的“位置” .

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函数的图象(2) 知识技能目标 1.掌握用描点法画出一些简单函数的图象; 2.理解解析法和图象法表示函数关系的相互转换. 过程性目标 1.结合实际问题,经历探索用图象表示函数的过程; 2.通过学生自己动手,体会用描点法画函数的图象的步骤. 教学过程 一、创设情境 问题 1 在前面,我们曾经从如图所示的气温曲线上获得许多信息,回答了一些问题.现在让我们来回顾一 下.

二、探究归纳 先考虑一个简单的问题:你是如何从图上找到各个时刻的气温的? 分析 图中,有一个直角坐标系,它的横轴是 t 轴,表示时间;它的纵轴是 T 轴,表示气温.这一气温曲线 实质上给出了某日的气温 T (℃)与时间 t(时)的函数关系.例如,上午 10 时的气温是 2℃,表现在气温 曲线上,就是可以找到这样的对应点,它的坐标是(10,2).实质上也就是说,当 t=10 时,对应的函数值 T =2.气温曲线上每一个点的坐标(t,T),表示时间为 t 时的气温是 T. 问题 2 如图,这是 2004 年 3 月 23 日上证指数走势图,你是如何从图上找到各个时刻的上证指数的?

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分析 图中,有一个直角坐标系,它的横轴表示时间;它的纵轴表示上证指数.这一指数曲线实质上给出 了 3 月 23 日的指数与时间的函数关系.例如,下午 14:30 时的指数是 1746.26,表现在指数曲线上,就是 可以找到这样的对应点,它的坐标是(14:30, 1746.26).实质上也就是说,当时间是 14:30 时,对应的函数 值是 1746.26. 上面气温曲线和指数走势图是用图象表示函数的两个实际例子. 一般来说,函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成的图形.图象上每一点的坐标(x,y)代表了函数 的一对对应值,它的横坐标 x 表示自变量的某一个值,纵坐标 y 表示与它对应的函数值. 三、实践应用 例 1 画出函数 y=x+1 的图象. 分析 要画出一个函数的图象,关键是要画出图象上的一些点,为此,首先要取一些自变量的值,并求出 对应的函数值.解 取自变量 x 的一些值,例如 x=-3,-2,-1,0,1,2,3 …,计算出对应的函数值.为 表达方便,可列表如下:

由这一系列的对应值,可以得到一系列的有序实数对: …,(-3,-2),(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3),(3,4),…在直角坐标系中,描出这些有序实数对(坐 标)的对应点,如图所示.

通常,用光滑曲线依次把这些点连起来,便可得到这个函数的图象,如图所示.

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这里画函数图象的方法,可以概括为列表、描点、连线三步,通常称为描点法.

例 2 画出函数

y=

1 x 2 的图象.

分析 用描点法画函数图象的步骤:分为列表、描点、连线三步. 解 列表:

描点:

用光滑曲线连线:

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四、交流反思 由函数解析式画函数图象,一般按下列步骤进行: 1.列表:列表给出自变量与函数的一些对应值; 2.描点:以表中对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点; 3.连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用光滑的曲线连结起来. 描出的点越多,图象越精确.有时不能把所有的点都描出,就用光滑的曲线连结画出的点,从而得到函数 的近似的图象. 五、检测反馈

y=
1.在所给的直角坐标系中画出函数

1 x 2 的图象(先填写下表,再描点、连线) .

y=?
2.画出函数

6 x 的图象(先填写下表,再描点、然后用光滑曲线顺次连结各点) .
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3.(1)画出函数 y=2x-1 的图象(在-2 与 2 之间,每隔 0.5 取一个 x 值,列表;并在直角坐标系中描点画 图) . (2)判断下列各有序实数对是不是函数 y=2x-1 的自变量 x 与函数 y 的一对对应值,如果是,检验一下具 有相应坐标的点是否在你所画的函数图象上: (-2.5,-4),(0.25,-0.5),(1,3),(2.5,4).

1 y =? x+2 3 的图象(在-4 与 4 之间,每隔 1 取一个 x 值,列表;并在直角坐标系中描点 4.(1)画出函数
画图) .

1 y =? x+2 3 (2)判断下列各有序实数对是不是函数 的自变量 x 与函数 y 的一对对应值,如果是,检验一下
具有相应坐标的点是否在你所画的函数图象上:

1 3 1 3 1 (?2,2 ) (? ,2 ) ( ,1 ) 3 , 2 2 ,(-1,3), 2 2 .
5.画出下列函数的图象: (1)y=4x-1; (2)y=4x+1. 函数的图象(3) 知识技能目标 1.使学生掌握用描点法画实际问题的函数图象; 2.使学生能从图形中分析变量的相互关系,寻找对应的现实情境,预测变化趋势等问题. 过程性目标; 通过观察实际问题的函数图象,使学生感受到解析法和图象法表示函数关系的相互转换这一数形结合的思 想. 教学过程 一、创设情境 问题 王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼,主要活动是爬山.有一天,小强让爷爷先上,然后追赶爷 爷.图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离(米)与爬山所用时间(分)的关系(从小强开始 爬山时计时) .

问 图中有一个直角坐标系,它的横轴(x 轴)和纵轴(y 轴)各表示什么? 答 横轴(x 轴)表示两人爬山所用时间,纵轴(y 轴)表示两人离开山脚的距离. 问 如图,线段上有一点 P,则 P 的坐标是多少?表示的实际意义是什么? 答 P 的坐标是(3,90).表示小强爬山 3 分后,离开山脚的距离 90 米. 我们能否从图象中看出其它信息呢?
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二、探究归纳 看上面问题的图,回答下列问题: (1)小强让爷爷先上多少米? (2)山顶离山脚的距离有多少米?谁先爬上山顶? 分析 (1)小强让爷爷先跑的路程,应该看表示爷爷的这条线段.由于从小强开始爬山时计时的,因此这时 爷爷爬山所用时间是 0,而 x 轴表示爬山所用时间,得 x=0.可在线段上找到这一点 A(如图) .A 点对 应的函数值 y=60. (2) y 轴表示离开山脚的距离, 山顶离山脚的距离指的是离开山脚的最大距离, 也就是函数值 y 取最大值. 可 分别在这两条线段上找到这两点 B、C(如图) ,过 B、C 两点分别向 x 轴、y 轴作垂线,可发现交 y 轴于 同一点 Q(因为两人爬的是同一座山), Q 点的数值就是山顶离山脚的距离,分别交 x 轴于 M、N,M、N 点的数值分别是小强和爷爷爬上山顶所用的时间,比较两值的大小就可判断出谁先爬上山顶.

解 (1)小强让爷爷先上 60 米; (2)山顶离山脚的距离有 300 米,小强先爬上山顶. 归纳 在观察实际问题的图象时,先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标意义.如图中的点 P(3,90), 这一点表示小强爬山 3 分后,离开山脚的距离 90 米.再从图形中分析两变量的相互关系,寻找对应的现 实情境.如图中的两条线段都可以看出随着自变量 x 的逐渐增大,函数值 y 也随着逐渐增大,再联系现实 情境爬山所用时间越长,离开山脚的距离越大,当 x 达到最大值时,也就是到达山顶. 三、实践应用

1 8 y = ? x2 + x 5 5 击球, 球正好进洞. 其 例 1 王强在电脑上进行高尔夫球的模拟练习, 在某处按函数关系式
中,y(m)是球的飞行高度,x(m)是球飞出的水平距离. (1)试画出高尔夫球飞行的路线; (2)从图象上看,高尔夫球的最大飞行高度是多少?球的起点与洞之间的距离是多少?

1 8 y = ? x2 + x 5 5 的图象,用描点法画出图象.在列表时要注意 分析 (1)高尔夫球飞行的路线,也就是函数
自变量 x 的取值范围,因为 x 是球飞出的水平距离,所以 x 不能取负数.在建立直角坐标系时,横轴(x 轴)表示球飞出的水平距离,纵轴(y 轴)表示球的飞行高度. (2)高尔夫球的最大飞行高度就是图象上函数值 y 取最大值的点,如图点 P,点 P 的纵坐标就是高尔夫球的 最大飞行高度;球的起点与球进洞点是球飞出的水平距离最小值的点和最大值的点,如图点 O 和点 A,点 O 和点 A 横坐标差的绝对值就是球的起点与洞之间的距离. 解 (1)列表如下:

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在直角坐标系中,描点、连线,便可得到这个函数的大致图象.

(2)高尔夫球的最大飞行高度是 3.2 m,球的起点与洞之间的距离是 8 m. 例 2 小明从家里出发, 外出散步, 到一个公共阅报栏前看了一会报后, 继续散步了一段时间, 然后回家. 下 面的图描述了小明在散步过程中离家的距离 s(米)与散步所用时间 t(分)之间的函数关系.请你由图具 体说明小明散步的情况.

分析 从图中可发现函数图象分成四段,因此说明小明散步的情况应分成四个阶段. 线段 OA:O 点的坐标是(0,0),因此 O 点表示小明这时从家里出发,然后随着 x 值的增大,y 值也逐渐增 大(散步所用时间越长,离家的距离越大) ,最后到达 A 点,A 点的坐标是(3,250),说明小明走了约 3 分 钟到达离家 250 米处的一个阅报栏. 线段 AB:观察这一段图象可发现 x 值在增大而 y 值保持不变(小明这段时间离家的距离没有改变) 点 ,B 横坐标是 8,说明小明在阅报栏前看了 5 分钟报. 线段 BC: 观察这一段图象可发现随着 x 值的增大, 值又逐渐增大, y 最后到达 C 点, 点的坐标是(10,450), C 说明小明看了 5 分钟报后,又向前走了 2 分钟,到达离家 450 米处. 线段 CD:观察这一段图象可发现随着 x 值的增大,而 y 值逐渐减小(10 分钟后散步所用时间越长,离家 的距离越小) ,说明小明在返回,最后到达 D 点,D 点的纵坐标是 0,表示小明已到家.这一段图象说明 从离家 250 米处返回到家小明走了 6 分钟. 解 小明先走了约 3 分钟,到达离家 250 米处的一个阅报栏前看了 5 分钟报,又向前走了 2 分钟,到达离 家 450 米处返回,走了 6 分钟到家. 四、交流反思 1.画实际问题的图象时,必须先考虑函数自变量的取值范围.有时为了表达的方便,建立直角坐标系时, 横轴和纵轴上的单位长度可以取得不一致; 2.在观察实际问题的图象时,先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标的实际意义.然后观察图形,分
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析两变量的相互关系,给合题意寻找对应的现实情境. 五、检测反馈 1.下图为世界总人口数的变化图.根据该图回答: (1)从 1830 年到 1998 年,世界总人口数呈怎样的变化趋势? (2)在图中,显示哪一段时间中世界总人口数变化最快?

2.一枝蜡烛长 20 厘米,点燃后每小时燃烧掉 5 厘米,则下列 3 幅图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下 的长度 h(厘米)与点燃时间 t 之间的函数关系的是( ).

3.已知等腰三角形的周长为 12cm,若底边长为 y cm,一腰长为 x cm. (1)写出 y 与 x 的函数关系式; (2)求自变量 x 的取值范围; (3)画出这个函数的图象. 4.周末,小李 8 时骑自行车从家里出发,到野外郊游,16 时回到家里.他离开家后的距离 S(千米)与时 间 t(时)的关系可以用图中的曲线表示.根据这个图象回答下列问题: (1)小李到达离家最远的地方是什么时间? (2)小李何时第一次休息? (3)10 时到 13 时,小骑了多少千米? (4)返回时,小李的平均车速是多少?

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一次函数(1) 知识技能目标 1.理解一次函数和正比例函数的概念; 2.根据实际问题列出简单的一次函数的表达式. 过程性目标 1.经历由实际问题引出一次函数解析式的过程,体会数学与现实生活的联系; 2.探求一次函数解析式的求法,发展学生的数学应用能力. 教学过程 一、创设情境 问题 1 小明暑假第一次去北京.汽车驶上 A 地的高速公路后,小明观察里程碑,发现汽车的平均车速是 95 千米/小时.已知 A 地直达北京的高速公路全程为 570 千米,小明想知道汽车从 A 地驶出后,距北京的路程 和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己和北京的距离. 分析 我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化,要想找出这两个变化着的量的关系,并据此得出相 应的值,显然,应该探求这两个变量的变化规律.为此,我们设汽车在高速公路上行驶时间为 t 小时,汽车距北 京的路程为 s 千米,根据题意,s 和 t 的函数关系式是 s=570-95t. 说明 找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步,这里的 s、t 是两个变量,s 是 t 的函数,t 是自变量,s 是因变量. 问题 2 小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来.他已存有 50 元,从现在起每个月节存 12 元.试写出 小张的存款与从现在开始的月份之间的函数关系式. 分析 我们设从现在开始的月份数为 x,小张的存款数为 y 元,得到所求的函数关系式为:y=50+12x. 问题 3 以上问题 1 和问题 2 表示的这两个函数有什么共同点? 二、探究归纳 上述两个问题中的函数解析式都是用自变量的一次整式表示的.函数的解析式都是用自变量的一次整式表 示的,我们称它们为一次函数(linear function).一次函数通常可以表示为 y=kx+b 的形式,其中 k、b 是 常数,k≠0. 特别地,当 b=0 时,一次函数 y=kx(常数 k≠0)出叫正比例函数(direct proportional function).正比例函 数也是一次函数,它是一次函数的特例. 三、实践应用 例 1 下列函数关系中,哪些属于一次函数,其中哪些又属于正比例函数? (1)面积为 10cm2 的三角形的底 a(cm)与这边上的高 h(cm); (2)长为 8(cm)的平行四边形的周长 L(cm)与宽 b(cm);
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(3)食堂原有煤 120 吨,每天要用去 5 吨,x 天后还剩下煤 y 吨; (4)汽车每小时行 40 千米,行驶的路程 s(千米)和时间 t(小时) . 分析 确定函数是否为一次函数或正比例函数,就是看它们的解析式经过整理后是否符合 y=kx+b(k≠0) 或 y=kx(k≠0)形式,所以此题必须先写出函数解析式后解答.

解 (1)

a=

20 h ,不是一次函数.

(2)L=2b+16,L 是 b 的一次函数. (3)y=150-5x,y 是 x 的一次函数. (4)s=40t,s 既是 t 的一次函数又是正比例函数. 例 2 已知函数 y=(k-2)x+2k+1,若它是正比例函数,求 k 的值.若它是一次函数,求 k 的值. 分析 根据一次函数和正比例函数的定义,易求得 k 的值.

1 解 若 y=(k-2)x+2k+1 是正比例函数,则 2k+1=0,即 k= 2 . ?
若 y=(k-2)x+2k+1 是一次函数,则 k-2≠0,即 k≠2. 例 3 已知 y 与 x-3 成正比例,当 x=4 时,y=3. (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)y 与 x 之间是什么函数关系; (3)求 x=2.5 时,y 的值. 解 (1)因为 y 与 x-3 成正比例,所以 y=k(x-3). 又因为 x=4 时,y=3,所以 3= k(4-3),解得 k=3, 所以 y=3(x-3)=3x-9. (2) y 是 x 的一次函数. (3)当 x=2.5 时,y=3×2.5=7.5. 例 4 已知 A、B 两地相距 30 千米,B、C 两地相距 48 千米.某人骑自行车以每小时 12 千米的速度从 A 地出发,经过 B 地到达 C 地.设此人骑行时间为 x(时) ,离 B 地距离为 y(千米) . (1)当此人在 A、B 两地之间时,求 y 与 x 的函数关系及自变量 x 取值范围. (2)当此人在 B、C 两地之间时,求 y 与 x 的函数关系及自变量 x 的取值范围. 分析 (1)当此人在 A、B 两地之间时,离 B 地距离 y 为 A、B 两地的距离与某人所走的路程的差.

(2)当此人在 B、C 两地之间时,离 B 地距离 y 为某人所走的路程与 A、B 两地的距离的差.

解 (1) y=30-12x.(0≤x≤2.5) (2) y=12x-30.(2.5≤x≤6.5) 例 5 某油库有一没储油的储油罐,在开始的 8 分钟时间内,只开进油管,不开出油管,油罐的进油至 24 吨后,将进油管和出油管同时打开 16 分钟,油罐中的油从 24 吨增至 40 吨.随后又关闭进油管,只开出
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油管,直至将油罐内的油放完.假设在单位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变.写出这段时间内 油罐的储油量 y(吨)与进出油时间 x(分)的函数式及相应的 x 取值范围. 分析 因为在只打开进油管的 8 分钟内、后又打开进油管和出油管的 16 分钟和最后的只开出油管的三个阶 级中,储油罐的储油量与进出油时间的函数关系式是不同的,所以此题因分三个时间段来考虑.但在这三 个阶段中,两变量之间均为一次函数关系. 解 在第一阶段:y=3x(0≤x≤8); 在第二阶段:y=16+x(8≤x≤16); 在第三阶段:y=-2x+88(24≤x≤44). 四、交流反思 一次函数、正比例函数以及它们的关系: 函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的,我们称它们为一次函数(linear function).一次函数通常可 以表示为 y=kx+b 的形式,其中 k、b 是常数,k≠0. 特别地,当 b=0 时,一次函数 y=kx(常数 k≠0)出叫正比例函数(direct proportional function).正比例函 数也是一次函数,它是一次函数的特例. 五、检测反馈 1.已知 y-3 与 x 成正比例,且 x=2 时,y=7 (1)写出 y 与 x 之间的函数关系. (2)y 与 x 之间是什么函数关系. (3)计算 y=-4 时 x 的值. 2.甲市到乙市的包裹邮资为每千克 0.9 元,每件另加手续费 0.2 元,求总邮资 y(元)与包裹重量 x(千克) 之间的函数解析式,并计算 5 千克重的包裹的邮资. 3.仓库内原有粉笔 400 盒.如果每个星期领出 36 盒,求仓库内余下的粉笔盒数 Q 与星期数 t 之间的函数关 系. 4.今年植树节,同学们种的树苗高约 1.80 米.据介绍,这种树苗在 10 年内平均每年长高 0.35 米.求树高 与年数之间的函数关系式.并算一算 4 年后同学们中学毕业时这些树约有多高. 5.按照我国税法规定:个人月收入不超过 800 元,免交个人所得税.超过 800 元不超过 1300 元部分需缴纳 5%的个人所得税.试写出月收入在 800 元到 1300 元之间的人应缴纳的税金 y(元)和月收入 x(元)之间 的函数关系式. 一次函数(2) 知识技能目标 1.理解一次函数和正比例函数的图象是一条直线; 2.熟练地作出一次函数和正比例函数的图象,掌握 k 与 b 的取值对直线位置的影响. 过程性目标 1.经历一次函数的作图过程,探索某些一次函数图象的异同点; 2.体会用类比的思想研究一次函数,体验研究数学问题的常用方法:由特殊到一般,由简单到复杂. 教学过程 一、创设情境 前面我们学习了用描点法画函数的图象的方法,下面请同学们根据画图象的步骤:列表、描点、连线,在 同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象.

y=
(1)

1 x 2 ;

y=
(2)

1 x+2 2 ;

(3) y=3x;

(4) y=3x+2.
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同学们观察并互相讨论,并回答:你所画出的图象是什么形状. 二、探究归纳 观察上面四个函数的图象,发现它们都是直线.请同学举例对你们的发现作出验证. 一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,这条直线通常又称为直线 y=kx+b(k≠0).特别地,正比例 函数 y=kx(k≠0)是经过原点的一条直线. 问 几点可以确定一条直线? 答 两点. 结论 那么今后画一次函数图象时只要取两点,过两点画一条直线就可以了. 请同学们在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象. (1)y=-x、y=-x+1 与 y=-x-2; (2)y=2x、y=2x+1 与 y=2x-2.

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通过观察发现: (1)第一组三条直线互相平行,第二组的三条直线也互相平行.为什么呢?因为每一组的三条直线的 k 相同; 还可以看出, 直线 y=-x+1 与 y=-x-2 是由直线 y=-x 分别向上移动 1 个单位和向下移动 2 个单位得到的; 而直线 y=2x+1 与 y=2x-2 是由直线 y=2x 分别向上移动 1 个单位和向下移动 2 个单位得到的. (2)y=-x 与 y=2x、y=-x+1 与 y=2x+1、y=-x-2 与 y=2x-2 的交点在同一点,为什么呢?因为每两条直 线的 b 相同;而直线与 y 轴的交点纵坐标取决于 b. 所以, 两个一次函数, k 一样, 不一样时 当 b (如 y=-x、 y=-x+1 与 y=-x-2; y=2x、 y=2x+1 与 y=2x-2) , 有 共同点:直线平行,都是由直线 y=kx(k≠0)向上或向下移动得到; 不同点:它们与 y 轴的交点不同. 而当两个一次函数,b 一样,k 不一样时(如 y=-x 与 y=2x、y=-x+1 与 y=2x+1、y=-x-2 与 y=2x-2) , 有 共同点:它们与 y 轴交于同一点(0,b); 不同点:直线不平行. 三、实践应用 例 1 在同一平面直角坐标系中画出下列每组函数的图象. (1)y=2x 与 y=2x+3;

(2)y=3x+1 与 解

y=

1 x +1 2 .

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注 画出图象后,同学间互相讨论、交流,看看是否与上面的结果一样. 想一想 (1)上面每组中的两条直线有什么关系?(2)你取的是哪几个点,互相交流,看谁取的点比较简便. 通过比较,老师点拨,得出结论:一般情况下,要取直线与 x 轴、y 轴的交点比较简便.

1 1 1 y=? x y = ? x + 3, y = ? x ? 5 2 2 2 经过怎样的移动得到的. 例 2 直线 分别是由直线
分析 只要 k 相同,直线就平行,一次函数 y=kx+b(k≠0)是由正比例函数的图象 y=kx(k≠0)经过向上或 向下平移

b

个单位得到的.b>0,直线向上移;b<0,直线向下移.

1 1 1 1 y = ? x+3 y=? x y = ? x?5 y=? x 2 2 向上平移 3 个单位得到的;而 2 2 向下 解 是由直线 是由直线
平移 5 个单位得到的.

例 3 说出直线 y=3x+2 与

y=

1 x+2 2 ;y=5x-1 与 y=5x-4 的相同之处.

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分析 k 相同,直线就平行.b 相同,直线与 y 轴交于同一点,且交点坐标为(0,b).

解 直线 y=3x+2 与

y=

1 x+2 2 的 b 相同,所以这两条直线与 y 轴交于同一点,且交点坐标为(0,2);

直线 y=5x-1 与 y=5x-4 的 k 都是 5,所以这两条直线互相平行. 例 4 画出直线 y=-2x+3,借助图象找出: (1)直线上横坐标是 2 的点; (2)直线上纵坐标是-3 的点; (3)直线上到 y 轴距离等于 1 的点.

解 (1)直线上横坐标是 2 的点是 A(2,-1); (2)直线上纵坐标是-3 的点 B(3,-3); (3)直线上到 y 轴距离等于 1 的点 C(1,1)和 D(-1,5). 四、交流反思 通过这节课的学习,我们学到了哪些新知识? 1.一次函数的图象是一条直线. 2.画一次函数图象时,只要取两个点即可,一般取直线与 x 轴、y 轴的交点比较简便. 3.两个一次函数,当 k 一样,b 不一样时,共同之处是直线平行,都是由直线 y=kx(k≠0)向上或向下 移动得到,不同之处是它们与 y 轴的交点不同;当 b 一样,k 不一样时,共同之处是它们与 y 轴交于同一 点(0,b),不同之处是直线不平行. 五、检测反馈 1.在同一坐标系中画出下列函数的图象,并说出它们有什么关系? (1)y=―2x; (2) y=―2x―4. 2.(1)将直线 y=3x 向下平移 2 个单位,得到直线 ; (2)将直线 y=-x-5 向上平移 5 个单位,得到直线 ; (3)将直线 y=-2x+3 向下平移 5 个单位,得到直线 . 3.函数 y=kx-4 的图象平行于直线 y=-2x,求函数的表达式.
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4.一次函数 y=kx+b 的图象与 y 轴交于点(0,-2),且与直线

y = 3x ?

1 2 平行,求它的函数表达式.

一次函数(3) 知识技能目标 1.使学生熟练地作出一次函数的图象,会求一次函数与坐标轴的交点坐标; 2.会作出实际问题中的一次函数的图象. 过程性目标 1.通过画一次函数图象和实际问题中的一次函数图象,感受数学来源于生活又应用于生活; 2.探索一次函数图象的特点体会用“数形结合”思想解决数学问题. 教学过程 一、创设情境 1.一次函数的图象是什么,如何简便地画出一次函数的图象? (一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,画一次函数图象时,取两点即可画出函数的图象). 2.正比例函数 y=kx(k≠0)的图象是经过哪一点的直线? (正比例函数 y=kx(k≠0)的图象是经过原点(0,0)的一条直线). 3.平面直角坐标系中,x 轴、y 轴上的点的坐标有什么特征?

y=
4.在平面直角坐标系中,画出函数

1 x ?1 2 的图象.我们画一次函数时,所选取的两个点有什么特征,通过观

察图象,你发现这两个点在坐标系的什么地方? 二、探究归纳

y=
1.在画函数

1 x ?1 2 的图象时,通过列表,可知我们选取的点是(0,-1)和(2,0),这两点都在坐标轴上,其

中点(0,-1)在 y 轴上,点(2,0)在 x 轴上,我们把这两个点依次叫做直线与 y 轴与 x 轴的交点. 2.求直线 y=-2x-3 与 x 轴和 y 轴的交点,并画出这条直线. 分析 x 轴上点的纵坐标是 0,y 轴上点的横坐标 0.由此可求 x 轴上点的横坐标值和 y 轴上点的纵坐标值. 解 因为 x 轴上点的纵坐标是 0,y 轴上点的横坐标 0,所以当 y=0 时,x=-1.5,点(-1.5,0)就是直线与 x 轴的交点;当 x=0 时,y=-3,点(0,-3)就是直线与 y 轴的交点. 过点(-1.5,0)和(0,-3)所作的直线就是直线 y=-2x-3.

所以一次函数 y=kx+b,当 x=0 时,y=b;当 y=0 时,

x=?

b k .所以直线 y=kx+b 与 y 轴的交点坐

? b ? ? ? ,0 ? 标是(0,b),与 x 轴的交点坐标是 ? k ? .
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三、实践应用 例 1 若直线 y=-kx+b 与直线 y=-x 平行,且与 y 轴交点的纵坐标为-2;求直线的表达式. 分析 直线 y=-kx+b 与直线 y=-x 平行,可求出 k 的值,与 y 轴交点的纵坐标为-2,可求出 b 的值. 解 因为直线 y=-kx+b 与直线 y=-x 平行,所以 k=-1,又因为直线与 y 轴交点的纵坐标为-2,所以 b=-2,因 此所求的直线的表达式为 y=-x-2.

例 2 求函数

y=

3 x?3 2 与 x 轴、y 轴的交点坐标,并求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积. 3 x?3 2 与 x 轴、y 轴的交点坐标,根据 x 轴、y 轴上点的纵坐标和横坐标分别为 0,可求 y= 3 x?3 2 与 x 轴、y 轴围成的三角形是直角三角形,两

分析 求直线

y=

出相应的横坐标和纵坐标;结合图象,易知直线

条直角边就是直线

y=

3 x?3 2 与 x 轴、y 轴的交点与原点的距离.

解 当 y=0 时,x=2,所以直线与 x 轴的交点坐标是 A(2,0);当 x=0 时,y=-3,所以直线与 y 轴的交点坐 标是 B(0,-3).

S ?OAB =

1 1 OA × OB = × 2 × 3 = 3 2 2 .

例 3 画出第一节课中问题(1)中小明距北京的路程 s(千米)与在高速公路上行驶的时间 t(时)之间函数 s =570-95t 的图象. 分析 这是一题与实际生活相关的函数应用题, 函数关系式 s=570-95t 中,自变量 t 是小明在高速公路上行 驶的时间,所以 0≤t≤6,画出的图象是直线的一部分.再者,本题中 t 和 s 取值悬殊很大,故横轴和纵轴所 选取的单位长不一致.

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讨论 1.上述函数是否是一次函数?这个函数的图象是什么? 2.在实际问题中,一次函数的图象除了直线和本题的图形外,还有没有其他的情形?你能不能找出几个例 子加以说明. 例 4 旅客乘车按规定可以免费携带一定重量的行李.如果所带行李超过了规定的重量,就要按超重的千克 收取超重行李费.已知旅客所付行李费 y(元)可以看成他们携带的行李质量 x(千克)的一次函数为

y=

1 x?5 6 .画出这个函数的图象,并求旅客最多可以免费携带多少千克的行李?

分析 求旅客最多可以免费携带多少千克的行李数,即行李费为 0 元时的行李数.为此只需求一次函数与 x 轴的交点横坐标的值.即当 y=0 时,x=30.由此可知这个函数的自变量的取值范围是 x≥30.

解 函数

y=

1 x?5 6 (x≥30)图象为:

当 y=0 时,x=30. 所以旅客最多可以免费携带 30 千克的行李. 例 5 今年入夏以来,全国大部分地区发生严重干旱.某市自来水公司为了鼓励市民节约用水,采取分段收 费标准,若某户居民每月应交水费 y(元)是用水量 x(吨)的函数,当 0≤x≤5 时,y=0.72x,当 x>5 时, y=0.9x-0.9. (1)画出函数的图象; (2)观察图象,利用函数解析式,回答自来水公司采取的收费标准. 分析 画函数图象时,应就自变量 0≤x≤5 和 x>5 分别画出图象,当 0≤x≤5 时,是正比例函数,当 x>5 是一次函数,所以这个函数的图象是一条折线. 解 (1)函数的图象是:

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(2)自来水公司的收费标准是:当用水量在 5 吨以内时,每吨 0.72 元;当用水量在 5 吨以上时,每吨 0.90 元. 四、交流反思

1.一次函数 y=kx+b,当 x=0 时, y=b; y=0 时, 当

x=?

b k .所以直线 y=kx+b 与 y 轴的交点坐标是(0,b),

? b ? ? ? ,0 ? 与 x 轴的交点坐标是 ? k ? ;
2.在画实际问题中的一次函数图象时,要考虑自变量的取值范围,画出的图象往往不再是一条直线. 五、检测反馈 1.求下列直线与 x 轴和 y 轴的交点,并在同一直角坐标系中画出它们的图象.

(1)y=4x-1;

2 y =? x+2 3 (2) .

2.利用例 3 的图象,求汽车在高速公路上行驶 4 小时后,小明离北京的路程. 3.已知函数 y=2x-4. (1)作出它的图象; (2)标出图象与 x 轴、y 轴的交点坐标; (3)由图象观察,当-2≤x≤4 时,函数值 y 的变化范围. 4.一次函数 y=3x+b 的图象与两坐标轴围成的三角形面积是 24,求 b. 5.某水果批发市场规定,批发苹果不小于 100 千克时,批发价为每千克 2.5 元.小王携带现金 3000 元到这 市场采购苹果,并以批发价买进.如果购买的苹果为 x 千克,小王付款后的剩余现金为 y 元,试写出 y 与 x 之间的函数关系式并指出自变量的取值范围,画出这个函数的图象. 一次函数(4) 知识技能目标 1.掌握一次函数 y=kx+b(k≠0)的性质. 2.能根据 k 与 b 的值说出函数的有关性质. 过程性目标 1.经历探索一次函数图象性质的过程,感受一次函数中 k 与 b 的值对函数性质的影响; 2.观察图象,体会一次函数 k、b 的取值和直线位置的关系,提高学生数形结合能力. 教学过程 一、创设情境 1.一次函数的图象是一条直线,一般情况下我们画一次函数的图象,取哪两个点比较简便?

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y=
2.在同一直角坐标系中,画出函数

2 x +1 3 和 y=3x-2 的图象.

问 在你所画的一次函数图象中,直线经过几个象限.

二、探究归纳 1.在所画的一次函数图象中,直线经过了三个象限.

y=
2.观察图象发现在直线

2 x +1 3 上,当一个点在直线上从左向右移动时, (即自变量 x 从小到大时) ,点

的位置也在逐步从低到高变化(函数 y 的值也从小变到大). 即:函数值 y 随自变量 x 的增大而增大. 请同学们讨论:函数 y=3x-2 是否也有这种现象? 既然,一次函数的图象经过三个象限,观察上述两个函数的图象,从它经过的象限看,它必经过哪两个象 限(可以再画几条直线分析)? 发现上述两条直线都经过一、三象限.又由于直线与 y 轴的交点坐标是(0,b)所以,当 b>0 时,直线与 x 轴的交点在 y 轴的正半轴,也称在 x 轴的上方;当 b<0 时,直线与 x 轴的交点在 y 轴的负半轴,也称在 x 轴的下方.所以当 k>0,b≠0 时,直线经过一、三、二象限或一、三、四象限.

3 y = ? x ?1 2 3.在同一坐标系中,画出函数 y=-x+2 和 的图象(图略).
根据上面分析的过程,请同学们研究这两个函数图象是否也有相应的性质?你能发现什么规律.

3 y = ? x ?1 2 观察函数 y=-x+2 和 的图象发现:当一个点在直线上从左向右移动时(即自变量 x 从小到大
时),点的位置逐步从高到低变化(函数 y 的值也从大变到小). 即:函数值 y 随自变量 x 的增大而减小. 又发现上述两条直线都经过二、四象限,且当 b>0 时,直线与 x 轴的交点在 y 轴的正半轴,或在 x 轴的 上方;当 b<0 时,直线与 x 轴的交点在 y 轴的负半轴,或在 x 轴的下方.所以当 k<0,b≠0 时,直线经过
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二、四、一象限或经过二、四、三象限. 一次函数 y=kx+b 有下列性质: (1)当 k>0 时,y 随 x 的增大而增大,这时函数的图象从左到右上升; (2)当 k<0 时,y 随 x 的增大而减小,这时函数的图象从左到右下降. 特别地,当 b=0 时,正比例函数也有上述性质. 当 b>0,直线与 y 轴交于正半轴;当 b<0 时,直线与 y 轴交于正半轴. 下面,我们把一次函数中 k 与 b 的正、负与它的图象经过的象限归纳列表为:

4.利用上面的性质,我们来看问题 1 和问题 2 反映了怎样的实际意义? 问题 1 随着时间的增长,小明离北京越来越近. 问题 2 随着时间的增长,小张的存款越来越多. 三、实践应用 例 1 已知一次函数 y=(2m-1)x+m+5,当 m 是什么数时,函数值 y 随 x 的增大而减小? 分析 一次函数 y=kx+b(k≠0),若 k<0,则 y 随 x 的增大而减小. 解 因为一次函数 y=(2m-1)x+m+5,函数值 y 随 x 的增大而减小.

所以,2m-1<0,即

m<

1 2.

例 2 已知一次函数 y=(1-2m)x+m-1,若函数 y 随 x 的增大而减小,并且函数的图象经过二、三、四象限, 求 m 的取值范围. 分析 一次函数 y=kx+b(k≠0),若函数 y 随 x 的增大而减小,则 k<0,若函数的图象经过二、三、四象限, 则 k<0,b<0.

?1 ? 2m < 0 ? m ?1 < 0 , 解 由题意得: ? 1 < m <1 解得, 2
例 3 已知一次函数 y=(3m-8)x+1-m 图象与 y 轴交点在 x 轴下方,且 y 随 x 的增大而减小,其中 m 为整 数. (1)求 m 的值;(2)当 x 取何值时,0<y<4? 分析 一次函数 y=kx+b(k≠0)与 y 轴的交点坐标是(0,b),而交点在 x 轴下方,则 b<0,而 y 随 x 的增大而
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减小,则 k<0.

?3m ? 8 < 0 ? 1? m < 0 , 解 (1)由题意得: ?
1< m < 8 3 ,又因为 m 为整数,所以 m=2.

解之得,

(2)当 m=2 时,y=-2x-1. 又由于 0<y<4.所以 0<-2x-1<4.

5 1 <m< 2. 解得: 2 ?
例 4 画出函数 y=-2x+2 的图象,结合图象回答下列问题: (1)这个函数中,随着 x 的增大,y 将增大还是减小?它的图象从左到右怎样变化? (2)当 x 取何值时,y=0? (3)当 x 取何值时,y>0? 分析 (1)由于 k=-2<0,y 随着 x 的增大而减小. (2) y=0,即图象上纵坐标为 0 的点,所以这个点在 x 轴上. (3) y>0,即图象上纵坐标为正的点,这些点在 x 轴的上方.

解 (1)由于 k=-2<0,所以随着 x 的增大,y 将减小. 当一个点在直线上从左向右移动时,点的位置也在逐 步从高到低变化,即图象从左到右呈下降趋势. (2)当 x=1 时, y=0 . (3)当 x<1 时, y>0. 四、交流反思 1.(1)当 k>0 时,y 随 x 的增大而增大,这时函数的图象从左到右上升; (2)当 k<0 时,y 随 x 的增大而减小,这时函数的图象从左到右下降. 当 b>0,直线与 y 轴交于正半轴;当 b<0 时,直线与 y 轴交于负半轴;当 b=0 时,直线与 y 轴交于坐标原 点. 2.k>0,b>0 时,直线经过一、二、三象限;k>0,b<0 时,直线经过一、三、四象限; k<0,b>0 时,直线经过一、二、四象限;k<0,b<0 时,直线经过二、三、四象限.
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五、检测反馈
m 1.已知函数 y = ( m ? 1) x
2

? m ?1

+ m ,当 m 为何值时, 这个函数是一次函数.并且图象经过第二、 四象限? 三、

2.已知关于 x 的一次函数 y=(-2m+1)x+2m2+m-3. (1)若一次函数为正比例函数,且图象经过第一、第三象限,求 m 的值; (2)若一次函数的图象经过点(1,-2),求 m 的值.

y = (m ? 3) x ?
3.已知函数

2 3.

(1)当 m 取何值时,y 随 x 的增大而增大? (2)当 m 取何值时,y 随 x 的增大而减小?

?1 ? 2 ? ,b? y = x+3 3 上,试比较 a 和 b 的大小.你能想出几种判断的方法? 4.已知点(-1,a)和 ? 2 ? 都在直线
5.某个一次函数的图象位置大致如下图所示,试分别确定 k、b 的符号,并说出函数的性质.

一次函数(5) 知识技能目标 1.使学生理解待定系数法; 2.能用待定系数法求一次函数,用一次函数表达式解决有关现实问题. 过程性目标 1.感受待定系数法是求函数解析式的基本方法, 体会用“数”和“形”结合的方法求函数式; 2.结合图象寻求一次函数解析式的求法,感受求函数解析式和解方程组间的转化. 教学过程 一、创设情境 一次函数关系式 y=kx+b(k≠0),如果知道了 k 与 b 的值,函数解析式就确定了,那么有怎样的条件 才能求出 k 和 b 呢? 问题 1 已知一个一次函数当自变量 x=-2 时,函数值 y=-1,当 x=3 时,y=-3.能否写出这个一次函数的 解析式呢? 根据一次函数的定义,可以设这个一次函数为:y=kx+b(k≠0),问题就归结为如何求出 k 与 b 的值. 由已知条件 x=-2 时,y=-1,得 -1=-2k+b. 由已知条件 x=3 时,y=-3, 得 -3=3k+b. 两个条件都要满足,即解关于 x 的二元一次方程

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? ? 1 = ?2 k + b , ? ?? 3 = 3k + b.

解得

2 ? ?k = ? 5 ? ? ?b = ? 9 ? 5 ?

2 9 y =? x? 5 5. 所以,一次函数解析式为
问题 2 已知弹簧的长度 y(厘米)在一定的限度内是所挂物质量 x(千克)的一次函数.现已测得不挂重 物时弹簧的长度是 6 厘米,挂 4 千克质量的重物时,弹簧的长度是 7.2 厘米,求这个一次函数的关系式. 考虑 这个问题中的不挂物体时弹簧的长度 6 厘米和挂 4 千克质量的重物时,弹簧的长度 7.2 厘米,与一次 函数关系式中的两个 x、y 有什么关系? 二、探究归纳 上题可作如下分析: 已知 y 是 x 的函数关系式是一次函数, 则关系式必是 y=kx+b 的形式, 所以要求的就是系数 k 和 b 的值. 而 两个已知条件就是 x 和 y 的两组对应值,也就是当 x=0 时,y=6;当 x=4 时,y=7.2.可以分别将它们 代入函数式,转化为求 k 与 b 的二元一次方程组,进而求得 k 与 b 的值. 解 设所求函数的关系式是 y=kx+b(k≠0),由题意,得

?6 = b, ? ?7.2 = 4k + b.
解这个方程组,得

?k = 0.3, ? ?b = 6.
所以所求函数的关系式是 y=0.3x+6.(其中自变量有一定的范围) 讨论 1.本题中把两对函数值代入解析式后,求解 k 和 b 的过程,转化为关于 k 和 b 的二元一次方程组的 问题. 2.这个问题是与实际问题有关的函数,自变量往往有一定的范围. 问题 3 若一次函数 y=mx-(m-2)过点(0,3),求 m 的值. 分析 考虑到直线 y=mx-(m-2)过点(0,3),说明点(0,3)在直线上,这里虽然已知条件中没有直接给出 x 和 y 的对应值,但由于图象上每一点的坐标(x,y)代表了函数的一对对应值,它的横坐标 x 表示自变量的某一个 值,纵坐标 y 表示与它对应的函数值.所以此题转化为已知 x=0 时,y=3,求 m.即求关于 m 的一元一 次方程. 解 当 x=0 时,y=3.即:3=-(m-2).解得 m=-1. 这种先设待求函数关系式(其中含有未知的常数系数) ,再根据条件列出方程或方程组,求出未知系数, 从而得到所求结果的方法,叫做待定系数法(method of undetermined coefficient). 三、实践应用 例 1 已知一次函数 y=kx+b 的图象经过点(-1,1)和点(1,-5),求当 x=5 时,函数 y 的值. 分析 1.图象经过点(-1,1)和点(1,-5),即已知当 x=-1 时,y=1;x=1 时,y=-5.代入函数解析式中, 求出 k 与 b. 2.虽然题意并没有要求写出函数的关系式,但因为要求 x=5 时,函数 y 的值,仍需从求函数解析式着手.

?1 = ? k + b, ? ? 5 = k + b. 解 由题意,得 ?
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? k = ?3, ? ? b = ? 2. 解这个方程组,得 ?
这个函数解析式为 y=-3x-2. 当 x=5 时,y=-3×5-2=-17. 例 2 已知一次函数的图象如下图,写出它的关系式.

分析 从“形” 看,图象经过 x 轴上横坐标为 2 的点,y 轴上纵坐标是-3 的点.从“数”看,坐标(2,0),(0,-3) 满足解析式. 解 设:所求的一次函数的解析式为 y=kx+b(k≠0). 直线经过点(2,0),(0,-3),把这两点坐标代入解析式,得

?0 = 2k + b, ? ?? 3 = b.

解得

3 ? ?k = , 2 ? ?b = ?3. ?
y= 3 x?2 2 .

所以所求的一次函数的关系式是

例 3 求直线 y=2x 和 y=x+3 的交点坐标. 分析 两个函数图象的交点处,自变量和对应的函数值同时满足两个函数关系式.而两个函数关系式就是 方程组中的两个方程.所以交点坐标就是方程组的解.

? y = 2 x, ? y = x + 3. 解 两个函数关系式组成的方程组为 ? ? x = 3, ? y = 6. 解这个方程组,得 ?
所以直线 y=2x 和 y=x+3 的交点坐标为(3,6). 例 4 已知两条直线 y1=2x-3 和 y2=5-x. (1)在同一坐标系内作出它们的图象; (2)求出它们的交点 A 坐标; (3)求出这两条直线与 x 轴围成的三角形 ABC 的面积; (4)k 为何值时,直线 2k+1=5x+4y 与 k=2x+3y 的交点在每四象限. 分析 (1)这两个都是一次函数,所以它们的图象是直线,通过列表,取两点,即可画出这两条直线. (2)两条直线的交点坐标是两个解析式组成的方程组的解. (3)求出这两条直线与 x 轴的交点坐标 B、C,结合图形易求出三角形 ABC 的面积. (4)先求出交点坐标,根据第四象限内的点的横坐标为正,纵坐标为负,可求出 k 的取值范围.
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解 (1)

? y1 = 2 x ? 3, ? y = 5 ? x. (2) ? 2

8 ? x= , ? ? 3 ? ?y = 7 . ? 3 解得 ?

?8 7? ? , ? 所以两条直线的交点坐标 A 为 ? 3 3 ? .
3 (3)当 y1=0 时,x= 2 所以直线 y1=2x-3 与 x 轴的交 3 点坐标为 B( 2 ,0),当 y2=0 时,x=5,所以直线 y2 S ?ABC = 1 1 7 7 49 BC × AE = × × = 2 2 2 3 12 .

=5-x 与 x 轴的交点坐标为 C(5,0). 过点 A 作 AE⊥x 轴于点 E, 则

?2 k + 1 = 5 x + 4 y , ? k = 2 x + 3 y. (4)两个解析式组成的方程组为 ?
2k + 3 ? x= , ? ? 7 ? ?y = k ? 2 . ? 7 解这个关于 x、y 的方程组,得 ?
由于交点在第四象限,所以 x>0,y<0.

? 2k + 3 ? 7 > 0, ? ? ? k ? 2 < 0. ? 即? 7

解得

?

3 <k<2 2 .

四、交流反思 本节课,我们讨论了一次函数解析式的求法 1.求一次函数的解析式往往用待定系数法,即根据题目中给出的两个条件确定一次函数解析式 y=kx+b(k ≠0)中两个待定系数 k 和 b 的值; 2.用一次函数解析式解决实际问题时,要注意自变量的取值范围. 3.求两个一次函数图象的交点坐标即以两解析式为方程的方程组的解. 五、检测反馈 1.根据下列条件写出相应的函数关系式.
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(1)直线 y=kx+5 经过点(-2,-1); (2)一次函数中,当 x=1 时,y=3;当 x=-1 时,y=7. 2.写出两个一次函数,使它们的图象都经过点(-2,3). 3.如图是某长途汽车站旅客携带行李费用示意图.试说明收费方法,并写出行李费 y(元)与行李重量 x (千克)之间的函数关系.

4.一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象经过点(3,3)和(1,-1).求它的函数关系式,并画出图象. 5.陈华暑假去某地旅游,导游要大家上山时多带一件衣服,并介绍当地山区海拔每增加 100 米,气温下降 0.6℃.陈华在山脚下看了一下随带的温度计,气温为 34℃,乘缆车到山顶发现温度为 32.2℃.求山高. 反比例函数(1) 知识技能目标 1.理解反比例函数的概念,根据实际问题能列出反比例函数关系式; 2.利用正比例函数和反比例函数的概念求解简单的函数式. 过程性目标 1.经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程,发展学生的抽象思维能力; 2.探求反比例函数的求法,发展学生的数学应用能力. 教学过程 一、创设情境 两个相关联的量,一个量变化,另一个量也随着变化,如果两个数的积一定,这两个数的关系叫做反比例 关系. 二、 探究归纳 问题 1 小华的爸爸早晨骑自行车带小华到 15 千米的镇外去赶集,回来时让小华乘公共汽车,用的时间少 了.假设两人经过的路程一样,而且自行车和汽车的速度在行驶过程中都不变,爸爸要小华找出从家里到 镇上的时间和乘坐不同交通工具的速度之间的关系. 分析 和其他实际问题一样,要探求两个变量之间的关系,就应先选用适当的符号表示变量,再根据题意 列出相应的函数关系式. 设小华乘坐交通工具的速度是 v 千米/时,从家里到镇上的时间是 t 小时.因为在匀速运动中,时间=路程 ÷速度,所以

t=

15 v

从这个关系式中发现: 1.路程一定时,时间 t 就是速度 v 的反比例函数.即速度增大了,时间变小;速度减小了,时间增大. 2.自变量 v 的取值是 v>0. 问题 2:学校课外生物小组的同学准备自己动手,用旧围栏建一个面积为 24 平方米的矩形饲养场.设它的 一边长为 x(米),求另一边的长 y(米)与 x 的函数关系式. 分析 根据矩形面积可知 xy=24,

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y=

24 x

从这个关系中发现: 1.当矩形的面积一定时,矩形的一边是另一边的反比例函数.即矩形的一边长增大了,则另一边减小;若 一边减小了,则另一边增大; 2.自变量的取值是 x>0.

上述两个函数都具有

y=

k k y= x 的形式,一般地,形如 x (k 是常数,k≠0)的函数叫做反比例函数

(proportional function).

y =k 说明 1.反比例函数与正比例函数定义相比较,本质上,正比例 y=kx,即 x ,k 是常数,且 k≠0;反 y= k x ,则 xy=k,k 是常数,且 k≠0.可利用定义判断两个量 x 和 y 满足哪一种比例关系. y=
2.反比例函数的解析式又可以写成:

比例函数

k = kx ?1 x ( k 是常数,k≠0).

3.要求出反比例函数的解析式,只要求出 k 即可. 三、实践应用 例 1 下列函数关系中,哪些是反比例函数? (1)已知平行四边形的面积是 12cm2,它的一边是 acm,这边上的高是 hcm,则 a 与 h 的函数关系; (2)压强 p 一定时,压力 F 与受力面积 s 的关系; (3)功是常数 W 时,力 F 与物体在力的方向上通过的距离 s 的函数关系. (4)某乡粮食总产量为 m 吨,那么该乡每人平均拥有粮食 y(吨)与该乡人口数 x 的函数关系式.

分析 确定函数是否为反比例函数,就是看它们的解析式经过整理后是否符合 以此题必须先写出函数解析式,后解答.

y=

k x (k 是常数,k≠0).所

解 (1)

a=

12 h ,是反比例函数;

(2)F=ps,是正比例函数;

F=
(3)

W s ,是反比例函数; m x ,是反比例函数.

y=
(4)

例 2 当 m 为何值时,函数

y=

4 x
2m ?2

是反比例函数,并求出其函数解析式.

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分析 由反比例函数的定义易求出 m 的值.

解 由反比例函数的定义可知:2m-2=1,

m=

3 2.

所以反比例函数的解析式为

y=

4 x.

例 3 将下列各题中 y 与 x 的函数关系与出来.

y=
(1)

1 z ,z 与 x 成正比例;

(2)y 与 z 成反比例,z 与 3x 成反比例;

1 x (3)y 与 2z 成反比例,z 与 2 成正比例;
解 (1)根据题意,得 z=kx(k≠0).

1 1 1 y= y= y= k z ,得 kx ,即 x .因此 y 是 x 的反比例函数. 把 z=kx 代入
y=
(2)根据题意,得

k1 k ,z = 2 z 3 x (k1,k2 均不为 0).



z=

k2 k y= 1 3 x 代入 z ,得

y=

k1 3k1 = x 3k k2 k2 y= 1x k2 . 3x ,即

因此 y 是 x 的正比例函数.

y=
(3)根据题意,得

k1 k 1 1 , z = k2 x z = k 2 x代入y = 1 2z 2 2 2 z ,得 .把

y=

k1 k1 k2 1 2 × k2 x 2 ,即 y= x .因此 y 是 x 的反比例函数.

例 4 已知 y 与 x2 成反比例,并且当 x=3 时,y=2.求 x=1.5 时 y 的值.

分析 因为 y 与 x2 成反比例,所以设

y=

k x 2 ,再用待定系数法就可以求出 k,进而再求出 y 的值.

解 设

y=

k k 2= 2 9 ,k =18. x .因为当 x=3 时,y=2,所以

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y=
当 x=1.5 时,

18 18 = =8 2 x (1.5) 2 .

例 5 已知 y=y1+y2, y1 与 x 成正比例,y2 与 x2 成反比例,且 x=2 与 x=3 时,y 的值都等于 19.求 y 与 x 间的函数关系式.

分析

y1 与 x 成正比例, y1=k1x, 与 x2 成反比例, 则 y2 则

y2 =

k2 k y = k1 x + 2 2 x , x2 , 又由 y=y1+y2, 可知,

只要求出 k1 和 k2 即可求出 y 与 x 间的函数关系式. 解 因为 y1 与 x 成正比例,所以 y1=k1x;

因为 y2 与 x2 成反比例,所以

y2 =

k2 x2 ,

而 y=y1+y2,所以

y = k1 x +

k2 x2 ,

当 x=2 与 x=3 时,y 的值都等于 19.

k2 ? ?19 = 2k1 + 4 ? , ? ?19 = 3k + k 2 . 1 ? 9 所以 ?
y = 5x + 36 x2 .

?k1 = 5 ? k = 36 解得 ? 2

所以

四、交流反思

本堂课,我们讨论了具有什么样的函数是反比例函数,一般地,形如 反比例函数(proportional function). 要求反比例函数的解析式,可通过待定系数法求出 k 值,即可确定.

y=

k x (k 是常数,k≠0)的函数叫做

五、检测反馈 1.分别写出下列问题中两个变量间的函数关系式,指出哪些是正比例函数,哪些是反比例函数,哪些既不 是正比例函数也不是反比例函数? (1)小红一分钟可以制作 2 朵花,x 分钟可以制作 y 朵花; (2)体积为 100cm3 的长方体,高为 hcm 时,底面积为 Scm2; (3)用一根长 50cm 的铁丝弯成一个矩形,一边长为 xcm 时,面积为 ycm2; (4)小李接到对长为 100 米的管道进行检修的任务,设每天能完成 10 米,x 天后剩下的未检修的管道长为 y 米. 2.已知 y 与 x-2 成反比例,当 x=4 时,y=3,求当 x=5 时,y 的值. 3.已知 y=y1+y2, y1 与 x 成正比例,y2 与 x2 成反比例.当 x=1 时,y=-12;当 x=4 时,y=7.(1)

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1 求 y 与 x 的函数关系式和 x 的取范围;(2)当 x= 4 时,求 y 的值.
4.已知一个长方体的体积是 100 立方厘米,它的长是 ycm,宽是 5cm,高是 xcm. (1)写出用高表示长的函数式; (2)写出自变量 x 的取值范围; (3)当 x=3cm 时,求 y 的值. 5.试用描点作图法画出问题 1 中函数的图象. 反比例函数(2) 知识技能目标 1.理解反比例函数的图象是双曲线,利用描点法画出反比例函数的图象,说出它的性质; 2.利用反比例函数的图象解决有关问题. 过程性目标 1.经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程,会说出它的性质; 2.探索反比例函数的图象的性质,体会用数形结合思想解数学问题. 教学过程 一、创设情境

上节的练习中,我们画出了问题 1 中函数

t=

s v 的图象,发现它并不是直线.那么它是怎么样的曲线呢? k x (k 是常数,k≠0)的图象,探究它有什么性质.

本节课,我们就来讨论一般的反比例函数 二、探究归纳

y=

y=
1.画出函数

6 x 的图象.

分析 画出函数图象一般分为列表、 描点、 连线三个步骤, 在反比例函数中自变量 x ≠0. 解 1.列表:这个函数中自变量 x 的取值范围是不等于 零的一切实数,列出 x 与 y 的对应值:

2.描点:用表里各组对应值作为点的坐标,在直角坐标 系中描出在京各点点(-6,-1)、(-3,-2)、(-2,-3)等. 3.连线:用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来,得 到图象的第一个分支;用平滑的曲线将第三象限各点依 次连起来, 得到图象的另一个分支. 这两个分支合起来, 就是反比例函数的图象. 上述图象,通常称为双曲线(hyperbola). 提问 这两条曲线会与 x 轴、y 轴相交吗?为什么?

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学生试一试: 画出反比例函数

y=?

6 x 的图象 (学生动手画反比函数图象, 进一步掌握画函数图象的步骤) .

学生讨论、交流以下问题,并将讨论、交流的结果回答问题.

y=
1.这个函数的图象在哪两个象限?和函数

6 x 的图象有什么不同?

y=
2.反比例函数

k x (k≠0)的图象在哪两个象限内?由什么确定?

3.联系一次函数的性质,你能否总结出反比例函数中随着自变量 x 的增加,函数 y 将怎样变化?有什么规 律?

反比例函数

y=

k x 有下列性质:

(1)当 k>0 时,函数的图象在第一、三象限,在每个象限内,曲线从左向右下降,也就是在每个象限内 y 随 x 的增加而减少; (2)当 k<0 时,函数的图象在第二、四象限,在每个象限内,曲线从左向右上升,也就是在每个象限内 y 随 x 的增加而增加. 注 1.双曲线的两个分支与 x 轴和 y 轴没有交点; 2.双曲线的两个分支关于原点成中心对称. 以上两点性质在上堂课的问题 1 和问题 2 中反映了怎样的实际意义? 在问题 1 中反映了汽车比自行车的速度快,小华乘汽车比骑自行车到镇上的时间少. 在问题 2 中反映了在面积一定的情况下,饲养场的一边越长,另一边越小. 三、实践应用
2? m 的图象在第二、四象限,求 m 的值. 例 1 若反比例函数 y = (m + 1) x
2

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分析 由反比例函数的定义可知: 2 ? m = ?1 , 又由于图象在二、四象限,所以 m+1<0,由这两个条
2

件可解出 m 的值.

?2 ? m 2 = ?1, ? m +1 < 0 解 由题意,得 ?

解得 m = ? 3 .

例 2 已知反比例函数 的象限.

y=

k x (k≠0),当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大,求一次函数 y=kx-k 的图象经过

分析 由于反比例函数

y=

k x (k≠0),当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大,因此 k<0,而一次函数 y=kx-k

中,k<0,可知,图象过二、四象限,又-k>0,所以直线与 y 轴的交点在 x 轴的上方.

解 因为反比例函数

y=

k x (k≠0),当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大,所以 k<0,所以一次函数 y=kx-k

的图象经过一、二、四象限. 例 3 已知反比例函数的图象过点(1,-2). (1)求这个函数的解析式,并画出图象; (2)若点 A(-5,m)在图象上,则点 A 关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上? 分析 (1) 反比例函数的图象过点(1,-2),即当 x=1 时,y=-2.由待定系数法可求出反比例函数解析式; 再根据解析式,通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象; (2)由点 A 在反比例函数的图象上,易求出 m 的值,再验证点 A 关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象 上.

解 (1)设:反比例函数的解析式为:

y=

k x (k≠0).

而反比例函数的图象过点(1,-2),即当 x=1 时,y=-2.

所以

?2=

k 1 ,k=-2. y=? 2 x.

即反比例函数的解析式为:

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y=?
(2)点 A(-5,m)在反比例函数

2 2 2 m=? = x 图象上,所以 ?5 5 ,

2 (?5, ) 5 . 点 A 的坐标为 2 (?5,? ) 5 不在这个图象上; 点 A 关于 x 轴的对称点 2 (5, ) 5 不在这个图象上; 点 A 关于 y 轴的对称点 2 (5,? ) 5 在这个图象上; 点 A 关于原点的对称点
3? m 例 4 已知函数 y = ( m ? 2) x 为反比例函数.
2

(1)求 m 的值; (2)它的图象在第几象限内?在各象限内,y 随 x 的增大如何变化?

1 (3)当-3≤x≤ 2 时,求此函数的最大值和最小值. ?

?3 ? m 2 = ?1, ? m ? 2 ≠ 0. 解得,m=-2. 解 (1)由反比例函数的定义可知: ?
(2)因为-2<0,所以反比例函数的图象在第二、四象限内,在各象限内,y 随 x 的增大而增大. (3)因为在第个象限内,y 随 x 的增大而增大,

4 =8 1 1 ? ? 2 ; 所以当 x= 2 时,y 最大值= ?
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4 4 = 当 x=-3 时,y 最小值= ? 3 3 . ? 1 4 所以当-3≤x≤ 2 时,此函数的最大值为 8,最小值为 3 . ?
例 5 一个长方体的体积是 100 立方厘米,它的长是 y 厘米,宽是 5 厘米,高是 x 厘米. (1)写出用高表示长的函数关系式; (2)写出自变量 x 的取值范围; (3)画出函数的图象.

解 (1)因为 100=5xy,所以 (2)x>0. (3)图象如下:

y=

20 x .

说明 由于自变量 x>0,所以画出的反比例函数的图象 只是位于第一象限内的一个分支. 四、交流反思 本节课学习了画反比例函数的图象和探讨了反比例函 数的性质. 1.反比例函数的图象是双曲线(hyperbola). 2.反比例函数有如下性质: (1)当 k>0 时,函数的图象在第一、三象限,在每个象限内,曲线从左向右下降,也就是在每个象限内 y 随 x 的增加而减少; (2)当 k<0 时,函数的图象在第二、四象限,在每个象限内,曲线从左向右上升,也就是在每个象限内 y 随 x 的增加而增加. 五、检测反馈 1.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象:

y=
(1)

1 x;

y=?
(2)

3 x.

2.已知 y 是 x 的反比例函数,且当 x=3 时,y=8,求: (1)y 和 x 的函数关系式;

x=2
(2)当

2 3 时,y 的值; y= 3 2?
2

(3)当 x 取何值时,

n 3.若反比例函数 y = (3n ? 9) x

?13

的图象在所在象限内,y 随 x 的增大而增大,求 n 的值.

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y=
4.已知反比例函数

m+3 x 经过点 A(2,-m)和 B(n,2n),求:

(1)m 和 n 的值; (2)若图象上有两点 P1(x1,y1)和 P2(x2,y2),且 x1<0< x2,试比较 y1 和 y2 的大小. 反比例函数(3) 知识技能目标 1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题; 2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题. 过程性目标 1.进一步探求一次函数和反比例函数的性质,感受用待定系数法求函数解析式的方法; 2.通过培养学生看图(象) 、识图(象) 、读图(象)能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题. 教学过程 一、创设情境

已知正比例函数 y=ax 和反比例函数

y=

b x 的图象相交于点(1,2),求两函数解析式.

分析 根据题意可作出图象. 点(1,2)在正比例函数和反比例函数图象上, 把点(1,2)代入正比例函数和反比例 函数的解析式中,求出 a 和 b. 解 因为点(1,2)在正比例函数和反比例函数图象上,

把 x=1,y=2 分别代入 y=ax 和

y=

b x 中,得

2=
2=a,

b 1 ,b=2.

所以正比例函数解析式为 y=2x.

反比例函数解析式为

y=

2 x.

二、探究归纳 综合运用一次函数和反比例函数的知识解题,一般先根据题意画出图象,借助图象和题目中提供的信
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息解题. 三、实践应用

例 1 已知直线 y=x+b 经过点 A(3,0),并与双曲线

y=

k x 的交点为 B(-2,m)和 C,求 k、b 的值.

解 点 A(3,0)在直线 y=x+b 上,所以 0=3+b,b=-3. 一次函数的解析式为:y=x-3. 又因为点 B(-2,m)也在直线 y=x-3 上,所以 m=-2-3=-5,即 B(-2,-5).

而点 B(-2,-5)又在反比例函数

y=

k x 上,所以 k=-2×(-5)=10.

例 2 已知反比例函数

y=

k1 x 的图象与一次函数 y=k2x-1 的图象交于 A(2,1).

(1)分别求出这两个函数的解析式; (2)试判断 A 点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系. 分析 (1)因为点 A 在反比例函数和一次函数的图象上,把 A 点的坐标代入这两个解析式即可求出 k1、k2 的值. (2)把点 A 关于坐标原点的对称点 A′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中, 可知 A′是否在这两个函 数图象上. 解 (1)因为点 A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上,所以 k1=2×1=2. 1=2 k2-1,k2=1.

所以反比例函数的解析式为:

y=

2 x ;一次函数解析式为:y=x-1.

(2)点 A(2,1)关于坐标原点的对称点是 A′(-2,-1).

把 A 点的横坐标代入反比例函数解析式得,

y=

2 = ?1 ?1 ,所以点 A 在反比例函数图象上.

把 A 点的横坐标代入一次函数解析式得,y=-2-1=-3,所以点 A 不在一次函数图象上.
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例 3 已知一次函数 y=kx+b 的图象经过点 A(0,1)和点 B(a,-3a),a<0,且点 B 在反比例函数的

y=?

3 x的

图象上. (1)求 a 的值. (2)求一次函数的解析式,并画出它的图象. (3)利用画出的图象,求当这个一次函数 y 的值在-1≤y≤3 范围内时,相应的 x 的取值范围. (4)如果 P(m,y1)、Q(m+1,y2)是这个一次函数图象上的两点,试比较 y1 与 y2 的大小. 分析 (1)由于点 A、点 B 在一次函数图象上,点 B 在反比例函数图象上,把这些点的坐标代入相应的函数 解析式中,可求出 k、b 和 a 的值. (2)由(1)求出的 k、b、a 的值,求出函数的解析式,通过列表、描点、连线画出函数图象. (3)和(4)都是利用函数的图象进行解题.

解 (1)反比例函数的图象过点 B(a,-3a),

? 3a = ?

3 a ,a=±1,因为 a<0, 所以 a=-1. a<0. B(-

1,3). 又因为一次函数图象过点 A(0,1)和点 B(-1,3).

?1 = b, ?k = ?2 ? ? 3 = ? k + b. 解得, ?b = 1 . 所以 ?
即:一次函数的解析式为 y=-2x+1. (2)

一次函数和反比例函数的图象为:

(3)从图象上可知,当一次函数 y 的值在-1 范围内时,相应的 x 的值为: -1≤x≤1.
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(4)从图象可知,y 随 x 的增大而减小,又 m+1>m,所以 y1>y2。 或解:当 x1=m 时,y1=-2m+1;当 x2=m+1 时,y2=-2×(m+1)+1=-2m-1 所以 y1-y2=(-2m+1)-(-2m-1)=2>0,即 y1> y2。

例 4 如图, 一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数

y=

m x的

图象交于 A、B 两点. (1)利用图象中的条件,求反比例函数和一次函数的解析式; (2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的 x 的取 值范围. 分析 (1)把 A、B 两点坐标代入两解析式,即可求得一次函数 和反比例函数解析式 . (2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的,一次函 数值大于反比例函数值, 反映在图象上, 自变量取相同的值时, 一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐 标.

解 (1)观察图象可知,反比例函数

y=

m x 的图象过点 A(-2,1),m=-2×1=-2.

所以反比例函数的解析式为:

y=

?2 ?2 a= = ?2 x .又点 B(1,a)也在反比例函数图象上, 1 .即 B(1,-2).

?1 = ?2k + b, ?k = ?1, ? ? ? 2 = k + b. 解得, ?b = ?1. 因为一次函数图象过点 A、B.所以 ?
一次函数解析式为:y=-x-1. (2)观察图象可知,当 x<-2 或 0<x<1 时,一次函数的值大于反比例函数值. 四、交流反思 1.综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式,往往仍用待定系数法. 2.观察图象,把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题. 五、检测反馈

1.已知一次函数 y=kx+b 的图象过点 A(0,1)和点 B(a,-3a)(a>0), 且点 B 在反比例函数 求 a 及一次函数式.

y=?

3 x 的图象上,

2.已知关于 x 的一次函数 y=mx+3n 和反比例函数

y=

2 m + 5n x 图象

都经过点(1,-2),求这个一次函数与反比例函数的解析式.

3.如图, P 是直线 点

y=

1 k x+2 y= 2 x 在第一象限内的一个 与双曲线

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交点,直线

y=

1 x+2 2 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、C,过 P 作 PB 垂直于 x 轴于 B,若 AB+PB=9.

(1)求 k 的值;(2)求△PBC 的面积.

实践与探索(1) 知识技能目标 1.使学生理解二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标,并能通过图象法来求二元一次方程组的解; 2.让学生了解到函数是刻画和研究现实世界数量关系的重要数学模型,也是一种重要的数学思想,培养和 提高学生在数学学习中的创造和应用函数的能力. 过程性目标 1.使学生体会到实际问题中数量之间的相互关系,学会用函数的思想去进行描述、研究其内在联系和变化 规律; 2.通过图象获取函数相关信息,运用图象来解释实际问题中相关量的涵义; 3.使学生体会到二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标,能通过图象法来求二元一次方程组的解. 教学过程 一、创设情境 问题 学校有一批复印任务,原来由甲复印社承接,按每 100 页 40 元计费.现乙复印社表示:若学校先按 月付给一定数额的承包费,则可按每 100 页 15 元收费.两复印社每月收费情况如下图所示.

根据图象回答: (1)乙复印社的每月承包费是多少? (2)当每月复印多少页时,两复印社实际收费相同? (3)如果每月复印页数在 1200 页左右,那么应选择哪个复印社? 二、探究归纳 问 “乙复印社的每月承包费”在图象上怎样反映出来? 答 “乙复印社的每月承包费”指当 x=0 时,y 的值,从图中可以看出乙复印社的每月承包费是 200 元. 问 “收费相同”在图象上怎样反映出来? 答 “收费相同”是指当 x 取相同的值时,y 相等,即两条射线的交点.我们看到,两个一次函数图象的交 点处,自变量和对应的函数值同时满足两个函数的关系式.而两个一次函数的关系式就是方程组中的两个 方程,所以交点的坐标就是方程组的解.据此,我们可以利用图象来求某些方程组的解. 问 如何在图象上看出函数值的大小? 答 作一条 x 轴的垂线,如下图,此时 x 的值相同,它与哪一条射线的交点较高,就表示对应函数值较大, 收费就较高;反之,它与另一条射线的交点较低,就表示对应函数值较小,收费就较低.从图中可以看出, 如果每月复印页数在 1200 页左右,那么应选择乙复印社收费较低.

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三、实践应用 例 1 小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来.他已存有 50 元,从现在起每个月节存 12 元.小张的同 学小王以前没有存过零用钱,听到小张在存零用钱,表示从小张存款当月起每个月存 18 元,争取超过小 张. 请你写出小张和小王存款和月份之间的函数关系, 并计算半年以后小王的存款是多少, 能否超过小张? 至少几个月后小王的存款能超过小张? 解 设小张存 x 个月的存款是 y1 元,小王的存 x 个月的存款是 y2 元, 则 y1=50+12x,y2=18x,

当 x=6 时,y1=50+12×6=122(元) y2=18×6=108(元) , . 所以半年后小王的存款不能超过小张.

1 由 y2>y1,即 18x> 50+12x,得 x> 3 , 8
所以 9 个月后,小王的存款能超过小张.

? y = 50 + 12 x, ? y = 18 x. 思考:①求 ? 的解.②观察两直线交点
坐标与这个方程组的解有什么关系. 结论 我们看到,两个一次函数图象的交点处,自变量 和对应的函数值同时满足两个函数的关系式.而两个 一次函数的关系式就是方程组中的两个方程,所以交 点的坐标就是方程组的解.据此,我们可以利用图象 来求某些方程组的解.

? y = 2 x ? 5, ? y = ? x + 1. 解 在直角坐标 例 2 利用图象解方程组 ?
系中画出两条直线,如下图所示. 两条 直线的交 点坐标是 (2,-1), 所以方 程组的解为
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? x = 2, ? ? y = ? 1.
例 3 下图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象 (分别 是正比例函数图象和一次函数图象) .根据图象解答下列问题:

(1)请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围) ; (2)轮船和快艇在途中(不包括起点和终点)行驶的速度分别是多少? (3)问快艇出发多长时间赶上轮船? 解 (1)设表示轮船行驶过程的函数解析式为 y=kx(k≠0), 由图象知:当 x=8 时,y=160. 代入上式,得 8k=160, 可解得 k=20. 所以轮船行驶过程的函数解析式为 y=20x. 设表示快艇行驶过程的函数解析式为 y=ax+b(a≠0), 由图象知:当 x=2 时,y=0;当 x=6 时,y=160.

?2a + b = 0, ? 6a + b = 160. 代入上式,得 ? ?a = 40, ? b = ?80. 可解得 ?
所以快艇行驶过程的函数解析式为 y=40x-80. (2)由图象可知,轮船在 8 小时内行驶了 160 千米,快艇在 4 小时内行驶了 160 千米,所以轮船的速度是

160 160 = 20 = 40 8 (千米/时) ,快艇的速度是 4 (千米/时) .
(3)设轮船出发 x 小时快艇赶上轮船, 20x=40x-80 得 x=4,x-2=2. 答 快艇出发了 2 小时赶上轮船. 四、交流反思 1.实际问题中数量之间的相互关系,用函数的思想去进行描述、研究其内在联系和变化规律; 2.使学生体会到二元一次方程组的解是两条直线的交点坐标,能通过图象法来求二元一次方程组的解.
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五、检测反馈 1.利用图象解下列方程组:

? y = ?2 x ? 1, ? ? 1 ? y = 2 x + 4. (1) ?

?2 x ? y = 2, ? x + y = ? 5. (2) ?

2.已知直线 y=2x+1 和 y=3x+b 的交点在第三象限,写出常数 b 可能的两个数值. 3.学校准备去白云山春游.甲、乙两家旅行社原价都是每人 60 元,且都表示对学生优惠.甲旅行社表示: 全部 8 折收费;乙旅行社表示: 若人数不超过 30 人则按 9 折收费,超过 30 人按 7 折收费. (1)设学生人数为 x,甲、乙两旅行社实际收取总费用为 y1、y2(元) ,试分别列出 y1、y2 与 x 的函数关系 式(y2 应分别就人数是否超过 30 两种情况列出) ; (2)讨论应选择哪家旅行社较优惠; (3)试在同一直角坐标系内画出(1)题两个函数的图象,并根据图象解释题(2)题讨论的结果. 4.药品研究所开发一种抗菌新药.经多年动物实验,首次用于临床人体试验.测得成人服药后血液中药物 浓度 y(微克/毫升)与服药后时间 x(时)之间的函数关系如下图.请你根据图象:

(1)说出服药后多少时间血液中药物浓度最高? (2)分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段 y 与 x 的函数关系式. 实践与探索(2) 知识技能目标 1.使学生理解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的相互联系; 2.使学生能初步运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集,并能通过函数图象来回答 一元一次方程、一元一次不等式的解集. 过程性目标 1.使学生体会到一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的相互联系; 2.使学生感受到“数形结合”在数学研究和探究现实生活数量关系及其变化规律中的作用. 3.能运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集,并能通过函数图象来回答一元一次方 程、一元一次不等式的解集. 教学过程 一、创设情境

3 x+3 问题 画出函数 y= 2 的图象,根据图象,指出:
(1) x 取什么值时,函数值 y 等于零? (2) x 取什么值时,函数值 y 始终大于零?

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二、探究归纳

3 3 x+3 x+3 问 一元一次方程 2 =0 的解与函数 y= 2 的图象有什么关系? 3 3 x+3 x+3 答 一元一次方程 2 =0 的解就是函数 y= 2 的图象上当 y=0 时的 x 的值. 3 3 3 x+3 x+3 x+3 =0 的解,不等式 2 >0 的解集与函数 y= 2 的图象有什么关系? 问 一元一次方程 2 3 3 x+3 x+3 答 不等式 2 >0 的解集就是直线 y= 2 在 x 轴上方部分的 x 的取值范围.
三、实践应用 例 1 画出函数 y=-x-2 的图象,根据图象,指出: (1) x 取什么值时,函数值 y 等于零? (2) x 取什么值时,函数值 y 始终大于零? 解 过(-2,0),(0,-2)作直线,如图.

(1)当 x=-2 时,y=0; (2)当 x<-2 时,y>0. 例 2 利用图象解不等式(1)2x-5>-x+1,(2) 2x-5<-x+1.解 设 y1=2x-5,y2=-x+1, 在直角坐标系中画出这两条直线,如下图所示.

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两条直线的交点坐标是(2, -1) ,由图可知: (1)2x-5>-x+1 的解集是 y1>y2 时 x 的取值范围,为 x>-2; (2)2x-5<-x+1 的解集是 y1<y2 时 x 的取值范围,为 x<-2. 四、交流反思 运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集,并能通过函数图象来回答一元一次方程、 一元一次不等式的解集. 五、检测反馈 1.已知函数 y=4x-3.当 x 取何值时,函数的图象在第四象限? 2.画出函数 y=3x-6 的图象,根据图象,指出: (1) x 取什么值时,函数值 y 等于零? (2) x 取什么值时,函数值 y 大于零? (3) x 取什么值时,函数值 y 小于零? 3.画出函数 y=-0.5x-1 的图象,根据图象,求: (1)函数图象与 x 轴的交点坐标; (2)函数图象在 x 轴上方时,x 的取值范围; (3)函数图象在 x 轴下方时,x 的取值范围.

4.如图,一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数

y=

m x 的图象交于 A、B 两点.

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(1)利用图中条件,求反比例函数和一次函数的解析式; (2)根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围. 实践与探索(3) 知识技能目标 1.通过对一次函数性质、一次函数与一次方程、一次不等式联系的探索,提高自主学习和对知识综合应用 的能力. 2.让学生用简单的已知函数来拟合实际问题中变量的函数关系. 过程性目标 1.让学生在探索过程中,体会“问题情境—建立模型—解释应用—回顾拓展”这一数学建模的基本思想, 感受函数知识的应用价值; 2.让学生结合自身的生活经历,模仿尝试解决一些身边的函数应用问题. 教学过程 一、创设情境 问题 为了研究某合金材料的体积 V(cm3)随温度 t(℃)变化的规律,对一个用这种合金制成的圆球测得相 关数据如下:

能否据此求出 V 和 t 的函数关系? 将这些数值所对应的点在坐标系中作出.我们发现,这些点大致位于一条直线上,可知 V 和 t 近似地符合 一次函数关系.我们可以用一条直线去尽可能地与这些点相符合,求出近似的函数关系式.如下图所示的 就是一条这样的直线,较近似的点应该是(10,1000.3)和(60,1002.3).

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设 V=kt+b(k≠0),把(10,1000.3)和(60,1002.3)代入,可得 k=0.04,b=999.7. V=0.04t+999.7. 你也可以将直线稍稍挪动一下,不取这两点,换上更适当的两点. 二、探究归纳 我们曾采用待定系数法求得一次函数和反比例函数的关系式.但是现实生活中的数量关系是错综复杂的, 在实践中得到一些变量的对应值,有时很难精确地判断它们是什么函数,需要我们根据经验分析,也需要 进行近似计算和修正,建立比较接近的函数关系式进行研究. 三、实践应用 例 1 为了学生的身体健康,学校课桌、凳的高度都是按一定的关系科学设计的.小明对学校所添置的一批 课桌、凳进行观察研究,发现它们可以根据人的身长调节高度.于是,他测量了一套课桌、凳上相对应的 四档高度,得到如下数据:

(1)小明经过对数据探究,发现:桌高 y 是凳高 x 的一次函数,请你求出这个一次函数的关系式(不要求写 出 x 的取值范围) ; (2)小明回家后,测量了家里的写字台和凳子,写字台的高度为 77cm,凳子的高度为 43.5cm,请你判断它 们是否配套?说明理由. 解 (1)设一次函数为 y=kx+b(k≠0),将表中数据任取两组,不妨取(37.0,70.0)和(42.0,78.0)代入,得

?70 = 37 k + b, ? ?78 = 42k + b.
解得

?k = 1.6, ? ?b = 10.8.
一次函数关系式是 y=1.6x+10.8. (2)当 x=43.5 时,y=1.6×43.5+10.8=80.4≠77. 答 一次函数关系式是 y=1.6x+10.8,小明家里的写字台和凳子不配套. 例 2 某公司到果园基地购买某种优质水果, 慰问医务工作者. 果园基地对购买量在 3000 千克以上 (含 3000 千克)的有两种销售方案,甲方案:每千克 9 元,由基地送货上门;乙方案:每千克 8 元,由顾客自己租 车运回.已知该公司租车从基地到公司的运输费为 5000 元.
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(1)分别写出该公司两种购买方案的付款 y(元)与所买的水果量 x(千克)之间的函数关系式,并写出自 变量 x 的取值范围. (2)当购买量在什么范围时,选择哪种购买方案付款最少?并说明理由. 解 (1)

y甲=9 x ( x ≥ 3000)

; .

y 乙 = 8 x + 5000
(2)当

( x ≥ 3000)

y甲=y乙 ,即 9x=8x+5000 时,

解得 x=5000. 所以当 x=5000 时,两种付款一样;

? x ≥ 3000, 当y甲 < y乙时,有? ?9 x < 8 x + 5000.
解得 3000≤x<5000. 所以当 3000≤x<5000 时,选择甲方案付款最少;

当y甲 > y乙时,有9 x > 8 x + 5000 .
解得 x>5000. 所以当 x>5000 时,选择乙方案付款最少. 四、交流反思 1.现实生活中的数量关系是错综复杂的,在实践中得到一些变量的对应值,有时很难精确地判断它们是什 么函数,需要我们根据经验分析,也需要进行近似计算和修正,建立比较接近的函数关系式进行研究; 2.把实际问题数学化,运用数学的方法进行分析和研究,是常用的、有效的一种方法. 五、检测反馈 1.酒精的体积随温度的升高而增大,在一定范围内近似于一次函数关系.现测得一定量的酒精在 0℃时的体 积是 5.250 升,在 40℃时的体积是 5.481 升.求出其函数关系式,又问这些酒精在 10℃和 30℃时的体积各 是多少? 2.分别写出下列函数的关系式,指出是哪种函数,并确定其中自变量的取值范围. (1)在时速为 60km 的运动中,路程 s 关于运动时间 t 的函数关系式; (2)某校要在校园中辟出一块面积为 84m2 的长方形土地做花圃, 这个花圃的长 y(m)关于宽 x(m)的函数关系 式; (3)已知定活两便储蓄的月利率是 0.0675%,国家规定,取款时,利息部分要交纳 20%的利 息税,如果某人存入 2 万元,取款时实际领到的金额 y(元)与存入月数 x 的函数关系式. 3. 如图,温度计上表示了摄氏温度(℃)与华氏温度(℉)的刻度.能否用一个函数关系式 来表示摄氏温度 y(℃)和华氏温度 x(℉)的关系?如果气温是摄氏 32 度,那相当于华 氏多少度? 4.小亮家最近购买了一套住房.准备在装修时用木质地板铺设居室,用瓷砖铺设客厅.经市 场调查得知:用这两种材料铺设地面的工钱不一样.小亮根据地面的面积,对铺设居室和 客厅的费用(购买材料费和工钱)分别做了预算,通过列表,并用 x(m2)表示铺设地面的面积,用 y(元) 表示铺设费用,制成下图.请你根据图中所提供的信息,解答下列问题:

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(1)预算中铺设居室的费用为 元/ m2,铺设客厅的费用为 元/ m2; (2)表示铺设居室的费用 y(元)与面积 x(m2)之间的函数关系式为 ,表示铺设客厅的费用 y (元)与面积 x(m2)之间的函数关系式为 ; (3)已知在小亮的预算中,铺设 1m2 的瓷砖比铺设 1m2 的木质地板的工钱多 5 元;购买 1m2 的瓷砖是购买

3 1m2 的木质地板费用的 4 .那么铺设每平方米木质地板、瓷砖的工钱各是多少?购买每平方米的木质地板、
瓷砖的费用各是多少?

单元复习(1) 知识技能目标 1.从实际问题中了解变量、函数的概念,以及函数的表示法.学习时,要能用适当的函数表示法刻画某些 实际问题中变量之间的关系,并会结合函数图象分析简单的函数关系; 2.一次函数(包括正比例函数)和反比例函数是两种常见的简单函数,它是反映现实世界两类常见的数量 关系和变化规律的数学模型.要注意联系实际,理解一次函数和反比例函数的图象和性质,并能应用它解 决简单的实际问题. 过程性目标 1.使学生体会到运用直角坐标系研究一次函数、反比例函数的图象和性质,并运用它们解决简单的实际问 题; 2.使学生运用待定系数法确定一次函数、反比例函数的表达式. 教学过程 一、探究归纳 知识结构

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二、实践应用 例 1 某军加油飞机接到命令,立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油.在加油的过程中,设运输 飞机的油箱余油量为 Q1 吨,加油飞机的加油油箱的余油量为 Q2 吨,加油时间为 t 分钟,Q1、Q2 与 t 之 间的函数图象如图所示,结合图象回答下列问题:

(1)加油飞机的加油油箱中装载了多少吨油?将这些油全部加给运输飞机需要多少分钟? (2)求加油过程中,运输飞机的余油量 Q1(吨)与时间 t(分钟)的函数关系式; (3)求运输飞机加完油后,以原速继续飞行,需 10 小时到达目的地,油料是否够用?说明理由. 解 (1)由图象知,加油飞机的加油油箱中装载了 30 吨油,全部加给运输飞机需 10 分钟. (2)设 Q1=kt+b,把(0,40)和(10,69)代入,得

?40 = b, ? ?69 = 10k + b. ?k = 2.9, ? b = 40. 解得 ?
所以 Q1=2.9t+40(0≤t≤10). (3)根据图象可知运输飞机的耗油量为每分钟 0.1 吨. 所以 10 小时耗油量为:10×60×0.1=60(吨)<69(吨), 所以油料够用. 例 2 k 在为何值时,直线 2k+1=5x+4y 与直线 k=2x+3y 的交点在第四象限. 分析 此题中已知两直线的交点在第四象限,实际上就是知道两个一次函数图象交点在第四象限,因此如 何求两个一次函数的图象的交点及第四象限点应满足的条件就成了解此题的关键.另外因为涉及待定系数 k 的值,所以要先求它们的交点,其中交点的坐标是可以用待定系数 k 来表示,最后再确定第四象限的点 的坐标满足的条件. 解 由题意得:



?5 x + 4 y = 2k + 1, ? ?2 x + 3 y = k .

解关于 x,y 的二元一次方程组,得

2k + 3 ? ?x = 7 , ? ? ?y = k ? 2 . ? 7 ?
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因为它们交点在第四象限, 所以 x>0,y<0,

? 2k + 3 ? 7 > 0, ? ? ? k ? 2 < 0. ? 即? 7
3 ? ?k > ? , 2 ? ?k < 2. 解这个不等式组,得 ?
3 <k<2 由以上可知当 2 时,两直线交点在第四象限. ?

例 3 如图,已知一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 标和点 B 的纵坐标都是-2. (1)求一次函数的解析式; (2)求△AOB 的面积.

y=?

8 x 的图象交于 A、B 两点,且点 A 的横坐

8 把x A = ?2代入y = ? 中,得y A = 4 x 解 (1) .
所以点 A 的坐标是(-2,4).

8 把y B = ?2代入y = ? 中,得x B = 4 x .
所以点 B 的坐标是(4,-2). 把 A、B 的坐标代入 y=kx+b 中,得

? 4 = ? 2 k + b, ? ?? 2 = 4k + b.
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?k = ?1, ? b = 2. 解得 ?
所以一次函数的解析式是 y=-x+2. (2)当 y=0 时,0=-x+2,得 x=2, 所以 M(2,0),即 OM=2.

S ?AOB = S ?AOM + S ?BOM 1 1 × 2× 4 + × 2× 2 2 2 = 6. =
三、交流反思 1.直角坐标系是研究函数图象的基础,在直角坐标系中,点与有序实数对之间是一一对应的; 2.通过对一次函数性质、一次函数与一次方程、一次不等式联系的探索,提高自主学习和对知识综合应用 的能力; 3.待定系数法是一项重要的数学方法,要结合它在确定一次函数和反比例函数表达式中的应用. 四、检测反馈 1.选择题: (1)A(-3,a)与点 B(3,4)关于 y 轴对称,那么 a 的值为( ). A.3 B.-3 C.4 D.-4 (2)如果点 P(2m+1,-2)在第四象限内,则 m 的取值范围是(

).

1 A.m> 2 ?

1 B.m< 2 ?

1 C.m≥ 2 ?

1 D.m≤ 2 ?

2.联系一次函数的图象, 回答下列问题: (1)当 k>0 时, 函数 y=kx 的图象经过哪几个象限?当 k<0 时呢? (2)当 k>0、b>0 时,函数 y=kx+b 的图象不经过哪个象限?当 k>0、b<0 时呢? 3.求下列函数中自变量的取值范围:

y=
(1)

1 x?3 2 ;

y=
(2)

1 2?x ;

y=
(3)

2x ? 1 x?2 .

4.如图,正方形 ABCD 的边长为 4,P 为 DC 上的点.设 DP=x,求△APD 的面积 y 关于 x 的函数关系式, 并画出这个函数的图象.

5.小李以每千克 0.8 元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场去销售,在销售了部分西瓜之后,余下 的每千克降价 0.4 元, 全部售完, 销售金额与卖瓜的千克数之间的关系如图所示, 问小李至少赚了多少钱?

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单元复习(2) 知识技能目标 1.一次函数(包括正比例函数)和反比例函数是两种常见的简单函数,它是反映现实世界两类常见的数量 关系和变化规律的数学模型,要注意联系实际,理解一次函数和反比例函数的图象和性质,并能应用它解 决简单的实际问题; 2.通过对一次函数性质、一次函数与一次方程、一次不等式联系的探索,提高自主学习和对知识综合应用 的能力. 过程性目标 1.使学生体会到如何根据一次函数的图象解二元一次方程组的具体方法和过程,能用一次函数及其图象解 决简单的实际问题; 2.通过实际与探索,使学生体会到“问题情境—建立模型—解释应用—回顾拓展”这一数学建模的基本思 想,感受函数知识的应用价值,并会初步应用. 教学过程 一、探究归纳

二、实践应用 例 1 已知函数 y=y1+y2,且 y1 与 x 成反比例函数关系,y2 与(x-2)成正比例函数关系.当 x=1 时,y =-1;当 x=3 时,y=5.求:x=5 时,y 的值. 分析 应先用待定系数法写出函数的解析式.

解 由已知,

y1 =

k1 x (k1 ≠ 0 , k1 是 常 数 ) , 又 由 已 知 y2 = k2(x - 2)(k2 ≠ 0 , k2 是 常 数 ) , 所 以

y=

k1 + k 2 ( x- 2) x .①
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由已知,当 x=1 时,y=-1,代入①,得-1=k1+k2(-1),即 k1-k2=-1.②

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由已知,当 x=3 时,y=5,代入①,得

5=

k1 + k2 3 ,即 k1+3k2=15 .③

?k1 ? k 2 = ?1, ? ?k1 + 3k 2 = 15. ?k1 = 3, ? ?k 2 = 4.
y= 3 + 4( x ? 2) x .



所求的函数解析式是

当 x=5 时,

y=

3 + 4(5 ? 2) = 1.6 5 .

例 2 转炉炼钢产生的棕红色烟尘会污染大气,某装置可通过回收棕红色烟尘中的氧化铁从而降低污染.该 装置的氧化铁回收率与其通过的电流有关,现经过试验得到下列数据:

如图建立直角坐标系,用横坐标表示通过的电流强度,纵坐标表示氧化铁回收率.

(1)将试验所得数据在上图所给的直角坐标系中用点表示(注:该图中坐标轴的交点代表点(1,70)) ; (2)用线段将题(1)所画的点从左到右顺次连接, 若此图象来模拟氧化铁回收率 y 关于通过电流 x 的函数关系 式,试写出该函数在 1.7≤x≤2.4 时的表达式; (3)利用题(2)所得的关系, 求氧化铁回收率大于 85%时, 该装置通过是电流应该控制的范围 (精确到 0.1A) . 解 (1)如下图;

(2)将题(1)所画的点从左到右顺次连接,如下图;
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(1.7 ≤ x ≤ 1.9) ?45 x + 2.5 ? y = ?? 5 x + 97.5 (1.9 x ≤ x ≤ 2.1); ?? 30 x + 150 (2.1 ≤ x ≤ 2.4) ?
(3)当 1.7≤x<1.9 时,由 45x+2.5>85,得 1.8<x<1.9; 当 2.1≤x<2.4 时,由-30x+150>85,得 2.1≤x<2.2; 又当 1.9≤x<2.1 时,恒有-5x+97.5>85. 综上可知:满足要求时,该装置的电流应控制在 1.8A 至 2.2A 之间. 三、交流反思 1.待定系数法是一种很重要的数学方法,不仅在本章中应用,在以后的学习中也有广泛的应用; 2.现实生活中的数量关系是错综复杂的,在实践中得到一些变量的对应值,有时很难精确地判断它们是什 么函数,需要我们根据经验分析,也需要进行近似计算和修正,建立比较接近的函数关系式进行研究. 四、检测反馈 1.火车从车站开出 10 公里后,以每小时 60 公里的速度匀速前进,写出火车的路程 S(公里)与时间 t(小 时)之间的函数关系式. 2.飞轮每分钟旋转 60 转,写出飞轮旋转的转数 n 和时间 t(分)之间的函数解析式. (1)以时间 t 为自变量; (2)以转数 n 为自变量. 3.将函数 y=2x+3 的图象平移,使它经过点(2,-1).求平移后的直线所对应的函数关系式.你能想出几种 不同的平移方法?请和同学们交流一下.

y=
4.直线

2 x?2 3 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点,O 是原点.

(1)求△AOB 的面积; (2)过△AOB 的顶点能不能画出直线把△AOB 分成面积相等的两部分?如能,可以画出几条?写出这样的 直线所对应的函数关系式. 5.气温随高度的升高而下降.下降的一般规律是从地面到高空 11km 高处,每升高 1km,气温下降 6℃;高 于 11km 时,气温几乎不再变化.设某处地面气温 20℃,该处高空 x km 处气温为 y℃. (1)当 0≤x≤11 时,求 y 关于 x 的函数关系式; (2)画出该处气温随高度(包括高于 11km)而变化的图象; (3)试分别求出该处在离地面 4.5km 及 13km 的高空处的气温.

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