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数学理卷·2016届湖北省黄冈市高三3月质量检测(2016.03)word版



黄冈市 2016 年高三年级 3 月份质量检测 数学试题(理科)
黄冈市教育科学研究院命制 2016 年 3 月 14 日下午 3:00~5:00
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的. 1·若复数 z 满足

z ? i 2015 ? i2016 i 为虚

数单位) ,则复数 z= 1? i

A.1 B .2 C.i D.2i 2.设集合 A={x| x>-l},B={x| |x|≥1},则“x∈A 且 x ? B”成立的充要条件是 A. -l<x≤l B. x≤1 C x> -1 D.-1< x<l 3.下列命题中假命题的是 A. ? x0∈R,lnx0 <0 B . ? x∈(-∞,0),ex>x+1 C. ? x>0,5x>3x D. ? x0∈(0,+∞) ,x0<sinx0 4.某射击手射击一次击中目标的概率是 0.7,连续两次均击中目标的的概率是 0.4,已知某 次射中,则随后一次射中的概率是 A.

7 10

B.

6 7
2

C.
2

4 7
2

D.

2 5

5.已知正项数列{an}中,a1=l,a2=2, 2an?1 ? an?1 ? an?1 (n≥2)则 a6= A.16 B.4 C. 2 2 D.45

6.如图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的 T 是

A.1

B.2

C.3

D .4

7.将向量 a1 =(x1,y1), a2 =(x2,y2),? an =(xn,yn)组成的系列称为向量列{ an },并定义向 量列{ an }的前 n 项和 Sn ? a1 ? a2 ? ??? ? an .如果一个向量列从第二项起,每一项与前一 项 的差都等于同一个向量,那么称这样的向量列为等差向量列。若向量列{ an }是等差向量 列,那么下述四个向量中,与 S 一定平行的向量是 A. a10

ur

u u r

u u r

u u r

u u r

uu r

u r

u u r

u u r

u u r

uu r

B. a11

uu r

C. a20

uu r

D. a 21

uu r

8.已知 f(x) =Asin( ? x ? ? )(A>0, ? >0,0< ? < ? ),其导函数 f'(x)的图象如图所示,则 f( ? )的值为
第 1 页 共 11 页

A.

2

B.

3

C.2 2

D.2 3

?3 x ? 4 y ? 10 ? 0 ? , 表示区域 D,过区域 D 中任意一点 P 作圆 x2+ y2 =1 的 9.已知不等式组 ? x ? 4 ?y ? 3 ?
两条切线且切点分别为 A,B,当∠PAB 最小时,cos∠PAB= A.

3 2

B.

1 2

C.一

3 2

D一

1 2

10.双曲线 M:

x2 y 2 ? 2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点为 F1,F2,抛物线 N:y2=2px( p>0)的 2 a b

焦点为 F2,点 P 为双曲线 M 与抛物线 N 的一个交点,若线段 PF1 的中点在 y 轴上,则 该双曲线的离心率为 A. 3 +1 B. 2 +1 C.

3 ?1 2 ?1 D. 2 2

11.如图,点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的表面上运动,且 P 到 直线 BC 与直线 C1D1 的距离相等。如果将正方体在平面内展 开,那么动点 P 的轨迹在展开图中的形状是

12.定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)使不等式 2f(x)<xf’(x)<3f(x)恒成立,其中 f’(x)为 f(x)的导数,则

第 2 页 共 11 页

A.8<

f (2) f (2) <16 B.4< <8 f (1) f (1)

C.3<

f (2) f (2) <4 D.2< <3 f (1) f (1)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.已知向量 a=(cosθ , sinθ ) ,b=(1,一 2) ,若 a∥b,则代数式 = 。

14.在高三某班进行的演讲比赛中,共有 5 位选手参加,其中 3 位女生,2 位男生,如果 2 位 男生不能连续出场,且女生甲不能排第一个,那么出场的顺序的排法种数为 . 15.已知函数 f(x) =ln(x+ x ?1 ) ,若正实数 a,b 满足 f(2a)+f(b-l)=0,则
2

1 1 ? 的 a b

最小值是____。 16. 如图,在△ABC 中,三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a2=b2 +c2 +bc,a= 3 ,S 为△ABC 的面积,圆 O 是△ABC 的外接圆,P 是圆 O 上一动点,当 S+ 3 cosBcosC 取得最大值时, PA ? PB 的最 大值为____. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x) =2cosx(sinx-cosx)+m(m∈R),将 y=f(x)的图 像向左平移

uu r uur

? ? 个单位后得到 y=g(x)的图像,且 y=g(x)在区间[0, ]内的最大值为 2 . 4 4

(l)求实数 m 的值; (Ⅱ)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 g(

1 B)=l,且 a+c=2,求 4

△ABC 的周长 l 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分) 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质 m 的严重问题,为了了解强度 D(单 位:分贝)与声音能量 I(单位: W/cm2)之间的关系,将测量得到的声音强度 Di 和声音 能 量 Ii(i=1.2.?,10)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

第 3 页 共 11 页

(I)根据表中数据,求声音强度 D 关于声音能量 I 的回归方程 D=a+blgI; (Ⅱ)当声音强度大于 60 分贝时属于噪音,会产生噪声污染,城市中某点 P 共受到两个 声源的影响,这两个声源的声音能量分别是 I1 和 I2,且

1 1 ? ? 1010 .已知点 P 的声音 I1 I 2

能量等于声音能量 Il 与 I2 之和. 请根据(I)中的回归方程, 判断 P 点是否受到噪声污染的干 扰,并说明理由. 附:对于一组数据(μ l,ν 1) , (μ 2,ν 2) ,??(μ n,ν n) ,其回归直线ν =α +β μ 的 斜率和截距的最小二乘估计分别为:

19.(本小题满分 12 分)如图几何体 E- ABCD 是四棱锥, △ABD 为正三角形,∠BCD=120°,CB=CD-CE=1, AB=AD=AE= 3 ,且 EC⊥ BD (I)求证:平面 BED⊥平面 AEC; (Ⅱ)M 是棱 AE 的中点,求证:DM∥平面 EBC; (Ⅲ)求二面角 D--BM-C 的平面角的余弦值. 20.(本小题满分 12 分) 如图,已知点 F1,F2 是椭圆 Cl:

x2 2 x2 2 +y =1 的两个焦点,椭圆 C2: +y = ? 经过点 F1, 2 2

F2,点 P 是椭圆 C2 上异于 F1,F2 的任意一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆 C1 的交点分别
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是 A,B 和 C,D.设 AB、CD 的斜率分别为 k,k'. (I)求证 kk'为定值; (Ⅱ)求|AB|·|CD|的最大值.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x) =lnx-mx+m. (1)求函数 f(x)的单调区间; (II)若 f(x)≤0 在 x∈(0,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,对任意的 0<a<b,求证:

f (b) ? f (a) 1 ? 。 b?a a(a ? 1)

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:平面几何选讲 如图,AB 是⊙O 的直径,弦 BD、CA 的延长线相交于点 E,EF 垂直 BA 的延长线于点 F. 求证:(I)∠DFA=∠DFA; (Ⅱ)AB2= BE·BD-AE·AC

23.(本小题满分 10 分)选修 4--4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,曲线 C 的极坐标方程为

??

sin ? cos 2 ?

(I)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)过点 P(0,2)作斜率为 l 直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,试求

1 1 ? 的值. | PA | | PB |

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x+1|,g(x)=2|x|+a. (I)当 a=0 时,解不等式 f(x)≥g(x); (Ⅱ)若存在 x=∈R,使得 f(x)≥g(x)成立,求实数 a 的取值范围.
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黄冈市 2016 年高三 3 月调考数学答案(理科)
一、选择题 1 B 2 D 3 D 4 C 5 B 6 C 7 B 8 C 9 B 10 B 11 B 12 B

二、填空题 13. 3 14. 60 15. 3+2 2 16.

3 ? 3 2

17.解: (Ⅰ)由题设得 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? m ?

? g ( x) ? 2 sin[2( x ? ) ? ] ? 1 ? m ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 ? m , 4 4 4 ? ? ? 3? ], 因为当 x ? [0, ] 时, 2 x ? ? [ , 4 4 4 4
所以由已知得 2 x ? 所以 m ? 1 ; (Ⅱ)由已知 g ( B) ?

?

?

?

2 sin(2 x ? ) ? 1 ? m , 4

?

?

4

?

?

2

,即 x ?

?

8

时, g ( x)max ? 2 ? m ?1 ? 2 , ???6 分

3 ? 3 3? 2 sin( B ? ) ? 1 ,因为三角形中 0 ? B ? , 2 4 2 2 ? ? 3 ? 7? 3 ? 3? 所以 ? B ? ? ,所以 B ? ? ,即 B ? , 3 4 2 4 4 2 4 4 又因为 a ? c ? 2 ,由余弦定理得: 3 4

3(a ? c)2 b ? a ? c ? 2ac cos B ? a ? c ? ac ? (a ? c) ? 3ac ? (a ? c) ? ? 1, 4
2 2 2 2 2 2 2

当且仅当 a ? c ? 1 时等号成立, 又? b ? a ? c ? 2 ,?1 ? b ? 2 ,所以 ?ABC 的周长 l ? a ? b ? c ?[3, 4) , 故△ABC 的周长 l 的取值范围是 [3, 4) . ???12 分

18. 【 解 析 】( Ⅰ ) 令 wi ? lg Ii , 先 建 立 D 关 于 I 的 线 性 回 归 方 程 , 由 于

第 6 页 共 11 页

?? b

? (w ? w)( D ? D)
i ?1 i i

10

? (w ? w)
i ?1 i

10

?

2

5.1 ? = D ? bw ? ? 160.7 , ? 10, ?a 0.51

∴ D 关于 I 的线性回归方程是: D=10w ? 160.7 ∴ D 关于 I 的回归方程是: D=10lg I ? 160.7 . (Ⅱ)点 P 的声音能量 I ? I1 ? I 2 ,? 1 ? 4 ? 1010 , I1 I 2

?

??5 分 ??6 分

?

? I ? I1 ? I 2 ? 10?10 (

I 4I 1 4 ? )( I1 ? I 2 ) ? 10?10 (5 ? 2 ? 1 ) ? 9 ?10?10 ,??10 分 I1 I 2 I1 I 2

根据(Ⅰ)中的回归方程,点 P 的声音强度 D 的预报值:

? =10lg(9 ?10?10 ) ?160.7 ? 10lg9 ? 60.7 ? 60 D ,
∴点 P 会受到噪声污染的干扰. 19.解(1)由于 ?ABD 为正三角形,∠BCD=120o,CB=CD=CE=1, 故连接 AC 交 BD 于 O 点,则 AC⊥BD,又∵EC⊥BD,EC∩AC=C, 故 BD⊥面 ACE,所以平面 BED⊥平面 AEC????3 分 (2)取 AB 中点 N,连接 MN,ND,则 MN∥EB,且 MN 不在面 EBC 内, 所以 MN∥平面 EBC;而 DN⊥AB,BC⊥AB, 所以 DN∥BC,且 DN 不在面 EBC 内,故 DN∥平面 EBC, 综上所述,平面 DMN∥平面 EBC,所以 DM∥平面 EBC????7 分 (3)由(1)知 AC⊥BD,且 CO=

??12 分

1 3 CO CE ? ,AO= ,连接 EO,则 ,故 EO⊥AC; 2 2 CE AC
3 , 0) , 2

又因为 O 是 BD 中点,故 EO⊥BD,故如图建立空间直角坐标系,则 B(0,

D (0,-

? 3 3 3 ??? ? 1 3 3 ???? 3 , 0) , C (- , 0, 0) , M ( , 0, )DM ? ( , , ) , DB ? (0, 3,0) 2 4 4 4 2 4 2
? 3 ? m ? DB ? 0 得 m ? (? ,0,1) 3 ? ?m ? DM ? 0

设 DBM 的法向量 m ? ( x1 , y1 ,1) ,则由 ?

??? ? 1 3 ???? ? C B? ( , , 0 )C ,M ? 2 2

5 3 ( , 0, 4 4

)

同理的平面 CBM 的法向量 n ? (?

3 1 , ,1) ,故二面角 D-BM-C 的平面角的余弦值为 5 5 z
E
第 7 页 共 11 页

D M C

cos ? ?

m?n | m || n |

?

3 87 29

????12 分

20.解: (Ⅰ)因为点 F1 , F2 是椭圆 C1 的两个焦点,故 F1 , F2 的坐标是 F 1 (?1,0), F 2 (1,0) ; 而点 F1 , F2 是椭圆 C2 上的点,将 F1 , F2 的坐标带入 C2 的方程得, ? ? 设点 P 的坐标是: P( x0 , y0 ) ,直线 PF1 和 PF2 分别是 k , k ?(k ? 0, k ? ? 0) .

1 2

kk ? ?

y0 y0 ? ( x0 ? 1) ( x0 ? 1)
x0 2 1 ? y0 2 ? (2) 2 2

(1)

又点 P 是椭圆 C2 上的点,故

联合(1) (2)两式得 kk ? ? ?

1 2

(3)??.?? 4 分 (k ? 0)

(Ⅱ)直线 PF1 的方程可表示为: y ? k ( x ? 1) 结合方程(4)和椭圆 C1 的方程,得到方程组

(4)

? y ? k ( x ? 1) ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 ?2
由方程组(5)得

(5)……. 5 分

(1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0

(6)

A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 依韦达定理知,方程(6)的两根满足

4k 2 2k 2 ? 2 x1 ? x2 ? ? ; x1 x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
依(7)式得

(7)……. 6 分

第 8 页 共 11 页

2 2(1 ? k 2 ) .(8) ……. 8 分 AB ? 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 ? k ? x ? x ? 4 x1 x2 ? 1 ? 2k 2
2 2 2 1 2 2

同理可求得 CD ? 由(8) (9)两式得

2(1 ? 4k 2 ) 1 ? 2k 2

(9)

……. 10 分

AB ? CD ?

4[4k 4 ? 5k 2 ? 1] 1 9 ? 4(1 ? )? 2 2 1 (1 ? 2k ) 2 ? 4k 2 ? 4 2 k

当且仅当 k ? ?

2 9 时等号成立.故 AB ? CD 的最大值等于 . 2 2

…….12 分

' 21. 解: (Ⅰ) f ( x) ?

1 1 ? mx ?m ? ( x ? (0, ??)) , x x
'

当 m ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立,则函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增, 此时函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ??) ,无单调递减区间;

1 1 1 ? mx ?m ? ? 0 ,得 x ? (0, ) , m x x 1 1 1 ? mx ' ? 0 ,得 x ? ( , ?? ) , 由 f ( x) ? ? m ? m x x 1 1 此时 f ( x ) 的单调递增区 间为 x ? (0, ) ,单调递减区间为 ( , ?? ) …………… 4 分 m m
' 当 m ? 0 时,由 f ( x) ?
]

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:当 m≤ 0 时,f(x)在 (0, ??) 上递增,f(1)=0,显然不成立; 当 m>0 时, f ( x) max ? f (

1 1 ) ? ln ? 1 ? m ? m ? ln m ? 1 m m

只需 m ? ln m ? 1 ? 0 即可, 令 g ( x) ? x ? ln x ? 1 ,
' 则 g ( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? , x ? (0, ??) x x

得函数 g ( x) 在(0,1)上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增. ∴ g ( x)min ? g (1) ? 0

g ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,也就是 m ? ln m ? 1 ? 0 对 m ? (0, ??) 恒成立,
∴ m ? ln m ? 1 ? 0 ,解 m ? 1 , ∴若 f ( x) ? 0 在 x ? (0, ??) 上恒成立,则 m ? 1 …………… 8 分

第 9 页 共 11 页

b ln f (b) ? f (a) ln b ? ln a ? a ? b ln b ? ln a 1 (Ⅲ)证明: ? ? ?1 ? a ? ?1 , b b?a b?a b?a ?1 a a
由(Ⅱ)得 f ( x) ? 0 在 x ? (0, ??) 上恒成立, 即 ln x ? x ? 1 ,当且仅当 x ? 1 时去等号,又由 0 ? a ? b 得

b ? 1, a

b ln b b a ?1. 所以有 0 ? ln ? ? 1 , 即 b a a ?1 a b ln 2 1 a ? 1 ?1 ? 1 ?1 ? 1 ? a ? 1 ? a ? 则 , b a a a a (1 ? a ) a ( a ? 1) ?1 a
则原不等式

f (b) ? f (a) 1 ? 成立 …………… 12 分 b?a a(a ? 1)

22.证明:(1)连结 AD,因为 AB 为圆的直径,所以∠ADB=90°,又 EF⊥AB,∠EFA=90°, 则 A、D、E、F 四点共圆,∴∠DEA=∠DFA;……5 分 (2)由(1)知,BD·BE=BA·BF, 又△ABC∽△AEF,



,即 AB·AF=AE·AC,

∴BE·BD-AE·AC=BA·BF-AB·AF=AB(BF-AF)=AB2。……10 分 23.(1)令 x ? ? cos? , y ? ? sin ? , 代入得 y ? x
2

??5 分

? 2 t ?x ? ? 2 2 (2)设 A,B 两点对应参数为 t1,t2,直线 l 方程 ? ,代入 y ? x 得 ?y ? 2? 2 t ? ? 2

t 2 ? 2t ? 4 ? 0, t1t2 ? ?4, t1 ? t2 ? 2 ,
(t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 3 2 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ??10 分 PA PB t1 t2 t1t2 4
第 10 页 共 11 页

1 2 2 24.(1)由题意,得|x+1|≥2|x|.故 x +2x+1≥4x ,∴- ≤x≤1. 3 1 ∴不等式 f(x)≥g(x)的解集为[- ,1].??5 分 3 (2)若存在 x∈R,使得|x+1|≥2|x|+a 成立,即存在 x∈R,使得|x+1|-2|x|≥a 成 立.令 φ (x)=|x+1|-2|x|,则 a≤φ (x)max. 1-x,x≥0, ? ? 又 φ (x)=?3x+1,-1≤x<0, ? ?x-1,x<-1, 当 x≥0 时,φ (x)≤1;当-1≤x<0 时,-2≤φ (x)<1; 当 x<-1 时,φ (x)<-2.综上可得:φ (x)≤1, ∴a≤1,即实数 a 的取值范围为(-∞,1].??10 分

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