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陕西省咸阳市2015年高考模拟考试(一)理科数学试题



2015 年咸阳市高考模拟考试试题(一) 理科数学
参考公式:如果事件 ? 、 ? 互斥,那么 ? ? ?? ?? ? ? ? ?? ? ? ??? 如果事件 ? 、 ? 相互独立,那么 ? ? ???? ? ? ? ?? ?? ? ?? 如果事件 ? 在一次试验中发生的概率是 ? ,那么 n 次独立重复试验中事件 ? 恰好发
k k ? ?1 ? ? ? 生

k 次的概率 ? n ? k ? ? C n n?k

球的表面积公式 S ? 4? R 2 ,其中 R 表示球的半径 4 球的体积公式 V ? ? R 3 ,其中 R 表示球的半径 3 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. )
x ? ? ? ?1? ? 1、已知全集为 R ,集合 ? ? ? x ? ? ? 1? , ? ? ? x x ? 2? ,则 ? ? ? ? ?2? ?

? ? ?? ? (
R



A.?0, 2 ?

B.?0, 2?

C.?1, 2 ? )
2 C.

D.?1, 2?

2、若复数 z 满足 ?1 ? i ? z ? 2 ? i ,则 z ? i ? (
1 A. 2

B.

2 2

D. 2 )

3、若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的直观图是(

4、已知命题 p : x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ;命题 q : x ? a ,且 ? q 的一个充分不必要条件是 ? p , 则实数 a 的取值范围是( )
第 1 页 共 13 页

A. ? ??,1?

B. ? ??, ?3?

C. ??1, ???

D. ?1, ???

5、一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与 正方体 6 个表面的距离均大于 1 ,称其为“安全飞行” ,则蜜蜂“安全飞行”的概率 为(
1 A. 8


1 B. 16
2 2

1 C. 27

3 D. 8

6、已知圆 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 :经过椭圆 C :

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

( a ? b ? 0 )的右焦点 F 和上顶点 ? ,则椭圆 C 的离心率为 (
1 A. 2

) B. 2
2 C.

D. ) C. 20

2 2

7、阅读右面的程序框图,则输出的 S ? ( A. 14
? a11 ? 8、在数阵 ? a21 ?a ? 31 a12 a22 a32

B. 30

D. 55

a13 ? ? a23 ? 里,每行、每列的数依次均成等差数列,其中 a22 ? 2 ,则 a33 ? ?

所有数的和为( A.18

) B.17 C.19 D.21

9、如右图所示为函数 f ? x ? ? 2sin ??x ? ? ? ( ? ? 0 ,

?
2

?, ?? ?? ) 的部分图象, ? 两点之间的距离为 5 ,

且 f ?1? ? 0 ,则 f ? ?1? ? ( A. 3 C. 2

) B. 2 D.
3 2

1? ? 10、函数 f ? x ? ? ln ? x ? ? 的图象是( x? ?



第 2 页 共 13 页

11、已知 ? 是球 ? 的直径 ?? 上一点, ?? : ?? ? 1: 2 , ?? ? 平面 ? , ? 为垂足, 平面 ? 截球 ? 所得截面的面积为 ? ,则球 ? 的表面积为( A. )

5? 9? 144? B.4? C. D. 3 2 35 12、 弹子跳棋共有 60 颗大小相同的球形弹子, 现在在棋盘上将他们叠成正四面体球

堆,试剩下的弹子尽可能的少,那么剩余的弹子共有(
11 5 A. B.4 C. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. )

)颗 D.0 . .

13、已知向量 a ? ?1,3? , b ? ? ?3, 4 ? ,则 a 在 b 方向上的投影为
? ? y ? 2 x ?1 14、若实数 x , y 满足条件 ? ,则 z ? x ? 3 y 的最大值为 ? ? y ? x ?1

1 ? ? 15、 ? 4? ? cos x ? x3 ? 1?dx ? ? 4 ? 4?
16、设 f ? x ? ?

?



1 x , x ? f ? x ? 有唯一解, f ? x0 ? ? , f ? xn?1 ? ? xn , n ? 1 , 1008 a ? x ? 2?

2 , 3 , ??? ,则 x2015 ?



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. ) 17、 (本小题满分 12 分)已知 ??? C 的三个内角 ? ,? ,C 的对边分别为 a ,b ,c , 且 ??? C 的面积为 S ?
3 ac cos ? . 2 ? ? ? 若 c ? 2a ,求角 ? , ? , C 的大小;

? ?? ? 若 a ? 2 ,且 4 ? ? ? 3 ,求边 c 的取值范围.

?

?

第 3 页 共 13 页

18、 (本小题满分 12 分)已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 3 个黑球,乙盒内有大 小相同的 2 个红球和 4 个黑球,现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球. ? ? ? 求取出的 4 个球均为黑球的概率;

? ?? ? 求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率; ? ??? ? 设 ? 为取出的 4 个球中红球的个数,求 ? 的分布列和数学期望.

19、 (本小题满分 12 分) 如图, 正方形 ?CD? 所在的平面与平面 ?? C 垂直, ? 是 C? 和 ?D 的交点, ?C ? ?C ,且 ?C ? ?C . ? ? ? 求证: ?? ? 平面 ?? C ;

? ?? ? 求二面角 ? ? ?? ? C 的大小.

20、 (本小题满分 12 分)如图,已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点 F 在 x 轴上,抛 物线上的点 ? 到 F 的距离为 2 ,且 ? 的横坐标为 1 .过 ? 点作抛物线 C 的两条动弦 ?D 、 ?? ,且 ?D 、 ?? 的斜率满足 k?D ? k?? ? 2 .

? ? ? 求抛物线 C 的方程; ? ?? ? 直线 D ? 是否过某定点?若过某定点,请求出该

点坐标;若不过某定点,请说明理由.

第 4 页 共 13 页

21、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ln 1 ? 2 x ? mx .

? ? ? 若 f ? x ? 为定义域上的单调函数,求实数 m 的取值范围; 4 f ? a ? ? f ?b ? ? 2. ? ?? ? 当 m ? 1 ,且 0 ? b ? a ? 1 时,证明: ?
3 a ?b

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分, 作答时请写清题号. 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,直线 ?Q 与 ? 相切于点 ? , ?? 是 ? 的弦, ???? 的平分线 ? C 交 ? 于 点 C ,连结 C ? ,并延长与直线 ?Q 相交于点 Q .

? ? ? 求证: QC ??C ? QC2 ? Q?2 ; ? ?? ? 若 ?Q ? 6 , ?C ? 5 .求弦 ?? 的长.

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 在平面直角坐标系 x?y 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) .在以原 2 ?y ? 5 ? t ? ? 2 点 ? 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? . ? ? ? 写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程;

? ?? ? 若点 ? 坐标为 ? 3,

5 ,圆 C 与直线 l 交于 ? , ? 两点,求 ?? ? ?? 的值.

?

第 5 页 共 13 页

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 2 , g ? x ? ? x ?1 ? x ? a ? a ( a ? R ) .

? ? ? 解不等式 f ? x ? ? 5 ; ? ?? ? 若不等式 f ? x? ? g ? x? 恒成立,求 a 的取值范围.

第 6 页 共 13 页

2015 年咸阳市高考模拟考试试题(一) 理科数学参考答案
一、选择题( 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) . 题号 答案 1 A 2 B 3 A 4 D 5 C 6 D 7 B 8 A 9 A 10 B 11 C 12 B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.

9 . 5

14.11.

15. 2+

?
2

.

16.

1 . 2015

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 解:由三角形面积公式及已知得 S=

1 3 ac sin B ? ac cos B 2 2

化简得 sin B ? 3 cos B 即 tan B ? 3 又 0<B< ? 故 B ?
2 2 2 2

?
3
2

.

?????????3 分

(1)由余弦定理得, b ? a ? c ? 2ac cos B ? a ? 4a ? 2a ? 3a ∴b= 3 a.
2 2

∴a:b:c=1: 3 :2,知 A ?

?
6

,C ?

?
2

.

???????????????6 分

(2)由正弦定理得

a c a sin C 2 sin C ? 得c ? ? . sin A sin C sin A sin A
2? 2? 2? ? A) 2(sin cos A ? cos sin A) 3 3 3 3 ? = ?1 sin A sin A tan A

2? ? A ,c= 由 C= 3
又由

2 sin(

?
4

? A?

?
3

知 1 ? tan A ? 3 ,故 c ?

?2,

3 ?1

?

??????????????12 分

18.(本小题共 12 分) 解: (Ⅰ)设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球”为事件 A, “从乙盒内取出的 2 个球均为黑球” 为事件 B.由于事件 A、B 相互独立, 2 C2 2 . ????????????? 3 分 ? P( A) ? C32 ? 1 , P( B) ? 4 ? C4 2 C62 5 ? 取出的 4 个球均为黑球的概率为
第 7 页 共 13 页

1 2 1 ???????????? 4 分 P( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) ? ? ? . 2 5 5 (Ⅱ)设“从甲盒内取出的 2 个球均为黑球;从乙盒内取出的 2 个球中,1 个是红球,1 个是黑 球”为事件 C, “从甲盒内取出的 2 个球中,1 个是红球,1 个是黑球;从乙盒内取出的 2 个球 2 1 1 1 2 均为黑球”为事件 D.由于事件 C、D 互斥,且 P(C ) ? C3 C2 C4 ? 4 , P( D) ? C3 C4 ? 1 ??7 分 2 2 C4 C62 15 C4 C62 5

所以取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率为 4 1 7 P(C ? D) ? P (C ) ? P ( D ) ? ? ? . 15 5 15 (Ⅲ)设 ? 可能的取值为 0,1,2,3.

???????????? 8 分

1 由(Ⅰ) 、 (Ⅱ)得 P(? ? 0) ? 1 , P(? ? 1) ? 7 , P(? ? 3) ? C3 ? 1 ? 1 . 2 5 15 C4 C62 30 所以 P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ? 3 . 10 ? 的分布列为

?
P


0

1
7 15

2
3 10

3
1 30

-----------11 分 ???? 12 分

? 的数学期望

1 7 3 1 7 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 5 15 10 30 6

19(本小题满分 12 分) 解法一: ∵四边形 ACDE 是正方形, AM ? EC ; 又∵平面 ACDE ? 平面 ABC, AC ? BC ,

E M H

D

BC ? 平面 EAC; ? BC ? 平面 EAC,? BC ? AM ;
又? EC ? BC ? C , AM ? 平面 EBC; (2) 过 A 作 AH ? EB 于 H,连结 HM;

??????3 分
A C B

??????6 分

? AM ? 平面 EBC,? AM ? EB ;? EB ? 平面 AHM;

? ?AHM 是二面角 A-EB-C 的平面角;

??????8 分

∵平面 ACDE ? 平面 ABC,? EA ? 平面 ABC;? EA ? AB ; 在 Rt ?EAB 中,AH ? EB ,有 AE ? AB ? EB ? AH ; 设 EA=AC=BC=2a 可得,

第 8 页 共 13 页

AB ? 2 2a, EB ? 2 3a ,? AH ?

AE ? AB 2 2a ; ? EB 3

? sin ?AHM ?

AM 3 , ? AH 2
?

? ?AHM ? 60? .
????12 分

∴二面角 A_EB_C 等于 60 .

解法二: ∵四边形 ACDE 是正方形 ,? EA ? AC , ∵平面 ACDE ? 平面 ABC, EA ? 平面 ABC ; ???2 分

所以,可以以点 A 为原点,以过 A 点平行于 BC 的直线为 X 轴,分别以直线 AC 和 AE 为 y 轴和 z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz; 设 EA=AC=BC=2, 则 A(0,0,0),C(0,2,0),E(0,0,2), M 是正方形 ACDE 的对角线的交点,M(0,1,1);
? ?

?????4 分

(1) AM ? (0,1,1) , EC ? (0,2,0) ? (0,0,2) ? (0,2,?2)

CB ? (2,2,0) ? (0,2,0) ? (2,0,0) , AM ? EC ? 0, AM ? CB ? 0 ,? AM ? EC , AM ? CB ;
又 EC ? BC ? C ,? AM ? 平面 EBC;
? ? ? ? ?

?

??????6 分
? ? ? ?

(2) 设平面 EAB 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n ? AE 且 n ? AB ,

? n? AE ? 0 且 n? AB ? 0 ;

?

?

?

?

?(0, 0, 2) ? ( x, y, z ) ? 0 ?? , ?(2, 2, 0) ? ( x, y, z ) ? 0
?

即?

? z?0 ?x ? y ? 0
??????10 分
?

取 y=-1,则 x=1, 则 n ? (1,?1,0) ; 又∵ AM 为平面 EBC 的一个法向量,且 AM ? (0,1,1) ,
?

? cos ? n, AM ??

1 ?? , 2 n ? AM

n ? AM

设二面角 A-EB-C 的平面角为 ? ,则 cos ? ? cos ? n, AM ? ?

1 ? ,?? ? 60 ; 2

第 9 页 共 13 页

∴ 二面角 A-EB-C 等于 60 . 20.解:(1)设抛物线方程为 C: y ? 2 px( p ? 0) ,
2

?

??????12 分

由其定义知 AF ? 1 ?

p 2 ,又 AF ? 2 ,所以 p ? 2 , y ? 4 x . 2
---------------5 分

(2)解法一:易知 A(1, 2) ,当 DE ? x 轴时,设 DE 方程为 x ? m ( m ? 0 ) , 由?

? x?m 得 D (m,2 m ), E (m,?2 m ) 2 ? y ? 4x

由 k AD ? k AE ? 2 得 m ? ?1 不符题意。 当 DE 的斜率存在时,设 DE 方程为 y ? kx ? b , 联立 ?

? y2 ? 4x 2 得 ky ? 4 y ? 4b ? 0 , ? y ? kx ? b

设 D ( x1 , y1 ), E ( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ?

4 4b , y1 y2 ? ,① ------------8 分 k k

由 k AD ? k AE ? 2 ,得

y ? 2 y2 ? 2 y1 ? 2 y2 ? 2 ? 2 ?2 ? ? 2 ? 12 y2 x1 ? 1 x2 ? 1 y1 ?1 ?1 4 4
把② 代入① 得 b ? k ?2

?

2( y1 ? y2 )+ y1 y2 -4=0 ②

? 直线 DE 方程为 y ? k ( x ? 1) ? 2 ,显然过定点 (?1,?2) .-------------12 分
解法二:易知 A(1, 2) ,设 D ( x1 , y1 ), E ( x2 , y2 ) ,DE 方程为 x ? my ? n (m ? 0) 把 DE 方程代入 C,并整理得 y ? 4my ? 4n ? 0 ,
2

? ? 16(m 2 ? n) ? 0, y1 ? y2 ? 4m, y1 y2 ? ?4n
由 k AD ? k AE ?

---------------8 分

y1 ? 2 y2 ? 2 2 ? ? 2 及 y12 ? 4 x1 , y2 ? 4 x2 得 x1 ? 1 x2 ? 1
第 10 页 共 13 页

y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 ,所以 n ? 2m ? 1 ,代入 DE 方程得:

x ? my ? 2m ? 1 ,即 ( y ? 2)m ? x ? 1
故直线 DE 过定点 (?1, ?2). 21. (本小题满分 12 分) 解: (I) f ( x) ? ln 1 ? 2 x ? mx ? -------------------12 分

1 1 ln(1 ? 2 x) ? mx( x ? ? ) , 2 2

∴ f ' ( x) ?

1 ?m 1 ? 2x

??2 分

对x ? ?

1 1 ? 0 ,故不存在实数 m, , 2 1 ? 2x 1 1 ? m ? 0 对 x ? ? 恒成立, 1 ? 2x 2
---------------------------4 分

使 f ' ( x) ?

由 f ' ( x) ?

1 1 1 1 ? m ? 0 对 x ? ? 恒成立得, m ≥ ? 对 x ? ? 恒成立 1 ? 2x 2 1 ? 2x 2

而?

1 <0,故 m≥0 1 ? 2x 1 1 ? m ? 0 对 x ? ? 恒成立 1 ? 2x 2
---------6分

经检验,当 m≥0 时, f ' ( x) ?

∴当 m≥0 时,f(x)为定义域上的单调递增函数. (II)当 m = 1 时,令 g ( x) ? f ( x) ?

4 1 1 x ? ln(1 ? 2 x) ? x 3 2 3

g ' ( x) ?

1 1 2(1 ? x) ? ? , 1 ? 2 x 3 3(1 ? 2 x)

在[0,1]上总有 g ' ( x) ≥0,即 g ( x) 在[0,1]上递增 ∴当 0 ? b ? a ? 1 时, g (a ) ? g (b) ,

第 11 页 共 13 页

即 f (a) ?

4 4 f (a ) ? f (b) 4 a ? f (b) ? b ? ? ① 3 3 a?b 3 1 ln(1 ? 2 x) ? x , 2

------------------9 分

令 h( x ) ? f ( x ) ? 2 x ?

h ' ( x) ?

1 ? 2x ?1 ? ? 0 ,知 h(x)在[0,1]上递减,∴ h(a ) ? h(b) 1? 2x 1? 2x

即 f (a ) ? 2a ? f (b) ? 2b ?

f (a ) ? f (b) ? 2 ②-----------------------------11 分 a?b 4 f (a ) ? f (b) ? ? 2 .---------------12 分 3 a?b

由① ② 知,当 0 ? b ? a ? 1 时,

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清 题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 1 证明: (1)∵PQ 与⊙O 相切于点 A,∴ ?PAC ? ?CBA ∵ ?PAC ? ?BAC ∴ ?BAC ? ?CBA

∴AC=BC=5
由切割线定理得:

QA2 ? QB ? QC ? ?QC ? BC ?QC
∴ QC ? BC ? QC 2 ? QA2 (2) 由 AC=BC=5,AQ=6 及(1) , 知 由 ?QAB ? ?ACQ ∴ 知 ?QAB ∽ ?QCA ∴ QC=9 ---------------------------5 分

AB QA ? AC QC

AB ?

10 . 3

-----------------------10 分

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
2 ? ? x ? 3? 2 t 解:(1)由 ? 2 ? ? y? 5? 2 t

得直线 l 的普通方程为 x ? y ? 3 ? 5 ? 0 --------2 分

又由 ? ? 2 5 sin ? 得圆 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 5 y ? 0
2 2

第 12 页 共 13 页

x2 ? y ? 5 即

?

?

2

? 5.
2

---------5 分

(2) 把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,

? 2 ? ? 2 ? 得 ?3? t? ?? t? ? 5 ,即 t 2 ? 3 2t ? 4 ? 0 ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?
由于 ? ? 3 2 所以 ? 1

2

?

?

2

? 4 ? 4 ? 2 ? 0 ,故可设 t1 , t2 是上述方程的两实数根,

?t ? t2 ? 3 2 ? 又直线 l 过点 P 3, 5 ,A、B 两点对应的参数分别为 t1 , t2 ? ? t1 ? t2 ? 4

?

?

所以 PA ? PB ? t1 ? t2 ? t1 ? t2 ? 3 2 . 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5: 解:(Ⅰ)不等式 f ( x) ? 5 的解集为[-2,3].

------------------10 分

????5 分

(Ⅱ)若不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,即 | x ? 2 | ? | x ? a |? a 恒成立. 而 | x ? 2 | ? | x ? a | 的最小值为 | 2 ? a |?| a ? 2 | ,∴ | a ? 2 |? a , 解得 a ? 1 ,故 a 的范围(-∞,1]. ??????10 分

第 13 页 共 13 页



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