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《第一章 常用逻辑用语》测试题



《第一章 常用逻辑用语》测试题
一、选择题: 1.设 x 是实数,则“x>0”是“|x|>0”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 ). C.充要条件 ). B.若-1<x<1,则 x2<1 D.若 x≥1,或 x≤-1,则 x2≥1 ). C. 3< 2 D.既不充分也不必要

2.命题:“若 x2&

lt;1,则-1<x<1”的逆否命题是( A.若 x2≥1,则 x≥1,或 x≤-1 C.若 x>1,或 x<-1,则 x2>1 3.下列命题中是全称命题的是( A.圆有内接四边形

B. 3> 2

D.若三角形的三边长分别为 3、4、5,则这个三角形为直角三角形 4.若 α ,β ∈R,则“α =β ”是“tan α =tan β ” 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 ). ). D.既不充分又不必要条件

5.命题“? x>0,都有 x2-x≤0”的否定是( A.? x0>0,使得 x2-x0≤0 0 C.? x>0,都有 x2-x>0

B.? x0>0,使得 x2-x0>0 0 D.? x≤0,都有 x2-x>0

6.命题 p:a2+b2<0(a,b∈R);命题 q:(a-2)2+|b-3|≥0(a,b∈R),下列结论正确的是 ( ). B. p∧q”为真 “ ). C. ? p”为假 “ D. ? q”为真 “

A. p∨q”为真 “

7.在下列各结论中,正确的是(

①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分条件但不是必要条件;②“p∧q”为假是“p∨q”为 假的充分条件但不是必要条件;③“p∨q”为真是“ ? p”为假的必要条件但不是充分条件; ④“ ? p”为真是“p∧q”为假的必要条件但不是充分条件; A.①② B.①③ C.②④ D.③④ ).

8.设函数 f(x)=x2+mx(m∈R),则下列命题中的真命题是( A.任意 m∈R,使 y=f(x)都是奇函数 C.任意 m∈R,使 y=f(x)都是偶函数

B.存在 m∈R,使 y=f(x)是奇函数 D.存在 m∈R,使 y=f(x)是偶函数 ).

9. a=1”是“函数 f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上为增函数”的( “ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

10.给出下列四个命题: ①若 x2-3x+2=0,则 x=1 或 x=2 ②若-2≤x<3,则(x+2)(x-3)≤0③若 x=y=0,
1

则 x2+y2=0④若 x,y∈N+,x+y 是奇数,则 x,y 中一个是奇数,一个是偶数,那么( A.①的逆命题为真 二、填空题: 11.命题“若 a?A,则 b∈B”的逆否命题是__________. 2 12.设 p:x>2 或 x< ;q:x>2 或 x<-1,则 ? p 是 ? q 的________条件. 3 B.②的否命题为真 C.③的逆否命题为假

).

D.④的逆命题为假

13.已知命题 p:“? x∈[1,2],x2-a≥0”,命题 q:“? x0∈R,x2+2ax0+2-a=0”, 0 若命题“p 且 q”是真命题,则实数 a 的取值范围是________.

14.给出下列命题: ①命题“若 b2-4ac<0,则方程 ax2+bx+c=0(a≠0)无实根”的否命题; ②命题“在△ABC 中,AB=BC=CA,那么△ABC 为等边三角形”的逆命题; 3 3 ③命题“若 a>b>0,则 a> b>0”的逆否命题; ④若“m>1,则 mx2-2(m+1)x+(m-3)>0 的解集为 R”的逆命题. 其中真命题的序号为________. 三、解答题: 15.写出下列命题的否定并判断真假: (1)所有自然数的平方是正数; (2)任何实数 x 都是方程 5x-12=0 的根; (3)? x∈R,x2-3x+3>0; (4)有些质数不是奇数;

16.已知命题 p:“若 ac≥0,则二次方程 ax2+bx+c=0 没有实根”. (1)写出命题 p 的否命题;(2)判断命题 p 的否命题的真假,并证明你的结论.

2

17.设集合 M={x|y=log2(x-2)},P={x|y= 3-x},则“x∈M 或 x∈P”是“x∈(M∩P)” 的什么条件?

18.已知命题 p:-2<m<0,0<n<1;命题 q:关于 x 的方程 x2+mx+n=0 有两个小于 1 的正 根.试分析 p 是 q 的什么条件.

19.设函数 f(x)=x|x-a|+b,求证:f(x)为奇函数的充要条件是 a2+b2=0.

?x -x-6≤0, 20.设命题 p:实数 x 满足 x -4ax+3a <0,其中 a>0,命题 q:实数 x 满足? 2 ?x +2x-8>0.
2 2 2

(1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 ? p 是 ? q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

3

《第一章 常用逻辑用语》测试题答案
一、选择题: 1.设 x 是实数,则“x>0”是“|x|>0”的( A.充分而不必要条件 解析 答案 B.必要而不充分条件 ). C.充要条件 D.既不充分也不必要

由 x>0? |x|>0 充分,而|x|>0? x>0 或 x<0,不必要. A ).

2.命题:“若 x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是( A.若 x2≥1,则 x≥1,或 x≤-1 B.若-1<x<1,则 x2<1 C.若 x>1,或 x<-1,则 x2>1 D.若 x≥1,或 x≤-1,则 x2≥1 解析 答案

-1<x<1 的否定是“x≥1,或 x≤-1”;“x2<1”的否定是“x2≥1” ,故选 D. D ).

3.下列命题中是全称命题的是( A.圆有内接四边形 B. 3> 2 C. 3< 2

D.若三角形的三边长分别为 3、4、5,则这个三角形为直角三角形 解析 由全称命题的定义可知:“圆有内接四边形”,即为“所有圆都有内接四边形”,是

全称命题. 答案 A ).

4.若 α ,β ∈R,则“α =β ”是“tan α =tan β ” 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 解析 当 α =β =

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

π π 5π 时,tan α ,tan β 不存在;又 α = ,β = 时,tan α =tan β , 2 4 4

所以“α =β ”是“tan α =tan β ”的既不充分又不必要条件,故选 D. 答案 D ).

5.命题“? x>0,都有 x2-x≤0”的否定是( A.? x0>0,使得 x2-x0≤0 0 B.? x0>0,使得 x2-x0>0 0
4

C.? x>0,都有 x2-x>0 D.? x≤0,都有 x -x>0 解析 答案 由含有一个量词的命题的否定易知选 B. B
2

6.命题 p:a2+b2<0(a,b∈R);命题 q:(a-2)2+|b-3|≥0(a,b∈R),下列结论正确的是 ( ). B. p∧q”为真 “ D. ? q”为真 “

A. p∨q”为真 “ C. ? p”为假 “ 解析 A. 答案 A ).

显然 p 假 q 真,故“p∨q”为真,“p∧q”为假,“ ? p”为真,“ ? q”为假,故选

7.在下列各结论中,正确的是(

①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分条件但不是必要条件; ②“p∧q”为假是“p∨q”为假的充分条件但不是必要条件; ③“p∨q”为真是“ ? p”为假的必要条件但不是充分条件; ④“ ? p”为真是“p∧q”为假的必要条件但不是充分条件; A.①② B.①③ 解析 C.②④ D.③④

“p∧q”为真则“p∨q”为真,反之不一定,①真;如 p 真,q 假时,p∧q 假,但 p∨q

真,故②假;綈 p 为假时,p 真,所以 p∨q 真,反之不一定对,故③真;若綈 p 为真,则 p 假,所以 p∧q 假,因此④错误. 答案 B ).

8.设函数 f(x)=x2+mx(m∈R),则下列命题中的真命题是( A.任意 m∈R,使 y=f(x)都是奇函数 B.存在 m∈R,使 y=f(x)是奇函数 C.任意 m∈R,使 y=f(x)都是偶函数 D.存在 m∈R,使 y=f(x)是偶函数 解析 答案 存在 m=0∈R,使 y=f(x)是偶函数,故选 D. D

9. a=1”是“函数 f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上为增函数”的( “ A.充分不必要条件 C.充要条件
5

).

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析

函数 f(x)=|x-a|的图象如右图所示,其单调增区间为[a,+∞).当 a=1 时,函数

f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上为增函数,则 a≤1.于是可得“a=1”是“函数 f(x)=|x
-a|在区间[1,+∞)上为增函数”的充分不必要条件,故应选 A.

答案

A

10.给出下列四个命题: ①若 x2-3x+2=0,则 x=1 或 x=2 ②若-2≤x<3,则(x+2)(x-3)≤0 ③若 x=y=0,则 x2+y2=0 ④若 x,y∈N+,x+y 是奇数,则 x,y 中一个是奇数,一个是偶数,那么( A.①的逆命题为真 C.③的逆否命题为假 解析 ②的逆命题: B.②的否命题为真 D.④的逆命题为假 ).

若(x+2)(x-3)≤0,则-2≤x≤3(假), 故②的否命题为假. ③的原命题为真,故③的逆否命题为真. ④的逆命题显然为真. 答案 A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上) 11.命题“若 a?A,则 b∈B”的逆否命题是__________. 解析 原命题的逆否命题即将原命题的条件与结论交换的同时进行否定,故逆否命题应为

“若 b?B,则 a∈A”. 答案 若 b?B,则 a∈A

2 12.设 p:x>2 或 x< ;q:x>2 或 x<-1,则 ? p 是 ? q 的________条件. 3 解析 2 綈 p: ≤x≤2. 3

綈 q:-1≤x≤2.綈 p? 綈 q,但綈 q? / 綈 p. ∴綈 p 是綈 q 的充分不必要条件.
6

答案

充分不必要
2 2

13.已知命题 p:“? x∈[1,2],x -a≥0”,命题 q:“? x0∈R,x0+2ax0+2-a=0”, 若命题“p 且 q”是真命题,则实数 a 的取值范围是________. 解析 命题 p:“? x∈[1,2],x2-a≥0”为真,则 a≤x2,x∈[1,2]恒成立,∴a≤1;命

题 q:“? x0∈R,x2+2ax0+2-a=0”为真,则“4a2-4(2-a)≥0,即 a2+a-2≥0”,解 0 得 a≤-2 或 a≥1.若命题“p 且 q”是真命题,则实数 a 的取值范围是{a|a≤-2 或 a=1}. 答案 {a|a≤-2 或 a=1}

14.给出下列命题: ①命题“若 b2-4ac<0,则方程 ax2+bx+c=0(a≠0)无实根”的否命题; ②命题“在△ABC 中,AB=BC=CA,那么△ABC 为等边三角形”的逆命题; 3 3 ③命题“若 a>b>0,则 a> b>0”的逆否命题; ④若“m>1,则 mx2-2(m+1)x+(m-3)>0 的解集为 R”的逆命题. 其中真命题的序号为________. 解析 ①否命题:若 b2-4ac≥0,则方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有实根,真命题;

②逆命题:若△ABC 为等边三角形,则 AB=BC=CA,真命题; 3 3 ③因为命题“若 a>b>0,则 a> b>0”是真命题,故其逆否命题真; ④ 逆 命 题 : 若 mx2 - 2(m + 1)x + (m - 3)>0 的 解 集 为 R , 则 m>1 , 假 命 ?m>0, 题.∵? 得 m∈?.所以应填①②③. 2 ?[2(m+1)] -4m(m-3)<0, 答案 ①②③

三、解答题(本大题共 5 小题,共 54 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(10 分)写出下列命题的否定并判断真假: (1)所有自然数的平方是正数; (2)任何实数 x 都是方程 5x-12=0 的根; (3)? x∈R,x2-3x+3>0; (4)有些质数不是奇数; 解 (1)否定:有些自然数的平方不是正数,真命题.

(2)否定:? x0∈R,5x-12≠0,真命题. (3)否定:? x0∈R,x2-3x0+3≤0,假命题. 0 (4)否定:所有的质数都是奇数,假命题.
7

16.(10 分)已知命题 p:“若 ac≥0,则二次方程 ax2+bx+c=0 没有实根”. (1)写出命题 p 的否命题; (2)判断命题 p 的否命题的真假,并证明你的结论. 解 (1)命题 p 的否命题为:“若 ac<0,则二次方程 ax2+bx+c=0 有实根”.

(2)命题 p 的否命题是真命题.证明如下:∵ac<0, ∴-ac>0? Δ =b2-4ac>0? 二次方程 ax2+bx+c=0 有实根.∴该命题是真命题. 17.设集合 M={x|y=log2(x-2)},P={x|y= 3-x},则“x∈M 或 x∈P”是“x∈(M∩P)” 的什么条件? 解 由题设知,M={x|x>2},P={x|x≤3}. ∴M∩P=(2,3],M∪P=R 当 x∈M,或 x∈P 时 x∈(M∪P)=R ? ∈(2,3]=M∩P. / 而 x∈(M∩P)? x∈R ∴x∈(M∩P)? x∈M,或 x∈P.故“x∈M,或 x∈P”是“x∈(M∩P)”的必要不充分条件. 18.(10 分)已知命题 p:-2<m<0,0<n<1;命题 q:关于 x 的方程 x2+mx+n=0 有两个小于 1 的正根.试分析 p 是 q 的什么条件. 解

p 是 q 的必要不充分条件.

1 1 1 1 1 1 若令 m=- ∈(-2,0),n= ∈(0,1),则 x2- x+ =0,此时方程的 Δ = -4× <0 无解, 3 2 3 2 9 2 所以由 p 推不出 q,即 p 不是 q 的充分条件; 若方程 x2+mx+n=0 有两个小于 1 的正根 x1,x2, 则 0<x1<1,0<x2<1,∴0<x1+x2<2,0<x1x2<1. ∴由根与系数的关系得 ?0<-m<2, ?-2<m<0, ? 即? ∴q? p. ?0<n<1, ?0<n<1, 综上所述:p 是 q 的必要不充分条件. 19.(12 分)设函数 f(x)=x|x-a|+b,求证:f(x)为奇函数的充要条件是 a2+b2=0. 证明 充分性:∵a2+b2=0,∴a=b=0,∴f(x)=x|x|.

∵f(-x)=-x|-x|=-x|x|,-f(x)=-x|x|, ∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数. 必要性:若 f(x)为奇函数,则对一切 x∈R,f(-x)=-f(x)恒成立.即-x|-x-a|+b=-
8

x|x-a|-b 恒成立.令 x=0,则 b=-b,∴b=0,令 x=a,则 2a|a|=0,
∴a=0.即 a +b =0. ?x -x-6≤0, 20. 分)设命题 p: (12 实数 x 满足 x -4ax+3a <0, 其中 a>0, 命题 q: 实数 x 满足? 2 ?x +2x-8>0.
2 2 2 2 2

(1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 ? p 是 ? q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 解 (1)由 x2-4ax+3a2<0,得(x-3a)(x-a)<0.

又 a>0,所以 a<x<3a, 当 a=1 时,1<x<3,即 p 为真命题时, 实数 x 的取值范围是 1<x<3. ?x -x-6≤0, 由? 2 ?x +2x-8>0.
2

?-2≤x≤3, 解得? 即 2<x≤3. ?x<-4或x>2. 所以 q 为真时实数 x 的取值范围是 2<x≤3. ?1<x<3, 若 p∧q 为真,则? ?2<x<3, ?2<x≤3 所以实数 x 的取值范围是(2,3). (2)綈 p 是綈 q 的充分不必要条件, 即綈 p? 綈 q 且綈 q 綈 p.

设 A={x|x≤a 或 x≥3a},B={x|x≤2 或 x>3},则 A ? B.所以 0<a≤2 且 3a>3, 即 1<a≤2.所以实数 a 的取值范围是(1,2].

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