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2013——2015函数与导数试题分析(文)



2013——2015 函数与导数试题分析(文)
1.(2013 课标全国Ⅰ,文 7)执行下面的程序框图,如果输入的 t∈[-1,3],则输出的 s 属 于( ). A.[-3,4] B.[-5,2] C.[-4,3] D.[-2,5]

2. (2013 课标全国Ⅰ, 文 12)已知函数 f(x)= ? 若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是(

). A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0]

?? x 2 ? 2 x, x ? 0, ?ln( x ? 1), x ? 0.

3.(2013 课标全国Ⅰ,文 20)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=e (ax+b)-x -4x,曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=4x+4. (1)求 a,b 的值; (2)讨论 f(x)的单调性,并求 f(x)的极大值. 4.(2013 课标全国 2,文 8) .设 a=log32,b=log52,c=log23,则( ). A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b 3 2 5. (2013 课标全国 2, 文 11) 11. 已知函数 f(x)=x +ax +bx+c, 下列结论中错误的是( ). A.?x0∈R,f(x0)=0 B.函数 y=f(x)的图像是中心对称图形 C.若 x0 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞,x0)单调递减 D.若 x0 是 f(x)的极值点,则 f′(x0)=0 x 6.(2013 课标全国 2, 文 12). 若存在正数 x 使 2 (x-a)<1 成立, 则 a 的取值范围是( ). A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞) C.(0,+∞) D.(-1,+∞) 2 -x 7..(2013 课标全国 2,文 21) (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x e . (1)求 f(x)的极小值和极大值; (2)当曲线 y=f(x)的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围. 8.(2014 课标全国 2,文 3) (3)函数 f ? x ? 在 x=x 0 处导数存在,若 p:f(x0)=0;q:x=x0


x

2

是 f ? x ? 的极值点,则 (A) p 是 q 的充分必要条件 (B) p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 (C) p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 (D) p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 9.(2014 课标全国 2,文 11) (11)若函数 f ( x) ? kx ? ln x 在区间(1,+ ? )单调递增,则 k 的取值范围是
1

(A) ? ??, ?2

?

(B) ? ??, ?1

?

(C) 2, ?? ?

?

(D) 1, ?? ?

?

10.(2014 课标全国 2,文 15)(15)已知函数 则 f (?1) ? _______.

f ? x?

的图像关于直线 x =2 对称, f (3) =3,

11.(2014 课标全国 2,文 21)(本小题满分 12 分)
3 2 已知函数 f(x)= x ? 3x ? ax ? 2 ,曲线 y ? f ( x) 在点(0,2)处的切线与 x 轴交点的横

坐标为-2. 1.求 a; 2.证明:当时,曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? kx ? 2 只有一个交点。

12.(2014 课标全国 1,文 5)设函数 f ( x), g ( x) 的定义域为 R ,且 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶 函数,则下列结论中正确的是 A. f ( x) g ( x) 是偶函数 C. f ( x) | g ( x) | 是奇函数 B. | f ( x) | g ( x) 是奇函数 D. | f ( x) g ( x) | 是奇函数
3 2

13.(2014 课标全国 1,文 12) 已知函数 f ( x) ? ax ? 3 x ? 1 ,若 f ( x) 存在唯一的零点 x0 , 且 x0 ? 0 ,则 a 的取值范围是 (A) ? 2, ?? ? (B)(C) ? ??, ?2 ? (B) ?1, ?? ? (D) ? ??, ?1?

?e x ?1 , x ? 1, ? 14.(2014 课标全国 1,文 15)(15)设函数 f ? x ? ? ? 1 则使得 f ? x ? ? 2 成立的 x 的 3 ? ? x , x ? 1,
取值范围是________. 15.(2014 课标全国 1,文 21) 21(12 分) 设函数 f ? x ? ? a ln x ? 为0 (1)求 b; (2)若存在 x0 ? 1, 使得 f ? x0 ? ?

1? a 2 x ? bx ? a ? 1? ,曲线 y ? f ? x ? 在点 ?1,f ?1? ? 处的切线斜率 2

a ,求 a 的取值范围。 a ?1

16.(2015 课标全国 1,10)

2x ?1 ? 2, ≤ 1 (5 分) (10)已知函数f x = , ?log 2 x + 1 , > 1

且 f(a)=-3,则 f(6-a)=
2

(A)-

7 4

(B)-

5 4

(C)-

3 4

(D)-

1 4

17. (2015 课标全国 1,12) (5 分) (12)设函数 y=f(x)的图像与 y ? 2x?a 的图像关

于直线 y=-x 对称,且 f(-2)+f(-4)=1, 则 a= (A)-1 (B)1 (C)2 (D)4 18.(2015 课标全国 1,21)(21).(本小题满分 12 分) 设函数 x 。 (Ⅰ)讨论 f ( x) 的导函数 f '( x) 零点的个数; (Ⅱ)证明:当 a ? 0 时, f ( x) ? 2a ? a ln
19.(2015 课标全国 2, 5) (5) 设函数 f ( x) ? ? (A)3 (B)6 (C)9

2 。 a

?1 ? log 2 (2 ? x), x ? 1
x ?1 ?2 , x ? 1

, 则 f (?2) ? f (l og2 12) ?

(D)12

20.(2015 课标全国 2, 12) (12) 设函数 f '( x ) 是奇函数 f ( x)( x ? R) 的导函数, f (?1) ? 0 , 当 x>0 时, xf '( x) ? f ( x) <0,则使得 f (x) >0 成立的 x 的取值范围是 A . ? ??, ?1? ? ? 0,1? D. ? 0,1? ? ?1, ?? ? 21.(2015 课标全国 2,10)((10).如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,∠BOP=x.将动点 P 到 A,B 两点距离之和表 示为 x 的函数 f(x) ,则 f(x)的图像大致为
y y y y
X D P C

B . ? ?1,0? ? ?1, ???

C . ? ??, ?1? ? ? ?1,0?

2

2

2

2

A

O

B

? 4

? 2

3? 4

x

?

? 4

? 2

3? 4

x

?

? 4

? 2

3? 4

x

?

? 4

? 2

3? 4

x

?

(A)

(B)

(C)

(D)

22.(2015 课标全国 2,21)(本小题满分 12 分)已知 f ? x ? ? ln x ? a ?1 ? x ? . (I)讨论 f ? x ? 的单调性; (II)当 f ? x ? 有最大值,且最大值大于 2a ? 2 时,求 a 的取值范围.
3

1.【4】 (B,湖北,文 21)设函数 f ( x) , g ( x) 的定义域均为 R,且 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是 偶函数, f ( x) ? g ( x) ? e x ,其中 e 为自然对数的底数. (人教版必修 1. 第 83 页复习参考题 B

组第 4 题)
(I)求 f ( x) , g ( x) 的解析式,并证明:当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 , g ( x ) ? 1 ; (II)设 a ? 0 , b ? 1 ,证明:当 x ? 0 时, ag ( x) ? (1 ? a) ? 2.【28】 (C,江苏,文理 19)已知函数 f ( x) = x3 + ax 2
f ( x) ? bg ( x) ? (1 ? b) . x

+ b ( a, b ? R).
(1)试讨论 f ( x ) 的单调性; (2)若 b ? c ? a (实数 c 是与 a 无关的常数) ,当函数 f ( x ) 有三个不同的零点时, a 的 取值范围恰好是 ( ?? ,?3) ? (1, ) ? ( ,?? ) ,求 c 的值. 3.. ,[2014· 四川卷] 以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数 φ(x)组成的集合:对于函数 φ(x),存在一个正数 M,使得函数 φ(x)的值域包含于区间[-M, M].例如,当 φ1(x)=x3,φ2(x)=sin x 时,φ 1(x)∈A,φ 2(x)∈B.现有如下命题: ①设函数 f(x)的定义域为 D, 则“f(x)∈A”的充要条件是“?b∈R, ?a∈D, f(a)=b”; ②函数 f(x)∈B 的充要条件是 f(x)有最大值和最小值; ③若函数 f(x),g(x)的定义域相同,且 f(x)∈A,g(x)∈B,则 f(x)+g(x)?B; x ④若函数 f(x)=aln(x+2)+ 2 (x>-2,a∈R)有最大值,则 f(x)∈B. x +1 其中的真命题有________.(写出所有真命题的序号) 4.. 、 [2014· 福建卷] 已知函数 f(x)=ex-ax(a 为常数)的图像与 y 轴交于点 A, 曲线 y=f(x) 在点 A 处的切线斜率为-1. (1)求 a 的值及函数 f(x)的极值; (2)证明:当 x>0 时,x2<ex; - 5. [2014· 江西卷] 若曲线 y=e x 上点 P 处的切线平行于直线 2x+y+1=0, 则点 P 的坐 标是________. π 6.[2014· 北京卷] 已知函数 f(x)=xcos x-sin x,x∈?0, ?. 2? ? (1)求证:f(x)≤0; π sin x (2)若 a< <b 对 x∈?0, ?恒成立,求 a 的最大值与 b 的最小值. x 2? ? 2 ex ? 7.[2014· 山东卷] 设函数 f(x)= 2-k? ? x+ln x?(k 为常数,e=2.718 28?是自然对数的底 x 数). (1)当 k≤0 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求 k 的取值范围. - 8.[2014· 重庆卷] 已知函数 f(x)=ae2x-be 2x-cx(a,b,c∈R)的导函数 f′(x)为偶函数, 且曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为 4-c. (1)确定 a,b 的值; (2)若 c=3,判断 f(x)的单调性;
4

3 2

3 2

(3)若 f(x)有极值,求 c 的取值范围.(人教版必修 1. 第 83 页复习参考题 B 组第 4 题)
9 .( 2013 年 高 考 重 庆 卷 ( 文 )) 已 知 函 数

f ( x) ? ax3 ? b sin x ? 4(a, b ? R) ,
( )

f (lg(log 2 10)) ? 5 ,则 f (lg(lg 2)) ?
A. ? 5
10 . ( 2013 年

B. ? 1
高 考 辽 宁

C. 3
卷 ( 文

D. 4
) )







数 ( )

f ? x ? ? ln

?

? 1? 1 ? 9 x 2 ? 3x ? 1,.则f ? lg 2 ? ? f ? lg ? ? ? 2?
B. 0 C. 1 D. 2

?

A. ? 1

11. (2013 年高考广东卷(文) )函数 f ( x ) ?

lg( x ? 1) 的定义域是 x ?1
C. (?1,1) ? (1, ??) D. [?1,1) ? (1, ??)





A. (?1, ??)

B. [?1, ??)

12. (2013 年高考天津卷(文) )已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, 且在区间 [0, ??) 单调

递增. 若实数 a 满足 f (log 2 a) ? f (log 1 a) ? 2 f (1) , 则 a 的取值范围是
2





? 1? ?1 ? B. ? 0, ? C. ? , 2 ? D. (0, 2] ? 2? ?2 ? 13. (2013 年高考陕西卷(文) )设[x]表示不大于 x 的最大整数, 则对任意实数 x, y, 有

A. [1, 2]





A.[-x] = -[x] B.[x +

1 ] 2

1 = [x] C.[2x] = 2[x] D. [ x] ? [ x ? ] ? [2 x] 2

人教版必修 1 P25 .B.3 高斯函数问题
14 . (2013 年湖北 (文) ) x 为实数, [ x] 表示不超过 x 的最大整数,则函数 f ( x) ? x ? [ x] 在 R 上

为 A.奇函数

( B.偶函数 C.增函数 D.周期函数



15.. (2013 年湖北(文) )

小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间, 后为了赶时间加快速度行驶 . 与以上事件吻合得最好的图象是(人教版 P23 练习. 第 2 题)

5

距学校的距离

距学校的距离

O A
距学校的距离

时间

O B
距学校的距离

时间

O C

时间

O D

时间

16. . ( 2013 年 高 考 安 徽 ( 文 ) )设函数

f ( x) ? ax ? (1 ? a 2 ) x 2 , 其 中 a ? 0 , 区 间

I ? ? x | f ( x) ? 0? .
(Ⅰ)求 I 的长度(注:区间 (? , ? ) 的长度定义为 ? ? ? ; (Ⅱ)给定常数 k ? ? 0,1? ,当 1 ? k ? a ? 1 ? k 时,求 I 长度的最小值. 17..【2015 高考四川,文 8】某食品的保鲜时间 y (单位:小时)与储藏温度 x (单位:℃)满足 函数关系 y ? e
kx ? b

( e ? 2.718... 为自然对数的底数, k , b 为常数).若该食品在 0 ℃的保鲜时 )

间是 192 小时,在 22 ℃的保鲜时间是 48 小时,则该食品在 33 ℃的保鲜时间是( (A)16 小时 (B)20 小时 (C)24 小时 (D)21 小时

(人教版必修 1. 第 82 页复习参考题 A 组第 9 题) 18..【2015 高考天津,文 7】 已知定义在 R 上的函数 f ( x) = 2
| x - m|

- 1(m为实数) 为偶函数,


记 a = f (log 0.5 3), b = f (log 2 5), c = f (2m) ,则 a, b, c ,的大小关系为( (A) a < b < c (B) c < a < b (C) a < c < b

(D) c < b < a

2x ? 1 19..【2015 高考山东,文 8】若函数 f ( x) ? x 是奇函数,则使 ( f x) ? 3 成立的 x 的取 2 ?a
值范围为( ) (B ? -1,0? (C) (0,1 ) (D) ( 1, ??)

(A) ? -?, -1?
6

(人教版必修 1. 第 83 页复习参考题 B 组第 3 题 21.【2015 高考四川,文 15】已知函数 f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中 a∈R).对于不相等的实数 x1,x2,设 m=

f ( x1 ) ? f ( x2 ) g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,n= ,现有如下命题: x1 ? x2 x1 ? x2

①对于任意不相等的实数 x1,x2,都有 m>0; ②对于任意的 a 及任意不相等的实数 x1,x2,都有 n>0; ③对于任意的 a,存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=n; ④对于任意的 a,存在不相等的实数 x1,x2,使得 m=-n. 其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号). 【答案】①④
? 1, ? 22.【2015 高考湖北,文 7】设 x ? R ,定义符号函数 sgn x ? ? 0, ? ?1, ? x ? 0, x ? 0, 则( x ? 0.



A. | x | ? x | sgn x | C. | x | ? | x | sgn x

B. | x | ? x sgn | x | D. | x | ? x sgn x

23.. 【2015 高考湖北, 文 17】 a 为实数, 函数 f ( x) ? | x 2 ? ax | 在区间 [0, 1] 上的最大值记为 g (a) . 当 a ? _________时, g (a) 的值最小. 24.【2015 高考上海,文 21】(本小题 14 分)第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分. 如图, A, B, C 三地有直道相通, AB ? 5 千米, AC ? 3 千米, BC ? 4 千米.现甲、乙 两警员同时从 A 地出发匀速前往 B 地, 经过 t 小时, 他们之间的距离为 f (t )(单位: 千米) . 甲的路线是 AB , 速度为 5 千米/小时, 乙的路线是 ACB , 速度为 8 千米/小时.乙到达 B 地 后原地等待.设 t ? t1 时乙到达 C 地. (1)求 t1 与 f (t1 ) 的值; (2)已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米.当 t1 ? t ? 1 时,求 f (t ) 的表达式, 并判断 f (t ) 在 [t1 ,1] 上得最大值是否超过 3?说明理由.

7

π π 16. 、[2014· 全国卷] 若函数 f(x)=cos 2x+asin x 在区间? , ?是减函数,则 a 的取值 ?6 2? 范围是________. 25..[2014· 重庆卷] 函数 f(x)=log2 x·log 2(2x)的最小值为________. 26..[2014· 浙江卷] 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,且 0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则 ( ) A.c≤3 B.3<c≤6 C.6<c≤9 D.c>9 27..[2014· 陕西卷] 如图 12,某飞行器在 4 千米高空水平飞行,从距着陆点 A 的水平 距离 10 千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析 式为 ( )

图 12 1 3 2 4 A.y= x3- x B.y= x3- x 125 5 125 5 3 3 1 C.y= x3-x D.y=- x3+ x 125 125 5 28. ,[2014· 四川卷] 设等差数列{an}的公差为 d,点(an,bn)在函数 f(x)=2x 的图像上 (n∈N*). (1)若 a1=-2,点(a8,4b7)在函数 f(x)的图像上,求数列{an}的前 n 项和 Sn; (2)若 a1=1, 函数 f(x)的图像在点(a2, b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2- 1 ?an? , 求数列?b ? ln 2 ? n?

的前 n 项和 Tn. 29.. ,[2014· 四川卷] 已知函数 f(x)=ex-ax2-bx-1,其中 a,b∈R,e=2.718 28?为 自然对数的底数. (1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求函数 g(x)在区间[0,1]上的最小值; (2)若 f(1)=0,函数 f(x)在区间(0,1)内有零点,求 a 的取值范围. π 30.[2014· 北京卷] 已知函数 f(x)=xcos x-sin x,x∈?0, ?. 2? ? (1)求证:f(x)≤0; π sin x (2)若 a< <b 对 x∈?0, ?恒成立,求 a 的最大值与 b 的最小值. x 2? ?

8



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