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三次函数的零点问题



三次函数的零点问题
1、(2006 全国卷Ⅱ)设 a 为实数,函数 f ( x) ? x ? x ? x ? a.
3 2

(Ⅰ)求 f ( x) 的极值. (Ⅱ)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y ? f ( x)与x 轴仅有一个交点. 解:(I) f '( x) =3 x 2 -2 x -1

1 , x

=1 3 当 x 变化时, f '( x) , f ( x) 变化情况如下表: 1 1 1 (-∞,- ) - (- ,1) 1 x 3 3 3 f '( x) + 0 0 - f ( x) 极大值 极小值 ? ? 1 5 ∴ f ( x) 的极大值是 f (? ) ? ? a ,极小值是 f (1) ? a ? 1 3 27
若 f '( x) =0,则 x ==-

(1,+∞) +

?

(II)函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x ? a ? (x ? 1) 2 ( x ? 1) ? a ? 1 由此可知,取足够大的正数时,有 f ( x) >0,取足够小的负数时有 f ( x) <0,所以曲线 = f ( x) 与 x 轴至少有一个交点 y 结合 f ( x) 的单调性可知: 当 f ( x) 的极大值

5 5 ? a <0,即 a ? (??, ? ) 时,它的极小值也小于 0,因此曲线 27 27

y = f ( x) 与 x 轴仅有一个交点,它在(1,+∞)上。 当 f ( x) 的极小值 a -1>0 即 a ? (1,+∞)时,它的极大值也大于 0,因此曲线 y = f ( x) 1 与 x 轴仅有一个交点,它在(-∞,- )上。 3 5 ∴当 a ? (??, ? ) ∪(1,+∞)时,曲线 y = f ( x) 与 x 轴仅有一个交点 27
2、 (2009 江西卷文) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x ?
3

9 2 x ? 6x ? a . 2

(1)对于任意实数 x , f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围. 解:(1) f ( x) ? 3x ? 9 x ? 6 ? 3( x ? 1)( x ? 2) ,
' 2

因为 x ? (??, ??) , f ( x) ? m , 即 3x ? 9 x ? (6 ? m) ? 0 恒成立,
'
2

所以 ? ? 81 ? 12(6 ? m) ? 0 , 得 m ? ?

3 3 ,即 m 的最大值为 ? 4 4

(2) 因为 当 x ? 1时, f ( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ( x) ? 0 ;
' ' '

所以 当 x ? 1 时, f ( x) 取极大值 f (1) ?

5 ?a; 2

当 x ? 2 时, f ( x) 取极小值 f (2) ? 2 ? a ; 故 当 f ( 2)? 0 或 f (1) ? 0 时 , 方 程 f ( x ) ? 0 仅 有 一 个 实 根 . 解 得 a ? 2 或

a?

5 . 2

3、已知函数 f ( x) ?

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a ,x 3 2

其中 a>0.

(I)求函数 f ( x) 的单调区间; (II)若函数 f ( x) 在区间(-2,0)内恰有两个零点,求 a 的取值范围; (III)是否存在常数 a,使得函数 f ( x) 在区间(-2,0)内恰有一个零点,若存在,求 a 的 取值范围,若不存在,说明理由; 【答案】

4、 (2009 陕西卷文) (本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 1, a ? 0
3

? ? ? 求 f ( x) 的单调区间; ? ?? ? 若 f ( x) 在 x ? ?1 处取得极值,直线 y=m 与 y ?
的取值范围。
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

f ( x) 的图象有三个不同的交点,求 m

解析: (1) f ( x) ? 3x ? 3a ? 3( x ? a),
' 2 2

当 a ? 0 时,对 x ? R ,有 f ( x) ? 0,
'

当 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间为 (??, ??)
' 当 a ? 0 时,由 f ( x) ? 0 解得 x ? ? a 或 x ? a ; ' 由 f ( x) ? 0 解得 ? a ? x ?

a,

当 a ? 0 时 , f ( x) 的 单 调 增 区 间 为 (??, ? a ), ( a , ??) ; f ( x) 的 单 调 减 区 间 为

(? a , a ) 。
(2)因为 f ( x) 在 x ? ?1 处取得极大值, 所以 f (?1) ? 3 ? (?1) ? 3a ? 0,? a ? 1.
' 2

所以 f ( x) ? x ? 3x ? 1, f ( x) ? 3x ? 3,
3 ' 2

由 f ( x) ? 0 解得 x1 ? ?1, x2 ? 1 。
'

由(1)中 f ( x) 的单调性可知, f ( x) 在 x ? ?1 处取得极大值 f (?1) ? 1 , 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? ?3 。 因 为 直 线 y ? m 与 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 有 三 个 不 同 的 交 点 , 又 f (?3) ? ?19 ? ?3 ,

f (3) ? 17 ? 1 ,
结合 f ( x) 的单调性可知, m 的取值范围是 (?3,1) 。 5、 【2102 高考福建文 12】已知 f(x)=x?-6x?+9x-abc,a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c)=0. 现给出如下结论: ①f(0)f(1)>0;②f(0)f(1)<0;③f(0)f(3)>0;④f(0)f(3)<0. 其中正确结论的序号是 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

12.【答案】C. 【解析】 ? f ( x) ? x ? 6 x ? 9 x ? abc,? f ' ( x) ? 3x ? 12 x ? 9 ,令 f ' ( x) ? 0 则 x ? 1 或
3 2 2

x ? 3 ,当 x ? 1时 f ' ( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 3 时 f ' ( x) ? 0 ;当 x ? 3 时 f ' ( x) ? 0 ,
所以 x ? 1 时 f ( x) 有 极大值,当 x ? 3 时 f ( x) 有极小 值, ? 函数 f ( x) 有三 个零点,

? f (1) ? 0, f (3) ? 0 ,且 a ? 1 ? b ? 3 ? c ,又? f (3) ? 27 ? 54 ? 27 ? abc ,?abc ? 0 ,
即 a ? 0 ,因此 f (0) ? f (a) ? 0 ,? f (0) f (1) ? 0, f (0) f (3) ? 0 .故选 C.

6、 (湖南 21)已知函数 f ( x) ? (I)证明: ?27 ? c ? 5 ;

1 4 9 x ? x3 ? x 2 ? cx 有三个极值点。 4 2

(II)若存在实数 c,使函数 f ( x) 在区间 ? a, a ? 2? 上单调递减,求 a 的取值范围。 解: (I)因为函数 f ( x) ?
3

1 4 9 x ? x3 ? x 2 ? cx 有三个极值点, 4 2
2

所以 f ?( x) ? x ? 3x ? 9 x ? c ? 0 有三个互异的实根. 设 g ( x) ? x ? 3x ? 9 x ? c, 则 g ?( x) ? 3x ? 6 x ? 9 ? 3( x ? 3)( x ? 1),
3 2 2

当 x ? ?3 时, g ?( x) ? 0, g ( x) 在 (??, ?3) 上为增函数; 当 ?3 ? x ? 1时, g ?( x) ? 0, g ( x) 在 (?3,1) 上为减函数; 当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0, g ( x) 在 (1, ??) 上为增函数; 所以函数 g ( x) 在 x ? ?3 时取极大值,在 x ? 1 时取极小值. 当 g (?3) ? 0 或 g (1) ? 0 时, g ( x) ? 0 最多只有两个不同实根. 因为 g ( x) ? 0 有三个不同实根, 所以 g (?3) ? 0 且 g (1) ? 0 . 即 ?27 ? 27 ? 27 ? c ? 0 ,且 1 ? 3 ? 9 ? c ? 0 , 解得 c ? ?27, 且 c ? 5, 故 ?27 ? c ? 5 .

(II)由(I)的证明可知,当 ?27 ? c ? 5 时, f ( x) 有三个极值点. 不妨设为 x1,x2,x3 ( x1 ? x2 ? x3 ) ,则 f ?( x) ? ( x ? x1 )( x ? x2 )( x ? x3 ). 所以 f ( x) 的单调递减区间是 (??,x1 ] , [ x2 , x3 ]

若 f ( x) 在区间 ? a, a ? 2? 上单调递减, 则 ? a, a ? 2? ? (??,x1 ] , 或 ? a, a ? 2? ? [ x2 , x3 ] , 若 ? a, a ? 2? ? (??,x1 ] ,则 a ? 2 ? x1 .由(I)知, x1 ? ?3 ,于是 a ? ?5. 若 ? a, a ? 2? ? [ x2 , x3 ] ,则 a ? x2 且 a ? 2 ? x3 .由(I)知, ?3 ? x2 ? 1.
3 2 2 又 f ?( x) ? x ? 3x ? 9 x ? c, 当 c ? ?27 时, f ?( x) ? ( x ? 3)( x ? 3) ;

当 c ? 5 时, f ?( x) ? ( x ? 5)( x ? 1) .
2

因此, 当 ?27 ? c ? 5 时, 1 ? x3 ? 3. 所以 a ? ?3, 且 a ? 2 ? 3. 即 ?3 ? a ? 1. 故 a ? ?5, 或 ?3 ? a ? 1. 反之, 当 a ? ?5, 或 ?3 ? a ? 1 时, 总可找到 c ? (?27,5), 使函数 f ( x) 在区间 ? a, a ? 2? 上单调递减. 综上所述, a 的取值范围是 (??, ? 5) ? (?3,1) . 7、 (全国二理 22)已知函数 f ( x) ? x ? x .
3

(1)求曲线 y ? f ( x) 在点 M (t,f (t )) 处的切线方程; ( 2 ) 设 a ? 0 , 如 果 过 点 (a,b) 可 作 曲 线 y ? f ( x) 的 三 条 切 线 , 证 明 :
?a ? b ? f (a ) .

解: (1)求函数 f ( x) 的导数; f ?( x) ? 3x 2 ? 1 . 曲线 y ? f ( x) 在点 M (t,f (t )) 处的切线方程为:
y ? f (t ) ? f ?(t )( x ? t ) ,

即 y ? (3t 2 ? 1) x ? 2t 3 . (2)如果有一条切线过点 (a,b) ,则存在 t ,使
b ? (3t 2 ? 1)a ? 2t 3 .

于是,若过点 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,则方程
2t 3 ? 3at 2 ? a ? b ? 0

有三个相异的实数根. 记 g (t ) ? 2t 3 ? 3at 2 ? a ? b , 则 g ?(t ) ? 6t 2 ? 6at
? 6t (t ? a) .

当 t 变化时, g (t ),g ?(t ) 变化情况如下表:

t
g ?(t )

(??, 0)

0 0 极大值

(0,a)
?

a
0 极小值

(a, ? ?)

?

?

g (t )

?

a?b

?

b ? f (a)

?

由 g (t ) 的单调性,当极大值 a ? b ? 0 或极小值 b ? f (a) ? 0 时,方程 g (t ) ? 0 最 多有一个实数根; 当 a ? b ? 0 时,解方程 g (t ) ? 0 得 t ? 0,t ? 的实数根;
a 当 b ? f (a) ? 0 时,解方程 g (t ) ? 0 得 t ? ? ,t ? a ,即方程 g (t ) ? 0 只有两个 2 3a ,即方程 g (t ) ? 0 只有两个相异 2

相异的实数根. 综上,如果过 (a,b) 可作曲线 y ? f ( x) 三条切线,即 g (t ) ? 0 有三个相异的实
? a ? b ? 0, 数根,则 ? ?b ? f (a ) ? 0.

即 ?a ? b ? f (a ) .



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