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VAR-VEC讲义


第九章 向量自回归和误差修正模型
传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变 量关系的模型。但是,经济理论通常并不足以对变量之间 的动态联系提供一个严密的说明,而且内生变量既可以出 现在方程的左端又可以出现在方程的右端使得估计和推断 变得更加复杂。 为了解决这些问题而出现了一种用非结构性方法来

建立各个变量之间关系的模型。本章所要介绍的向量自回
归模型(vector autoregression,VAR)和向量误差修正模型 (vector error correction model,VEC)就是非结构化的多 方程模型。
1

§9.1 向量自回归理论
向量自回归(VAR)是基于数据的统计性质建立模型,

VAR模型把系统中每一个内生变量作为系统中所有内
生变量的滞后值的函数来构造模型,从而将单变量自回 归模型推广到由多元时间序列变量组成的“向量”自回

归模型。VAR模型是处理多个相关经济指标的分析与
预测最容易操作的模型之一,并且在一定的条件下,多 元MA和ARMA模型也可转化成VAR模型,因此近年来 VAR模型受到越来越多的经济工作者的重视。

2

9.1.1 VAR模型的一般表示
VAR(p) 模型的数学表达式是

yt ? Φ1 yt ?1 ? ? ? ? ? Φ p yt ? p ? Hx t ? εt
t ? 1, 2 , ?, T
(9.1.1)

其中:yt是 k 维内生变量列向量,xt 是d 维外生变量列向量,p
是滞后阶数,T是样本个数。k?k 维矩阵?1,…, ?p 和 k?d 维

矩阵 H 是待估计的系数矩阵。?t 是 k 维扰动列向量,它们相互
之间可以同期相关,但不与自己的滞后值相关且不与等式右边 的变量相关,假设 ? 是 ?t 的协方差矩阵,是一个(k?k)的正定

矩阵。式(9.1.1)可以展开表示为
3

? y1 t ?1 ? ? y1 t ? p ? ? y1t ? ? x1t ? ? ? 1t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? y 2 t ?1 ? ? y2 t? p ? ? y 2t ? ? x 2t ? ? ? 2t ? ? ? ? ? Φ1 ? ? ? ? ? ? Φ p ? ? ? ? H ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?y ? ?x ? ? ? ?y ? ?y ? kt ? ? ? dt ? ? ? kt ? ? k t ?1 ? ? kt? p ?

(9.1.2)

t ? 1, 2 , ?, T
即含有 k 个时间序列变量的VAR(p)模型由 k 个方程 组成。

4

例如:作为VAR的一个例子,假设工业产量(IP)和货 币供应量(M1)联合地由一个双变量的VAR模型决定。内生 变量滞后二阶的VAR(2)模型是:

IPt ? c1 ? a11IPt ?1 ? a12 M 1t ?1 ? b11IPt ?2 ? b12 M 1t ?2 ? ?1,t
M 1t ? c2 ? a2,1IPt ?1 ? a22 M 1t ?1 ? b21IPt ?2 ? b22 M 1t ?2 ? ? 2,t
其中, ci , aij , bij 是要被估计的参数。也可表示成:

? IPt ? ? c1 ? ? a11 a12 ?? IPt ?1 ? ? b11 b12 ?? IPt ? 2 ? ? ?1,t ? ? ? ? ? ??? ??? ??? ? ?? ?? ? M1 ? ? c ? ? a a22 ?? M 1t ?1 ? ? b21 b22 ?? M 1t ? 2 ? ? ? 2,t ? ?? ?? ? t ? ? 2 ? ? 21 ? ? ? ? ?

5

一般称式(9.1.1)为非限制性向量自回归模型(unrestricted VAR)。冲击向量 ?t 是白噪声向量,因为 ?t 没有结构性的含 义,被称为简化形式的冲击向量。 为了叙述方便,下面考虑的VAR模型都是不含外生变量 的非限制向量自回归模型,用下式表示

yt ? Φ1 yt ?1 ? ? ? ? ? Φ p yt ? p ? εt


Φ ( L) y t ? ε t
其中:

(9.1.5)

Φ( L) ? I k ? Φ1L ? Φ2 L2 ? ? ? Φ p Lp

6

如果行列式det[?(L)]的根都在单位圆外,则式(9.1.5) 满足稳定性条件,可以将其表示为无穷阶的向量动平均

(VMA(∞))形式

yt ? A( L)εt
其中

(9.1.6)

A( L) ? Φ( L)

?1

A( L) ? A0 ? A1 L ? A2 L2 ? ?

A0 ? I k
7

对VAR模型的估计可以通过最小二乘法来进行,假如 对? 矩阵不施加限制性条件,由最小二乘法可得? 矩阵的

估计量为

? ? 1 ε ε? Σ ? ?t ?t T
其中:

(9.1.7)

? ? ? ? εt ? yt ? Φ1 yt ?1 ? Φ2 yt ?2 ? ? ? Φ p yt ? p
当VAR的参数估计出来之后,由于 ?(L)A(L)=Ik,所 以也可以得到相应的VMA(∞)模型的参数估计。
8

由于仅仅有内生变量的滞后值出现在等式的右边, 所以不存在同期相关性问题,用普通最小二乘法(OLS) 能得到VAR简化式模型的一致且有效的估计量。即使扰 动向量 ?t 有同期相关,OLS仍然是有效的,因为所有的

方程有相同的回归量,其与广义最小二乘法(GLS)是等
价的。注意,由于任何序列相关都可以通过增加更多的 yt 的滞后而被消除,所以扰动项序列不相关的假设并不 要求非常严格。

9

例9.1 我国货币政策效应实证分析的VAR模型
为了研究货币供应量和利率的变动对经济波动的长 期影响和短期影响及其贡献度,采用我国1995年1季度~ 2007年4季度的季度数据,并对变量进行了季节调整。设 居民消费价格指数为CPI_90 (1990年1季度=1)、居民消费

价格指数增长率为CPI 、实际GDP的对数ln(GDP/CPI_90)
为ln(gdp) 、实际M1的对数ln(M1/CPI_90) 为ln(m1) 和实 际利率rr (一年期存款利率R-CPI )。

10

利用VAR(p)模型对 ?ln(gdp) , ?ln(m1) 和 rr,3个变量 之间的关系进行实证研究,其中实际GDP和实际M1以对数差 分的形式出现在模型中,而实际利率没有取对数。

rrt ? ? ? ? ln( m1)t ? ? ln( gdp) t ?

? rrt ?1 ? ? c1 ? ? ? ? ? ? ? ? c2 ? ? Φ1 ? ? ln( m1) t ?1 ? ? ?c ? ? ? ln( gdp) ? ? 3? t ?1 ?

? ? rrt ? p ? ? ? 1t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Φ p ? ? ln( m1) t ? p ? ? ? ? 2t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ln( gdp) ? ? t ? p ? ? 3t ? ? ?

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EViews软件中VAR模型的建立和估计
1.建立VAR模型
为 了 创 建 一 个 VAR 对 象 , 应 选 择 Quick/Estimate VAR…或者选择Objects/New object/VAR或者在命令窗口 中键入var。便会出现下图的对话框(以例9.1为例):

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可以在对话框内添入相应的信息: (1) 选择模型类型(VAR Type):

无约束向量自回归(Unrestricted VAR)或者向量
误差修正(Vector Error Correction)。无约束VAR模 型是指VAR模型的简化式。

(2) 在Estimation Sample编辑框中设臵样本区间

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(3) 输入滞后信息
在Lag Intervals for Endogenous编辑框中输入滞后信 息,表明哪些滞后变量应该被包括在每个等式的右端。这 一信息应该成对输入:每一对数字描述一个滞后区间。例 如,滞后对 1 4 表示用系统中所有内生变量的1阶到4阶滞后变量作为等式 右端的变量。 也可以添加代表滞后区间的任意数字,但都要成对输 入。例如: 2 4 6 9 12 12

即为用2―4阶,6―9阶及第12阶滞后变量。
14

(4) 在Endogenous Variables编辑栏中输入相应的内生变量
(5) 在Exogenous Variables编辑栏中输入相应的外生变量 EViews允许VAR模型中包含外生变量,

yt ? Φ1 yt ?1 ? ? ? ? ? Φ p yt ? p ? Hx t ? εt
其中 xt 是 d 维外生变量向量 , k?d 维矩阵 H 是要被估计的系数
矩阵。可以在Exogenous Variables编辑栏中输入相应的外生变 量。系统通常会自动给出常数 c 作为外生变量。

其余两个菜单(Cointegration 和 Restrictions)仅与VEC
模型有关,将在下面介绍。
15

2.VAR估计的输出 VAR对象的设定框填写完毕,单击OK按纽,EViews 将会在VAR对象窗口显示如下估计结果:

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表中的每一列对应VAR模型中一个内生变量的方

程。对方程右端每一个变量,EViews会给出系数估计
值、估计系数的标准差(圆括号中)及t-统计量(方括号 中)。例如,在D(log(M1_SA_P))的方程中RR_SA(-1) 的系数是-0.002187。 同时,有两类回归统计量出现在VAR对象估计输

出的底部:

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输出的第一部分显示的是每个方程的标准OLS回归统 计量。根据各自的残差分别计算每个方程的结果,并显示 在对应的列中。 输出的第二部分显示的是VAR模型的回归统计量。
18

残差的协方差的行列式值(自由度调整)由下式得出:

? ? ? det ? 1 ?? Σ ? ? ε t ε 't ? ?T ? m t ?
其中 m 是VAR模型每一方程中待估参数的个数,不做自由 度调整的残差协方差行列式计算中不减 m。 ε t 是 k 维残差 ? 列向量。通过假定服从多元正态(高斯)分布计算对数似 然值:

Tn T ? l ? ? ?1 ? ln 2π ? ? ln Σ 2 2
AIC和SC两个信息准则的计算将在后文详细说明。
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例9.1结果如下:

rrt ? ? ? 0.17 ? ? 1.32 ? ? ? ? ? ? ? ln( m1) t ? ? ? 0.04 ? ? ? - 0.002 ? ? ln( gdp) ? ? 0.039 ? ? - 0.005 t? ? ? ? ? ? - 0.387 - 11.2 ? ? ? 0.003 - 0.124 ? 0.004 0.015 ?

- 4.0 ?? rrt ?1 ? ?? ? 0.178 - 0.404 ?? ? ln( m1) t ?1 ? - 0.004 - 0.495 ?? ? ln( gdp) t ?1 ? ?? ? 17.55 ?? rrt ? 2 ? ? e1t ? ?? ? ? ? - 0.002 ?? ? ln( m1) t ? 2 ? ? ? e2t ? - 0.034 ?? ? ln( gdp) t ? 2 ? ? e3t ? ?? ? ? ? - 1.51

尽管有一些系数不是很显著,我们仍然选择滞后阶数为2。 3个方程拟合优度分别为:
2 2 2 RR ? 0.85, RM 1 ? 0.17, RGDP ? 0.37

可以利用这个模型进行预测及下一步的分析。
20

同时,为了检验扰动项之间是否存在同期相关关系,

可用残差的同期相关矩阵来描述。用ei 表示第 i 个方程的残
差,i =1,2,3。其结果如表9.1所示。 表9.1 残差的同期相关矩阵

e1 e1 1

e2 0.36

e3 -0.4

e2
e3

0.36
-0.4

1
0.15

0.15
1
21

从表中可以看到实际利率rr、实际M1的?ln(m1)

方程和实际GDP的?ln(gdp)方程的残差项之间存在的
同期相关系数比较高,进一步表明实际利率、实际货

币供给量(M1)和实际GDP之间存在着同期的影响关系,
尽管得到的估计量是一致估计量,但是在本例中却无 法刻画它们之间的这种同期影响关系。

22

9.1.2

结构VAR模型(SVAR)

在式(9.1.1)或式(9.1.3)中,可以看出,VAR模型并
没有给出变量之间当期相关关系的确切形式,即在模 型的右端不含有当期的内生变量,而这些当期相关关 系隐藏在误差项的相关结构之中,是无法解释的,所 以将式(9.1.1)和式(9.1.3)称为VAR模型的简化形式。本

节要介绍的结构VAR模型(Structural VAR,SVAR),
实际是指VAR模型的结构式,即在模型中包含变量之 间的当期关系。

23

1.两变量的SVAR模型
为了明确变量间的当期关系,首先来研究两变量的

VAR模型结构式和简化式之间的转化关系。如含有两个
变量(k=2)、滞后一阶(p=1)的VAR模型结构式可以表示 为下式

xt ? ? 10 ? c12 zt ? ? 11 xt ?1 ? ? 12 zt ?1 ? u xt zt ? ? 20 ? c21 xt ? ? 21 xt ?1 ? ? 22 zt ?1 ? u zt
t ? 1, 2 , ?, T
(9.1.8)

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在模型(9.1.8)中假设:

(1)随机误差 uxt 和 uzt 是白噪声序列,不失一般性,
假设方差 ?x2 = ?z2 =1 ;

(2)随机误差 uxt 和 uzt 之间不相关,cov(uxt , uzt )=0 。
式(9.1.8)一般称为一阶结构向量自回归模型(SVAR(1))。

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它是一种结构式经济模型,引入了变量之间的作 用与反馈作用,其中系数 c12 表示变量 zt 的单位变化对 变量 xt 的即时作用,?21表示 xt-1的单位变化对 zt 的滞后

影响。虽然 uxt 和 uzt 是单纯出现在 xt 和 zt 中的随机冲击,
但如果 c21 ? 0,则作用在 xt 上的随机冲击 uxt 通过对 xt 的影响,能够即时传到变量 zt 上,这是一种间接的即时

影响;同样,如果 c12 ? 0,则作用在 zt 上的随机冲击 uzt
也可以对 xt 产生间接的即时影响。冲击的交互影响体现 了变量作用的双向和反馈关系。

xt ? ? 10 ? c12 zt ? ? 11 xt ?1 ? ? 12 zt ?1 ? u xt zt ? ? 20 ? c21 xt ? ? 21 xt ?1 ? ? 22 zt ?1 ? u zt
26

为了导出VAR模型的简化式方程,将上述模型表示为 矩阵形式

? c12 ?? xt ? ? ? 10 ? ? ? 11 ? 12 ?? xt ?1 ? ? u xt ? ? 1 ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? c ?? z ? ? ? ? ? ? ?? z ? ? ? u ? 1 ?? t ? ? 20 ? ? 21 ? 22 ?? t ?1 ? ? zt ? ? 21 ? ? ?
该模型可以简单地表示为

C 0 yt ? Γ 0 ? Γ1 yt ?1 ? ut
t ? 1, 2 , ?, T

(9.1.9)

27

假设 C0可逆,可导出简化式方程为
? ? ? yt ? C 0 1 Γ 0 ? C 0 1 Γ1 yt ?1 ? C 0 1ut

? Φ0 ? Φ1 yt ?1 ? εt
其中

(9.1.10)
?1 0

? ?10 ? Φ0 ? C Γ 0 ? ? ? ?? ? ? 20 ?
?1 0

? ?11 ?12 ? ? Φ1 ? C Γ1 ? ? ?? ?22 ? ? 21 ?

? ? 1t ? εt ? C u ? ? ? ?? ? ? 2t ?
?1 0 t
28

从而可以看到,简化式扰动项 ?t 是结构式扰动项 ut 的线性组合,因此代表一种复合冲击。因为 uxt 和 uzt 是不

相关的白噪声序列,则可以断定上述 ?1t 和 ?2t 也是白噪声
序列,并且均值和方差为

E (? 1t ) ? 0, E (? 1s ? 1t ) ? 0, s ? t ,

var( ? 1t ) ?

?1 ? c12c21 ?2

2 ? x2 ? c12? z2

2 1 ? c12 ? ?1 ? c12c21 ?2

E (? 2t ) ? 0, E (? 2 s ? 2t ) ? 0, s ? t ,

2 2 ? z2 ? c21? x2 1 ? c21 var( ? 2t ) ? ? 2 ?1 ? c12c21 ? ?1 ? c12c21 ?2

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同期的 ?1t 和 ?2t 之间的协方差为
2 c21? x ? c12? z2 c21 ? c12 cov(? 1t , ? 2t ) ? E (? 1t ? 2t ) ? ? 2 2 ?1 ? c12c21 ? ?1 ? c12c21 ?

(9.1.11) 从式(9.1.11)可以看出当 c12 ≠ 0 或 c21 ≠ 0 时,VAR模 型简化式中的扰动项不再像结构式中那样不相关,正如 例9.1中的表9.1所显示的情况。当 c12 = c21 = 0 时,即变

量之间没有即时影响,上述协方差为0,相当于对C0矩阵
施加约束。

30

2.多变量的SVAR模型
下面考虑k个变量的情形,p阶结构向量自回归模型

SVAR(p)为

C 0 yt ? Γ1 yt ?1 ? Γ 2 yt ?2 ? ? ? Γ p yt ? p ? ut
其中:
? c12 ? 1 ?? c 1 C 0 ? ? 21 ? ? ? ? ?? ck 1 ? ck 2

(9.1.13)

?? 11 ? ? c1k ? ? (i ) ? ? c2 k ? ? Γ ? ?? 21 ? ? ?, i ? ? ? ? (i ) ? 1 ? ?
(i )

? ?

k1

( ? 12i ) (i ? 22) ? ? k(i2)

? ? 1(ki ) ? ? u1t ? ? ?u 2t ? ? ? 2(ik) ? , i ? 1 , 2 , ? , p , ut ? ? ? ? ? ? ?? ? (i ) ? ? ? kk ? ?u kt ? ? ? ?
31

可以将式(9.1.13)写成滞后算子形式

C ( L) yt ? ut ,

E (ut ut? ) ? I k

(9.1.14)

其中:C(L) = C0 ??1L ? ?2L2 ?… ? ?pLp ,C(L)是滞后算

子L的 k?k 的参数矩阵,C0 ? Ik。需要注意的是,本书
讨论的SVAR模型,C0 矩阵均是主对角线元素为1的矩 阵。如果 C0 是一个下三角矩阵,则SVAR模型称为递归 的SVAR模型。

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不失一般性,在式(9.1.14)假定结构式误差项(结构冲击) ut 的方差-协方差矩阵标准化为单位矩阵Ik。同样,如果矩阵

多项式C(L)可逆,可以表示出SVAR的无穷阶的VMA(∞)形


yt ? B( L)ut
其中:

(9.1.15)

B( L) ? C ( L) ?1

B( L) ? B0 ? B1L ? B2 L2 ? ?
? B0 ? C 0 1
33

式(9.1.15)通常称为经济模型的最终表达式,因为 其中所有内生变量都表示为ut的分布滞后形式。而且结

构冲击 ut 是不可直接观测得到,需要通过 yt 各元素的响
应才可观测到。可以通过估计式(9.1.5),转变简化式的 误差项得到结构冲击 ut 。从式(9.1.6)

yt ? A( L)εt
和式(9.1.15),可以得到

A( L)εt ? B( L)ut

(9.1.16)
34

上式对于任意的 t 都是成立的,称为典型的SVAR 模型。由于 A0 = Ik ,可得

A0 εt ? εt ? B0 ut



?1 B0 εt ? ut

(9.1.17)

式(9.1.17)两端平方取期望,可得

? Σ ? B0 B0
由式 (9.1.15),有
? B0 ? C 0 1

(9.1.18)

所以我们可以通过对 B0 施加约束来识别SVAR模型。

35

更一般的,假定A、B是(k?k)阶的可逆矩阵,A矩阵

左乘式(9.1.5)形式的VAR模型,则得

AΦ( L) yt ? Aεt
t = 1,2,…,T (9.1.19) 如果A 、B满足下列条件:A?t = But , E(ut ) = 0k , E(utut?) = Ik ,则称上述模型为AB-型SVAR模型。特别 的,在式(9.1.17)的后一个表达式
?1 B0 εt ? ut

中,A = B0-1 , B = Ik 。
36

9.2

结构VAR(SVAR)模型的识别条件

前面已经提到,在VAR简化式中变量间的当期关系

没有直接给出,而是隐藏在误差项的相关关系的结构中。
自Sims的研究开始,VAR模型在很多研究领域取得了成 功,在一些研究课题中,VAR模型取代了传统的联立方 程模型,被证实为实用且有效的统计方法。然而,VAR 模型存在参数过多的问题,如式(9.1.1)中,一共有k(kp+d)

个参数,只有所含经济变量较少的VAR模型才可以通过
OLS和极大似然估计得到满意的估计结果。

37

为了解决这一参数过多的问题,计量经济学家们 提出了许多方法。这些方法的出发点都是通过对参数空

间施加约束条件从而减少所估计的参数。SVAR模型就
是这些方法中较为成功的一种。

9.2.1

VAR模型的识别条件

在经济模型的结构式和简化式之间进行转化时,

经常遇到模型的识别性问题,即能否从简化式参数
估计得到相应的结构式参数。
38

对于 k 元 p 阶简化VAR模型

yt ? Φ1 yt ?1 ? ? ? Φ p yt ? p ? εt
利用极大似然方法,需要估计的参数个数为

(9.2.1)

k2 p ? k ? k2 2
而对于相应的 k 元 p 阶的SVAR模型

?

?

(9.2.2)

C 0 yt ? Γ1 yt ?1 ? ? ? Γ p yt ? p ? ut
来说,需要估计的参数个数为

(9.2.3)

k p?k
2

2

(9.2.4)
39

要想得到结构式模型惟一的估计参数,要求识别的 阶条件和秩条件,即简化式的未知参数不比结构式的未知

参数多(识别的阶条件和秩条件的详细介绍请参见第12章
的“12.1.2联立方程模型的识别”)。因此,如果不对结构 式参数加以限制,将出现模型不可识别的问题。 对于k元p阶SVAR模型,需要对结构式施加的限制条 件个数为式(9.2.4)和式(9.2.2)的差,即施加k(k-1)/2个限制

条件才能估计出结构式模型的参数。这些约束条件可以是
同期(短期)的,也可以是长期的。

40

特别的,对于式(9.1.19)表示的AB-型的SVAR 模型,其满足E(A?t ?t? A? ) = E(Butut? B? ) ,进而得到 A? A? = BB? 。如果? 的形式已知,则A? A? = BB?是对

矩阵A、B的参数施加了k(k+1)/2个非线性限制条件,
剩下2k2? k (k+1)/2个自由参数。

41

9.2.2

SVAR模型的约束形式

为了详细说明SVAR模型的约束形成,从式(9.1.16)

和式(9.1.17)出发,可以得到

A( L) B0 ut ? B( L)ut
VMA(∞)模型的滞后算子式,这就隐含着

(9.2.5)

其 中 A(L)、B(L) 分 别 是 VAR 模 型 和 SVAR 模 型 相 应 的

Ai B0 ? Bi , i = 0,1,2,…

(9.2.6)

42

因此,只需要对 B0 进行约束,就可以识别整个

结构系统。由式(9.1.15)知 B0 = C0-1 ,因此如果 C0 或
B0 是已知的,可以通过估计式(9.1.17) 和式(9.2.6)非常 容易的得到滞后多项式的结构系数和结构新息 ut 。在 有关SVAR模型的文献中,这些约束通常来自于经济 理论,表示经济变量和结构冲击之间有意义的长期和 短期关系。

43

1. 短期约束
短期约束通常直接施加在矩阵 B0 上,表示经济变量

对结构冲击的同期响应,常见的可识别约束是简单的0约
束排除方法。 (1)通过Cholesky-分解建立递归形式的短期约束 Sims提出使 B0 矩阵的上三角为 0 的约束方法,这是 一个简单的对协方差矩阵 ? 的Cholesky-分解。下面,首 先介绍Cholesky-分解的基本思想。

44

Cholesky (乔利斯基)分解
对于任意实对称正定矩阵 ? ,存在惟一一个主对角线

元素为1的下三角形矩阵 G 和惟一一个主对角线元素为正
的对角矩阵 Q 使得:

Σ ? GQG ?
法为 ut =G -1?t ,设

(9.2.7)

利用这一矩阵 G 可以构造一个 k 维向量 ut ,构造方

Σ ? E (εt εt? )
45



E (ut ut? ) ? [G ?1 ]E (εt εt? )[G ?1 ]? ? [G ?1 ] Σ [G ?1 ]? ? [G ?1 ]GQG?[G?]?1 ? Q
由于 Q 是对角矩阵,可得 ut 的元素互不相关, 其(j, j)元素是 ujt 的方差。令 Q1/2 表示其(j, j)元 素为 ujt 标准差的对角矩阵。注意到式(9.2.7)可写为

Σ ? GQ1 / 2 Q1 / 2G ? ? PP ?

(9.2.8)

其 中 P=GQ1/2 是 一 个 下 三 角 矩 阵 。 式 ( 9 . 2 . 8 ) 被 称 为

Cholesky (乔利斯基)分解。
46

Sims施加约束的基本过程是:

由于 ? 是正定矩阵,所以可得到Cholesky因子P,
即 PP? = ? 。而且,当给定矩阵 ? 时,Cholesky因子P

是惟一确定的。
对于VAR模型

? ( L) yt ? εt , εt ~ VWN (0k , Σ )
其中VWN(0k , ? )表示均值为0k,协方差矩阵为 ? 的白噪 声向量,这里 0k 表示 k 维零向量。 上式两边都乘以 P?1,得到
47

P ?1? ( L) yt ? C ( L) yt ? ut
其中:ut =P-1?t。由于

(9.2.9)

E (ut ut? ) ? E[ P ?1εt ( P ?1εt )?] ? E[ P ?1εt ε 't t ( P ?1 )?] ? P ?1 ( P ?) ?1 Σ ? I k
(9.2.10)

所以 ut 是协方差为单位矩阵的白噪声向量,即 ut ~ VMN(0k, Ik) 。

48

在向量 ?t 中的各元素可能是当期相关的,而向量 ut
中的各元素不存在当期相关关系,即这些随机扰动是相互 独立的。这些相互独立的随机扰动可以被看作是导致内生 变量向量 yt 变动的最终因素。 由式(9.2.9)还可以得出

C ( L) ? C0 ? Γ1L ? ? ? Γ p Lp
其中

(9.2.11)

C 0 ? P ?1 ,

Γ i ? P ?1Φi , PP ? ? Σ
49

很明显,C0 是下三角矩阵。这意味着变量间的当期 关系可以用递归的形式表示出来,得到的正交VMA(∞)表

示(或Wold表示)形式为

yt ? A( L) Put ? ? Ai Put ?i ? ? Bi ut ?i
i ?0 i ?0

?

?

(9.2.12)

其中:Bi = Ai P ,B0 = P 。注意到 B0 = P ,所以冲击 ut 对 yt 中的元素的当期冲击效应是由Cholesky因子P 决定的。

50

更需要注意的是,由于 P 是下三角矩阵,由式(9.2.9) 可知,这要求向量 yt 中的 y2t,…,ykt 的当期值对第一个

分量 y1t 没有影响,因此Cholesky分解因子 P 的决定和
VAR模型中变量的次序有关,而且在给定变量次序的模 型中,Cholesky分解因子矩阵 P 是惟一的。 综上所述,只要式(9.1.13)中的 C0 是主对角线元素为 1 的下三角矩阵,则SVAR模型是一种递归模型,而且是

恰好识别的。

51

(2)依据经济理论假设的短期约束

但是,一般短期约束的施加不必是下三角形式的。
只要满足式(9.1.18):

? B0 B0 ? Σ
约束可以施加给 B0 的任何元素。同时,由式(9.1.15)可

知,SVAR模型中的同期表示矩阵 C0 是 B0 的逆,即
B0 = C0-1,因此也可以通过对 C0 施加限制条件实现短 期约束。

52

对于 k 个变量 p 阶SVAR模型,需要对结构式施加 k(k-1)/2
个限制条件才能识别出结构冲击。例如对于税收(ln(y1t))、政府 支出(ln(y2t))和产出(ln(y3t))的三变量SVAR(2)模型来说,由于模

型中包含3个内生变量,则k(k-1)/2= 3,因此需要对模型施加3个
约束条件,才能识别出结构冲击。根据经济理论可作出如下的 三个假设: ① 实际GDP不影响同期的政府支出,即C0矩阵中c23= 0。 ② 政府支出不影响同期的税收,即C0矩阵中c12= 0。 ③ 关于税收的实际产出弹性假设,通过回归模型得出平 均的税收的产出弹性为1.71,即c13= 1.71。

? c12 ? 1 ? 1 ? ? c21 ??c ? 31 ? c32

? c13 ?? ln( y1t ) ? ?? ? ? c23 ?? ln( y2t ) ? ? Γ 0 ? Γ1 ln( yt ?1 ) ? Γ1 ln( yt ?2 ) ? ut 1 ?? ln( y3t ) ? ?? ?

53

2. 长期约束
关 于 长 期 约 束 的 概 念 最 早 是 由 Blanchard 和 Quah 在

1989年提出的,是为了识别模型供给冲击对产出的长期影
响。施加在结构VMA(∞)模型的系数矩阵 Bi (i=1,2,…) 上的约束通常称为长期约束。最常见的长期约束的形式是 对?
? i =0

Bi 的第 i 行第 j 列元素施加约束,典型的是 0 约

束形式,表示第 j 个变量对第 i 个变量的累积乘数影响为 0。

关于长期约束更详细的说明及其经济含义可参考9.4节
的脉冲响应函数。

54

在EViews中如何估计SVAR模型
在 VAR 估 计 窗 口 中 选 择 : Procs/Estimate Structural

Factorization 即可。下面对这一操作进行详细说明:
假设在EViews中SVAR模型为:

? Aet ? But
其中 et ,ut 是 k 维向量,et 是简化式的残差,相当于前文的

?t ,而 ? 是结构新息(结构式残差)。A、B是待估计的k ? k t
矩阵。

55

例9.2 基于SVAR模型的货币政策效应的实证分析
中央银行通过调整利率和货币供应量等货币政策工具, 来影响投资、社会需求及总支出,进而对经济增长产生作用。 凯恩斯学派和货币主义学派都承认货币供应量对经济有影响, 虽然途径不一样,但都是诱发经济波动的主要原因。为了验 证利率和货币供给的冲击对经济波动的影响,例9.1使用了 VAR模型,但是其缺点是不能刻画变量之间的同期相关关系, 而这种同期相关关系隐藏在扰动项变动中,因此可以通过本 节介绍的SVAR模型来识别,这就涉及对模型施加约束的问 题。首先,根据式(9.1.19)建立3变量的SVAR(2)模型,其 形式如下:

Aε t ? But ,

t = 1,2,…,T
56

其中A、B参数矩阵及向量分别为

? 1 a12 ? A ? ? a21 1 ?a ? 31 a32

a13 ? ?1 0 0? ? , B ? ? 0 1 0? , a23 ? ? ? ?0 0 1? 1 ? ? ? ?

(9.2.14)

εt ? ?? 1t

? 2t ? 3t ? ,

?

ut ? ?u1t

u 2t

? u3t ?

其中?t 是VAR模型的扰动项,u1t 、u2t 和u3t 分别表示作用在

实际利率rr、Δln(m1)和Δln(gdp)上的结构式冲击,即结构式
扰动项, ut ~VMN(0k, Ik)。这里?t = A-1ut,因此简化式扰动 项?t 是结构式扰动项 ut 的线性组合,因此代表一种复合冲击。
57

模型中有3个内生变量,因此至少需要施加

2k2? k (k+1)/2=12
个约束才能使得SVAR模型满足可识别条件。本例中约束B 矩阵是单位矩阵,A矩阵(即C0矩阵)对角线元素为1,相

当于施加了k2+ k个约束条件。根据经济理论,本例再施加 如下两个约束条件:
(1) 实际利率对当期货币供给量的变化没有反应,即 a12=0; (2) 实际利率对当期GDP的变化没有反应,即a13=0。

58

1. 用矩阵模式表示的短期约束 在许多问题中,对于A、B矩阵的可识别约束是简单 的排除0约束。在这种情况下,可以通过创建矩阵指定A、

B的约束,矩阵中想估计的未知元素定义为缺省值NA,在
矩阵中所有非缺省的值被固定为某一指定的值。 例如:对于例9.2,(9.2.14)的简化式扰动项和结构式 扰动项的关系为A?t=But ,对于k = 3个变量的SVAR模型, 其矩阵模式可定义为:

0 0 ? ? 1 ? ? A ? ? NA 1 NA ? ? NA NA 1 ? ? ?

?1 ? B ? ?0 ?0 ?

0 1 0

0? ? 0? 1? ?
59

一旦创建了矩阵,从VAR对象窗口的菜单中选择Procs/Estimate

Structural Factorization,在下图所示的SVAR Options的对话框中,击
中Matrix按钮和Short-Run Pattern按钮,并在相应的编辑框中填入模版 矩阵的名字。

60

2. 用文本形式表示的短期约束
对于更一般的约束,可用文本形式指定可识别的约 束。在文本形式中,以一系列的方程表示关系: Aet = B? t 并用特殊的记号识别 et 和 ? 向量中的每一个元素。 t A、B矩阵中被估计的元素必须是系数向量中被指定的元 素。 例如:像上例所假定的一样,对于有3个变量的 SVAR模型,约束A矩阵为C0矩阵,B矩阵是一对角矩阵。 在这些约束条件下, Aet = ? 的关系式可以写为下面的形 t

式。
61

? 0 0 ?? e1t ? ? u1t ? ? 1 ? ?? ? ? ? ? ? Aet ? ? NA 1 NA ?? e2t ? ? ? u2t ? ? ut ? NA NA 1 ?? e ? ? u ? ? ?? 3t ? ? ?3t ?
为了以文本形式指定这些约束,从VAR对象窗口选 择 Procs/Estimate Structure Factorization…, 并 单 击

Text按钮,在编辑框中,应键入下面的方程:

@e1 = @u1 @e2 = c(1)? @e1 + @u2 + c(4) ? @e3 @e3 = c(2) ? @e1 + c(3) ? @e2 + @u3

62

63

特殊的关键符“@e1‖, ―@e2‖, ―@e3‖分别 代表et (即?t)向量中的第一、第二、第三个元素,而 “@u1‖, ―@u2‖, ―@u3‖分别代表 ut 向量中的第 一、第二、第三个元素。在这个例子中,A、B矩

阵中的未知元素以系数向量 c 中的元素来代替。并
且对A、B矩阵的约束不必是下三角形式,可以依 据具体的经济理论来建立约束。

64

4. A、B矩阵的估计
一旦提供了上述所描述的任何一种形式的可识别

约束,单击SVAR Options对话框的OK按钮,就可以估
计A、B矩阵。为了使用脉冲响应和方差分解的结构选 项,必须先估计这两个矩阵。 假定扰动项是多元正态的,EViews使用极大似然 估计法估计A、B矩阵。使用不受限制的参数代替受限 制的参数计算似然值。对数似然值通过得分方法最大化, 在这儿梯度和期望信息矩阵使用解析法计算。

65

① 最优化控制(Optimization Control) 最 优 化 过 程 控 制 的 选 项 在 SVAR Options 对 话 框 的 Optimization Control栏下提供。可以指定初始值、迭代的最大 数和收敛标准。

66

② 估计的输出

一旦估计收敛,EViews会在VAR对象窗口中显示
估计的结果,包括:估计值、标准误差和被估计无约束

参数的Z统计量及对数似然的最大值。

67

68

在模型(9.2.13)满足可识别条件的情况下,我们可以使 用完全信息极大似然方法(FIML)估计得到SVAR模型的 所有未知参数,从而可得矩阵A及?t 和 ut的线性组合的估计 结果如下(设VAR模型的估计残差=et):
? 0 0 ?? e1t ? ? u1t ? ? 1 ? ?? ? ? ? ? e ? ? 0.45 ? A t 1 101.23 ?? e2t ? ? ? u2t ? ? 0.41 ? 70.26 1 ?? e3t ? ? u3t ? ? ?? ? ? ? ?

或者可以表示为

? e1t ? u1t ? e2t ? ?0.45 ? e1t ? 101.13 ? e3t ? u2t ? e3t ? ?0.41? e1t ? 70.26 ? e2t ? u3t
本章将在例9.5中,利用脉冲响应函数讨论实际利率和 货币供给量的变动对产出的影响。

69

9.3 VAR模型的检验和过程
无论建立什么模型,都要对其进行识别和检验,以判

别其是否符合模型最初的假定和经济意义。本节简单介绍
关于VAR模型的各种检验。这些检验对于后面将要介绍的 向量误差修正模型(VEC)也适用。 9.3.1 Granger因果检验 VAR模型的另一个重要的应用是分析经济时间序列变 量 之 间 的 因 果 关 系 。 本 节 讨 论 由 Granger(1969) 提 出 , Sims(1972) 推广的如何检验变量之间因果关系的方法。

70

1. Granger因果关系的定义
Granger解决了 x 是否引起 y 的问题,主要看现在的 y

能够在多大程度上被过去的 x 解释,加入 x 的滞后值是否使
解释程度提高。如果 x 在 y 的预测中有帮助,或者 x 与 y 的 相关系数在统计上显著时,就可以说“ y 是由 x Granger引 起的”。 考虑对 yt 进行 s 期预测的均方误差(MSE):

1 s ? MSE ? ? ( yt ?i ? yt ?i ) 2 s i ?1

(9.3.1)

71

这样可以更正式地用如下的数学语言来描述。 Granger因果定义:如果关于所有的s>0,基于(yt,yt-1,…) 预测 yt+s 得到的均方误差,与基于(yt,yt-1,…)和(xt,xt-1,…)两

者得到的 yt+s 的均方误差相同,则 y 不是由 x Granger引起的。
对于线性函数,若有

? MSE[ E ( yt ? s | yt , yt ?1 ,?)] ? ? MSE[ E ( yt ? s | yt , yt ?1 ,?, xt , xt ?1 ,?)]

(9.3.2)

可以得出结论:x 不能Granger引起 y。等价的,如果(9.3.2)式成 立,则称 x 对于 y 是外生的。这个意思相同的第三种表达方式 是 x 关于未来的 y 无线性影响信息。
72

注意到“x Granger引起y‖这种表达方式并不意味

着 y 是 x 的效果或结果。Granger因果检验度量对 y 进
行预测时 x 的前期信息对均方误差MSE的减少是否有 贡献,并以此作为因果关系的判断基准。用和不用 x 的前期信息相比,MSE无变化,称 x 在Granger意义下 对 y 无因果关系,反之,当 x 的前期信息对MSE的减

少有贡献时,称 x 在Granger意义下对 y 有因果关系。

73

可以将上述结果推广到 k 个变量的VAR(p)模型中去,

考虑对模型(9.1.5),利用从 (t-1) 至 (t-p) 期的所有信息,
得到 yt 的最优预测如下:

? ? ? yt ? Φ1 yt ?1 ? ? ? ? ? Φ p yt ? p
t ? 1, 2 , ?, T

(9.3.3)

VAR(p)模型中Granger因果关系如同两变量的情形,

可以判断是否存在过去的影响。作为两变量情形的推广,
对多个变量的组合给出如下的系数约束条件:在多变量 VAR(p)模型中不存在 yjt 到 yit 的Granger意义下的因果关 系的必要条件是

?( ?ijq ) ? 0
q

q ? 1, , ,p 2 ?

(9.3.4)
74

?( ? 其中 ?ij q ) 是 Φ 的第 i 行第 j 列的元素。

2. Granger因果关系检验
Granger因果关系检验实质上是检验一个变 量的滞后变量是否可以引入到其他变量方程中。

一个变量如果受到其他变量的滞后影响,则称它
们具有Granger因果关系。

75

在一个二元p阶的VAR模型中
(1 (1 ( ( yt ? ? ?10 ? ? ?11) ?12) ?? yt ?1 ? ? ?112) ?122) ?? yt ? 2 ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? (1) ? ? ? ( 2) ? ?? (1) ?? ( 2 ) ?? ? x ? ?? ? ?? ? ?? ?22 ?? xt ?1 ? ? 21 ?22 ?? xt ? 2 ? ? t ? ? 20 ? ? 21 ? ( ( ? ?11p ) ?12p ) ?? yt ? p ? ? ? 1t ? ?? ??? ? ? ? ( p) ( ?? ?22p ) ?? xt ? p ? ? ? 2t ? ? 21 ?? ? ? ? (9.3.5)

当且仅当系数矩阵中的系数

? (q ? 1, , ,p) 2 ?
(q) 12

全部

为0时,变量 x 不能Granger引起 y,等价于变量 x 外生于变

量 y。
76

这时,判断Granger原因的直接方法是利用F-检 验来检验下述联合检验:

H0 :

?

(q) 12

? 0 , q ? 1 , 2, ?, p

H1 : 至少存在一个 q 使得
其统计量为

?

(q) 12

?0

( RSS 0 ? RSS 1 ) / p S1 ? ~ F ( p, T ? 2 p ? 1) RSS 1 /(T ? 2 p ? 1)

(9.3.6)

如果S1大于F的临界值,则拒绝原假设;否则接受 原假设:x 不能Granger引起 y。
77

其中:RSS1是式(9.3.5)中 y 方程的残差平方和:

? RSS 1 ? ? ? 12t
t ?1

T

(9.3.7)

RSS0是不含 x 的滞后变量, 即如下方程的残差平方和:

yt ?? 10?? yt ?1 ? ?
(1) 11

(2) 11 t ?2

y

? ?? ?

( p) 11

~ yt ? p ? ?1t

(9.3.8)

则有

~ ? RSS 0 ? ? ? 12 t
t ?1

T

(9.3.9)
78

在满足高斯分布的假定下,检验统计量式(9.3.6)具有 精确的F分布。如果回归模型形式是如式(9.3.5)的VAR模 型,一个渐近等价检验可由下式给出:

T ( RSS 0 ? RSS 1 ) S2 ? ~ ? 2 ( p) RSS 1

(9.3.10)

注意,S2 服从自由度为 p 的?2分布。如果S2大于?2 的
临界值,则拒绝原假设;否则接受原假设:x不能 Granger引起 y。 而且Granger因果检验的任何一种检验结果都和滞后 长度 p 的选择有关。

79

在EViews中Granger 因果检验的操作
选择View/Lag Structure/Pairwise Granger Causality Tests, 即可进行Granger因果检验。

80

输出结果对于
VAR模型中的每一个 方程,将输出每一个 其他内生变量的滞后 项(不包括它本身的 滞 后 项 )联 合 显 著 的 ? 2 (Wald)统计量,在 表的最后一行(ALL) 列出了检验所有滞后 内生变量联合显著的 ?2统计量。对例9.1进 行检验,其结果如右 表显示:

81

同时在组(Group)的View菜单里也可以实现Granger因果 检验,但是需要先确定滞后阶数,具体统计量的构造可依据 9.3节的介绍,将例9.1的3个时间序列构造成组,在组中进行

检验可得如下结果:

82

为了使两个结果具有可比性,选择了相同的滞后 阶数。两个输出结果的形式和统计量都不一样,在 VAR中用的是 ?2 统计量,而在Group中使用的是 F 统

计量。但是含义是一样的。

83

例9.3

Granger因果检验

早期研究发现,在产出和货币的单方程中,货币对 于 产 出 具 有 显 著 Granger 影 响 ( Granger,1969), 这 同 Friedman等人(1963)“实际产出和货币供给当中的扰动成 分正相关”的结论相符。但是,Sims(1980)对于“货币冲 击能够产生实际效果”的观点提出了质疑,他通过使用变 量之间的因果关系检验,得到的主要结论是:如果在实际 产出和货币的关系方程当中引入利率变量,那么货币供给

对实际产出的作用程度将出现显著降低。因此,动态的利
率变量将比货币存量具有更强的解释产出变化的能力,这 样的结论同凯恩斯经济学中的LM曲线机制更为接近。
84

根据实际情况,利用例9.1的数据,基于VAR(3) 模型检

验实际利率RR、实际货币供给M1和实际GDP之间是否有显
著的Granger关系,其结果如表9.2所示。
原假设
实际M1不能Granger引起实际利率

?2统计量
1.49

自由度
2

P值
0.4741

rr方程

实际GDP不能Granger引起实际利率 实际M1、实际GDP不能同时Granger引 起实际利率
实际利率不能Granger引起实际M1

2.54
3.03 4.72 3.52 8.27 9.52 0.02

2
4 2 2 4 2 2

0.2808
0.5527 0.0944 0.1724 0.0821 0.0086 0.9892

Δln(m1) 方程

实际GDP不能Granger引起实际M1 实际利率、实际GDP不能同时Granger 引起实际M1 实际利率不能Granger引起实际GDP

Δln(gdp) 方程

实际M1不能Granger引起实际GDP 实际利率、实际M1不能同时Granger引 起实际GDP

12.39

4

0.0147
85

从表9.2的结果可以看到: 在实际利率方程中,不能拒绝实际M1、实际GDP不是 实际利率的Granger原因的原假设,而且两者的联合检验也 不能拒绝原假设,表明实际利率外生于系统,这与我国实行 固定利率制度是相吻合的; 在实际M1的方程中,无论实际利率的Granger因果检验, 还是联合检验在10%的显著性水平下都不能接受原假设,说 明实际利率在Granger意义下影响实际M1; 在第三个方程(即实际GDP方程)中,实际利率在1%的 显著性水平下拒绝原假设,说明实际利率对于产出具有显著 Granger影响; 而实际M1外生于实际GDP的概率为0.9892,这可能是 因为我国内需不足,大部分商品处于供大于求,因此当对货 币的需求扩张时,会由于价格调整而抵消,并不会形成对货 币供给的数量调整,因此对产出没有影响。

86

9.3.2

滞后阶数 p 的确定

VAR模型中一个重要的问题就是滞后阶数的确定。

在选择滞后阶数 p 时,一方面想使滞后阶数足够大,
以便能完整反映所构造模型的动态特征。但是另一方 面,滞后阶数越大,需要估计的参数也就越多,模型 的自由度就减少。所以通常进行选择时,需要综合考 虑,既要有足够数目的滞后项,又要有足够数目的自 由度。事实上,这是VAR模型的一个缺陷,在实际中 常常会发现,将不得不限制滞后项的数目,使它少于 反映模型动态特征性所应有的理想数目。
87

1. 确定滞后阶数的LR(似然比)检验
LR (Likelihood Ratio) 检验方法,从最大的滞后阶数 开始,检验原假设:在滞后阶数为 j 时,系数矩阵 ?j 的元 素均为0;备择假设为:系数矩阵 ?j 中至少有一个元素显 著不为0。?2 (Wald)统计量如下:

? ? LR ? (T ? m){ln | Σ j ?1 | ? ln | Σ j |} ~ ? 2 (k 2 )

(9.3.11)

其中m是可选择的其中一个方程中的参数个数:m=d+ kj, ? ? d 是外生变量的个数,k 是内生变量个数, Σ 和 Σ 分别
j
j ?1

表示滞后阶数为(j – 1)和 j 的VAR模型的残差协方差矩阵的

估计。
88

从最大滞后阶数开始,比较LR统计量和5%水平下的临
2 界值,如果LR ? ? 0.05 时,拒绝原假设,表示统计量显著,此

时表示增加滞后值能够显著增大极大似然的估计值;否则,
接受原假设。每次减少一个滞后阶数,直到拒绝原假设。

2.AIC信息准则和SC准则
实际研究中,大家比较常用的方法还有AIC信息准则和 SC信息准则,其计算方法可由下式给出:

89

AIC ? ? 2l T ? 2n T
SC ? ? 2l T ? n ln T T

(9.3.12)

(9.3.13)

其中在VAR模型(9.1.1)中 n = k(d + pk) 是被估计的参数的总

数,k 是内生变量个数,T 是样本长度,d 是外生变量的个
数,p 是滞后阶数,l 是由下式确定的

Tk T ? l ? ? ?1 ? ln 2π ? ? ln Σ 2 2

(9.3.14)

90

在EViews软件中滞后阶数p的确定
一旦完成VAR模型的估计,在窗口中选择View/Lag
Structure/Lag Length Criteria,

91

需要指定较大的滞后阶数,表中将显示出直至最大滞
后数的各种信息标准(如果在VAR模型中没有外生变量, 滞后从1开始,否则从0开始)。表中用“*”表示从每一 列标准中选的滞后数。在4~7列中,是在标准值最小的情 况下所选的滞后数。

为了确定例9.1中模型的合适滞后长度 p,默认的滞后
阶数为 4,得到如下的结果:

92

滞后长度 p=4:

滞后长度 p=2:

93

在EViews软件关于VAR模型的其他检验 一旦完成VAR模型的估计,EViews会提供关于被估计 的VAR模型的各种视图。将主要介绍View/Lag Structure和 View/Residual Tests菜单下 提供的检验 。

94

1. AR根的图表

如果被估计的VAR模型所有根的模的倒数小于1,
即位于单位圆内,则其是稳定的。如果模型不稳定,某 些结果将不是有效的(如脉冲响应函数的标准误差)。

共有 kp 个根,其中 k 是内生变量的个数,p 是最大滞后
阶数。如果估计一个有 r 个协整关系的VEC模型,则应 有k ? r 个根等于1。 对于例9.1,可以得到如下的结果:

95

所有的单位根的模大于1,因此例9.1的模型 满足稳定性条件。

96

下面给出单位根的图形表示的结果:

97

2.VAR残差检验 (1) 相关图(Correlogram) 显示VAR模型在指定的滞后阶数的条件下得到的残差的交 叉相关图(样本自相关)。 (2) 混合的自相关检验(Portmanteau Autocorrelation Test) 计 算 与 指 定 阶 数 所 产 生 的 残 差 序 列 相 关 的 多 变 量 BoxPierce/Ljung-Box Q统计量。 (3)自相关LM检验(Autocorrelation LM Test) 计算与直到指定阶数所产生的残差序列相关的多变量LM 检验统计量。 (4) 正态性检验(Normality Test) (5) White异方差检验 (White Heteroskedasticity Test)
98

9.3.3

VAR模型的过程

VAR对象的过程(Procs)中多数的过程和系统对象 (System)的过程一样在这里仅就对VAR模型特有的过程进 行讨论。 建立系统 (Make System) 这个菜单产生一个与VAR对象设定等价的系统对象。 如果要估计一个非标准的VAR模型,可以通过这个过程尽 快的在系统对象中设定一个VAR模型,并可以根据模型的 需要进行修改。例如,VAR对象要求每一个方程有相同的 滞后结构,但也可以放宽这个条件。为了估计一个非平衡 滞后结构的VAR模型,用Make System可以产生一个具有 平衡滞后结构的VAR系统,然后编辑系统以满足所需要的 滞后要求。
99

① 按变量次序(By Variable): 该选项产生一个系统,其详细的 说明和系数的显示是以变量的次 序来显示。如果想排除系统某些 方程中特定变量的滞后,可以选 用这个选项。

100

② 按滞后阶数(By Lag):产生一个以滞后阶数的次序来显示其详细的

说明和系数的系统。如果想排除系统某些方程中特定的滞后阶数来进行编 辑,可以用这个选项。 注意:标准VAR模型可以用单方程OLS方法来有效地估计,对于调整 后的系统一般不能使用OLS。当用系统对象估计非标准的VAR模型时,可 以使用更复杂的系统估计方法(如:SUR方法)。

101

9.4 脉冲响应函数
在实际应用中,由于VAR模型是一种非理论性的 模型,因此在分析VAR模型时,往往不分析一个变量 的变化对另一个变量的影响如何,而是分析当一个误

差项发生变化,或者说模型受到某种冲击时对系统的
动态影响,这种分析方法称为脉冲响应函数方法 (impulse response function,IRF)。

102

9.4.1 脉冲响应函数的基本思想 用时间序列模型来分析影响关系的一种思路,是考虑扰

动项的影响是如何传播到各变量的。下面先根据两变量的
VAR(2)模型来说明脉冲响应函数的基本思想。

? xt ? a1 xt ?1 ? a2 xt ?2 ? b1 zt ?1 ? b2 zt ?2 ? ?1t ? ? zt ? c1 xt ?1 ? c2 xt ?2 ? d1 zt ?1 ? d 2 zt ?2 ? ? 2t
t ? 1, 2 , ?, T
定是具有下面这样性质的白噪声向量:
103

(9.4.1)

其中,ai,bi,ci,di 是参数,?t = ( ?1t , ?2t )? 是扰动项,假

, ?t ??(? t ) ? 0 ? ?var( ? t ) ? ?(? t ? t?) ? Σ , ?t ??(? ? ? ) ? 0 , ?t ? s t s ?

(9.4.2)

假定上述系统从0期开始活动,且设 x-1=x-2= z-1=z-2= 0, 又设于第0期给定了扰动项 ?10 =1,?20 =0,并且其后均为0,

即 ?1t =?2t =0 (t =1,2,…),称此为第0期给 x 以脉冲。

104

? xt ? a1 xt ?1 ? a2 xt ?2 ? b1 zt ?1 ? b2 zt ?2 ? ?1t ? ? zt ? c1 xt ?1 ? c2 xt ?2 ? d1 zt ?1 ? d 2 zt ?2 ? ? 2t
下面讨论 xt 与 zt 的响应,t = 0 时:

x0 ? 1,
x1 ? a1 ,

z0 ? 0
z1 ? c1

将其结果代入式(9.4.1) ,当t = 1时 再把此结果代入式(9.4.1) ,当t =2时

x2 ? a12 ? a2 ? b1c1 ,

z2 ? c1a1 ? c2 ? d1c1

继续这样计算下去,设求得结果为

x0 , x1 , x2 , x3 , x4 ,?
称为由 x 的脉冲引起的 x 的响应函数。同时所求得
105

z 0 , z1 , z 2 , z 3 , z 4 ,?
称为由 x 的脉冲引起的 z 的响应函数。 当然,第0期的脉冲反过来,从 ?10 =0,?20 =1 出发, 可以求出由 z 的脉冲引起的 x 的响应函数和 z 的响应函数。 因为以上这样的脉冲响应函数明显地捕捉对冲击的效果, 所以同用于计量经济模型的冲击乘数分析是类似的。

106

9.4.2 VAR模型的脉冲响应函数
将上述讨论推广到多变量的VAR(p)模型上去,由 式(9.1.5)

yt ? Φ1 yt ?1 ? ? ? ? ? Φ p yt ? p ? εt
可得

yt ? ( I k ? Φ1 L ? ? ? Φ p Lp ) ?1 εt ? ( I k ? A1 L ? A2 L2 ? ?)εt

(9.4.3)

t ? 1, 2 , ?, T

VMA(∞)表达式的系数可按下面的方式给出,由于 VAR(p)的系数矩阵 ?i 和VMA(∞)的系数矩阵 Ai 必须满 足下面关系:
107

( I k ? Φ1 L ? ? ? ΦP Lp )( I k ? A1 L ? A2 L2 ? ?) ? I k (9.4.4) t ? 1, 2 , ?, T

I k ? Κ 1 L ? Κ 2L ? ? ? I k
2

(9.4.5)

其中:K1 = K2 = … = 0。关于Kq的条件递归定义了MA系数:

A1 ? Φ1 A2 ? Φ1 A1 ? Φ2 ? Aq ? Φ1 Aq ?1 ? Φ2 Aq ?2 ? ? ? ΦP Aq ? P
若q ? p ? 0,令 Aq ? p ? I k q ? p ? 0,令 Aq ? p ? 0k
108

(9.4.6)

考虑VMA(∞)的表达式

yt ? ( I k ? A1 L ? A2 L2 ? ?)εt
yt 的第 i 个变量 yit 可以写成:

t ? 1, 2 , ?, T (9.4.7)

( ( ( ( yit ? ? (aij0)? jt ? aij1)? jt ?1 ? aij2)? jt?2 ? aij3)? jt ?3 ? ?) j ?1

k

其中 k 是变量个数。

t ? 1, 2 , ?, T (9.4.8)

109

仅考虑两个变量的情形:Aq i,j=1,2
(0 y1t ? ? a11 ) ? ? ? ? ? (0) ? y ? ?a ? 2t ? ? 21 (2 ? a11 ) ? ? ( 2) ?a ? 21

(q ? (aij ) ) , q =0 , 1 , 2 ,…,

(1 ?? ? 1t ? ? a11) a ?? ? ? ? (1) a ?? ? 2t ? ? a21 ?? ? ? (0) 12 (0) 22 (2 a12 ) ?? ? 1t ? 2 ? ?? ? ?? ( 2 ) ?? ? 2t ? 2 ? a22 ?? ?

a ?? ? 1t ?1 ? ?? ? a ?? ? 2t ?1 ? ? ??
(1) 12 (1) 22

(9.4.9)
现在假定在基期给 y1 一个单位的脉冲,即:
110

(0 ? y1t ? ? a11 ) ? ? ? ? ( 0) ? y ? ?a ? 2t ? ? 21

(0 (1 a12 ) ?? ? 1t ? ? a11) ?? ? ? ? (1) ( 0 ) ?? a22 ?? ? 2t ? ? a21 ? ?

(1 (2 a12) ?? ? 1t ?1 ? ? a11 ) ?? ? ? ? ( 2) (1) ?? a22 ?? ? 2t ?1 ? ? a21 ? ?

(2 a12 ) ?? ? 1t ?2 ? ?? ? ?? ( 2 ) ?? a22 ?? ? 2t ?2 ? ?

?1, ?1t ? ? ?0,

t ?0 t ? 1, 2,?
–2 –1 0 1 2 3 4 5 ……… t

? 2t ? 0 , t ? 0, 2, 1, ?
则由 y1 的脉冲引起的 y2 的响应函数为

t ? 0, t ? 1, t ? 2, ?

(0 y20 ? a21) (1 y21 ? a21) (2 y22 ? a21)

?
111

因此,一般地,由 yj 的脉冲引起的 yi 的响应函数可以求
出如下:

a , a , a , a , a ,?
且由 yj 的脉冲引起的 yi 的累积(accumulate)响应函数可表 示为
( aijq ) ? q ?0 ?

( 0) ij

(1) ij

( 2) ij

( 3) ij

( 4) ij

112

Aq 的第 i 行、第 j 列元素还可以表示为 :

a

(q) ij

?

?yi ,t ? q ?? jt

,

q ? 0 , 1, ?,

(9.4.10)

作为 q 的函数,它描述了在时期 t,其他变量和早期变量 不变的情况下 yi,t+q 对 yjt 的一个冲击的反应 ( 对应于经济学 中的乘数效应 ),我们把它称作脉冲—响应函数。 也可以用矩阵的形式表示为

?yt ? q , Aq ? ?εt?

q ? 0 , 1, ?,

(9.4.11)

即 Aq 的第 i 行第 j 列元素等于时期 t 第 j 个变量的扰动项增 加一个单位,而其他时期的扰动为常数时,对时期 t+q 的 第 i 个变量值的影响。
113

一般地,如果冲击不是一个单位,假定 ?t 的第一个元素变 化?1,第二个元素变化?2,…,第 k 个元素变化?k,则时期 t 冲击为? ? (? 1, ? 2,…, ? k)? ,而 t 到 t+q 的其他时期没有冲击, 向量yt+q的响应表示为

ψ (q, δ, Ωt ?1 ) ? E ( yt ? q | εt ? δ , εt ?1 ? 0 ,?, εt ? q ? 0, Ωt ?1 ) ? E ( yt ? q | εt ? 0 , εt ?1 ? 0 ,?, εt ? q ? 0, Ωt ?1 )
q = 0,1,… (9.4.12) 其中?t-1表示 t -1 期的信息集合。但是对于上述脉冲响应函数 的结果的解释却存在一个问题:前面我们假设协方差矩阵 ? 是非对角矩阵,这意味着扰动项向量?t 中的其他元素随着第 j 个元素?jt 的变化而变化,这与计算脉冲响应函数时假定 ?jt 变 化,而?t 中其他元素不变化相矛盾。这就需要利用一个正交化 的脉冲响应函数来解决这个问题。
114

? Aq δ

常用的正交化方法是Cholesky分解,由式(9.2.12)和 式(9.4.11)可知,在时期 t,其他变量和早期变量不变的情 况下 yt+q 对 yjt 的一个单位冲击的反应为

?yt ? q ?u jt

?

?yt ? q ?ε jt ?? jt ?u jt

? Aq Pj ,

q ? 0 , 1, ?,

(9.4.13)

其中 Pj 表示式(9.2.8)中Cholesky分解得到的 P 矩阵的第 j 列 元素。由前面的讨论可知矩阵 P 的选择与变量次序有关。

115

9.4.3 广义脉冲响应函数
VAR模型的动态分析一般采用“正交”脉冲响应函数 来实现,而正交化通常采用式(9.4.13)形式的Cholesky分 解完成,但是Cholesky分解的结果严格的依赖于模型中变 量的次序。本节介绍的由Koop等(1996)年提出的广义脉 冲响应函数克服了上述缺点。 考虑式(9.4.3)形式的VAR模型,其中扰动项满足式 (9.4.2)的假定,且其方差协方差矩阵 ? 是正定矩阵,扰动

项之间可以存在同期相关关系,即 ? 不一定是对角矩阵。

116

在式(9.4.12)中假定冲击不是发生在所有的变量上,只是
发生在第 j 个变量上,则有

ψ (q, ? j , Ωt ?1 ) ? E ( yt ?q | ? jt ? ? j , Ωt ?1 ) ? E ( yt ?q | Ωt ?1 )
q = 0,1,… (9.4.14)
其中?t-1表示t-1期的信息集合。由于? 不是对角矩阵,意味着?t

各元素之间存在同期相关关系,则给 ?jt 一个冲击,?t 中的其它
元素同期也会发生变化,因此,为了得到式(9.4.14)的结果, 需要首先计算由于 ?jt 的变化而引起的 ?t 中其他元素同期发生的

变化,此时 δ ? E (ε t | ? jt ? ? j ) ,假定 ?t 服从多元正态分布,则

δ ? E (εt | ? jt ? ? j ) ? (? 1 j , ? 2 j ,?, ? kj )?? ?1? j ? Σ j? ?1? j (9.4.15) jj jj
其中 ? jj ? E (? 2 ) , Σ j ? E (εt ? jt ) 表示 ?t 协方差矩阵 ? 的第 j 列 jt 元素, 117

变量 j 的冲击引起的向量 yt+q 的响应为: ? Aq Σ j ?? ? j ? ?? ? ψ (q, ? j , Ωt ?1 ) ? Aq δ ? ? ? ? ?? ? ? , q ? 0 , 1, ?, (9.4.16) jj ?? jj ? ? 若设

? j ? ? jj
则响应的广义脉冲响应函数为

(9.4.17)

ψ

(q) j

? ? jj

?1 / 2

Aq Σ j ,

q ? 0 , 1, ?,

(9.4.18)

当协方差矩阵 ? 是对角矩阵时,正交脉冲与广义脉冲的 结果是一致的。当协方差矩阵 ? 是非对角矩阵时,Cholesky 正交脉冲与广义脉冲只在 j =1 时相等
118

例9.4 钢铁行业的需求对下游相关行业变化的响应
本例选择钢铁行业及其主要的下游行业的销售收入

数据做为各行业的需求变量,利用脉冲响应函数分析各下
游行业自身需求的变动对钢铁行业需求的影响。 分别用 y1 表示钢材销售收入;y2 表示建材销售收入 y3 表示汽车销售收入;y4 表示机械销售收入;y5 表示家电 销售收入。样本区间为1999年1月~2002年12月,所采用 数据均作了季节调整,指标名后加上后缀sa,并进行了协 整检验,存在协整关系,这表明,所选的各下游行业的销 售收入与钢铁工业的销售收入之间具有长期的均衡关系。
119

脉冲响应函数在EViews软件中的实现

为了得到脉冲响应函数,先建立一个VAR模型,然后 在VAR工具栏中选择View/Impulse Response…或者在工具 栏 选 择 Impulse, 并 得 到 下 面 的 对 话 框 , 有 两 个 菜 单 : Display 和 Impulse Definition。

120

1. Display菜单提供下列选项: (1) 显示形式(Display Format) 选择以图或表来显示结果。如果选择Combined Graphs 则Response Standard Error选项是灰色,不显示标准误差。 而且应注意:输出表的格式是按响应变量的顺序显示,而不 是按脉冲变量的顺序。 (2) 显示信息(Display Information) 输入产生冲击的变量(Impulses)和希望观察其脉冲响 应的变量(Responses)。可以输入内生变量的名称,也可 以输入变量的对应的序数。
121

例如,如果VAR模型以GDP、M1、CPI的形式定义,
则既可以以: GDP CPI M1 的形式输入,也可以以 1 3 2

的形式输入。输入变量的顺序仅仅影响结果的显示。
还应定义一个确定响应函数轨迹的期间的正整数。如 果想显示累计的响应,则需要单击Accumulate Response选 项。对于稳定的VAR模型,脉冲响应函数应趋向于0,且累 计响应应趋向于某些非0常数。
122

(3) 脉冲响应标准差(Response Standard Error) 提供计算脉冲响应标准误差的选项。解析的或Monte Carlo标准误差对一些Impulse选项和误差修正模型(VEC) 一般不一定有效。若选择了Monte Carlo,还需在下面的编 辑框确定合适的迭代次数。 如果选择表的格式,被估计的标准误差将在响应函数值 下面的括号内显示。如果选择以多图来显示结果,曲线图将 包括关于脉冲相应的正负(+/-)两个标准偏离带。在 Combined Graphs中将不显示标准误差偏离带。
123

2. Impulse Definition菜单提供了转换脉冲的选项: (1) Residual-One Unit 设置脉冲为残差的一个单位的冲击。这个选项忽略了 VAR模型残差的单位度量和相关性,所以不需要转换矩阵 的选择。这个选项所产生的响应函数是VAR模型相对应

VMA(∞)模型的系数。

(2) Residual-One Std.Dev
设置脉冲为残差的一个标准偏差的冲击。这个选项忽略 了VAR模型残差的相关性。

124

(3) Cholesky分解
用残差协方差矩阵的Cholesky因子的逆来正交化脉冲。 这个选项为VAR模型的变量强加一个次序,并将所有影响 变量的公共因素归结到在VAR模型中第一次出现的变量上。

注意:如果改变变量的次序,将会明显地改变响应结果。可
以在Cholesky Ordering 的编辑框中重新定义VAR模型中变 量的次序。

125

Cholesky分解有2种选择:
a. 有自由度调整(d.f.adjustment):在估计的残差协方 差矩阵利用Cholesky 因子时进行小样本的自由度修正。具有 自由度修正的残差协方差矩阵的第(i, j)元素的计算是按下列公 式计算的:

1 ? ??i t ?? j t T ?m t

其中m是VAR模型中每一个方程中待估计参数的个数。 b. 没有自由度调整(no d.f.adjustment):估计残差协 方差矩阵的第(i, j) 元素的计算是按下列公式计算的:

1 ? ??i t ?? j t T t

126

(4) 广义脉冲(Generalized Impulses)

描述Pesaran和Shin(1998)构建的不依赖于VAR模型中
变量次序的正交的残差矩阵。应用按上面的Cholesky顺序计 算的第j个变量的Cholesky因子得到第j个变量的扰动项的广 义脉冲响应。 (5) 结构分解(Structural Decomposition) 用结构因子分解矩阵估计的正交转换矩阵。如果没有先 估计一个结构因子分解矩阵,或者没有对模型施加约束,这 个选项不能用。
127

(6) 用户指定(User Specified)
这个选项允许用户定义脉冲。建立一个包含脉冲的矩 阵(或 向 量), 并在编辑框中输入矩阵的名字 。如果 VAR模型中有k个内生变量,则脉冲矩阵必须是k行和1列 或k列的矩阵,每一列代表一个脉冲向量。

例如:一个有k(= 3)个变量的VAR模型,希望同
步对第一个变量有一个正的一个单位的冲击,给第二个变 量一个负的一个单位的冲击,可以建立一个3?1的脉冲矩 阵 S ,其值分别为:1,?1,0。在编辑框中键入矩阵的 名字: S。
128

例9.4建立5变量的VAR(3)模型,下面分别给各下游 行业销售收入一个冲击(选择广义脉冲) ,得到关于钢 材销售收入的脉冲响应函数图。在下列各图中,横轴表 示冲击作用的响应期间数(单位:月度),纵轴表示钢材

销售收入(亿元),实线表示脉冲响应函数,代表了钢材
销售收入对相应的行业销售收入的冲击的反应,虚线表 示正负两倍标准差偏离带 。

129

y1:钢材; y2:建材; y3:汽车; y4:机械; y5:家电

130

从第一个图中可以看出,当在本期给建材行业销售收入 一个正冲击后,钢材销售收入在前4期内小幅上下波动之后
) 在第6期达到最高点( a ( 6=12.03,即在第6期 y1 对 y2 的响应是 12

12.03) ;从第9期以后开始稳定增长。这表明建材行业受外
部条件的某一冲击后,经市场传递给钢铁行业,给钢铁行业 带来同向的冲击,而且这一冲击具有显著的促进作用和较长 的持续效应。 从第二幅图中可以看出,当在本期给汽车行业销售收入 一个正冲击后,钢材销售收入在前5期内会上下波动;从第5
(5 期以后开始稳定增长( a13 ) =1.76)。这表明汽车行业的某一冲

击也会给钢铁行业带来同向的冲击,即汽车行业销售收入增

加会在5个月后对钢材的销售收入产生稳定的拉动作用。
131

从第三幅图中可以看出,机械行业销售收入的正冲击
经市场传递也会给钢材销售收入带来正面的影响,并且此 影响具有较长的持续效应。从第四幅图中可以看出当在本 期给家电行业销售收入一个正冲击后,也会给钢材销售收 入带来正面的冲击,但是冲击幅度不是很大。 综上所述,由于市场化程度、政府保护政策等各方面 的原因,使得各下游相关行业的外部冲击会通过市场给钢 铁行业带来不同程度的影响,但是都是同向的影响。政府 可以利用这种现象,对市场进行有区别、有重点的调整, 减少盲目的重复建设项目。
132

9.4.3 SVAR模型的脉冲响应函数
为了解决VAR模型脉冲响应函数非正交化的问题,由 Cholesky分解可将正定的协方差矩阵 ?分解为

Σ ? GQG ?

(9.4.19)

其中 G 是下三角形矩阵,Q 是主对角线元素为正的对角矩 阵。利用这一矩阵 G 可以构造一个 k 维向量 ut ,构造方

法为 ut =G?1?t,则?t = Gut,因此VMA(∞)可以表示为

133

yt ? ( I ? A1 L ? A2 L ? ?)Gut ? B( L)ut
2

(9.4.20)

则由式(9.4.10)和式(9.4.11)可导出一个正交的脉冲响应函数
(q) ij

b

?

?yi ,t ? q ?u jt

, q = 0, 1, 2, …

上式表示 Bq 的第 i 行、第 j 列元素 (q = 0,1,…),它描 述了在时期 t ,其他变量和早期变量不变的情况下 yi,t+q 对 yjt 的一个结构冲击的反应。

134

同样由 yj 的脉冲引起的 yi 的累积(accumulate)响应函

数可表示为
( bijq ) ? q ?1 ?

不失一般性,对于一个n元的SVAR(p)模型,由式 (9.1.15)可得SVAR模型的脉冲响应函数为

?yt ? q , q = 0, 1, 2, … Bq ? ?ut?

(9.4.21)

135

对于AB-型的SVAR模型,由式(9.1.15)和式(9.1.19)可求得

B( L) ? A( L) A?1 B
它的脉冲响应函数为

(9.4.22)

(9.4.23)

Bq ? Aq A B ,
?

?1

q = 0, 1, 2, …

则其累积脉冲响应函数矩阵(?)可表示为

? ? Ψ ? ? Bq ? ( I ? A1 L ? A2 L2 ? ?) A?1 B
q ?0

(9.4.24)

则 ? 的第 i 行第 j 列元素表示第 i 个变量对第 j 个变量的结 构冲击的累积响应。
136

9.2节所介绍的短期约束和长期约束体现在脉冲 响应函数上,表现为:短期约束意味着脉冲响应函 数随着时间的变化将会消失,而长期约束则意味着 对响应变量未来的值有一个长期的影响。因此,根 据式(9.4.24)可知长期可识别约束依矩阵? 的形式指 定,典型的是 0 约束形式,?ij = 0 的约束表示第 i 个 变量对第 j 个变量的结构冲击的长期(累积)响应为

0。从脉冲响应函数的角度出发,前面所介绍的
SAVR模型的长期约束的经济含义就非常明显了。

137

长期约束
体现在关系式 Aet = But 中的可识别约束,通常指短

期约束。Blanchard 和Quah(1989)提出了另外一种可识别
的方法,是基于脉冲响应长期性质的约束。由式(9.4.24), 可推出结构新息的长期响应?:

? ? Ψ ? ? Bq ? ( I ? A1 L ? A2 L2 ? ?) A?1 B
q ?0

?

(9.4.24)

长期可识别约束依矩阵? 的形式指定,典型的是 0
约束形式。?ij = 0 的约束表示第 i 个变量对第 j 个变量结 构冲击的长期响应为 0。
138

① 用矩阵形式表示的长期约束
通过矩阵模式设定长期约束,需建立一个已命名的

包括长期响应矩阵? 的模板,在? 矩阵中非约束的元素
应定义为缺省值NA。 例如: 对于一个两变量的VAR模型,若约束第二个内 生变量对第一个变量结构冲击的长期响应为0,即?21= 0, 则长期响应矩阵可定义为下面的形式:

? NA NA? Ψ ?? ? 0 NA? ? ? ?
139

一旦建立了模板矩阵,在VAR对象窗口的菜单中
选 择 Procs/Estimate Structural Factorization…, 在 SVAR Option 对 话 框 中 , 选 择 Matrix 和 Long-run

Pattern按钮,并在相应的的编辑框中键入模版矩阵的
名字。 ② 用文本形式表示的长期约束 为了以文本形式指定相同的长期约束,在VAR对象 窗 口 的 菜 单 中 选 择 Procs/Estimate 面的形式: Structural Factorization…,并击活Text按钮,在编辑框中键入下

140

@LR2(@u1)=0 ?zero LR response of 2nd variable to 1st shock
在撇号后面的内容是注释。这个约束以特殊的关键
字“@LR #‖开始,数字代表受约束的响应变量;在圆

括号内,必须指定脉冲关键字 @u 和扰动项序号,在其
后紧跟等号和响应值(通常是0)。需注意:当需列出 多个长期约束时,不要混淆短期与长期约束。

141

对于一个两变 量 ( 实 际 M1 和 实 际 GDP均取对数差分) 的VAR(3)模型,,若 约束第二个内生变 量对第一个结构冲

击的长期响应为0,
即 ? 21 = 0,则长期 响应矩阵可定义为

下面的形式:

? NA NA ? Ψ ? ps ? ? ? 0 NA ? ? ? ?
142

一旦估计收 敛 , EViews 会 在VAR对象窗口 中显示估计的结 果,包括:估计 值、标准误差和 被估计无约束参 数的Z统计量及 对数似然的最大 值。

143

例9.5 产出对货币供应量和利率变化的响应函数
因为在SVAR模型中可以得到正交化的脉冲响应函数,

即可以单独考虑各个变量的冲击对其他变量的影响。以例9.2
的SVAR(3)模型为例,分析货币政策的变化对产出的影响。 实际GDP和实际M1均取对数差分,所以系数代表了增长率。

在图9.6和图9.7中,横轴表示冲击作用的滞后期间数(单
位:季度),纵轴表示GDP增长率的变化,实线表示脉冲响 应函数,虚线表示正负两倍标准差偏离带。

144

图9.6 实际利率结构冲击引起GDP的响应函数 图9.7 M1的结构冲击引起GDP的响应函数

145

从图9.6中可以看出,给实际利率一个正的冲击,在第

1期对实际GDP波动有最大的负的影响,然后开始逐渐减
弱,到第6期逐渐趋于0,但其影响都是负的。这与经济理 论是相吻合的——紧缩的货币政策,对经济有负的影响。 从图9.7中可以看出,给实际M1波动一个正的的冲击, 在第1期对实际GDP波动就有最大的正的影响,然后震荡

变小,其影响于第9期接近0,其后几乎为0,表明增加货
币供应量的扩张性政策对产出约有2年的影响。

146

9.5 方差分解
脉冲响应函数描述的是VAR模型中的一个内生变 量的冲击给其他内生变量所带来的影响。而方差分解 (variance decomposition)是通过分析每一个结构冲击对

内生变量变化(通常用方差来度量)的贡献度,进一步评
价不同结构冲击的重要性。因此,方差分解给出对 VAR模型中的变量产生影响的每个随机扰动的相对重

要性的信息。其基本思想如下所述。

147

脉冲响应函数是随着时间的推移,观察模型中的各
变量对于冲击是如何反应的,然而对于只是要简单地说 明变量间的影响关系又稍稍过细了一些。因此,Sims于 1980年依据VMA(∞)表示,提出了方差分解方法,定量 地但是相当粗糙地把握变量间的影响关系。其思路如下: 根据式(9.4.8)
( ( ( ( yit ? ? (aij0)? jt ? aij1)? jt ?1 ? aij2)? jt?2 ? aij3)? jt ?3 ? ?) j ?1 k

(9.5.1) 可知各个括号中的内容是第 j 个扰动项 ?j 从无限过去到 现在时点对 yi 影响的总和。求其方差,假定 ?j 无序列相 关,则
148

E[( a ? jt ? a ? jt ?1 ? a ? jt ?2 ? ?) ] ? ? (a ) ? jj
( 0) ij (1) ij ( 2) ij 2 q ?0 (q) 2 ij

?

j = 1, 2, …, k

(9.5.2)

这是把第 j 个扰动项对第 i 个变量从无限过去到现 在时点的影响,用方差加以评价的结果。此处还假定扰 动项向量的协方差矩阵 ? 是对角矩阵,则 yi 的方差是上 述方差的 k 项简单和:
k ?

var( yi ) ? ?{ ? (a ) ? jj }
j ?1 q ? 0 (q) 2 ij

i = 1, 2, …, k

(9.5.3)
149

yi 的方差可以分解成 k 种不相关的影响,因此为了
测定各个扰动项相对 yi 的方差有多大程度的贡献,定义 了如下尺度:

RVC j ? ?i (?) ?

q ?0

? (a

?

(q) 2 ij

) ?

jj

var( y i )

?

q ?0 k

( ? (aijq ) ) 2 ? jj ?

?

( ?{ ? (aijq ) ) 2 ? jj } j ?1 q ? 0

i, j = 1, 2, …, k

(9.5.4)

即相对方差贡献率(relative variance contribution,RVC) 是根据第 j 个变量基于冲击的方差对 yi 的方差的相对贡 献度来观测第 j 个变量对第 i 个变量的影响。
150

(q ) 实际上,不可能用直到 s = ∞ 的 a项和来评价。如果模型 ij

满足平稳性条件,则

(q 随着 aij ) q 的增大呈几何级数性的衰减, 所以只需取有限的 s 项。VAR(p) 模型的前 s 期的预测误差是

可得近似的相对方差贡献率(RVC):

A0 εt ? A1εt ?1 ? A2 εt ?2 ? ? ? As ?1εt ?s ?1 ,

A0 ? I k

s ?1

RVC j ??i ( s) ?

?{ ? (a ) ? jj }
j ?1 q ?0 (q) 2 ij

q ?0 k s ?1

( ? (aijq ) ) 2 ? jj

i, j = 1, 2, …, k

(9.5.5)

151

其中RVCj?i (s)具有如下的性质: 1. 0 ? RVC ( s) ? 1 j ?i

i, j ? 1, , ,k 2 ?

(9.5.6) (9.5.7)

2.

?

k j ?1

RVC j ?i ( s) ? 1

如果RVCj?i (s) 大时,意味着第 j 个变量对第 i 个变量 的影响大,相反地,RVCj?i (s) 小时,可以认为第 j 个变量 对第 i 个变量的影响小。

152

方差分解在EViews软件中的实现
为了得到VAR的方差分解,从VAR的工 具栏中选View/Variance decomposition项。 注意,因为非正交的因子分解所产生的分解 不具有较好的性质,所以所选的因子分解仅 限于正交的因子分解。

153

与脉冲响应函数一样,如果改变VAR模型中变量的 顺序,基于Cholesky 因子的方差分解能有明显的改变。

例如,排在第一个变量的第一期分解完全依赖于它自己
的扰动项。 只有像在SVAR模型中那样估计一个结构因子分解

矩阵时,基于结构正交化的因子分解才是有效的。注意:
如果SVAR模型是恰好可识别的,那么预测的标准误差 将等同于Cholesky因子分解的标准误差。对于过度识别 的SVAR模型,为了保持更有效的性质,所预测的标准 误差可能不同于Cholesky因子分解的标准误差。

154

例9.6 下游相关行业对钢铁行业变化的贡献程度
例9.4分析了钢铁销售收入对下游相关行业冲击变

化的响应。本例中将利用方差分析的基本思想分析各下
游行业对钢铁行业变动的贡献程度。数据的处理和例 9.4一样,可得到如下的结果,各图中横轴表示滞后期

间数(单位:月度),纵轴表示该行业需求对钢材需求
的贡献率(单位:百分数)。数值越大,对钢材需求的 影响越大。

155

y1:钢材; y2:建材; y3:汽车; y4:机械; y5:家电

156

157

从上面4个图和表中可以看出,不考虑钢铁行业

自身的贡献率,建材行业对钢铁行业的贡献率最大
达到48.9% (RVC2?1 (36) = 48.9%),其次是汽车行业, 其对钢铁行业的贡献率是逐渐增加的,在第34期达 到20%左右 (RVC3?1 (34) =20.03%),机械行业和家 电行业的贡献率较小,分别为8%和6%左右。

158

9.6 Johansen协整检验
第5章5.4节介绍的协整检验和误差修正模型主要是针 对单方程而言,本节将推广到VAR模型。而且前面所介 绍的协整检验是基于回归的残差序列进行检验,本节介绍 的Johansen协整检验基于回归系数的协整检验,有时也称 为JJ(Johansen-Juselius)检验。 虽然ADF检验比较容易实现,但其检验方式存在一 定欠缺性——在第一阶段需要设计线性模型进行OLS估计,

应用不方便。Johansen在1988年及在1990年与Juselius一
起提出的一种以VAR模型为基础的检验回归系数的方法, 是一种进行多变量协整检验的较好的方法。
159

下面讨论 k 个经济指标 y1,y2,…,yk 之间是否具有
协整关系。协整的定义如下: 设 k 维向量时间序列 yt = (y1t , y2t , …, ykt)?(t = 1, 2, …, T ) 的分量序列间被称为d,b阶协整,记为 yt ~ CI (d,b),如 果满足:

(1) yt ~ I (d),要求 yt 的每个分量都是 d 阶单整的 ;
(2) 存在非零向量 ? ,使得? ?yt ~ I (d-b),0 < b ≤ d 。

简称 yt 是协整的,向量 ? 又称为协整向量。

160

对于 k 维向量时间序列 yt 最多可能存在 k-1个线性无 关的协整向量,为讨论方便,先考虑最简单的二维情形,
不妨记 yt = (y1t, y2t)?,(t=1, 2, …, T ) ,其中 y1,y2 都是I(1) 时间序列。若存在 c1,使得 y1-c1y2 ~ I(0);另有c2,也使 得 y1-c2 y2 ~ I (0),则

( y1t ? c1 y2t ) ? ( y1t ? c2 y2t ) ? (c1 ? c2 ) y2t ~ I (0)

t=1, 2, …, T

由于 y2 ~ I (1),所以只能有 c1 = c2 ,可见 y1,y2 协 整时,协整向量 ? = (1,? c1 )? 是惟一的。一般地,设由

yt 的协整向量组成的矩阵为 B,则矩阵 B 的秩为 r = r(B),
那么 0 ? r ? k?1。

161

下面将上述讨论扩展到多指标的情形,介绍JJ检验的 基本思想。首先建立一个VAR(p)模型

yt ? Φ1 yt ?1 ? ? ? ? ? Φ p yt ? p ? Hx t ? εt
t =1,2,…,T (9.6.1)
其中yt的各分量都是非平稳的I(1)变量;xt 是一个确定的 d 维的外生向量,代表趋势项、常数项等确定性项;?t 是 k

维扰动向量。在式(9.6.1)两端减去 yt-1,通过添项和减项的
方法,可得下面的式子

?yt ? Πy t ?1 ? ? Γ i ?yt ?i ? Hx t ? εt
其中
p i ?1
i ?1

p ?1

(9.6.2)

Π ? ? Φi ? I , Γ i ? ? ? Φ j
j ?i ?1

p

(9.6.3)
162

由于I(1)过程经过差分变换将变成I(0)过程,即式(9.6.2) 中的Δyt , Δyt–j (j =1, 2 ,…, p) 都是I(0)变量构成的向量,那么 只要 ? yt-1 是I(0)的向量,即 yt-1的各分量之间具有协整关系, 就能保证Δyt是平稳过程。yt-1的各分量之间是否具有协整关 系主要依赖于矩阵 ? 的秩。设 ? 的秩为 r,则存在 3 种情

况: r = k,r = 0,0< r < k:
① 如果 r = k,显然只有当 yt-1 的各分量都是I(0)变量时, 才能保证 ? yt-1 是 I(0) 变量构成的向量。而这与已知的 yt 为 I(1) 过程相矛盾,所以必然有 r < k。

163

② 如果 r = 0,意味着 ? = 0,因此式(9.6.2)仅仅是个差 分方程,各项都是I(0) 变量,不需要讨论 yt-1各分量之间是否 具有协整关系。 ③ 下面讨论 0< r < k 的情形: 0< r < k 表示存在 r 个协整组合,其余 k ? r 个关系仍为

I(1)关系。在这种情况下,? 可以分解成两个( k ? r )阶矩阵 ?
和 ? 的乘积:

Π ? αβ ?
其中rk (? )= r,rk ( ? )= r。

(9.6.4)

164

将式(9.6.4)代入式(9.6.2),得:

?yt ? αβ ?yt ?1 ? ? Γ i ?yt ?i ? Hx t ? εt
i ?1

p ?1

(9.6.5)

上式要求 ?? yt-1 的每一行为一个 I(0) 向量,其每一行都

是 I(0) 组合变量,即 ? 的每一列所表示的 yt-1各分量的线性组
合都是一种协整形式,所以矩阵 ? 决定了yt-1各分量之间协整 向量的个数与形式。因此称为协整向量矩阵,r 为协整向量

的个数。

165

矩阵 ? 的每一行 ?i 是出现在第 i 个方程中的 r 个协整组
合的一组权重,故称为调整参数矩阵,与前面介绍的误差修 正模型的调整系数的含义一样。而且容易发现 ? 和 ? 并不是 惟一的,因为对于任何非奇异 r ? r 矩阵 H ,乘积 ?? ? 和 ?H (H ?1? ?) 都等于 ?。 将 yt 的协整检验变成对矩阵 ? 的分析问题,这就是 Johansen协整检验的基本原理。因为矩阵 ? 的秩等于它的 非零特征根的个数,因此可以通过对非零特征根个数的检验

来检验协整关系和协整向量的秩。略去关于 ? 的特征根的
求解方法,设矩阵 ? 的特征根为 ?1 ? ?2 ? … ??k。

166

9.6.1 特征根迹检验(trace检验)
由于 r 个最大特征根可得到 r 个协整向量,而对于其余 k?r 个非协整组合来说,?r+1,…,?k 应该为0,于是可得 到原假设、备选假设为

H r 0: : ?r ?1 ? 0
H r1 : ?r ?1 ? 0
相应的检验统计量为

r ? 0,1,?, k ? 1

? r ? ?T ? ln( 1 ? ?i )
i ? r ?1

k

?r 称为特征根迹统计量。

r ? 0,1,?, k ? 1

(9.6.6)
167

依次检验这一系列统计量的显著性: (1)当 ? 0 不显著时(即 ? 0 值小于某一显著性水平下的 Johansen分布临界值),接受H00 (r = 0),表明有k个单位根,

0个协整向量(即不存在协整关系)。当 ?0 显著时(即 ?0 值大于
某一显著性水平下的Johansen分布临界值),拒绝H00 ,则表 明至少有一个协整向量,必须接着检验 ?1 的显著性。 (2)当 ?1 不显著时,接受H10,表明只有1个协整向量, 依次进行下去,直到接受 Hr0,说明存在 r 个协整向量。这 r 个协整向量就是对应于最大的 r 个特征根的经过正规化的 特征向量。

168

根据右边假设检验,大于临界值拒绝原假设。继续检

验的过程可归纳为如下的序贯过程:

?1 < 临界值,接受H10 ,表明只有1个协整向量; ?1 > 临界值,拒绝H10 ,表明至少有2个协整向量;


?r < 临界值,接受Hr0,表明只有 r 个协整向量。

169

9.6.2 最大特征值检验
对于Johansen协整检验,另外一个类似的检验方法是

H r 0: : ?r ?1 ? 0

H r1 : ?r ?1 ? 0

r ? 0,1,?, k ? 1

检验统计量是基于最大特征值的,其形式为

? r ? ?T ln( 1 ? ?r ?1 )

r ? 0,1,?, k ? 1

(9.6.7)

其中 ?r 称为最大特征根统计量,简记为?-max统计量。

170

检验从下往上进行,首先检验?0 ,如果

?0 < 临界值,接受H00 ,无协整向量; ?0 > 临界值,拒绝H00 ,至少有1个协整向量。
接受H00 (r = 0),表明最大特征根为0,无协整向量,否 则接受H01,至少有1个协整向量;如果 ?1 显著,拒绝H10, 接受至少有2个协整向量的备择假设H11;依次进行下去,直

到接受Hr 0,共有 r 个协整向量。

171

9.6.3

协整方程的形式

与单变量时间序列可能出现非零均值、包含确定性趋势 或随机趋势一样,协整方程也可以包含截距和确定性趋势。 由 式 ( 9 . 6 . 2 ) 假 设 方 程 可 能 会 出 现 如 下 情 况 ( Johansen, 1995):

(1) yt 没有确定性趋势,协整方程没有截距:

Πyt ?1 ? Hx t ? αβ ?yt ?1
(2) yt 没有确定性趋势,协整方程有截距项 ? 0:

(9.6.8)

Πyt ?1 ? Hxt ? α( β?yt ?1 ? ρ0 )

(9.6.9)
172

(3) yt 有确定性线性趋势,但协整方程只有截距:

Πyt ?1 ? Hxt ? α( β?yt ?1 ? ρ0 ) ? α?γ 0
示为 ? 1t :

(9.6.10)

(4) yt 和协整方程都有线性趋势,协整方程的线性趋势表

Πyt ?1 ? Hxt ? α( β?yt ?1 ? ρ0 ? ρ1t ) ? α?γ 0
(5) yt 有二次趋势,协整方程有截距和线性趋势:

(9.6.11)

Πyt ?1 ? Hxt ? α( β?yt ?1 ? ρ0 ? ρ1t ) ? α? (γ 0 ? γ1t )
(9.6.12)

其中 ?? 是 k?(k?r) 阶矩阵,它被称为 ? 的正交互余矩 阵(orthogonal complement) ,即 ???? ? 0。
173

还有一些需要注意的细节: (1) Johansen协整检验的临界值对 k =10 的序列都是有

效的。而且临界值依赖于趋势假设,对于包含其他确定性
回归量的模型可能是不适合。例如,VAR模型中如果包含 转移(变迁)虚拟变量,可能使水平系列 yt 产生一个不连续 的线性趋势。 (2) 迹统计量和最大特征值统计量的结论可能产生冲突。

对这样的情况,建议检验估计得到的协整向量,并将选择
建立在协整关系的解释能力上,参考例9.7。

174

协整检验在EViews软件中的实现
为了实现协整检验,从VAR对象或Group(组)对象的 工具栏中选择View/Cointegration Test… 即可。协整检验 仅对已知非平稳的序列有效,所以需要首先对VAR模型

中每一个序列进行单位根检验。EViews软件中协整检验
实现的理论基础是Johansen (1991, 1995a)协整理论。在 Cointegration Test Specification的对话框(下图)中将提 供关于检验的详细信息:

175

协整检验设定对话框
176

1. 协整检验的设定 (1) 确定性趋势的说明
序列也许会有非零均值,或与随机趋势一样有确定趋
势。类似地,协整方程也可能会有截距和确定趋势,关于协 整的2个似然比(LR)检验统计量的渐近分布不再是通常的 ?2 分布,它的分布依赖于与确定趋势有关的假设。因此,为了 完成这个检验,需要提供关于基本数据的趋势假设。

EViews在Deterministic Trend assumption of test对话框
中,对9.6.3节讨论的5种可能形式提供了检验。

177

如果不能确定用哪一个趋势假设,可以选择Summary
of all 5 trend assumption(第6个选择)帮助确定趋势假设的 选择。这个选项在5种趋势假设的每一个下面都标明协整关 系的个数,可以看到趋势假设检验结果的敏感性。

(2) 外生变量
对话框还允许指定包含于VAR模型中的附加的外生变 量 xt 。常数和线性趋势不应被列在该编辑框中,因为它们

在5个Trend Specification选项中得到了指定。假如确实包
含外生变量,应当意识到EViews算出的临界值并没有考虑 这些变量。
178

(3) 滞后区间
应当用一对数字确定协整检验的滞后区间。需要 注意的是:滞后设定是指在辅助回归中的一阶差分的滞 后项,不是指原序列。例如,如果在编辑栏中键入“1 2”,协整检验用?yt 对 ?yt-1,?yt-2 和其他指定的外生变 量作回归,此时与原序列 yt 有关的最大的滞后阶数是3。 对于一个滞后阶数为1的协整检验,在编辑框中应键入

“0 0”。

179

2.协整检验结果的解释
(1) 协整关系的数量
输出结果的第一部分给出了协整关系的数量,并以两 种检验统计量的形式显示:第一种检验结果是所谓的迹统 计量,列在第一个表格中;第二种检验结果是最大特征值

统计量,列在第二个表格中。对于每一个检验结果,第一
列显示了在原假设成立条件下的协整关系数;第二列是式 (9.6.2)中 ? 矩阵按由大到小排序的特征值;第三列是迹检 验统计量或最大特征值统计量;第四列是在5%显著性水平 下的临界值;最后一列是根据MacKinnon-Haug-Michelis (1999) 提出的临界值所得到的 P 值。
180

为了确定协整关系的数量,依次进行从 r = 0 到 r = k-1 的检验,直到被拒绝。这个序贯检验的结果在每一个表的 最下方显示。作为一个例子,例9.7协整检验的输出结果如

下,其中检验假设序列 yt 有确定性线性趋势,但协整方程
只有截距(对话框中第三种情况),并用差分的3阶滞后, 在编辑框中键入: 1 3

例9.7 协整检验
在例9.4的VAR(3)模型中曾提到在 yt = (y1 ,y2 ,y3 ,
y4 ,y5)这5个变量之间存在协整关系,下面给出协整检 验的结果:
181

182

(2) 协整关系
输出的第二部分给出协整关系 ? 和调整参数 ? 的估计。 如果不强加一些任意的正规化条件,协整向量 ? 是不可识别 的。在第一块中报告了基于正规化约束条件 ? ?S11 ? = I(其中 S11在Johansen(1995a)中作出了定义)的 ? 和 ? 的估计结果。 注意:在Unrestricted Cointegrating Coefficients下 ? 的输出结 果:第一行是第一个协整向量,第二行是第二个协整向量,以 此类推。

其余的部分是在每一个可能的协整关系数下(r = 0,1,…,
k-1)正规化后的估计输出结果。一个可选择的正规化方法是: 在系统中,前 r 个变量作为其余 k ? r 个变量的函数。近似的

标准误差在可识别参数的圆括号内输出。
183

184

185

如果r=2,仍然选择第三种协整方程的形式,利用 极大似然估计的方法,可得到如下2个协整向量, ? 矩 阵的估计量:

? ? ? ? 0.1615 ? 0.0212 0.0687 ? 0.0929 0.0079 ? β ? ? 0.0344 ? 0.3311 ? 0.0196 0.0768 ? 0.0496 ? ? ? ?
可以计算得到:
z1 ? 0.1615 * y1 ? 0.0212 * y2 ? 0.0687 * y3 ? 0.0929 * y4 ? 0.0079 * y5 z2 ? 0.0344 * y1 ? 0.3311* y2 ? 0.0196 * y3 ? 0.0768 * y4 ? 0.0496 * y5

可以检验 z1,z2 都是平稳的,即z1~I(0),z2~I(0) 。 可以标准化,得到 ~ ? y ? 0.1312 * y ? 0.4256 * y ? 0.5751* y ? 0.0489 * y z
1 1 2 3 4 5

186

9.7 向量误差修正模型(VEC)
Engle和Granger将协整与误差修正模型结合起来,

建立了向量误差修正模型。在第5章已经证明只要变量
之间存在协整关系,可以由自回归分布滞后模型导出 误差修正模型。而在VAR模型中的每个方程都是一个 自回归分布滞后模型,因此,可以认为VEC模型是含 有协整约束的VAR模型,多应用于具有协整关系的非 平稳时间序列建模。

187

如果式(9.6.1)的 yt 所包含的 k 个 I(1)序列之间存在协
整关系,则不包含外生变量的式(9.6.5)可写为
p ?1 i ?1

?yt ? αβ ?yt ?1 ? ? Γ i ?yt ?i ? ε t

(9.7.1)

其中每个方程的误差项 ?i (i =1,2,…,k) 都具有平稳性。 一个协整体系由多种表示形式,用误差修正模型表示是当前 处理这种问题的普遍方法,即:

?yt ? αecmt ?1 ? ? Γ i ?yt ?i ? ε t
i ?1

p ?1

(9.7.2)

其中的每一个方程都是一个误差修正模型。
188

ecmt -1 = ?? yt -1 是误差修正项,反映变量之间的长期均衡关系,系数矩阵

? 反映变量之间的均衡关系偏离长期均衡状态时,将其调
整到均衡状态的调整速度。所有作为解释变量的差分项的 系数反映各变量的短期波动对作为被解释变量的短期变化

的影响,我们可以剔除其中统计不显著的滞后差分项。

189

考虑一个两变量(y1,y2)的包含误差修正项、但没有滞后
差分项的VEC模型。误差修正项是:

ecmt ? y 2t ? by1t
则VEC模型为

(9.7.3)

?yt ? αecmt ?1 ? εt
其中:? =(?1, ?2)? ,写成单方程形式为

(9.7.4)

?y1t ? ?1 ( y 2t ?1 ? by1t ?1 ) ? ? 1t
?y 2t ? ? 2 ( y 2t ?1 ? by1t ?1 ) ? ? 2t

(9.7.5) (9.7.6)
190

其中,系数 ?1,?2 代表调整速度。在这个简单的模型 中,等式右端惟一的变量是误差修正项。在长期均衡中, 这一项为0。然而,如果 y1,y2 在上一期偏离了长期均衡, 则误差修正项非零,?1 和 ?2 会将其向均衡状态调整。 由于序列 y1 ,y2 的不同特征,模型可以指定成不同的 形式: ① 如果两个内生变量 y1 和 y2 不含趋势项,并且协整 方程不含截距,则VEC模型有如下形式

?y1t ? ?1 ( y2t ?1 ? by1t ?1 ) ? ?1t
?y2t ? ? 2 ( y2t ?1 ? by1t ?1 ) ? ? 2t
② 如果两个内生变量 y1 和 y2 不含趋势项,并且协整 方程有截距 ? ,则VEC模型有如下形式

?y1t ? ?1 ( y 2t ?1 ? ? ? by1t ?1 ) ? ? 1t ?y 2t ? ? 2 ( y 2t ?1 ? ? ? by1t ?1 ) ? ? 2t

191

③ 假设在序列中有线性趋势?,则VEC模型有如下形式

?y1t ? ? 1 ? ?1 ( y 2t ?1 ? ? ? by1t ?1 ) ? ? 1t
?y 2t ? ? 2 ? ? 2 ( y 2t ?1 ? ? ? by1t ?1 ) ? ? 2t
④ 类似地,协整方程中可能有趋势项 ? t ,其形式 为

?y1t ? ? 1 ? ?1 ( y 2t ?1 ? ? ? ?1t ? by1t ?1 ) ? ? 1t
?y 2t ? ? 2 ? ? 2 ( y 2t ?1 ? ? ? ?1t ? by1t ?1 ) ? ? 2t
192

⑤ 如果序列中存在着隐含的二次趋势项 ? t,等价于
VEC模型的括号外也存在线性趋势项,其形式为

?y1t ? ? 1 ? ? 1t ? ?1 ( y 2t ?1 ? ? ? ?1t ? by1t ?1 ) ? ? 1t

?y 2t ? ? 2 ? ? 2 t ? ? 2 ( y 2t ?1 ? ? ? ?1t ? by1t ?1 ) ? ? 2t
上述仅讨论了简单的VEC模型,与VAR类似,我们可 以构造结构VEC模型,同样也可以考虑VEC模型的Granger

因果检验、脉冲响应函数和方差分解。关于VAR模型和
VEC模型更多的讨论,可参考Davidson和Mackinnon(1993) 及汉密尔顿(1999)的详细讨论。
193

例9.8 基于具有约束条件的VEC模型分析中国货币政策效应 为了进一步了解VEC模型中协整向量的约束,本例选择中 国的实际M1(m1)、实际社会消费品零售总额(sl,简称实际 消费)、实际固定资产投资(if)、实际工业总产值(tiv)、

实际一年期贷款利率(rr)、居民消费价格指数(cpi,1990年 1月为100)6个变量研究货币政策对各类总需求的影响,其中 实际M1、实际消费采用1990年1月为1的居民消费价格指数进行 平减,实际工业总产值采用1990年1月为1的工业品出厂价格指 数进行平减,固定资产投资采用1990年1月为1的投资价格指数 进行平减、实际利率等于名义利率减去通货膨胀率。样本区间 从1997年1月~2007年12月,并对各指标进行季节调整,消除 季节要素。
194

单位根检验的结果表明各指标均是I(1)序列,Johansen协 整检验的两个统计量均表明存在3个协整向量,在此基础上, 估计类似式(9.7.1)的VEC模型:

195

?yt ? αβ ?yt ?1 ? ? Γ i ?yt ?i ? εt
i ?1

p ?1

t=1,2,…,T 其中,

(9.7.17)

yt ? (ln( m1t ) , ln( slt ) , ln( if t ) , ln( tivt ), rrt , ln( cpit ))?
?为6×2的矩阵,其每一列是对应一种协整形式中各变量的 线性组合的系数,因此? 称为协整向量矩阵,2为协整向量 的个数。? 也是6×2的矩阵,其每一行元素是出现在第i个方
程中的对应误差修正项的系数,即调整系数,故称为调整参
数矩阵。模型(9.7.17)中差分项的滞后阶数为 p = 2 ,估计 结果如表9.4。
196

VEC模型在EViews软件中的实现
1. 如何估计VEC模型 由于VEC模型的表达式仅仅适用于协整序列,所以应 先运行Johansen协整检验,并确定协整关系数。需要提供 协整信息作为VEC对象定义的一部分。 如果要建立一个VEC模型,在VAR对象设定框中,从 VAR Type 中 选 择 Vector Error Correction 项 。 在 VAR Specification栏中,除了特殊情况外,应该提供与无约束 的VAR模型相同的信息:

197

① 常数或线性趋势项不应包括在Exogenous Series 的编辑框中。对于VEC模型的常数和趋势说明应定义在 Cointegration栏中。 ② 在VEC模型中滞后间隔的说明指一阶差分的滞

后。例如,滞后说明“1 2‖将包括VEC模型右侧的变量
的一阶差分项的滞后,即VEC模型是两阶滞后约束的 VAR模型 。为了估计没有一阶差分项的VEC模型,指定

滞后的形式为:“0 0”。

198

③ 对VEC模型常数和趋势的说明在Cointegration栏 (下图)。必须从5个趋势假设说明中选择一个,也必须在 编辑框中填入协整关系的个数,应该是一个小于VEC模型

中内生变量个数的正数。

199

如果想强加约束于协整关系或(和)调整参数,用

Restrictions栏。注意:如果没在VAR Specification栏中单击 Impose Restrictions项,这一栏将是灰色的。

200

一旦填完这个对话框,单击OK即可估计VEC 模型。VEC模型的估计分两步完成:在第一步,从 Johansen所用的协整检验估计协整关系;第二步,

用所估计的协整关系构造误差修正项,并估计包括
误差修正项作为回归量的一阶差分形式的VAR模型。

201

202

VEC模型估计的输出包括两部分。第一部分显示了 第一步从Johansen过程所得到的结果。如果不强加约束,

EViews将会用系统默认的能可以识别所有的协整关系的
正规化方法。系统默认的正规化表述为:将VEC模型中 前 r 个变量作为剩余 k? r 个变量的函数,其中 r 表示协整

关系数,k 是VEC模型中内生变量的个数。
第二部分输出是在第一步之后以误差修正项作为回 归量的一阶差分的VAR模型。误差修正项以CointEq1, CointEq2,…… 表 示 形 式 输 出 。 输 出 形 式 与 无 约 束 的 VAR输出形式相同。

203

204

在VEC模型输出结果的底部,有系统的两个对数似然值。

第一个值标有Log Likelihood (d.f. adjusted),其计算用自由
度修正的残差协方差矩阵,这是无约束的VAR模型的对数似 然值。标有Log Likelihood的值是以没有修正自由度的残差 协方差矩阵计算的。这个值与协整检验所输出的值是可比较 的。

205

2. VEC系数
对于VEC模型,系数的估计保存在三个不同的二维数 组中:A,B和C。A包含调整参数矩阵 ;B包含协整矩阵; C包含短期参数矩阵 (一阶差方项滞后的系数)。 (1) A的第一个指标是VEC的方程序号,第二个指标是

协整方程的序号。例如,A(2,1) 表示:VEC的第二个方程
中的第一个协整方程的调整系数。 (2) B的第一个指标是协整方程序号,第二个指标是协 整方程的变量序号。例如, B(2,1) 表示:第二个协整方程 中第一个变量的系数。注意:这个索引与 ? 的转置相对应。

206

(3) C的第一个指标是VEC的方程序号,第二个指标是 VEC中一阶差分回归量的变量序号。例如,C(2,1) 表示: VEC第二个方程中第一个一阶差分回归量的系数。 要察看A , B和C的每一个元素和被估计系数的对应关 系,从VAR的工具栏中选择 View/Representations 即可。

207

表9.4 协整向量矩阵? 的估计结果
变量名称 协整向量 (1) 协整向量 (2) ln(slt) 1 0.78 (2.39) ln(if t) 0 ln(m1t-1) -0.7 (-27.48) ln(tiv t) 0 -1.58 (-7.33) rr t-4 -0.04 (-7.91) 0.037 (4.17) ln(cpi t-3) -1.54 (-4.72) 常数项 8.99

1

0

0

0.18

注:表中( )的数据表示系数对应的t统计量。

经检验,由表9.4中的协整向量分别得到的2个线性组 合序列都是平稳的,即都是I(0)的。

208

表9.4中取值为1或0的变量系数是本例施加的约束,如 协整方程1表示实际消费方程,假设实际消费与实际M1、实 际利率和物价之间存在长期均衡关系,而约束其他变量系数 为0,即

ln( sl t ) ? 0.78 ln( m1t ?1 ) ? 0.04rrt ?4 ? 1.54 ln( cpit ?2 ) ? 8.99 ? ecm1t (9.7.16) 其中ecm1t 是协整方程(9.7.16)的残差项。实际消费方程中 的系数表示:在其他条件不变的情况下,前1期实际M1每增 加1个百分点,当期实际消费平均将增加0.78个百分点;而 在其他条件不变的情况下,前2期物价每提高1个百分点,当 期实际消费平均提高1.54个百分点;前4期实际利率提高1个 百分点,当期实际消费平均增加0.04个百分点。
209

协整方程2表示实际投资方程,假设实际固定资产投资与 实际消费、实际利率、物价和实际工业总产值之间存在长期 均衡关系,而约束其他变量系数为0,即

ln( if t ) ? ?0.78 ln( sl t ) ? 0.58 ln( tivt ) ? 0.037rrt ?4 ? 0.18 ? ecm2t
(9.7.17)
其中ecm2t也表示实际投资、实际消费、实际利率和实际工业 总产值的线性组合序列,也是协整方程(9.7.17)的残差项, 并将作为后面误差修正模型的误差修正项。实际投资方程中 的系数分别表示:在其他条件不变的情况下,实际工业总产 值每提高1个百分点,实际投资平均提高0.58个百分点;前4 期实际利率每提高1个百分点,实际投资平均降低0.037个百 分点;同时,实际消费每提高1个百分点,当期实际投资平均 降低0.78个百分点。
210

式(9.7.16)和式(9.7.17)分别给出了实际消费和实际

投资的长期均衡方程,在此基础上讨论变量之间的短期关系,
可以建立下面的VEC模型:

?yt ? αecmt ?1 ? Γ 1?yt ?1 ? εt
t=1,2,…,T (9.7.18) 其中的每一个方程都是一个误差修正模型。ecmt-1 = ?? yt-1是 误差修正项向量,反映变量之间的长期均衡关系,本例中

ecmt ?1 ? (ecm1t ?1 , ecm2t ?1 )?
由于篇幅限制,本例不再列出矩阵α和Г1 的估计结果。此时, 可以根据模型实现脉冲响应函数和方差分解,并分析变量之

间的短期影响关系。

211

但在实际应用中常常发现调整系数矩阵中部分参数不
显著,为了使模型更合理,可以采用两种方式对VEC模型 的调整系数矩阵进行约束:第一种,像约束协整向量一样, 可以根据需要直接对调整系数矩阵进行约束;第二种,将 VEC模型转变为联立方程模型,然后删除不显著的变量,

将模型由“一般”转变为“简单”(联立方程模型的求解
可参考第12章)。在联立方程设定过程中甚至可以在各模 型中加入其他变量差分项的当期和多期滞后项 ,形式更自

由,篇幅限制,本例仅给出在联立方程中调整后的实际消
费和实际投资的误差修正模型的估计结果:
212

① 实际消费的误差修正模型:
? ln( sl t ) ? ?0.054ecm1t ?1 ? 0.21? ln( sl t ?1 ) ? 0.22? ln( sl t ?3 ) ? 0.19? ln( sl t ? 4 ) (?2.56) (2.34) ? 1.5? ln( cpit ?3 ) (3.12) R 2 ? 0.15 D.W . ? 2.1 (?2.58) (2.98) ( .93) 2 (2.37) ( .37) 2 (2.07) ? 0.24? ln( m1t ) ? 0.10? ln( tivt ?1 ) ? 0.007 ?rrt ?3 ? 0.004?rrt ? 4

(9.7.19)

213

② 实际投资的误差修正模型:
? ln( if t ) ? ?0.1ecm2t ?1 ? 0.67 ? ln( if t ?1 ) ? 0.35? ln( if t ? 2 ) ? 0.2? ln( if t ?3 ) (?1.8) (1.74) (?2.89) (?7.55) (2.95) (?1.7) R 2 ? 0.35 D.W . ? 1.93 (? 3.76) (2.92) (?2.58) (2.55) ? 0.84? ln( m1t ) ? 0.52? ln( tivt ) ? 0.59? ln( tivt ?1 ) ? 0.48? ln( tivt ? 2 ) ? 0.04?rrt ? 2 ? 4.16? ln( cpit ? 2 )

(9.7.20)

从式(9.7.19)和式(9.7.20)的结果可以看出,采用联 立方程系统对向量误差修正模型进行估计,可以根据需要对所 包含的变量形式进行修正,相当于对调整系数和短期影响变量 做了约束。 214


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