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2013-2014学年 高中数学 人教B版选修2-1【配套备课资源】3.2.2



3.2.2
一、基础过关

平面的法向量与平面的向量表示
( )

1.若平面 α、β 的法向量分别为 u=(2,-3,5),v=(-3,1,-4),则 A.α∥β C.α、β 相交但不垂直 B.α⊥β D.以上均不正确

2.若直线 l 的一个方向向量为 a=(2,5,7),平面 α 的一个法向量为

u=(1,1,-1),则( A.l∥α C.l?α B.l⊥α D.A、C 都有可能

)

3.已知平面 α 内有一个点 A(2,-1,2),α 的一个法向量为 n=(3,1,2),则下列点 P 中,在 平面 α 内的是 A.(1,-1,1) 3 C.?1,-3,2? ? ? 3 B.?1,3,2? ? ? 3 D.?-1,3,-2? ? ? ( )

4.若 n1,n2 分别是平面 α,β 的法向量,且 α⊥β,n1=(1,2,x),n2=(x,x+1,x),则 x 的值为 A.1 或 2 C.-1 B.-1 或-2 D.-2 ) ( )

5. 设平面 α 的法向量为(1,2, -2), 平面 β 的法向量为(-2, -4, 若 α∥β, k 等于( k), 则 A.2 B.-4 C.4 D.-2 6.已知 A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1),则平面 ABC 的一个单位法向量是 A.? 3 3 3? ? 3 , 3 ,- 3 ? 3 3 3? , , 3 3 3? B.? 3 3 3? ? 3 ,- 3 , 3 ? ( )

C.?-

?

D.?-

?

3 3 3? ,- ,- 3 3 3?

7. 已知平面 α 和平面 β 的法向量分别为 a=(1,1,2), b=(x, -2, 且 α⊥β, x=________. 3), 则 8.下列命题中: ①若 u,v 分别是平面 α,β 的法向量,则 α⊥β?u· v=0; ②若 u 是平面 α 的法向量且向量 a 与 α 共面,则 u· a=0; ③若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直. 正确的命题序号是________. → → 9. 已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点, 如果AB=(2, -1, -4), =(4,2,0), AD → → AP=(-1,2,-1).对于结论:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③AP是平面 ABCD 的法向量; → → ④AP∥BD.

其中正确的是________.(填序号) 二、能力提升 10.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 AB,BC 的中点,试在棱 BB1 上找一点 M,使得 D1M⊥平面 EFB1. 11.如图所示,△ABC 是一个正三角形,EC⊥平面 ABC,BD∥CE,且 CE =CA=2BD,M 是 EA 的中点.求证:平面 DEA⊥平面 ECA. 12.如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,∠ABC =60° ,PA=AB=BC,AD= 证明:PD⊥平面 ABE. 2 3 AB,E 是 PC 的中点. 3

三、探究与拓展 13.如图所示, 四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 是直角梯形, AB∥CD, ∠DAB=60° ,AB=AD=2CD,侧面 PAD⊥底面 ABCD,且△PAD 为等腰直角三角形,∠APD=90° ,M 为 AP 的中点. 求证:DM∥平面 PCB.

答案
1.C 2.D 3.B 4.B 7.-4 8.①②③ 9.①②③ 10.解 建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz,设正方体的棱长为 2,则 E(2,1,0),F(1,2,0),D1(0,0,2),B1(2,2,2). → → → 设 M(2,2,m),则EF=(-1,1,0),B1E=(0,-1,-2),D1M= (2,2,m-2). ∵D1M⊥平面 EFB1,∴D1M⊥EF,D1M⊥B1E, → → → → ∴D1M· =0 且D1M· 1E=0, EF B
?-2+2=0, ? 于是? ? ?-2-2?m-2?=0,

5.C

6.D

∴m=1,

故取 B1B 的中点为 M 就能满足 D1M⊥平面 EFB1. 11.证明 建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz,不妨设 CA=2, 则 CE=2, BD=1, C(0,0,0), 3, A( 1,0), B(0,2,0), E(0,0,2), D(0,2,1). → → → 所以EA=( 3,1,-2),CE=(0,0,2),ED=(0,2,-1). 分别设面 CEA 与面 DEA 的法向量是 n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2, z2), → ?n1· =0, ? EA ? 3x1+y1-2z1=0, 则? 即? → ?2z1=0. ?n1· =0, ? CE

?y1=- 3x1, 解得? ?z1=0.
→ ?n2· =0, ? EA ? → ?n2· =0, ? ED

? 3x2+y2-2z2=0, 即? ?2y2-z2=0.

?x2= 3y2, 解得? ?z2=2y2.
不妨取 n1=(1,- 3,0),n2=( 3,1,2), 因为 n1·2=0,所以两个法向量相互垂直. n 所以平面 DEA⊥平面 ECA. 12.证明 ∵PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,

∴AB、AD、AP 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系, 设 PA=AB=BC=1,则 P(0,0,1)、A(0,0,0)、B(1,0,0)、 2 3 ? D?0, ,0 . 3 ? ? ∵∠ABC=60° ,∴△ABC 为正三角形. 1 3 1 3 1 ∴C? , ,0?,E? , , ?. ?2 2 ? ?4 4 2 ? 1 3 1 → → ∴AB=(1,0,0),AE=? , , ?, ?4 4 2 ? ∴设平面 ABE 的一个法向量为 n=(x,y,z),

?x=0, ? 则?1 3 1 ? ?4x+ 4 y+2z=0,
令 y=2,则 z=- 3,∴n=(0,2,- 3). 3 2 3 → → → ? ∵PD=?0, ,-1 ,显然PD= 3 n,∴PD∥n, 3 ? ? → ∴PD⊥平面 ABE,即 PD⊥平面 ABE. 13.证明 取 AD 的中点 G,连接 PG,GB. ∵侧面 PAD⊥底面 ABCD. ∵PG⊥AD,∴PG⊥底面 ABCD, ∴PG⊥BG.又∵BG⊥AD, ∴直线 DA、GB、GP 两两互相垂直,故可以分别以直线 DA,GB,GP 为 x 轴、y 轴和 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Gxyz, 设 PG=a,C(x,y,z),则可求得 P(0,0,a),A(a,0,0),B(0, 3a,0),D(-a,0,0), → → → 则GP=(0,0,a),AB=(-a, 3a,0),PB=(0, 3a,-a). ∵AB=2DC,且 AB∥CD, → → ∴AB=2DC,即(-a, 3a,0)=2[(x,y,z)-(-a,0,0)]. 3 3 3 3 ∴(x,y,z)=?- a, a,0?,即 C?- a, a,0?. 2 2 ? 2 ? ? 2 ? 3 3 → ∴BC=?- a,- a,0?. 2 ? 2 ? 设 n=(x0,y0,z0)是平面 PBC 的法向量, → → 则 n· =0 且 n· =0, BC PB

?-3ax - 3ay =0 ?x =- 3y , ? ?0 2 0 2 0 3 0 ∴? ?? ? 3ay0-az0=0 ?z0= 3y0, ? ?
取 y0= 3,得 n=(-1, 3,3). a a ∵点 M 是 AP 的中点,∴M?2,0,2?, ? ? a a 3 a → ∴DM=?2,0,2?-(-a,0,0)=?2a,0,2?. ? ? ? ? 3 a → → DM· ?2a,0,2?· n=? ? (-1, 3,3)=0,∴DM⊥n. ∵DM?平面 PCB,∴DM∥平面 PCB.



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