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2016年高考数学理试题分类汇编:立体几何



2016 年高考数学理试题分类汇编 立体几何
一、选择题 1、(2016 年北京高考)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( )

A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D. 1

【答案】A

2、(2016 年山东高考)有一个半球和四棱锥组成的几何体,其三 视图如右图所示,则该几何体的体积为

(A)

1 2 + π 3 3

(B)

1 2 + π 3 3

(C)

1 2 + π 3 6

(D) 1 +

2 π 6

【答案】C

3、(2016 年全国 I 高考)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若 28π 该几何体的体积是 ,则它的表面积是 3

(A)17π 【答案】A

(B)18π

(C)20π

(D)28π

4、(2016 年全国 I 高考)平面 α 过正方体 ABCD - A1B1C1D1 的顶点 A, α //平面 CB1D1, α I 平面 ABCD=m,

α I 平面 ABB1 A1=n,则 m,n 所成角的正弦值为
(A) 【答案】A 5、(2016 年全国 II 高考)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为

3 2

(B)

2 2

(C)

3 3

(D)

1 3

(A)20π (B)24π (C)28π (D)32π 【答案】C 6、(2016 年全国 III 高考)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实现画出的是某多面体的三视图,则该 多面体的表面积为

(A) 18 ? 36 5 【答案】B

(B) 54 ? 18 5

(C)90

(D)81

7、 (2016 年全国 III 高考) 在封闭的直三棱柱 ABC ? A1B1C1 内有一个体积为 V 的球, 若 AB ? BC ,AB ? 6 ,

BC ? 8 , AA1 ? 3 ,则 V 的最大值是
(A)4π 【答案】B (B)

9? 2

(C)6π

(D)

32? 3

二、填空题 1、(2016 年上海高考)如图,在正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,底面 ABCD 的边长为 3, BD1 与底面所成 角的大小为 arctan

2 ,则该正四棱柱的高等于____________ 3

【答案】 2 2 2、(2016年四川高考)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该 三棱锥的体积是__________.

【答案】

3 3

3、(2016 年天津高考)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱锥的三视图如图所示(单位:m),则 该四棱锥的体积为_______m3.

【答案】2 4、(2016 年全国 II 高考) ? , ? 是两个平面, m, n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果 m ? n, m ? ? , n / / ? ,那么 ? ? ? . (2)如果 m ? ? , n / /? ,那么 m ? n . (3)如果 ? / / ? , m ? ? ,那么 m / / ? . (4)如果 m / / n, ? / / ? ,那么 m 与 ? 所成的角和 n 与 ? 所成的角相等. 其中正确的命题有 【答案】②③④ 5、(2016 年浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是 3 cm . cm ,体积是
2

[

..(填写所有正确命题的编号)

32 【答案】 72 6、(2016 年浙江高考)如图,在△ABC 中,AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上的 点 D,满足 PD=DA,PB=BA,则四面体 PBCD 的体积的最大值是 .

【答案】

1 2

三、解答题 1、 (2016 年北京高考) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , PA ? PD , PA ? PD ,

AB ? AD ,

AB ? 1 , AD ? 2 , AC ? CD ? 5 .

(1)求证: PD ? 平面 PAB ; (2)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值; (3)在棱 PA 上是否存在点 M ,使得 BM / / 平面 PCD ?若存在,求 【解】⑴∵面 PAD ? 面 ABCD ? AD 面 PAD ? 面 ABCD ∵ AB ? AD , AB ? 面 ABCD ∴ AB ? 面 PAD ∵ PD ? 面 PAD

AM 的值;若不存在,说明理由. AP

∴ AB ? PD 又 PD ? PA ∴ PD ? 面 PAB ⑵取 AD 中点为 O ,连结 CO , PO ∵ CD ? AC ? 5 ∴ CO ? AD ∵ PA ? PD D ∴ PO ? AD 以 O 为原点,如图建系 易知 P(0, 0, 1) , B(11 , , 0) , D(0, ? 1, 0) , C (2, 0, 0) , C ??? ? ??? ? ??? ? 则 PB ? (11 , , ? 1) ,PD ? (0, ? 1, ? 1) ,PC ? (2, 0, ? 1) , ???? x CD ? (?2, ? 1, 0) ? ? 设 n 为面 PDC 的法向量,令 n ? ( x0,y0 ,1) ? ??? ? ? ?n ? PD ? 0 ? ? 1 ? ?n?? , ? 1,1? ,则 PB 与面 PCD 夹角 ? 有 ? ? ? ??? 2 ? ? ? ?n ? PC ? 0
? ??? ? ? ??? ? n ? PB sin ? ? cos ? n, PB ? ? ? ??? ? ? n PB 1 ?1?1 2 1 ?1?1? 3 4 ? 3 3

z P

A O B y

⑶假设存在 M 点使得 BM ∥ 面 PCD AM 设 ? ? , M ? 0, y ', z '? AP ??? ? ???? ? 由(2)知 A ? 0,1,0 ? , P ? 0,0,1? , AP ? ? 0, ?1,1? , B ?1,1,0 ? , AM ? ? 0, y '? 1, z '? ???? ? ??? ? 有 AM ? ? AP ? M ? 0,1 ? ? , ? ? ???? ? ∴ BM ? ? ?1, ?? , ? ? ?? ? ∵ BM ∥ 面 PCD , n 为 PCD 的法向量 ???? ? ? ∴ BM ? n ? 0 1 即? ?? ?? ?0 2 1 ∴ ?= 4 AM 1 ∴综上,存在 M 点,即当 ? 时, M 点即为所求. AP 4

2、(2016 年山东高考)在如图所示的圆台中,AC 是下底面圆 O 的直径,EF 是上底面圆 O ' 的直径,FB 是 圆台的一条母线. (I)已知 G,H 分别为 EC,FB 的中点,求证:GH∥平面 ABC; (II)已知 EF=FB=

1 AC= 2 3 ,AB=BC.求二面角 F ? BC ? A 的余弦值. 2

【解】(Ⅰ)连结 FC ,取 FC 的中点 M ,连结 GM, HM , 因为 GM//EF , EF 在上底面内, GM 不在上底面内, 所以 GM// 上底面,所以 GM// 平面 ABC ; 又因为 MH//BC , BC ? 平面 ABC , E G C A z E O


F H B

MH ? 平面 ABC ,
所以 MH// 平面 ABC ; 所以平面 GHM// 平面 ABC , 由 GH ? 平面 GHM ,所以 GH// 平面 ABC . (Ⅱ) 连结 OB , ? AB ? BC ? OA ? OB 以为 O 原点,分别以 OA,OB,OO? 为 x, y, z 轴, 建立空间直角坐标系.

F

C O B y A x

1 ? EF ? FB ? AC ? 2 3 , AB ? BC , 2

OO? ? BF 2 ? ( BO ? FO ) 2 ? 3 ,
于是有 A(2 3 ,0,0) , C(-2 3 ,0,0) , B(0,2 3 ,0) , F(0, 3 ,3) , 可得平面 FBC 中的向量 BF ? (0,- 3 ,3) , CB ? (2 3 ,2 3 ,0) , 于是得平面 FBC 的一个法向量为 n1 ? (? 3, 3,1) , 又平面 ABC 的一个法向量为 n2 ? (0,0,1) , 设二面角 F - BC - A 为 ? , 则 cos? ?

n1 ? n2 n1 ? n2

?

1 7 . ? 7 7
7 . 7

二面角 F - BC - A 的余弦值为

? 3、(2016 年上海高考)将边长为 1 的正方形 AAO 1 1O (及其内部)绕的 OO 1 旋转一周形成圆柱,如图, AC
长为

2 ? A1 B1 长为 ,其中 B1 与 C 在平面 AAO ? ,? 1 1O 的同侧。 3 3
A1 B1

A

C

(1)求三棱锥 C ? O1 A1B1 的体积; (2)求异面直线 B1C 与 AA1 所成的角的大小。 【解析】 试题分析:(1)由题意可知,圆柱的高 h ? 1 ,底面半径 r ? 1 . 确定 ??1?1?1 ?

?
3

.计算 S??1?1?1 后即得.

(2)设过点 ?1 的母线与下底面交于点 ? ,根据 ??1 //??1 ,知 ?C?1? 或其补角为直线 ?1C 与 ??1 所成的 角.确定 ?C?? ?

?
3

, C? ? 1 .得出 ?C?1? ?

?
4



试题解析:(1)由题意可知,圆柱的高 h ? 1 ,底面半径 r ? 1 .

? ? 的长为 由? 1 1

? ? ,可知 ??1?1?1 ? . 3 3

1 3 S??1?1?1 ? ?1?1 ? ?1?1 ? sin ??1?1?1 ? , 2 4 1 3 VC??1?1?1 ? S??1?1?1 ? h ? . 3 12
(2)设过点 ?1 的母线与下底面交于点 ? ,则 ??1 //??1 , 所以 ?C?1? 或其补角为直线 ?1C 与 ??1 所成的角.

? C 长为 由?

2? 2? ,可知 ???C ? , 3 3

又 ???? ? ??1?1?1 ?

?

3

,所以 ?C?? ?

?
3



从而 ?C?? 为等边三角形,得 C? ? 1 . 因为 ?1? ? 平面 ?? C ,所以 ?1? ? C? . 在 ?C?1? 中,因为 ??1? C ?

?
2

, C? ? 1 , ?1? ? 1 ,所以 ?C?1? ?

?
4



从而直线 ?1C 与 ??1 所成的角的大小为

? . 4

4、(2016年四川高考)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AD / / BC , ?ADC ? ?PAB ? 90? , BC ? CD ? E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为 90 ? . (I)在平面PAB内找一点M,使得直线 CM / / 平面PBE, 并说明理由; II ( )若二面角 P ? CD ? A 的大小为 45 ? ,求直线PA与 平面PCE所成角的正弦值.

1 AD , 2

【解】(I)延长 AB ,交直线 CD 于点 M , ∵ E 为 AD 中点, 1 ∴ AE ? ED= AD , 2 1 ∵ BC ? CD= AD , 2 ∴ ED ? BC , ∵ AD / / BC 即 ED / / BC , ∴四边形 BCDE 为平行四边形, BE / / CD , ∵ AB ? CD ? M , ∴ M ? CD , ∴ CM / / BE , ∵ BE ? 面 PBE ,

∴ CM / / 面 PBE , ∵ M ? AB , AB ? 面 PAB , ∴ M ?面 PAB 故在面 PAB 上可找到一点 M 使得 CM / / 面 PBE . (II)过 A 作 AF ? EC 交 EC 于点 F ,连结 PF ,过 A 作 AG ? PF 交 PF 于点 G , ∵ ∠PAB ? 90? , PA 与 CD 所成角为 90? , ∴ PA ? AB , PA ? CD , ∵ AB ? CD =M , ∴ PA ? ABCD , ∵ EC ? 面 ABCD , ∴ PA ? EC , ∵ EC ? AF 且 AF ? AP ? A , ∴ CE ? 面 PAF , ∵ AG ? 面 PAF , ∴ AG ? CE , ∵ AG ? PF 且 AG ? AF ? A , ∴ AG ? 面 PFC , ∴ ∠APF 为所求 PA 与面 PCE 所成的角, ∵ PA ? 面 ABCD , ∠ADC =90? 即 AD ? DC . ∴ ∠PDA 为二面角 P ? CD ? A 所成的平面角, 由题意可得 ∠PDA=45? ,而 ∠PAD =90? , ∴ PA ? AD , ∵ BC ? CD ,四边形 BCDE 是平行四边形, ∠ADM =90? , ∴四边形 BCDE 是正方形, ∴ ∠BEC ? 45? , ∴ ∠AEF =∠BEC ? 45? , ∵ ∠AFE ? 90? , ∴ AF =
2 AE , 2

2 AD AF 2, ∴ tan ∠APF = = 4 ? AP AP 4 1 ∴ sin∠APF = . 3

5、(2016 年天津高考)如图,正方形 ABCD 的中心为 O,四边形 OBEF 为矩形,平面 OBEF⊥平面 ABCD, 点 G 为 AB 的中点,AB=BE=2. (I)求证:EG∥平面 ADF; (II)求二面角 O-EF-C 的正弦值; (III)设 H 为线段 AF 上的点,且 AH=

2 HF,求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值. 3

【解析】(Ⅰ)证明:找到 AD 中点 I ,连结 FI , ∵矩形 OBEF ,∴ EF OB ∵ G 、 I 是中点,∴ GI 是 △ ABD 的中位线 1 ∴ GI ∥BD 且 GI ? BD 2 ∵ O 是正方形 ABCD 中心 1 ∴ OB ? BD 2 EF ∥ GI 且 EF = GI ∴ ∴四边形 EFIG 是平行四边形 ∴ EG∥FI ∵ FI ? 面 ADF ∴ EG∥面 ADF (Ⅱ) O ? EF ? C 正弦值 解:如图所示建立空间直角坐标系 O ? xyz
E z F


H

B O x C

G I D y

A

2, 0, 0 , E 0 ,? 2 ,2 , F ? 0 , 0, 2? ?? 设面 CEF 的法向量 n1 ? ? x ,y , z? ?? ??? ? ? n1 ? EF ? ? x ,y ,z ? ? 0 , 2 , 0 ? 2y ? 0 ? ? ?? ??? ? 0 ,2 ? ? 2 x ? 2 z ? 0 ? n1 ? CF ? ? x ,y ,z ? ? ? 2 , ? B 0 ,? 2 , 0 ,C

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?x ? 2 ? 得: ? y ? 0 ?z ? 1 ? ?? 1 ∴ n1 ? 2 ,0 ,

?

?

∵ OC ? 面 OEF , ?? ? ∴面 OEF 的法向量 n2 ? ?1, 0, 0? ?? ? ?? ? 2 n1 ? n2 ?? ? ?? ? 6 cos ? n1 ,n2 ? ? ?? ? ? ?? ? ? 3 ?1 3 n1 n2
?? ?? ? ? 6? 3 sin ? n1 , n2 ?? 1 ? ? ? 3 ? ? ? 3 ? ? 2 (Ⅲ)∵ AH ? HF 3 ???? ? 2 ???? 2 ?2 2 4? 2, 0 ,2 ? ? , 0, ? ∴ AH ? AF ? ? 5 5 5? ? 5 ? z? 设 H ? x ,y ,
2

?

?

???? ? ?2 2 4? 0, ? ∴ AH ? x ? 2 ,y ,z ? ? ? 5 , 5? ? ? ? ?3 2 ?x ? 5 ? ? 得: ? y ? 0 ? 4 ?z ? 5 ? ?

?

?

???? ? 3 2 4? BH ? ? ? , 2 , ? ? 5 5? ? ?
6 4 ???? ?? ? ? BH ? n1 ???? ?? ? 7 5 5 cos ? BH , n2 ? ? ???? ?? ? ? 2 2 21 BH n1 3? 5

6、(2016 年全国 I 高考)如图,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面 ABEF 为正方形,AF=2FD,

?AFD ? 90? ,且二面角 D - AF - E 与二面角 C - BE - F 都是 60? .

(I)证明:平面 ABEF ? 平面 EFDC; (II)求二面角 E - BC - A 的余弦值.

【解析】 ⑴ ∵ ABEF 为正方形 ∴ AF ? EF ∵ ?AFD ? 90? ∴ AF ? DF ∵ DF ? EF =F ∴ AF ? 面 EFDC

AF ? 面 ABEF

∴平面 ABEF ? 平面 EFDC

⑵ 由⑴知 ?DFE ? ?CEF ? 60? ∵ AB ∥EF
AB ? 平面 EFDC

EF ? 平面 EFDC
∴ AB ∥平面 ABCD

AB ? 平面 ABCD
∵面 ABCD ? 面 EFDC ? CD ∴ AB ∥ CD ,∴ CD ∥ EF ∴四边形 EFDC 为等腰梯形 以 E 为原点,如图建立坐标系,设 FD ? a

E ?0 , 0, 0?

B ?0 , 2a , 0?

?a 3 ? C? , 0 , a? ?2 2 ? ? ?

A? 2 a, 2 a , ?0

??? ? ?a ??? ? ? 3 ? ??? ? 2a , a ? , AB ? ? ?2a , EB ? ? 0 , 2a , 0? , BC ? ? 0, 0? ?2, ? 2 ? ?
?? 设面 BEC 法向量为 m ? ? x ,y ,z ? .

?? ??? ? ?2a ? y1 ? 0 ? ? ?m ? EB ? 0 ,即 ? a ? ? ?? ??? 3 a ? z1 ? 0 ? ? x1 ? 2ay1 ? ? ?m ? BC ? 0 ?2 2

x1 ? 3 ,y1 ? 0 ,z1 ? ?1
?? m?

?

3 ,0 ,? 1

?

? 设面 ABC 法向量为 n ? ? x2 ,y2 ,z2 ?

? ??? ? ?a 3 ? az2 ? 0 ? x2 ? 2ay2 ? ?n ? BC =0 . 即 ? ??? ? ? 2 2 ? ?2ax ? 0 ? ?n ? AB ? 0 ? 2

x2 ? 0 ,y2 ? 3 ,z2 ? 4
? n ? 0 , 3 ,4

?

?

设二面角 E ? BC ? A 的大小为 ? . ?? ? m?n ?4 2 19 cos? ? ?? ? ? ?? 19 3 ? 1 ? 3 ? 16 m?n

∴二面角 E ? BC ? A 的余弦值为 ?

2 19 19

7、(2016 年全国 II 高考)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O , AB ? 5, AC ? 6 ,点 E , F 分 别在 AD, CD 上, AE ? CF ?

5 ' , EF 交 BD 于点 H .将 ?DEF 沿 EF 折到 ?D EF 位置, OD? ? 10 . 4

(Ⅰ)证明: D ?H ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 B ? D?A ? C 的正弦值.

【解析】⑴证明:∵ AE ? CF ? ∴ EF ∥ AC .

AE CF 5 ? ,∴ , 4 AD CD

∵四边形 ABCD 为菱形,∴ AC ? BD , ∴ EF ? BD ,∴ EF ? DH ,∴ EF ? D?H . ∵ AC ? 6 ,∴ AO ? 3 ; 又 AB ? 5 , AO ? OB ,∴ OB ? 4 , ∴ OH ?

AE ? OD ? 1 , AO

∴ DH ? D?H ? 3 , ∴ OD? ? OH ? D ' H , ∴ D ' H ? OH . 又∵ OH I EF ? H , ∴ D ' H ? 面 ABCD . ⑵建立如图坐标系 H ? xyz .
2 2 2

B ? 5 ,0 ,0 ? , C ?1 ,3 ,0 ? , D ' ? 0 ,0 ,3? , A ?1 ,? 3 ,0 ? ,
uuu r uuur uuu r AB ? ? 4 ,3 ,0 ? , AD ' ? ? ?1 ,3 ,3? , AC ? ? 0 ,6 ,0 ? , u r 设面 ABD ' 法向量 n1 ? ? x ,y ,z ? ,

?? ? ??? ? ?x ? 3 ? ?4 x ? 3 y ? 0 ?n1 ? AB ? 0 ? 由 ? ?? 得? ,取 ? y ? ?4 , ? ???? ? ? ?z ? 5 ?n1 ? AD? ? 0 ?? x ? 3 y ? 3z ? 0 ?
u r ∴ n1 ? ? 3 ,? 4 ,5 ? . u u r 同理可得面 AD ' C 的法向量 n2 ? ? 3 ,0 , 1? ,

u r u u r n1 ? n2 9?5 7 5 ? ∴ cos? ? u , r u u r ? 25 n1 n2 5 2 ? 10

∴ sin ? ?

2 95 . 25

8、 (2016 年全国 III 高考) 如图, 四棱锥 P ? ABC 中,PA ? 地面 ABCD ,AD ? BC ,AB ? AD ? AC ? 3 ,

PA ? BC ? 4 , M 为线段 AD 上一点, AM ? 2 MD , N 为 PC 的中点.

(I)证明 MN ? 平面 PAB ; (II)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值.

?2 x ? 4 z ? 0 ? ?n ? PM ? 0 ? 设 n ? ( x, y, z) 为平面 PMN 的法向量,则 ? ,即 ? 5 ,可取 n ? (0,2,1) , x ? y ? 2 z ? 0 ? n ? PN ? 0 ? ? ? 2
于是 | cos ? n, AN ?|?

| n ? AN | 8 5 . ? | n || AN | 25

9、(2016 年浙江高考)如图,在三棱台 ABC ? DEF 中,平面 BCFE ? 平面

ABC , ?ACB=90? ,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(I)求证:EF⊥平面 ACFD; (II)求二面角 B-AD-F 的平面角的余弦值.

(II)方法一: 过点 F 作 FQ ? ?? ,连结 ?Q . 因为 ? F ? 平面 ?C? ,所以 ? F ? ?? ,则 ?? ? 平面 ?QF ,所以 ?Q ? ?? . 所以, ??QF 是二面角 ? ? ?D ? F 的平面角.

在 Rt??C? 中, ?C ? 3 , C? ? 2 ,得 FQ ?

3 13 . 13

在 Rt??QF 中, FQ ?

3 13 3 , ?F ? 3 ,得 cos ??QF ? . 13 4 3 . 4

所以,二面角 ? ? ?D ? F 的平面角的余弦值为



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