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2016届广西五市高三5月联合模拟数学(文)试题(解析版)



2016 届广西五市高三 5 月联合模拟数学(文)试题
一、选择题 1.设集合 A ? ??1 , 0? ,集合 B ? ?0,1,2? ,则 A ? B 的子集个数是( A.4 【答案】C B.8 C.16 D.32 )

【解析】试题分析:? A ? B ? ??1,0,1,2?? A ? B 的子集个数是 24 ? 16 【考点】子集的个数 2

.已知 i 是虚数单位,则复数 z ? i ?1 ? i ? 的实部为( A.1 B.-1 【答案】A C. i D. ?i )

【解析】试题分析:? z ? i ?1 ? i ? ? 1 ? i ,即复数 z ? i ?1 ? i ? 的实部为 1 【考点】复数的概念 3.命题“ ?x ? R, x2 是无理数”的否定是( A. ?x ? R, x2 不是无理数 C. ?x ? R, x2 不是无理数 )

B. ?x ? R, x2 不是无理数 D. ?x ? R, x2 不是无理数

【答案】D 【解析】试题分析:由命题的否定可知选 D 【考点】命题的否定 4.已知向量 a ? ? ?2,1? 与 b ? ? m,3? 平行,则 m ? ( A. ? )

3 2

B.

3 2

C.-6

D. 6

【答案】C 【解析】试题分析:因为向量 a ? ? ?2,1? 与 b ? ? m,3? 平行,??6 ? m ? 0,? m ? ?6 【考点】向量共线的充要条件 5.某年级有 1000 名学生,随机编号为 0001,0002,?,1000,现用系统抽样方法, 从中抽出 200 人,若 0122 号被抽到了,则下列编号也被抽到的是( ) A.0116 B.0927 C.0834 D.0726 【答案】B 【解析】试题分析:样本间隔为 1000 ? 200 ? 5 ,因为 122 ? 5 ? 24 余 2,故抽取的余 数应该是 2 的号码, 116 ? 5 ? 23 余 1 , 927 ? 5 ? 185 余 2 , 834 ? 5 ? 166 余 4 , 726 ? 5 ? 145 余 1,故选 B. 【考点】系统抽样 6.已知函数 f ? x ? ? ? A.19 B.17 【答案】A

?log 2 ? 4 ? x ? , x ? 4
x ?1 ? 1? 2 , x ? 4

则 f ? 0? ? f ? log2 32? ? (



C.15

D.13

第 1 页 共 13 页

【解析】试题分析: f ? 0? ? f ? log2 32? ? log2 4 ? f ?5? ? 2 ?1 ? 2 【考点】分段函数 7.在 ?ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 2 : 3: 10 ,则 cos C ? (

5?1

? 19



A.

3 3

B.

3 4

C.

1 3

D.

1 4

【答案】D 【 解 析 】 试 题 分 析 : ?sin A : sin B : sin C ? 2 : 3: 10 , 由 正 弦 定 理 可 知

a : b : c ? 2 : 3: 10 ,不妨设 a ? 2 k , b ? 3 k , c ? 10k? , k? 0 ? ,则由余弦定理可得

cos C ?

a ?b ?c ? 2ab
2 2 2

? 2k ? ? ? 3k ?
2

2

?

?

10k

?

2

2 ? 2k ? 3k

?

1 ,选 D 4

【考点】正弦定理,余弦定理 8.将双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角形叫做双曲 a 2 b2


线的“黄金三角形” ,则双曲线 C : x 2 ? y 2 ? 4 的“黄金三角形”的面积是( A. 2 ? 1 【答案】B 【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 x2 ? y 2 ? 4 得 B. 2 2 ? 2 C.1 D.2

x2 y 2 ? ? 1 则 a 2 ? b2 ? 4,则 4 4

a ? 2,b ? 2,c ? 2 2 ,则双曲线的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点的坐标分别为 (2 2, 0),(2, 0),(0, 2), 故 所 求 “ 黄 金 三 角 形 ” 的 面 积
1 S ? (2 2 2 ?)2 ? 2 ? 2 , 2 ?B 2 故选

【考点】双曲线的简单性质 9 . 已 知 e 为 自 然 对 数 的 底 数 , 曲 线 y ? ae ? x 的 点 ?1,ae ? 1 ? 处的切线与直线
x

2ex ? y ? 1 ? 0 平行,则实数 a ? (
A.



e ?1 e

B.

2e ? 1 e
x

C.

e ?1 2e

D.

2e ? 1 2e
x

【答案】B 【解析】试题分析: y ? ae ? x 的导数为 y? ? ae ? 1 ,可得曲线 y ? ae ? x 在点
x

由切线与直线 2ex ? y ? 1 ? 0 平行, 可得 ae ? 1 ? 2e , ?1, ae ? 1? 处的切线斜率为 ae ? 1 , 解得 a ?

2e ? 1 . e
第 2 页 共 13 页

故选 B. 【考点】利用导数研究曲线上某点处的切线方程 10.给出一个如图所示的程序框图,若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等,则这样的 x 的个数是( )

A.1 B.2 【答案】C

C.3

D.4

? ? x 2, x ? 2 ? 【解析】试题分析:该程序的作用是计算并输出分段函数 y ? ?2 x ? 3,2<x ? 5 的值。 ?1 ? , x>5 ?x
又∵输入的 x 值与输出的 y 值相等 当 x ? 2 时 x ? x2 , ,解得 x ? 0, 或 x ?1 当 2<x ? 5 时 x ? 2 x ? 3 , ,解得 x ? 3, 当 x>5 时, x ?

1 ,解得 x ? ?1 (舍去) x

故满足条件的 x 值共有 3 个故选 C. 【考点】程序框图 11.某几何体的三视图如图所示,则其表面积为(



A. 8? ? 2 B. 10? ? 2 C. 6? ? 2 D. 12? ? 2 【答案】A 【解析】试题分析:根据三视图可知几何体是组合体:上面是半球,下面一个圆柱挖掉 了

1 个半圆柱, 3 1 2 ? 4? ?12 ?? ?1 ?3 ? ? ?1 ?2 ? ? ? 1 ?2 ? 1 ? ? 8 , ? 2选 故 2

球的半径是 1,圆柱的底面圆半径是 1,母线长是 3, ∴几何体的表面积 S ?

A. 【考点】三视图,几何体的表面积

第 3 页 共 13 页

12.已知函数 f ? x ? ? cos ? x ? sin ? x(? ? 0) 在 ? ? 可能为( A. ) B.

? ? ?? , ? 上单调递减,则 ? 的取值不 ? 2 2?

1 5

1 4

C.

1 2

D.

3 4

【答案】D 【 解 析 】 试 题 分 析 : ∵ 函 数 f ? x ? ? cos ? x ? sin ? x ?

?? ? 2 cos ? ? x ? ? (? ? 0) 在 4? ?

? ? ?? ? ? , ? 上单调递减, ? 2 2?
? 2 k? ? ? x ?

?
4

? 2 k? ? ? ? ?

? 2 k? 3? 2k? ? ?x? ? (k ? Z) . ? f ? x ? 在 4? ? 4? ?

? ? 3? ? 1 ? ? ?? ? ? , ? 上单调递减,?? 4? ? ? 2 ,且 4? ? 2 求得 0<? ? 2 ,故选 D. ? 2 2?
【考点】正弦函数的单调性 【名师点睛】本题主要考查两角和的余弦公式,余弦函数的单调性,属中档题.解题时 利用两角和的余弦公式化简函数的解析式,再利用余弦函数的单调性求得 f ? x ? 的减区 间,结合条件可得, ?

? ? 3? ? ? ? ,且 ? ,由此求得 ? 的范围,从而得出结论. 4? 2 4? 2

二、填空题

?x ? y ? 2 ? 13.已知 x, y 满足 ? x ? 1 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为___________. ? y?0 ?
【答案】 3

【解析】试题分析:

画出可行域如图所示,由图可知,当

目标函数 z ? x ? 2 y 经过点 A ?1,1? 时取得最大值 zmax ? 1 ? 2 ?1 ? 3 【考点】简单的线性规划 14.已知函数 f ? x ? 是奇函数,且 x ? 0 时, f ? x ? ? log2 ? x ? 2? ? a ,则 f ? ?2? 的值 为__________ 【答案】 ?1 第 4 页 共 13 页

【 解 析 】 试 题 分 析 : ∵ 函 数 f ? x ? 是 奇 函 数 , ? f ? ?x ? ? ? f ? x ? , 且 x ? 0 时 ,

f ? x? ? log2 ? x ? 2 ? ?a
设 x<0 , 则 ? x>0 , 故 f ? ? x ? ?l o 2g? ?x ? ? 2 ?a

? f? , x ? x<0 时 : ??


f? x l o 2g ?? ? ? ?x ? ? 2 ?a



( f 0) ? 1 ? a ? 0,

a ? ?1



? f ? ?2? ? ? log2 4 ? 1 ? ?1.故答案为 ?1 .
【考点】奇函数的性质 15.在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AB ? 3, BC ? 2, AA 1 ? 1,点 M , N , P 分别是棱

AB, BC, CC1 的中点,则三棱锥 C1 ? MNP 的体积为__________.
【答案】

1 8

【解析】试题分析:

1 1 1 1 1 1 ? CC1 ? BC ? ? ? 1 ? . 2 2 2 2 2 4 1 1 1 3 1 ? AB ? 平面BB1C1C, ?V C 1 ? MNP ? V M ? NPC1 ? S? NPC 1 ? MB ? ? ? ? . 3 3 4 2 8 1 故答案为 . 8
∵ M , N , P 分别是棱 AB, BC, CC1 的点,? S ? NPC1 ? 【考点】几何体的体积 16. 若圆 C : x ? y ? r
2 2 2

? r ? 0? 的周长被直线 ?1 ? t 2 ? x ? 2ty ? ?1 ? t 2 ? ? 0 ? t ? R ? 分为

1:3 两部分,则 r 的值是_________. 【答案】 r ?

2
2 2

【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 题 意 , 圆 C:x ? y ?r
2 2

?2r ? 0?

的周长被直线

?1 ? t ? x ? 2ty ? ?1 ? t ? ? 0 ? t ? R ? 分为1 : 3 两部分,∴圆心角为 90?,
∴圆心到直线的距离为

|1? t2 | (1 ? t 2 ) 2 ? 4t 2

?

2 r ,? r ? 2 . 2

故答案为 r ?

2: .

【考点】直线与圆的网线 【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系,考查点到直线的距离公式的运用,属基础 第 5 页 共 13 页

题 . 解 题 时 确 定 圆 心 角 为 90 ? 是 关 键 , 由 此 可 得 圆 心 到 直 线 的 距 离 为

|1? t2 | (1 ? t 2 ) 2 ? 4t 2
三、解答题

?

2 r ,即可求出 r 的值. 2

17.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

n2 ? 3n ,n? N* . 4

(2)设 bn ? 4an ? 4an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和. 【答案】 (1) an ?

n ?1 ; (2) Tn ? 2n?2 ? 4 ? n2 ? 3n 2

【解析】试题分析: (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 ;当 n ? 2 时,利用 an ? Sn ? Sn?1 即 可 求 出 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 , 注 意 验 证 n ? 1 时 是 否 符 合 ; (2)由(1)知

bn ? 2n?1 ? 2? n ? 1 ? ,利用分组求和法求和即可
试题解析: (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 ;

n2 ? 3n ? n ? 1? ? 3 ? n ? 1? n ? 1 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? ? ? 4 4 2
2

因为 a1 ? 1 也适合上式,因此,数列 ?an ? 的通项公式为 an ? (2)由(1)知, an ?

n ?1 2

n ?1 n ?1 n ?1 a ? 2n?1 ? 2 ? n ? 1? ,故 bn ? 4 n ? 4an ? 4 2 ? 4? 2 2

2 3 n ?1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1? 记数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,则 Tn ? 2 ? 2 ? ? ? 2

?

?

记 A ? 2 ? 2 ? ?? 2
2 3

n?1

, B ? 2 ? 2 ? 3 ??? n ?1? ,

则 A?

4 ?1 ? 2n ? 1? 2

? 2n ? 2 ? 4 ,

n ? 2 ? n ? 1? B ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1? ? 2? ? n2 ? 3n 2
故数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ? 2n?2 ? 4 ? n2 ? 3n 【考点】数列的通项公式的求法,分组求和法 18.某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度 的破坏,可见部分如下,据此解答下列问题:

第 6 页 共 13 页

(1)求全班人数及分数在 ?80,90? 之间的频数; (2)若要从分数在 ?80,100? 之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,在抽取的试卷 中,求至少有一份分数在 ?90,100? 之间的概率. 【答案】 (1)班人数为 25 人,分数在 ?80, (2) P ? 90? 之间频数为 4;

3 5

【解析】试题分析: (1)由茎叶图先分析出分数在 [50, 之间的频数,结合频率分布 60) 直方图中该组的频率,可由 样本容量 ?

频数 ,得到全班人数,再由茎叶图求出数在 频率

频数 频率 ,得到 ?80,90? 之间的频数,结合频率分布直方图中 矩形的高 ? 组距 ? 样本容量 组距
频率分布直方图中 ?80,90? 间的矩形的高; (2)先对分数在 ?80,100? 之间的分数进行编号,并统计出从中任取两份的所有基本事 件个数,及至少有一份分数在 ?90,100? 之间的所有基本事件个数,代入古典概型概率 计算公式可得答案. 试题解析: (1)

2 ? 25 0.008 ?10

25 ? 21 ? 4
即全班人数为 25 人,分数在 ?80, 90? 之间频数为 4 (2)记这 6 份试卷代号分别为 1,2,3,4,5,6.其中 5,6 是 90, 100 之间的两份, 则 所 有 可 能 的 抽 取 情 况 有 :

?

?

2?,,,, 3?? 2, 4?, 5? ? 2, 6?;, 5? ? 4, 6?;, ?1, ?13? ?1 4?,,,, ?15? ?1 6?; ? 2, ? 2,, ?3 4?,,,, ?3 5? ?3 6??4,, ?5 6 ?
,其中含有 5 或 6 的有 9 个,故 P ?

9 3 ? . 15 5
0

【考点】频率分布直方图,茎叶图,古典概型 19.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, ?PAB ? ?PAC ? ?ACB ? 90 .

第 7 页 共 13 页

(1)求证:平面 PBC ? 平面 PAC ; (2)若 PA ? 1, AB ? 2 ,当三棱锥 P ? ABC 的体积最大时,求 BC 的长. 【答案】 (1)见解析; (2)当三棱锥 P ? ABC 的体积最大时, BC ? 2 【解析】试题分析: (1)由线线垂直证线面垂直,再由线面垂直证面面垂直即可; (2)根据棱锥的体积公式,构造函数,通过求函数的最大值,求得三棱锥的体积的最 大值及最大值时的条件. 试题解析: (1)证明:因为 ?PAB ? ?PAC ? 900 , PA ? AB, PA ? AC

AB ? AC ? A ,所以 PA ? 平面 ABC 因为 BC ? 平面 ABC ,所以 PA ? BC
因为 ?ACB ? 900 ,所以 BC ? CA 因为 PA ? CA ? A ,所以 BC ? 平面 PAC 因为 BC ? 平面 PBC ,所以平面 PBC ? 平面 PAC . (2) 解: 法 1: 由已知及 (1) 所证可知,PA ? 平面 ABC , 所以 PA 是三棱锥 P ? ABC 的高, 因为 PA ? 1, AB ? 2 ,设 BC ? x ? 0 ? x ? 2? , 所以 AC ?

AB2 ? BC2 ? 22 ? x2 ? 4 ? x2
2 2 1 1 1 2 1 x ? ?4 ? x ? 1 S?ABC ? PA ? x 4 ? x 2 ? x ? 4 ? x2 ? ? ? ? 3 6 6 6 2 3

因为 VP ? ABC ?

2 2 当且仅当 x ? 4 ? x ,即 x ?

2 时等号成立.所以当三棱锥 P ? ABC 的体积最大时,

BC ? 2
【考点】平面与平面垂直的判断,几何体的体积 20.已知椭圆 C :

? x2 y 2 3? ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点 ? 1, ? 2 ? ? ,过右焦点且垂直于 x 轴的直线 a b ? 2 ?

截椭圆所得弦长是 1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设点 A, B 分别是椭圆 C 的左,右顶点,过点 ?1,0 ? 的直线 l 与椭圆交于 M , N 两点 ( M , N 与 A, B 不重合) ,证明:直线 AM 和直线 BN 交点的横坐标为定值.

【答案】 (1)椭圆 C 的标准方程是

x2 ? y 2 ? 1; (2)见解析. 4

第 8 页 共 13 页

【解析】试题分析: ( 1 )由已知可知,点 ? 1,

? ? ?

3? ? 1? 及点 ? c, ? 在椭圆上,代入,由 ? 2 ? ? 2? ?

c 2 ? a 2 ? b2 即可解得 a2 , b2 , 则椭圆方程可求; (2)由(1)知点 A? ?2,0? , B ? 2,0? ,
设 l : x ? my ?1, M ? x1, y1 ? , N ? x2 , y2 ?

y1 ?x? m? ? 2 , 联 立 方 程 ?x , 消 去 x 得 2 ? ? y ?1 ?4

?m

2

? 4 ? y 2 ? 2my ? 3 ? 0 ,

进而得到 y1 ? y2 , y1 y2 ,设直线 AM : y ?

y1 y ? x ? 2 ? , BN : y ? 2 ? x ? 2 ? 联立方 x1 ? 2 x2 ? 2

y1 ? y ? ? x ? 2? ? x1 ? 2 4my1 y2 ? 2 y1 ? 6 y2 ? 程? ,解得 x ? ,将 y1 ? y2 , y1 y2 ,可得 x ? 4 , y1 ? 3 y2 ? y ? y2 ? x ? 2 ? ? x2 ? 2 ? 即直线 AM 和直线 BN 交点的横坐标为定值 4.
3 ? ? 12 4 ? ?1 ? ?a 2 ? 4 ? a 2 b2 试题解析: ( 1 )由题知 ? ,解得 ? 2 ,故椭圆 C 的标准方程是 ?b ?1 ? 2 2 1 ?a ? b ? 4 ?1 ? b2 ? a2
x2 ? y2 ? 1 4
(2)由(1)知点 A? ?2,0? , B ? 2,0? ,设 l : x ? my ?1,M ?x 1, y 1 ?,N ? x 2,y
2

? ,联立方

? x ? my ? 1 ? 2 2 程 ? x2 ,消去 x 得 ? m ? 4 ? y ? 2my ? 3 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?4
所 以

y1 ? y ? ?

2m 3 ,y y ?? 2 2 1 m ?4 m ?4

则2



线

y ? y ? 1 ? x ? 2? ? x1 ? 2 y y2 ,消去 y AM : y ? 1 ? x ? 2 ? , BN : y ? ? x ? 2 ? 联立方程 ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 y ? y ? 2 ? x ? 2? ? x2 ? 2 ?


y1 y ? x ? 2? ? 2 ? x ? 2? . x1 ? 2 x2 ? 2

第 9 页 共 13 页





x?

2 ? x1 y ? x 2 y ? y ?2 2y ? y 4my 2 y ? 12 ? 2 y ?1 1 x1 y ? x 2 y ? 2? y ? y ? 31 y 2 y ? 1

21 2



6

2 为 1 2

2m 3 y1 ? y2 2m y1 ? y ? ? 2 2 , y y ? ? 2 1 ,所以 ,即 2my1 y2 ? 3? y1 ? y2 ? , ? 2 m ?4 m ?4 y1 y2 3
所以 x ?

6 y1 y2 ? 2 y1 ? 6 y2 ? 4 ,即直线 AM 和直线 BN 交点的横坐标为定值 4. y1 ? 3 y2
1 ln x . 2

【考点】椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系
2 21.设函数 f ? x ? ? x ?

(1)讨论函数 f ? x ? 的单调性; (2)若 g ? x ? ? f ? x ? ?

1 ax 在区间 ?1, ?? ? 上没有零点,求实数 a 的取值范围. 2

【答案】 ( 1 )函数 f ? x ? 的单调增区间是 ?

?1 ? ? 1? (2) , ?? ? ,单调减区间是 ? 0, ? ; ?2 ? ? 2?

a ?? ?2, ???
【解析】试题分析: (1)求出函数的定义域,解关于导函数的不等式,求出函数的单调 区间即可; (2) 求出函数 g ? x ? 的表达式及其导数, 解关于导函数的不等式, 求出函数的单调区间,

1 ln x ln x a? ? x ,令 y ? ? x ,根据函数的单调性求出 a 的范围即可. 2 2x 2x 1 2 试 题 解 析 : ( 1 ) f ? x ? ? x ? ln x , 定 义 域 为 ? 0, ??? , 2
由 g ? x? ? 0 得

f ? ? x ? ? 2x ?

1 ? 2 x ? 1?? 2 x ? 1? ? , 2x 2x
1 1 ;令 f ? ? x ? ? 0 ,得 0 ? x ? , 2 2

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ?

故函数 f ? x ? 的单调增区间是 ?

?1 ? ? 1? , ?? ? ,单调减区间是 ? 0, ? ?2 ? ? 2?

2 ( 2 ) g ? x? ? x ?

1 a 4 x 2 ? ax ? 1 1 1 ln x ? ax , 由 g ? ? x ? ? 2 x ? ? ? ?0 得 2 2 2x 2 2x

x?

?a ? a 2 ? 16 8

?a ? a 2 ? 16 设 x0 ? ,∴ g ? x ? 在 ? 0, x0 ? 上是减函数,在 ? x0 , ??? 上为增函数, 8
又 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上没有零点,∴ g ? x ? ? 0 在 x ? ?1, ?? ? 上恒成立 第 10 页 共 13 页

由 g ? x? ? 0 得 令y? ∴y? ∴

1 ln x a? ?x, 2 2x

2 ? 2ln x 2 ? 2ln x ? 4 x 2 ln x ? x ,则 y? ? ?1 ? ,当 x ? 1 时, y? ? 0 2x 4 x2 4 x2
ln x ? x 在 ?1, ?? ? 上是减函数,∴ x ? 1 时, ymax ? ?1 2x

1 a ? ?1 ,即 a ?? ?2, ??? 2

【考点】利用导数研究函数的性质 【名师点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及函数恒成立问 题,属中档题.解第(2)问时,要根据 g ? x ? 单调性,将问题转化为求函数 y ?

ln x ?x 2x

的单调性,根据函数的单调性求出 a 的范围是解题的关键,也是本题的难点所在. 22.选修 4-1:几何证明选讲 已知点 P 是圆 O 外的一点,过 P 作圆 O 的切线 PA, PB ,切点为 A, B ,过 P 作一割线 交圆 O 于点 E , F ,若 2 PA ? PF ,取 PF 的中点 D ,连接 AD ,并延长交圆于 H .

(1)求证: O, A, P, B 四点共圆; (2)求证: PB ? 2 AD?DH .
2

【答案】 (1) (2)见解析 【解析】试题分析: (1)利用对角互补,证明 O, A, P, B 四点共圆; (2)由切割线定理证明出 2 PE ? PA ,由相交弦定理可得 AD ?DH ? ED ?DF ,即可 证明 PB ? 2 AD?DH
2

试题解析:

(1) 连接 OA, OB . 因为 PA, PB 为切线,可知 OA ? PA, OB ? PB ∴ ?PAO ? ?PBO ? 180 ,
0

第 11 页 共 13 页

所以 O, A, P, B 四点共圆 (2)由切割线的定理可得 PA ? PE ?PF ,
2

又 PF ? 2PA, PA2 ? PE ? 2PA ,∴ 2 PE ? PA 所以 PE ? ED ?

1 PA 2

由相交弦的定理,可得 AD ?DH ? ED ?DF , 得 AD?DH ?

1 1 PA?PA ,即 AD?DH ? PA2 2 2

2 因为 PB ? PA ,所以 PB ? 2 AD?DH

【考点】四点共圆,相交弦定理 23.选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xOy 中,圆锥曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) ,定点 ? y ? sin ?

A 0, ? 3 , F1 , F2 是圆锥曲线 C 的左、右焦点,直线 l 过点 A,F1 .
(1)求圆锥曲线 C 及直线 l 的普通方程; (2)设直线 l 与圆锥曲线 C 交于 E , F 两点,求弦 EF 的长.

?

?

【答案】 (1)圆锥曲线 C 的普通方程为 (2) EF ? x ? y ? 3 ? 0;

x2 ? y2 ? 1 , 直 线 l 的 直 角 坐 标 方 程 为 4

8 5

2 2 【解析】试题分析: (1)利用 cos ? ? sin ? ? 1 即可消去参数,得到圆锥曲线 C 普通

方程,直线 l 过点 A 0, ? 3 , F1 ? 3, 0 可得直线 l 的普通方程; (2)利用弦长公式可 求弦 EF 的长.

?

? ?

?

x ? ? x ? 2cos ? ?cos ? ? 试题解析: (1)由 ? ( ? 为参数) ,得 ? 2 ? y ? sin ? ? ? sin ? ? y
x ? x? ? y2 ? 1 所以 cos ? ? sin ? ? ? ? ? y 2 ? 1 ,所以圆锥曲线 C 的普通方程为 4 2 ? ?
2 2 2
2

圆锥曲线 C 的左焦点为 F1 ? 3, 0 ,直线 l 过点 A 0, ? 3 , F1 ? 3, 0 故直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 3 ? 0

?

?

?

? ?

?

? x2 ? y2 ? 1 ? 2 (2)联立 ? 4 ,消去 y 得 5x ? 8 3x ? 8 ? 0 , ?x ? y ? 3 ? 0 ?
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则 x1 ? x2 ? ?

8 3 8 , x1 x2 ? 5 5

2 故 EF ? 1 ? k

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ?

8 5

【考点】参数方程与普通方程的互化,弦长公式 24.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? 2 . (1)当 a ? 1 ,解不等式 f ? x ? ? 5 ; (2)对任意 x ? R ,不等式 f ? x ? ? 3a ? 2 都成立,求实数 a 的取值范围. 【答案】 (1)不等式的解集为 ? ?3, 2? ; (2)实数 a 的取值范围是 ? ??,2? 【解析】试题分析: (1)把不等式 f ? x ? ? 5 等价转化为与之等价的三个不等式组,求 出每个不等式组的解集,再取并集,即得所求. (2) 由题意可得函数 f ? x ? 的图象不能在 y ? 3a ? 2 的图象的下方, 数形结合求得 a 的 范围.

? 2 x ? 1, x ? 1 ? 试题解析: (1) a ? 1, f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 2 ? ? 3, ?2 ? x ? 1 ??2 x ? 1, x ? ?2 ?

f ? x ? ? 5,2x ?1 ? 5 ? x ? 1? 或 3 ? 5? ?2 ? x ? 1? 或 ? 2x ?1 ? 5 ? x ? ?2?
∴ ?3 ? x ? 2 ,∴不等式的解集为 ? ?3, 2? (2) f ? x ? ? x ? a ? x ? 2 ? a ? 2 由题意得 a ? 2 ? 3a ? 2 a ? 2 即实数 a 的取值范围是 ? ??,2? 【考点】绝对值不等式

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