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吉林一中高二数学期末考试题(理科)



绝密★启用前

吉林一中 2013—2014 学年度下学期期末高二数学理考试

高二数学理试题
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 四 五 总分

第 I 卷(选择题)

/>请修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、单项选择

1. 已知 ( x 2 ? ) n 的展开式的二项式系数之和为 32,则展开式中含 x 项的系数是( A.5 B.20 C.10 D.40

1 x



2. 已知等式 x4 ? ( x ? 1)4 ? b1 ( x ?1)3 ? b2 ( x ?1)2 ? b3 ( x ? 1) ? b4 , 则 b1 , b2 , b3 , b4 为( ) B. ?4, 6, ?3, 0 C. 4, ?6, 4, ?1 D. ?4, 6, ?4,1

的值分别

A. 0,0,0,0

3. 某事件 A 发生的概率为 P(0 ? P ? 1) ,则事件 A 在一次试验中发生的次数 X 的方差 的最大值为( A. ) B.

3 4

1 3
2

C.

1 4

D.

1 2

4. 已知随机变量ξ 服从正态分布 N(2,σ ),且 P(ξ <4)=0.8,则 P(0<ξ <2)等于( ) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 5. 某同学忘记了自己的 QQ 号,但记得 QQ 号是由一个 1,一个 2,两个 5 和两个 8 组 成的六位数,于是用这六个数随意排成一个六位数,输入电脑尝试,那么他找到自己的 QQ 号最多尝试次数为( ) A.96 B.180 C.360 D.720

6. 在二项式( x ? ) n 的展开式中,各项系数之和为 M,各项二项式系数之和为 N, 且 M+N=72,则展开式中常数项的值为( ) A.18 B.12 C.9 7. $selection$ 8. 在 ( x 2 ? ) 9 的二项式展开式中,常数项是 A.504 B.84 C. ?84 D. ?504 ( )

3 x

D.6

1 x





9. 已知数列 ?an ? 是等差数列,且 a1 ? a4 ? a7 ? 2? ,则 tan(a3 ? a5 ) 的值为 A. 3 B. ? 3 C.

3 3 D. ? 3 3

10. 某班级有 50 名学生,其中有 30 名男生和 20 名女生,随机询问了该班五名男生和 五名女生在某次数学测验中的成绩, 五名男生的成绩分别为 86,94,88,92,90, 五名女生 的成绩分别为 88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( ) A.这种抽样方法是一种分层抽样 B.这种抽样方法是一种系统抽样 C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D.该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 11. 将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习,每班至少 1 名,则不同的分配方案 有( ) A.30 种 B.60 种 C.90 种 D.150 种 12. 如图所示,CD 切⊙O 于 B,CO 的延长线交⊙O 于 A,若∠C=36°,则∠ABD 的 度数是 ( ).

A.72° C.54°

B.63° D.36°

第 II 卷(非选择题)
请修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题

13. 如图(3)所示,AB 是⊙O 的直径,过圆上一点 E 作切线 ED⊥AF,交 AF 的延长线于 点 D,交 AB 的延长线于点 C.若 CB=2,CE=4,则 AD 的长为 .

A
O

B C E 图(3)

F D

x 14. 设 a ? ? 0 (cos x ? sin x)dx ,则二项式 ( x 2 ? ) 6 展开式中的 x3 项的系数为

x a

a? ? 15. 设常数 a ? R ,若 ? x 2 ? ? 的二项展开式中 x7 项的系数为 ?10 ,则 a ? ______ x? ?

5

16. 如图 2, AB 是⊙ O 的直径, P 是 AB 延长线上的一点,过 P 作⊙ O 的切线,切点为

C , PC ? 2 3 ,若 ?CAP ? 30? ,则⊙ O 的直径 AB ? __________ .

评卷人

得分 三、解答题

17. 如图,已知 AB 为圆 O 的直径,BC 切圆 O 于点 B,AC 交圆 O 于点 P,E 为线段 BC 的 中点.求证:OP⊥PE.
A

O

P

B

E

C

18. 如图,在 ?ABC 中, CD 是 ?ACB 的角平分线, ?ACD 的外接圆交 BC 于 E , AB ? 2 AC ,

(1)求证: BE ? 2 AD (2)当 AC ? 1, BC ? 2 时,求 AD 的长.
1 2 3 n 19. 已知 an ? An ? An ? An ? ? ? An (n ? N ? ) ,当 n ≥ 2 时,求证:

(1) a n?1 ? 1 ? (2) (1 ?

an ; n

1 1 1 )(1 ? )(1 ? ) a1 a2 a3

(1 ?

1 1 ) ≤3? . an n

20. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可吸入肺颗粒物.我国 PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质 量为一级;在35微克/立方米 ~ 75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米 以上空气质量为超标 .某试点城市环保局从该市市区 2013年上半年每天的PM2.5监测数 据中随机的抽取15天的数据作为样本,监测值如右下图茎叶图所示(十位为茎,个位为 叶). (1)在这15天的PM2.5日均监测数据中,求其中位数; (2)从这15天的数据中任取2天数据,记 ? 表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求 ? 的 分布列及数学期望; (3)以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按360天计算)中 平均有多少天的空气质量达到一级或二级.

21. 某公司是否对某一项目投资,由甲、乙、丙三位决策人投票决定,他们三人都有“同 意”、“中立”、“反对”三类票各一张,投票时,每人必须且只能投一张票,每人投三 类票中的任何一类票的概率都为

1 ,他们的投票相互没有影响,规定:若投票结果中至少 3

有两张“同意”票,则决定对该项目投资;否则,放弃对该项目的投资. (1)求该公司决定对该项目投资的概率; (2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率.

22. 如图,已知 PE 切⊙ O 于点 E,割线 PBA 交⊙ O 于 A、B 两点,∠APE 的平分线和 AE、 BE 分别交于点 C、D.求证: (Ⅰ) CE ? DE ; (Ⅱ)

CA PE ? . CE PB

参考答案 一、单项选择 1.【答案】C 【解析】先根据展开式的二项式系数之和求出 n 的值,然后利用二项式的展开式找出 x 的指数为 1 时 r 的值,从而可求出展开式中含 x 项的系数.解:根据题意,该二项式的
r 展开式的二项式系数之和为 32,则有 2n=32,可得 n=5,则二项式的展开式为 Tr+1= C5 x2
(5-r)

r ?x = C5 x
-r

10-3r

3 ,令 10-3r=1 解得 r=3,∴展开式中含 x 项的系数是, C5 =10,故选 C.

2.【答案】D 【解析】根据题意,由于等式 x4 ? ( x ? 1)4 ? b1 ( x ?1)3 ? b2 ( x ?1)2 ? b3 ( x ? 1) ? b4 ,则

[(x+1 ) -1]4 ? ( x ?1)4 ? b1 ( x ?1)3 ? b2 ( x ?1)2 ? b3 ( x ? 1) ? b4 , b1 , b2 , b3 , b4 的值分别为
1 2 3 4 可知答案为 D。 ?C4 ,C4 ,-C4 ,C4

3.【答案】C 【解析】根据题意,由于事件 A 发生的概率为 P(0 ? P ? 1) ,事件 A 在一次试验中发生 的次数 X 的期望值为 p,方差为 p(1-p)=p-p 为
2

,结合二次函数的性质可知函数的最大值

1 ,故可知答案为 C. 4

4.【答案】C 【解析】 5.【答案】B 【解析】 6.【答案】C 【解析】 7.【答案】C 【解析】 8.【答案】B 【解析】 9.【答案】A 【解析】 a1 ? a4 ? a7 ? 2? ,∴ 3a4 ? 2? ,∴ a4 ? ∴ tan(a3 ? a5 ) ? tan 2a4 ? tan

4? ? 3, 3

2? , 3

10.【答案】C 【解析】 11.【答案】D 【解析】 12.【答案】B 【解析】连结 OB.∵CD 为⊙O 的切线,∴∠OBC=90°. ∵∠C=36°,∴∠BOC=54°. 又∵∠BOC=2∠A,∴∠A=27°. ∴∠ABD=∠A+∠C=27°+36°=63°. 二、填空题 13.【答案】 AD ?

24 5

【解析】设 r 是⊙O 的半径.由 CE 2 ? CA ? CB ,解得 r=3.由

CO OE 24 解得 AD ? 。 ? CA AD 5

14.【答案】-160 【解析】 15.【答案】-2
r 1 ( x 2 )5? r ( ) r , 2(5 ? r ) ? r ? 7 ? r ? 1 ,故 C5 【解析】 Tr ?1 ? C5 a ? ?10 ? a ? ?2 .

a x

16.【答案】 4

【解析】 三、解答题 17.【答案】 【解析】因为 AB 是圆 O 的直径,所以∠APB=90°,从而∠BPC=90°. 在△BPC 中,因为 E 是边 BC 的中点,所以 BE=EC,从而 BE=EP,因此∠1=∠3. 又因为 B、P 为圆 O 上的点,所以 OB=OP,从而∠2=∠4. 因为 BC 切圆 O 于点 B,所以∠ABC=90°,即∠1+∠2=90°, 从而∠3+∠4=90°,于是∠OPE=90°.所以 OP⊥PE.
A

O 4 2 B 1 E 3

P

C

18. 【答案】 ( 1 )证明:连接 DE ,∵ACDE 为圆的内接四边形. ∠DBE=∠CBA ∴△BDE∽△BCA 即 从而 BE=2AD. (2) AD ?

∴∠BDE=∠BCA 又

BE DE ? 而 AB=2AC ∴BE=2DE,又 CD 是∠ACB 的平分线 ∴AD=DE BA CA

2 3

【解析】 19.【答案】 【解析】 (1)因为 A k n ? 所以当 n ? 2 时,
(n ? 1)! n! ?1 ?n? ? nA k n ?1 ( 2 ? k ? n) , (n ? k )! [( n ? 1) ? (k ? 1)]!

an 1 1 1 n?1 2 n ? (A1 n ? A n ? ? ? A n ) = [n ? (nA n?1 ? ? ? nA n?1 )] n n n

n?1 ? 1 ? (A1 n?1 ? ? ? A n?1 ) ? 1 ? an?1 .

所以 a n?1 ? 1 ?

an . n

????????????????????????4 分

(2)由(1)得

a n ?1 ? 1 a a 1 ? n ,即 1 ? ? n , a n ?1 na n ?1 a n ?1 na n ?1

所以 (1 ?

1 1 1 ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? a1 a2 a3

? (1 ?

a n ?1 a a a 1 )? 2 ? 3 ? 4 ? ( n ? 1) a n an 2a1 3a2 4a3 ?

?

an ?1 1 2 n?1 ? (A1 n?1 ? A n?1 ? ? ? A n?1 ) (n ? 1)! (n ? 1)!

1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?1 n! (n ? 1)! 2! 1!

?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ?2 ?( ? )?( ? ) ? ? ? (1 ? ) ? 2 n ?1 n n ?1 n ? 2 2 1? 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

?3?

1 . n

????????????????????????10 分

[另法:可用数学归纳法来证明

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?1 ? 3 ? ] n! (n ? 1)! 2! 1 ! n

20.【答案】(1)由茎叶图可得中位数是 45 (2) 依据条件, ? 服从超几何分布: 其中 N ? 15, M ? 5, n ? 3 , ? 的可能值为 0,1, 2 由 p(? ? k ) ?
2? k C5k ? C10 , 2 C15 2 C50 ? C10 3 ? , 2 C15 7

得 p(? ? 0) ?

1 1 0 C5 ? C10 C52 ? C10 10 2 p(? ? 1) ? ? , p(? ? 2) ? ? , 2 2 C15 21 C15 21

所以 ? 的分布列为:

?

0

1

2

3 10 2 7 21 21 3 10 2 2 ? E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 7 21 21 3

P

(2)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为 p ? 一年中空气质量达到一级或二级的天数为? ,则? ~ B (360, )

10 2 ? 15 3

2 3

? E? ? 360 ?
【解析】 21.【答案】

2 ? 240 3 ? 一年中平均有 240 天的空气质量达到一级或二级

?1? 2 ? ?1? 3 7 解析 (1)该公司决定对该项目投资的概率为 P=C 23 ? ? ? +C 33 ? ? = 3 ? ? 27 3 3 ? ? ? ?
(2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票,有以下四种情形: “同意”票张 “中立”票张 “反对”票张 数 数 数 事件 A 0 0 3 事件 B 1 0 2

?2?

事件 C 事件 D

1 0

1 1

1 2

P(A)=C 33 ? ? 3=

?1? ?3?

1 ?1? 1 ?1? 2 ?1? 1 ,P(B)=C 13 ? ? 3= ,P(C)=C 13 C 12 ? ? 3= , P(D)=C 13 ? ? 3= 27 ?3? 9 ?3? 9 ?3? 9 13 27

∵A、B、C、D 互斥, ∴P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=

【解析】 22.【答案】(Ⅰ)证明: PE 切⊙ O 于点 E ,??A ? ?BEP PC 平分??A ? ?CPA ? ?BEP ? ?DPE
?ECD ? ?A ? ?CPA , ?EDC ? ?BEP ? ?DPE , ??ECD ? ?EDC ,? EC ? ED

(Ⅱ)证明: ?PDB ? ?EDC , ?EDC ? ?ECD , ?PDB ? ?PCE
??BPD ? ?EPC ,??PBD ∽ ?PEC ,?

PE PC ? PB PD

同理 ?PDE ∽ ?PCA ,?
? PE CA ? PB DE DE ? CE , ? CA PE ? CE PB

PC CA ? PD DE

【解析】



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