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高考数学分类专题复习之08 数列综合



第八讲 数列综合
★★★高考在考什么 【考题回放】 1.已知 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 y ? x2 ? 2x ? 3 的顶点是 (b,c) ,则 ad 等于( B ) A.3 B.2 C.1 D. ?2 .7

2.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S12 ? 21 ,则 a2 ? a5 ? a8 ? a11 ?

r />
3. 在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,若数列 ?an ?1 也是等比数列,则 Sn 等于 ? A. 2
n?1

?2

B. 3n

C. 2n

D. 3n ? 1

【解析】因数列 ?an ? 为等比,则 an ? 2qn?1 ,因数列 ?an ?1 也是等比数列, ? 则

(an?1 ? 1)2 ? (an ? 1)(an?2 ? 1) ? an?12 ? 2an?1 ? an an?2 ? an ? an?2 ? an ? an?2 ? 2an?1 ? an (1 ? q 2 ? 2q) ? 0 ? q ? 1

即 an ? 2 ,所以 Sn ? 2n ,故选择答案 C。

,, , , , 4 4. 设 集 合 M ? {1 2 3 ,5 6} S1,S2, ,Sk 都 是 M 的 含 两 个 元 素 的 子 集 , 且 满 足 : 对 任 意 的 ?
? a j bj ? ?a b ? ? ? 2,? , Si ? {ai,bi } , S j ? {a j,bj } ( i ? j , i、j ?{1,3, ,k} ) 都 有 min ? i ,i ? ? min ? , ? ? bj a j ? ? bi ai ? ? ?
( min{x,y} 表示两个数 x, y 中的较小者) ,则 k 的最大值是( B ) A.10 B.11 C.12 D.13
2

5. 已知正项数列{an},其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an +5an+6 且 a1,a3,a15 成等比数列,求数列{an}的通项 an . 2 2 解析:解: ∵10Sn=an +5an+6, ① ∴10a1=a1 +5a1+6,解之得 a1=2 或 a1=3. 2 又 10Sn-1=an-1 +5an-1+6(n≥2),② 2 2 由①-②得 10an=(an -an-1 )+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0 ∵an+an-1>0 , ∴an-an-1=5 (n≥2). 当 a1=3 时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15 不成等比数列∴a1≠3; 2 当 a1=2 时,a3=12, a15=72, 有 a3 =a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n-3.
2 6.已知公比为 q(0 ? q ? 1) 的无穷等比数列 ?an ? 各项的和为 9,无穷等比数列 an 各项的和为

? ?

81 . 5

(I)求数列 ?an ? 的首项 a1 和公比 q ; (II)对给定的 k (k ? 1, 2,3,?, n) ,设 T ( k ) 是首项为 ak ,公差为 2ak ? 1 的等差数列,求 T ( 2) 的前 10 项之和;

? a1 ?a1 ? 3 ?1 ? q ? 9 ? ? ?? 解: (Ⅰ)依题意可知, ? 2 2 ? a 1 ? 81 ?q ? 3 ? ?1 ? q 2 5 ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, an ? 3 ? ? ?

? 2? ? 3?

n?1

,所以数列 T

( 2)

的的首项为 t1 ? a2 ? 2 ,公差 d ? 2a2 ? 1 ? 3 ,

S10 ? 10 ? 2 ?

1 ? 10 ? 9 ? 3 ? 155 ,即数列 T ( 2) 的前 10 项之和为 155. 2

★★★高考要考什么 本章主要涉及等差(比)数列的定义、通项公式、前 n 项和及其性质,数列的极限、无穷等比数列的 各项和.同时加强数学思想方法的应用,是历年的重点内容之一,近几年考查的力度有所增加,体现高考 是以能力立意命题的原则. 高考对本专题考查比较全面、深刻,每年都不遗漏.其中小题主要考查 a1、d (q)、

n、an、Sn 间相互关系,呈现“小、巧、活”的特点;大题中往往把等差(比)数列与函数、方程与不等
式,解析几何 等知识结合,考查基础知识、思想方法的运用,对思维能力要求较高,注重试题的综合性, 注意分类讨论. 高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在 一起,再加以导数和向量等新增内容,使数列综合题新意层出不穷.常见题型: (1)由递推公式给出数列,与其他知识交汇,考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力. (2)给出 Sn 与 an 的关系,求通项等,考查等价转化的数学思想与解决问题能力. (3)以函数、解析几何的知识为载体,或定义新数列,考查在新情境下知识的迁移能力. 理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用,注意不等式型的递推数列. ★ ★★ 突 破 重 难 点

3 1 ? ?an ? 4 an ?1 ? 4 bn ?1 ? 1 ? 【范例 1】已知数列 {an } , {bn } 满足 a1 ? 2 , b1 ? 1 ,且 ? ( n≥ 2 ) 1 3 ?b ? a ? b ? 1 ? n 4 n ?1 4 n ?1 ?
(I)令 cn ? an ? bn ,求数列 {cn } 的通项公式; (II)求数列 {an } 的通项公式及前 n 项和公式 Sn . 解: (I)由题设得 an ? bn ? (an?1 ? bn?1 ) ? 2(n ≥ 2) ,即 cn ? cn?1 ? 2 ( n ≥ 2 ) 易知 {cn } 是首项为 a1 ? b1 ? 3 ,公差为2的等差数列,通项公式为 cn ? 2n ? 1 . (II)解:由题设得 an ? bn ?

1 1 (an ?1 ? bn ?1 )(n ≥ 2) ,令 dn ? an ? bn ,则 d n ? d n ?1 (n ≥ 2) . 2 2

?an ? bn ? 2n ? 1, 1 1 ? 易知 {dn } 是首项为 a1 ? b1 ? 1 ,公比为 的等比数列,通项公式为 d n ? n ?1 . 由 ? 解得 1 2 2 ?an ? bn ? 2n ?1 ?

1 1 1 n2 an ? n ? n ? , 求和得 Sn ? ? n ? ? n ? 1 . 2 2 2 2
【变式】在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 Sn 满足条件 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; 解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由

S 2 n 4n ? 2 ? , n ? 1, 2,? , Sn n ?1

(Ⅱ)记 bn ? an pan ( p ? 0) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。

S2 n 4n ? 2 a ? a2 得: 1 ? ? 3 ,所以 a2 ? 2 ,即 a1 Sn n ?1 an ? nd ? a1 ? 2n 2(a ? nd ? a ) 2(a ? n ? 1) 4n ? 2 S 2 n n n 1 2 = ,所以 an ? n 。 ? ? ? d ? a2 ? a1 ? 1 ,又 an ? a1 an ? 1 n ?1 Sn an ? a1 ?n 2 a (Ⅱ)由 bn ? an p n ,得 bn ? npn 。所以 Tn ? p ? 2 p2 ? 3 p3 ? ?? (n ?1) pn?1 ? npn , n