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高考数学分类专题复习之08 数列综合



第八讲 数列综合
★★★高考在考什么 【考题回放】 1.已知 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 y ? x2 ? 2x ? 3 的顶点是 (b,c) ,则 ad 等于( B ) A.3 B.2 C.1 D. ?2 .7

2.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S12 ? 21 ,则 a2 ? a5 ? a8 ? a11 ?

r />
3. 在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 Sn ,若数列 ?an ?1 也是等比数列,则 Sn 等于 ? A. 2
n?1

?2

B. 3n

C. 2n

D. 3n ? 1

【解析】因数列 ?an ? 为等比,则 an ? 2qn?1 ,因数列 ?an ?1 也是等比数列, ? 则

(an?1 ? 1)2 ? (an ? 1)(an?2 ? 1) ? an?12 ? 2an?1 ? an an?2 ? an ? an?2 ? an ? an?2 ? 2an?1 ? an (1 ? q 2 ? 2q) ? 0 ? q ? 1

即 an ? 2 ,所以 Sn ? 2n ,故选择答案 C。

,, , , , 4 4. 设 集 合 M ? {1 2 3 ,5 6} S1,S2, ,Sk 都 是 M 的 含 两 个 元 素 的 子 集 , 且 满 足 : 对 任 意 的 ?
? a j bj ? ?a b ? ? ? 2,? , Si ? {ai,bi } , S j ? {a j,bj } ( i ? j , i、j ?{1,3, ,k} ) 都 有 min ? i ,i ? ? min ? , ? ? bj a j ? ? bi ai ? ? ?
( min{x,y} 表示两个数 x, y 中的较小者) ,则 k 的最大值是( B ) A.10 B.11 C.12 D.13
2

5. 已知正项数列{an},其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an +5an+6 且 a1,a3,a15 成等比数列,求数列{an}的通项 an . 2 2 解析:解: ∵10Sn=an +5an+6, ① ∴10a1=a1 +5a1+6,解之得 a1=2 或 a1=3. 2 又 10Sn-1=an-1 +5an-1+6(n≥2),② 2 2 由①-②得 10an=(an -an-1 )+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0 ∵an+an-1>0 , ∴an-an-1=5 (n≥2). 当 a1=3 时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15 不成等比数列∴a1≠3; 2 当 a1=2 时,a3=12, a15=72, 有 a3 =a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n-3.
2 6.已知公比为 q(0 ? q ? 1) 的无穷等比数列 ?an ? 各项的和为 9,无穷等比数列 an 各项的和为

? ?

81 . 5

(I)求数列 ?an ? 的首项 a1 和公比 q ; (II)对给定的 k (k ? 1, 2,3,?, n) ,设 T ( k ) 是首项为 ak ,公差为 2ak ? 1 的等差数列,求 T ( 2) 的前 10 项之和;

? a1 ?a1 ? 3 ?1 ? q ? 9 ? ? ?? 解: (Ⅰ)依题意可知, ? 2 2 ? a 1 ? 81 ?q ? 3 ? ?1 ? q 2 5 ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, an ? 3 ? ? ?

? 2? ? 3?

n?1

,所以数列 T

( 2)

的的首项为 t1 ? a2 ? 2 ,公差 d ? 2a2 ? 1 ? 3 ,

S10 ? 10 ? 2 ?

1 ? 10 ? 9 ? 3 ? 155 ,即数列 T ( 2) 的前 10 项之和为 155. 2

★★★高考要考什么 本章主要涉及等差(比)数列的定义、通项公式、前 n 项和及其性质,数列的极限、无穷等比数列的 各项和.同时加强数学思想方法的应用,是历年的重点内容之一,近几年考查的力度有所增加,体现高考 是以能力立意命题的原则. 高考对本专题考查比较全面、深刻,每年都不遗漏.其中小题主要考查 a1、d (q)、

n、an、Sn 间相互关系,呈现“小、巧、活”的特点;大题中往往把等差(比)数列与函数、方程与不等
式,解析几何 等知识结合,考查基础知识、思想方法的运用,对思维能力要求较高,注重试题的综合性, 注意分类讨论. 高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在 一起,再加以导数和向量等新增内容,使数列综合题新意层出不穷.常见题型: (1)由递推公式给出数列,与其他知识交汇,考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力. (2)给出 Sn 与 an 的关系,求通项等,考查等价转化的数学思想与解决问题能力. (3)以函数、解析几何的知识为载体,或定义新数列,考查在新情境下知识的迁移能力. 理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用,注意不等式型的递推数列. ★ ★★ 突 破 重 难 点

3 1 ? ?an ? 4 an ?1 ? 4 bn ?1 ? 1 ? 【范例 1】已知数列 {an } , {bn } 满足 a1 ? 2 , b1 ? 1 ,且 ? ( n≥ 2 ) 1 3 ?b ? a ? b ? 1 ? n 4 n ?1 4 n ?1 ?
(I)令 cn ? an ? bn ,求数列 {cn } 的通项公式; (II)求数列 {an } 的通项公式及前 n 项和公式 Sn . 解: (I)由题设得 an ? bn ? (an?1 ? bn?1 ) ? 2(n ≥ 2) ,即 cn ? cn?1 ? 2 ( n ≥ 2 ) 易知 {cn } 是首项为 a1 ? b1 ? 3 ,公差为2的等差数列,通项公式为 cn ? 2n ? 1 . (II)解:由题设得 an ? bn ?

1 1 (an ?1 ? bn ?1 )(n ≥ 2) ,令 dn ? an ? bn ,则 d n ? d n ?1 (n ≥ 2) . 2 2

?an ? bn ? 2n ? 1, 1 1 ? 易知 {dn } 是首项为 a1 ? b1 ? 1 ,公比为 的等比数列,通项公式为 d n ? n ?1 . 由 ? 解得 1 2 2 ?an ? bn ? 2n ?1 ?

1 1 1 n2 an ? n ? n ? , 求和得 Sn ? ? n ? ? n ? 1 . 2 2 2 2
【变式】在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 Sn 满足条件 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; 解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由

S 2 n 4n ? 2 ? , n ? 1, 2,? , Sn n ?1

(Ⅱ)记 bn ? an pan ( p ? 0) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。

S2 n 4n ? 2 a ? a2 得: 1 ? ? 3 ,所以 a2 ? 2 ,即 a1 Sn n ?1 an ? nd ? a1 ? 2n 2(a ? nd ? a ) 2(a ? n ? 1) 4n ? 2 S 2 n n n 1 2 = ,所以 an ? n 。 ? ? ? d ? a2 ? a1 ? 1 ,又 an ? a1 an ? 1 n ?1 Sn an ? a1 ?n 2 a (Ⅱ)由 bn ? an p n ,得 bn ? npn 。所以 Tn ? p ? 2 p2 ? 3 p3 ? ?? (n ?1) pn?1 ? npn , n ?1 当 p ? 1 时, Tn ? ; 2 当 p ? 1 时,

pTn ? p2 ? 2 p3 ? 3 p4 ? ?? (n ?1) pn ? npn?1 ,
(1 ? P)Tn ? p ? p 2 ? p3 ? ? ? p n?1 ? p n ? np n?1 ?
? n ?1 , p ?1 ? 2 ? 即 Tn ? ? 。 n ? p(1 ? p ) ? np n ?1 , p ? 1 ? 1? p ?
(理)已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ' ( x) ? 6 x ? 2 ,数列 {an } 的前 n 项和为

p(1 ? p n ) ? np n?1 1? p

Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上。
(Ⅰ) 、求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅱ) bn ? 、设

m 1 ? ,Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成立的最小正整数 m; 20 an an?1
2

解: (Ⅰ)设这二次函数 f(x)=ax +bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x-2,得

a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x2-2x.
又因为点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,所以 Sn =3n -2n.
2

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n -2n)- (n ? 1) ? 2(n ? 1) =6n-5. 3
2

?

2

?

当 n=1 时,a1=S1=3×1 -2=6×1-5,所以,an=6n-5 ( n ? N )
2

?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知 bn ?

1 1 1 3 3 ? ), = = ( a n a n ?1 (6n ? 5)?6(n ? 1) ? 5? 2 6n ? 5 6n ? 1

故 Tn=

?b = 2
i ?1 i

n

1 ? 1 1 1 1 1 1 ? 1 ?(1 ? 7 ) ? ( 7 ? 13) ? ... ? ( 6n ? 5 ? 6n ? 1)? = 2 (1- 6n ? 1 ). ? ?

因此,要使

1 1 m 1 m (1- )< ( n ? N ? )成立的 m,必须且仅须满足 ≤ ,即 m≥10,所以满 2 6n ? 1 20 2 20

足要求的最小正整数 m 为 10. 【范例 2】 已知函数 f ( x) ? x2 ? x ? 1 ,? , ? 是方程 f(x)=0 的两个根 (? ? ? ) , f '( x) 是 f(x)的导数; a1 ? 1 , 设
an ?1 ? an ? f ( an ) (n=1,2,??) f '( an )

(1)求 ? , ? 的值; (2)证明:对任意的正整数 n,都有 a n >a; (3)记 bn ? ln
an ? ? (n=1,2,??) ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn。 an ? a

解析: (1)∵ f ( x) ? x 2 ? x ? 1 , ? , ? 是方程 f(x)=0 的两个根 (? ? ? ) ,∴ ? ?
1 1 5 an (2an ? 1) ? (2an ? 1) ? 2 an ? an ? 1 2 4 4 ? an ? ? an ? 2an ? 1 2an ? 1

?1 ? 5 ?1 ? 5 ; ,? ? 2 2

(2) f '( x) ? 2 x ? 1 , an ?1

5 1 1 5 ?1 5 ?1 = (2an ? 1) ? 4 ? ,∵ a1 ? 1 ,∴有基本不等式可知 a2 ? 时取等号) , ? 0 (当且仅当 a1 ? 4 2an ? 1 2 2 2

∴ a2 ?

5 ?1 5 ?1 5 ?1 ,??, an ? , ? ? (n=1,2,??) ? 0 同,样 a3 ? 2 2 2 (a ? ? )(an ? ? ) an ? ? ? (an ? 1 ? ? ) ,而 ? ? ? ? ?1 ,即 ? ? 1 ? ? ? , (3) an ?1 ? ? ? an ? ? ? n 2an ? 1 2an ? 1
(an ? ? ) 2 (a ? ? )2 1? ? 3? 5 3? 5 ? ln ? 2 ln ,同理 an ?1 ? ? ? n , bn ?1 ? 2bn ,又 b1 ? ln 2an ? 1 2an ? 1 1?? 2 3? 5

an ?1 ? ? ?

Sn ? 2(2n ? 1)ln

3? 5 2

2 【文】已知函数 f ( x) ? x ? x ?1 , ? 、 ? 是方程 f ( x) ? 0 的两个根( ? ? ? ), f ? ( x) 是的导数

设 a1 ? 1 , an ?1 ? an ? (1)求 ? 、 ? 的值;

f (an ) , (n ? 1, 2,?) . f ?(an )

(2)已知对任意的正整数 n 有 an ? ? ,记 bn ? ln

an ? ? , (n ? 1, 2,?) .求数列{ bn }的前 n 项和 Sn . an ? ?

解、(1) 由 x ? x ? 1 ? 0
2

得x?

?1 ? 5 2

?? ?

?1 ? 5 2

??

?1 ? 5 2

(2)

f ? ? x ? ? 2x ? 1

an?1 ? an ?

2 2 an ? an ? 1 an ? 1 ? 2an ? 1 2an ? 1

an 2 ? 1 1 ? 5 3? 5 ? 1? 5 ? ? 2 an 2 ? 1 ? 5 an ? ? an ? ? an ?1 ? ? 2an ? 1 2 2 ?? 2 ? ? ? an ? ? ? ? ? ? ? an ?1 ? ? an 2 ? 1 1 ? 5 3? 5 ? 1 ? 5 ? ? an ? ? ? 2 ? an ? 1 ? 5 an ? ? an ? ? 2an ? 1 2 2 ? 2 ?

? ?

? ?

2

? bn?1 ? 2bn



b1 ? ln

a1 ? ? 3? 5 1? 5 ? ln ? 4ln a1 ? ? 2 3? 5
1? 5 ,公比为 2 的等比数列; 2

? 数列 ?bn ? 是一个首项为 4 ln

?

Sn ?

4 ln

1? 5 ?1 ? 2n ? 1? 5 2 ? 4 ? 2n ? 1? ln 1? 2 2

【变式】对任意函数 f(x) x∈D,可按图示 3—2 构造一个数列发生器,其工作原理如下: , ①输入数据 x0∈D,经数列发生器输出 x1=f(x0) ; ②若 x1?D,则数列发生器结束工作;若 x1∈D,则将 x1 反馈回输入端,再输出 x2=f(x1) ,并依此规 律继续下去. 现定义 f(x)=

4x ? 2 . x ?1 49 ,则由数列发生器产生数列{xn} .请写出数列{xn}的所有项; 65

(Ⅰ)若输入 x0=

(Ⅱ)若要数列发生器产生一个无穷的常数列,试求输入的初始数据 x0 的值; (Ⅲ) (理)若输入 x0 时,产生的无穷数列{xn}满足:对任意正整数 n,均有 xn<xn+1,求 x0 的取值范 围. 解: (Ⅰ)∵f(x)的定义域 D=(-∞?-1)∪(-1,+∞) ∴数列{xn}只有三项 x1=

11 1 ,x2= ,x3=-1 19 5

(Ⅱ)∵f(x)=

4x ? 2 2 =x 即 x -3x+2=0,∴x=1 或 x=2 x ?1

即 x0=1 或 2 时,xn+1=

4 xn ? 2 =xn,故当 x0=1 时,x0=1;当 x0=2 时,xn=2(n∈N) xn ? 1

(Ⅲ)解不等式 x<

4x ? 2 ,得 x<-1 或 1<x<2,要使 x1<x2,则 x2<-1 或 1<x1<2 x ?1

对于函数 f(x)=

4x ? 2 6 。若 x1<-1,则 x2=f(x1)>4,x3=f(x2)<x2 ?4? x ?1 x ?1

当 1<x1<2 时,x2=f(x)>x1 且 1<x2<2 依次类推可得数列{xn}的所有项均满足 xn+1>xn(n∈N) 综上所述,x1∈(1,2) ,由 x1=f(x0) ,得 x0∈(1,2) 【范例 3】已知 An (an,bn ) ( n ? N * )是曲线 y ? e x 上的点, a1 ? a , Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,且满
2 2 3, ?. 足 Sn ? 3n2an ? Sn?1 , an ? 0 , n ? 2,4,

(I)证明:数列 ?

? bn ? 2 ? ? ( n ≤ 2 )是常数数列; ? bn ?

(II)确定 a 的取值集合 M ,使 a ? M 时,数列 {an } 是单调递增数列; (III)证明:当 a ? M 时,弦 An An?1 ( n ? N * )的斜率随 n 单调递增
2 2 解: (I)当 n ≥ 2 时,由已知得 Sn ? Sn?1 ? 3n2 an .

因为 an ? Sn ? Sn?1 ? 0 ,所以 Sn ? Sn?1 ? 3n2 . 于是 Sn?1 ? Sn ? 3(n ? 1)2 . 由②-①得 an?1 ? an ? 6n ? 3 . 于是 an?2 ? an?1 ? 6n ? 9 . 由④-③得 an? 2 ? an ? 6 , 所以

?? ① ??② ?? ③ ?? ④ ?? ⑤

?b ? bn? 2 ean?2 ? an ? ean?2 ?an ? e6 ,即数列 ? n? 2 ? (n ≥ 2) 是常数数列. bn e ? bn ?

(II)由①有 S2 ? S1 ? 12 ,所以 a2 ? 12 ? 2a .由③有 a3 ? a2 ? 15 , a4 ? a3 ? 21 ,所以 a3 ? 3 ? 2a ,

a4 ? 18 ? 2a .而 ⑤表明:数列 {a2 k } 和 {a2k ?1} 分别是以 a2 , a3 为首项,6 为公差的等差数列,
所以 a2k ? a2 ? 6(k ? 1) , a2k ?1 ? a3 ? 6(k ?1) , a2k ?2 ? a4 ? 6(k ? 1)(k ?N*) , 数列 {an } 是单调递增数列 ? a1 ? a2 且 a2k ? a2k ?1 ? a2k ?2 对任意的 k ? N * 成立.

? a1 ? a2 且 a2 ? 6(k ?1) ? a3 ? 6(k ?1) ? a4 ? 6(k ?1)
? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a ? 12 ? 2a ? 3 ? 2a ? 18 ? 2a ?
9 15 ?a? . 4 4

即所求 a 的取值集合是 M ? ?a

? 9 15 ? ? a ? ?. 4? ? 4 bn?1 ? bn ean?1 ? ean ? an?1 ? an an?1 ? an

(III)解法一:弦 An An?1 的斜率为 kn ?

e x ( x ? x0 ) ? (e x ? e x0 ) e x ? e x0 任取 x0 ,设函数 f ( x) ? ,则 f ( x) ? x ? x0 ( x ? x0 )2
记 g ( x) ? ex ( x ? x0 ) ? (ex ? e 0 ) ,则 g?( x) ? ex ( x ? x0 ) ? ex ? ex ? ex ( x ? x0 ) ,
x

当 x ? x0 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 ( x0, ?) 上为增函数, ? 当 x ? x0 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (??,x0 ) 上为减函数, 所以 x ? x0 时, g ( x) ? g ( x0 ) ? 0 ,从而 f ?`( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (??,x0 ) 和 ( x0, ?) 上都是增函数. ? 由(II)知, a ? M 时,数列 {an } 单调递增, 取 x0 ? an ,因为 an ? an?1 ? an?2 ,所以 kn ?

ean?1 ? ean ean?2 ? ean . ? an ?1 ? an an? 2 ? an ean?1 ? ean?2 ean ? ean?2 . ? an?1 ? an?2 an ? an? 2

取 x0 ? an? 2 ,因为 an ? an?1 ? an?2 ,所以 kn?1 ?

所以 kn ? kn?1 ,即弦 An An?1 (n ?N*) 的斜率随 n 单调递增.

e x ? ean?1 解法二:设函数 f ( x) ? ,同解法一得, f ( x ) 在 (??,an?1 ) 和 (an?1, ?) 上都是增函数, ? x ? an ?1
所以 kn ?

ean ? ean?1 e x ? ean?1 ean?2 ? ean?1 e x ? ean?1 ? lim ? ean?1 , kn?1 ? ? lim ? ean?1 . ? n→a??1 x ? a n→an?1 x ? a an ? an?1 an?2 ? an?1 n n ?1 n ?1

故 kn ? kn?1 ,即弦 An An?1 (n ?N*) 的斜率随 n 单调递增.
2 【文】 Sn 是数列 {an } n ? N * ) 设 ( 的前 n 项和, 1 ? a , Sn ? 3 2 n S?n 且 2 na a ?1 , n

n 3, ? ( a ? 0 , ? 2,4, .I)

证明:数列 {an? 2 ? an } ( n ≥ 2 )是常数数列; (II) 试找出一个奇数 a , 使以 18 为首项, 为公比的等比数列 {bn }( n ? N * ) 7 中的所有项都是数列 {an } 中的项,并指出 bn 是数列 {an } 中的第几项. 解: (I)当 n ≥ 2 时,由已知得 Sn ? Sn?1 ? 3n an .
2 2 2

因为 an ? Sn ? Sn?1 ? 0 ,所以 Sn ? Sn?1 ? 3n . ??????????①
2

于是 Sn?1 ? Sn ? 3(n ? 1)2 . ???????????????????② 由②-①得: an?1 ? an ? 6n ? 3 .?????????????????③ 于是 an?2 ? an?1 ? 6n ? 9 .????????????????????④ 由④-③得: an? 2 ? an ? 6 .???????????????????⑤ 即数列 {an? 2 ? an } ( n ≥ 2 )是常数数列. (II)由①有 S2 ? S1 ? 12 ,所以 a2 ? 12 ? 2a . 由③有 a1 ? a2 ? 15 ,所以 a3 ? 3 ? 2a , 而⑤表明:数列 {a2 k } 和 {a2 k ?1} 分别是以 a2 , a3 为首项,6 为公差的等差数列. 所以 a2k ? a2 ? (k ?1) ? 6 ? 6k ? 2a ? 6 , a2k ?1 ? a3 ? (k ?1) ? 6 ? 6k ? 2a ? 3 , k ? N * . 由题设知,bn ? 18 ? 7n?1 . a 为奇数时,a2 k ?1 为奇数, bn 为偶数, 当 而 所以 bn 不是数列 {a2 k ?1} 中的项,bn 只可能是数列 {a2 k } 中的项. 若 b1 ? 18 是数列 {a2 k } 中的第 kn 项, 18 ? 6k ? 2a ? 6 得 a ? 3k0 ? 6 , k0 ? 3 , a ? 3 , 由 取 得 此时 a2 k ? 6k , 由 bn ? a2k ,得 18 ? 7
n ?1

? 6k , k ? 3 ? 7 n ?1 ? N * ,从而 bn 是数列 {an } 中的第 6 ? 7 n?1 项.
n ?1

(注: 考生取满足 a ? 3kn ? 6 ,kn ?N* 的任一奇数, 说明 bn 是数列 {an } 中的第 6 ? 7
2

?

2a ? 2 项即可) 3

【变式】 (文)已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x +2x 的图象上,其中=1,2,3,? (1) 证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (2) 设 Tn=(1+a1) (1+a2) ?(1+an),求 Tn 及数列{an}的通项; (3) 记 bn=

1 1 2 ,求{bn}数列的前项和 Sn,并证明 Sn+ =1. ? an an ? 2 3Tn ? 1

2 解: (Ⅰ)由已知 an?1 ? an ? 2an ,

?an?1 ? 1 ? (an ? 1)2

? a1 ? 2

? an ? 1 ? 1,两边取对数得
lg(1 ? an?1 ) ?2 lg(1 ? an )

lg(1 ? an?1 ) ? 2lg(1 ? an ) ,即

?{lg(1 ? an )} 是公比为 2 的等比数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 lg(1 ? an ) ? 2
n?1

? lg(1 ? a1 ) ? 2n?1 ? lg3 ? lg32
0 1 2 n-1

n?1

?1 ? an ? 32 (*)
2

n?1

?Tn ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )…(1+an ) ? 32 ? 32 ? 32 ?…? 32

? 31?2?2

?…+2n-1

=3

2n -1

由(*)式得 an ? 32

n?1

?1
? 1 1 1 1 ? ( ? ) an?1 2 an an ? 2 ? 1 1 2 ? ? an ? 2 an an ?1

2 (Ⅲ)? an?1 ? a0 ? 2an ?an?1 ? an (an ? 2)

又 bn ?

1 1 1 1 ? ? bn ? 2( ? ) an an ? 2 an an ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? …+ ? ) ? 2( ? ) a1 a2 a2 a3 an an ?1 a1 an ?1
n

? Sn ? b1 ? b2 ? …+bn ? 2(
n?1

? an ? 32 ? 1, a1 ? 2, an?1 ? 32 ? 1 ? Sn ? 1 ?
又 Tn ? 32
n

2 3 ?1
2n

?1

? Sn ?

2 ?1 3Tn ? 1

(理)在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 an?1 ? ?an ? ? n?1 ? (2 ? ? )2n (n ?N? ) ,其中 ? ? 0 . , (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; (Ⅲ)证明存在 k ? N ,使得
?

an ?1 a ≤ k ?1 对任意 n ? N? 均成立. an ak

(Ⅰ)解法一: a2 ? 2? ? ? 2 ? (2 ? ?)2 ? ? 2 ? 22 ,

a3 ? ?(? 2 ? 22 ) ? ? 3 ? (2 ? ?)22 ? 2? 3 ? 23 , a4 ? ?(2? 3 ? 23 ) ? ? 4 ? (2 ? ?)23 ? 3? 4 ? 24 .
由此可猜想出数列 ?an ? 的通项公式为 an ? (n ?1)? n ? 2n . 以下用数学归纳法证明. (1)当 n ? 1 时, a1 ? 2 ,等式成立. (2)假设当 n ? k 时等式成立,即 ak ? (k ?1)? k ? 2k , 那么 ak ?1 ? ?a1 ? ? k ?1 ? (2 ? ? )2k ? ? (k ?1)? ? ? 2 ? ?
k k k ?1

? 2k ?1 ? ? 2k

? [(k ? 1) ?1]? k ?1 ? 2k ?1 .
这就是说,当 n ? k ? 1 时等式也成立.根据(1)和(2)可知,等式 an ? (n ?1)? n ? 2n 对任何 n ? N 都
?

成立.

解法二:由 an?1 ? ?an ? ? n?1 ? (2 ? ? )2n (n ?N? ) , ? ? 0 , 可得

?2? ?? ? n ?1 ? ??? an?1

n ?1

?2? ? n ? ? ? ? 1, ? ??? an

n

n ? an ? 2 ? n ? an ? 2 ? ? ? ? ? n ? 1 ,所以数列 ?an ? 的通项公式 所以 ? n ? ? ? ? 为等差数列,其公差为 1,首项为 0,故 ?n ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?

为 an ? (n ?1)? n ? 2n . (Ⅱ)解:设 Tn ? ? 2 ? 2? 3 ? 3? 4 ? ?? (n ? 2)? n?1 ? (n ?1)? n , ① ②

?Tn ? ? 3 ? 2? 4 ? 3? 5 ??? (n ? 2)? n ? (n ?1)? n?1
当 ? ? 1 时,①式减去②式, 得 (1 ? ? )Tn ? ? ? ? ? ? ? ? ? (n ? 1)?
2 3 n n ?1

?

? 2 ? ? n?1 ? (n ? 1)? n ?1 , 1? ?

? 2 ? ? n?1 (n ? 1)? n?1 (n ? 1)? n?2 ? n? n?1 ? ? 2 . Tn ? ? ? (1 ? ? )2 1? ? (1 ? ? )2
这时数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 当 ? ? 1 时, Tn ?

(n ? 1)? n?2 ? n? n?1 ? ? 2 ? 2n?1 ? 2 . 2 (1 ? ? )

n( n ? 1) n(n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 . .这时数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 2 2

(Ⅲ)证明:通过分析,推测数列 ?

? an ?1 ? a2 ? 的第一项 最大,下面证明: a1 ? an ?


an?1 a2 ? 2 ? 4 ? ? , n≥ 2 . an a1 2

由 ? ? 0 知 an ? 0 ,要使③式成立,只要 2an?1 ? (? 2 ? 4)an (n ≥ 2) , 因为 (? 2 ? 4)an ? (? 2 ? 4)(n ?1)? n ? (? 2 ? 1)2n

? 4? (n ?1)? n ? 4 ? 2n ? 4(n ?1)? n?1 ? 2n?2 ·

≥ 2n? n?1 ? 2n?2 ? 2an?1,n ≥ 2 .
所以③式成立. 因此,存在 k ? 1 ,使得

an ?1 a a ≤ k ?1 ? 2 对任意 n ? N? 均成立. an ak a1



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