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1.5充分条件、必要条件1.6子集与推出关系



1.5 充分条件、必要条件
【教学目标】1、从不同角度帮助学生理解充分条件、必要条件与充要条件的意义;. 2、结合具体命题,初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法; 【教学重点】充分条件、必要条件及充要条件的意义 【教学难点】能在简单的问题情景中判断条件的充分性、必要性、充分必要性。 。 【教学过程】 一、课前预习反馈: 1. 复习 ⑴推出符号 “ ? ” 的含义:

一般地 ,如果 “若 ? ,则 ? ” 为真 , 即如果成 ? 立,那么 ? 一定成立 ,记 作:“ ? ? ? ”;如果“若 ? ,则 ? ”为假, 即如果 ? 成立,那么 ? 不一定成立,记作:“ ? ? ? ”. ⑵用推出关系的符号表示下列事件 ? 与 ? 的关系 ① ? : k 是能被 4 整除的自然数 ② ? : 实数x适合x ? 8 x ? 7 ? 0
2

2、充分必要条件类型: (1)充分条件与必要条件 如果 ? (条件 ,那么称这个条件 ? 是这个结论 ? 的 ) ? ?(结论) (换句话说 ? 的 (换句话说 ? 的 (2)充分必要条件 如果既有 ? ? ? ,又有 ? ? ? ,即有 ? ? ? ,那么 ? 既是 ? 的充分条件,又是 ? 的必要条 件,就称 ? 是 ? 的 条件,简称 。 (3)非充分非必要条件:条件 ? 成立不能推出结论 ? 成立,结论 ? 成立不能推出条件 ? 成立 称条件 ? 是结论 ? 的非充分非必要条件 二、课堂学习探索: 1、充分必要条件类型: (1) ? 是 ? 的充分必要条件(充要条件) ,即 (2) ? 是 ? 的充分不必要条件,即 (3) ? 是 ? 的必要不充分条件,即 (4) ? 是 ? 的既不充分又不必要条件,即 2、充分必要条件的两种表达形式: ; ; . ; 条件是 ? ); 条件 条件是 ? ) 如果 ?(结论) ,那么称这个条件 ? 是这个结论 ? 的 ? ?(条件) 条

? : k 是偶数

?:x ? 7或x ? 1
? :x?5

③? : x ? 5 ④? : A? B

?

? : A? B

⑤? : x ? A ? B ⑥? : x ? 2

? : x? A? B
? :x?0

⑦ ? : A 键闭合; ? : 灯泡亮。根据下图回答 ? : 与 ? : 之间的推出关系
A C B

(1)*** 是 *** 的 *** 条件

(2)*** 的 *** 条件 是 ***

A

C

B 3

3、充分必要条件的判断:首先区别什么是条件,什么是结论;然后利用推出关系加以说明 4、充分必要性的证明:

图1

A

图2
C

必须先给出充分必要性的区别,再加以证明(不具备充分必要性只要举出反例)
B

A

B 3 图3

例 1、上述练习中① ? 是 ? 的

条件, ? 是 ? 的

条件;

图4

②? 是 ? 的 ④? 的 ⑥? 是 ? 的

条件。 ③ ? 是 ? 的 条件是 ? 。 ⑤? 的

条件。 条件是 ? 。 条件。

(1)“ xy ? 0 ”是“ x ? 0 ”的 (2)“ xy ? yz ”是“ x ? z ”的 (3)“

条件; 条件; 条件;

条件。 ⑦ ? 是 ? 的

x y ? ”是“ xz ? y2 ”的 y z

例 2、用“充分不必要”“ 必要不充分”“ 充要”“ 既不充分又不必要”填空 ①“ x ? ? 3 ”是“ x 2 ? x ? 6 ? 0 ”的
2 2 ②“ a ? 0或b ? 0 ”是“ a ? b ? 0 ”的

条件; 条件;

(4)“ | x |?| y | ”是“ x ? y ? 0 ”的 2、指出下列各组命题中, p 是 q 的什么条件? (1) ? ABC 中, p : A ? B 条件; (2)对于实数 x , y , p : x ? y ? 8

条件。

q : BC ? AC ;
q :q: x ? 2或 y ? 6;
2

③“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等” 的 ④“ m 是素数”是“ m 是奇数”的 ⑤“集合 A ? B ”是“ A ? C ? B ? C ”的 ⑥“ x ? y ? 0, xy ? 0 ”的 ⑦“ x ? 0 ”是“ x ? 0 ”的
2 ⑧“ x ? 1 ”是” x ? 1 ”的

条件。 条件。

(3)已知 x , y ? R , p : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 0
2

q : ? x? 1 ?? y? 2 ? ?0

条件是“ x ? 0, y ? 0 ”。 条件。 条件。 条件是“ a ? b ”。 ; ; 4、条件 p : x ? 1, y ? 1 ,条件 q : x ? y ? 2, xy ? 1 , (1)条件 p 是条件 q 的 条件 (2)写出条件 p 的一个充要条件 3、若集合 P ? {1, 2, 3,4}, Q ? { x 0 ? x ? 5, x ? R}, 则 ( )

A 、“ x ? R ”是“ x ? Q ”的充分非必要条件
C、 “ x ? R ”是“ x ? Q ”的充要条件

B 、“ x ? R ”是“ x ? Q ”的必要非充分条件

⑨“ a ? b ”的

D 、“ x ? R ”是“ x ? Q ”的非充分非必要条件

例 3、写出“ x ? 0 ”的一个必要非充分条件 写出“ x ? 0 ”的一个充分非必要条件 写出 x ? 0 “”的一个充要条件

例 4、设 A 是 C 的充分不必要条件,B 是 C 的充分条件,D 是 C 的必要条件,D 是 B 的充分 条件,试问: (1)D 是 C 的什么条件?(2)A 是 B 的什么条件?

练习: 1、若 x , y, z 都是实数,则

5、若 A 是 B 的充分条件, B 是 C 的充要条件, D 是 C 的必要条件,则 A 是 D 的

条件;

若命题甲是命题乙的充分不必要条件,命题丙是命题乙的必要不充分条件,命题丁是命题丙的

充要条件,则命题丁是命题甲的的________条件 6、设 f ? x ? ? x 2 ? 4 x ? x ? R? , (1) f ? x ? ? 0 的充要条件是 (2) f ? x ? ? 0 的一个必要而不充分条件是( )

C.k<0,b>0

D.k>0,b<0

b >1 一个充要条件是 a A. a >0 且 b >0 C. a >1 且 b >1


( B. b > a >0 D. a ( b - a )>0



A. x ? 0
7、填空: A

B. x ? 0 或 x ? 4

C. x ? 1 ? 1
A 是 B 的什么条件

D. x ? 2 ? 3
B 是 A 的什么条件

⑶已知 A:实数 x,y 满足 0<x<1 且 2<y<3;B:实数 x,y 满足 2<x+y<4 且 0<xy<3,问 A 是 B 的 什么条件,并说明理由。

B y 是实数 x>3 m+n 是偶数 a≠0 X=-1,y=2 m 是 6 的倍数

y 是有理数 x>5 m、n 是奇数 ab≠0 (x+2)(y-2)=0 m 是 4 的倍数

思考:有 A,B,C 三个盒子,其中一个盒子内有一个苹果,在三个盒子上各有一张纸条。A 盒 子上的纸条写的是“苹果在此盒内” ,B 盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内” ,C 盒子上的 纸条写的是“苹果不在 A 盒内” ,如果三张纸条中只有一张写的是真的,请问苹果究竟在哪个 盒子里?

8、用“充分非必要” 、 “必要非充分” 、 “充要” 、 “非充分非必要”填空。 (1) “x-1≠0”是“(x-1)(x-3)≠0”的_____________条件; (2) “

1 >1”的_____________条件是“x<1” 。 x

(3)P:两个命题 A、B 互为逆否命题,Q:命题 A、B 是等价命题 则P是Q的 ; (4)P:两个角不都是直角,Q:两个角不相等 则P是Q的 ; (5)若 A 是 B 的必要非充分条件,B 是 C 的充要条件,C 是 D 的必要非充分条件,则 D 是 A 的 条件,C 是 A 的 条件。 9、已知 ? 是 ? 的充要条件,s 是 r 的必要条件同时又是 ? 的充分条件,试问 ? 与 r 的关系。 10、选择题: ⑴一次函数的图象经过第一、二、三象限的充要条件是( A.k<0,b<0 B.k>0,b>0

【课后记】



1.6 子集与推出关系
【教学目标】1、初步体会利用集合知识有助于理解逻辑关系。

2、理解集合包含关系与推出关系的等价性,掌握运用该等价关系进行推理的方法。 3、了解集合思想在分析问题、解决问题中的应用,进一步提高分析和概括能力以及数学语言的 表述能力。 4、通过理解集合关系与推出关系之间的内在联系,体会数学的和谐统一之美。 【教学重点】掌握运用该等价关系进行推理的方法 【教学难点】能利用集合知识助于理解逻辑关系的理解 【教学过程】 一、课前预习反馈: 1、子集的推出关系描述为: 设 A 、 B 是非空集合, A ? a a具有性质? , B ? b b具有性质? ,则 A ? B 与

例 1、试用子集与推出关系说明 ? 是 ? 的什么条件? (1) ? : x ? 1

? : x2 ? 1

(2) ? : x ? 3 , ? : x ? 4 ;

(3) ? : x ? 1 且 y ? 2 , (3) ? : a ? b ? 0 , (4) ? : xy ? 0 ,

? :x? y?3 ;
? : a ? 0, b ? 0 ;
? :| x ? y |?| x | ? | y | ;
? : 四边形为正方形

?

?

?

?

(5) ? : 四边形各边相等,

? ? ? 等价
2、 设 A、B 是非空集合, A ? {a | a具有性质 ?} , B ? {b | b具有性质? } ,若 A ? B , 则__________________. 3、 设 A、B 是非空集合, A ? {a | a具有性质 ?} , B ? {b | b具有性质? } ,若 A ? B , 则__________________. 4、 设 A、B 是非空集合, A ? {a | a具有性质 ?} , B ? {b | b具有性质? } ,若 A ? B , 则__________________. 5、 设 A、B 是非空集合, A ? {a | a具有性质 ?} , B ? {b | b具有性质? } ,若 A ? B , 则__________________. 6、 设 A、B 是非空集合, A ? {a | a具有性质 ?} , B ? {b | b具有性质? } ,若 A ? B , 则__________________. 7、运用子集与推出关系解决充分必要条件的问题 二、课堂学习探索:

例 2、试用子集与推出关系说明 ? 是 ? 的什么条件? (1) ? : x ? ?2 ,

? : x2 ? 4 ;
? : 正整数 n 的个位数是 5

(2) ? : 正整数 n 被 5 整除

例 3、设 ? : 1 ? x ? 3 , ? : m ? 1 ? x ? 2m ? 4 , (1)若 ? 是 ? 的充分条件,求 m 的取值范围; (2)若 ? 是 ? 的必要条件,求 m 的取值范围

例 4、 (1)是否存在实数 m ,使得 2 x ? m ? 0 是 x ? ?1 或 x ? 3 的充分条件? (2)是否存在实数 m ,使得 2 x ? m ? 0 是 x ? ?1 或 x ? 3 的必要条件? 【课后记】

例 5、设 A ? ?1, 2? ,分别写出一个符合条件的集合 B (1) B ? ___________ 时, “ x ? A ”是“ x ? B ”的充分非必要条件 (2) B ? ____________ 时, “ x ? A ”是“ x ? B ”的必要非充分条件

2 2 例 6、设 ? :表示 ?2 ? x ? 4 , ? :表示关于 x 的方程 x ? 3ax ? 2a ? 0 ( a ? R )的实数解,

若 ? 是 ? 的必要不充分条件,求 a 的范围

※求方程 x ? (2m ? 1) x ? m ? 0( m ? R) 有两个大于 1 的根的充要条件。
2 2



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