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1.2.2三角函数线



任意角的三角函数的单位圆定义:

sin ? ? y cos? ? x y t an? ?
x

y P(x,y) o

?
x

问题1:你能否用几何中的方法表示三角函数? y y P(x,y) P(x,y) o

?
M

?

M

o

x

x

y

三角函数线
α

α的终边 P
T

x O
M A(1,0)

有向线段MP称为角?的正弦线, 即: sin ? ? MP 有向线段AT 称为角?的正切线, 即: tan ? ? AT

有向线段MP称为角?的余弦线, 即: cos? ? OM

终边落在第二象限
α的终边 P y

sin ? ? MP
α
M

x
A(1,0)

cos ? ? OM tan ? ? AT

O

T

终边落在第三象限
y
T

sin ? ? MP
x
A(1,0)

M

α O

cos ? ? OM tan ? ? AT

P

α的终边

终边落在第四象限
y

α

sin ? ? MP
M A(1,0)

O
P
T

x

cos ? ? OM tan ? ? AT

α的终边

α的终边 P
M

y

三角函数线
y α的终边 P T x
A(1,0) T
α

α

O y

O

M A(1,0)

x

sin ? ? MP cos ? ? OM tan ? ? AT

y
T

M

α
O

x
A(1,0)

α O

M

A(1,0)

P
α的终边

x P
T

α的终边

应用举例:
例1.如图,α、β的终边分别与单位圆交于 点P、Q,过A(1,0)作切线AT交OP于T,交OQ的 反向延长线于T/,P、Q在x轴上的射影为M、N 指出α、β的三角函数线。 y P T Q β α NO M A x

T/

例题2

1 己知 sin ? ? , 求角 ?的集合 2

练习

3 1) cos? ? 2 2) tan? ? ?1

练习2:
用三角函数线证明:

(1) sin ? ? cos ? ? 1
2 2

(2) | sin ? | ? | cos? |? 1

? 例4. 已知α∈(0, 2 ),试证明sinα<α<tanα .

证明:sinα=|ON|=|MP|, α = AP tanα=|AT|. 又 S扇形OAP ? S 所以
OAT

y N O P T x M A

1 1 ? OA ? ? ? ? OA ? AT 2 2

即sinα<α<tanα .



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