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2010年高考数学试题分类汇编——不等式


2010 年高考数学试题分类汇编——不等式 年高考数学试题分类汇编—— 数学试题分类汇编——不等式
2 x + y ≤ 3, x + 2 y ≤ 3, 上海文数) 15.满足线性约束条件 的目标函数 z = x + y 的最大值是 (2010 上海文数) x ≥ 0, y ≥ 0
( (A)1. ) (B)

[答]

解析:当直线 z = x + y 过点 B(1,1)时,z 最大值为 2

3 . 2

(C)2.

(D)3.

x + 3 y 3 ≥ 0, 浙江理数) (7)若实数 x , y 满足不等式组 2 x y 3 ≤ 0, 且 x + y 的最大值为 9,则 (2010 浙江理数) x my + 1 ≥ 0,
实数 m = (A) 2 (B) 1 (C)1 (D)2

解析:将最大值转化为 y 轴上的截距,将 m 等价为斜率的倒数,数形结合可知答案选 C,本 题主要考察了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中 档题

理数) (5)不等式 (2010 全国卷 2 理数) (A) x x< 2, 或x>3 (C)

x2 x 6 >0 的解集为 x 1
(B) x x< 2,或1<x<3

{

}

{

} }

{ x 2<x<1,或x>3}

(D) x 2<x<1 ,或1<x<3

{

【答案】C 【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.

【解析】 解得-2<x<1 或 x>3,故选 C

利用数轴穿根法

x ≥ 1 则 z=2x+y 的最大值为 文数) (2010 全国卷 2 文数)(5)若变量 x,y 满足约束条件 y ≥ x 3x + 2 y ≤ 5
-1-

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析】 本题考查了线性规划的知识. 【解析】C:本题考查了线性规划的知识.

y = x 与 3 x + 2 y = 5 的交点为最优解点,∴ 的交点为最优解点, 作出可行域,作出目标函数线, ∵ 作出可行域,作出目标函数线,可得直线与

z =3 即为( ,当 即为(1,1) 当 x = 1, y = 1 时 max ,
x 3 <0 的解集为 x+2

文数) (2)不等式 (2010 全国卷 2 文数) (A) x 2 < x < 3

{

}

(B) x x < 2

{

}

(C) x x < 2或x > 3

{

}

(D) x x > 3

{

}

【解析】A :本题考查了不等式的解法 解析】



x3 <0 x+2 ,∴

2 < x < 3 ,故选 A

x2 x2 > x x 江西理数) (2010 江西理数)3.不等式 2) A. (0, 【答案】 A
B. (∞, 0) C. (2, ∞ ) +

的解集是(

)

D.(-∞,0) (0, ∞ ) ∪ +

【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身,值为负数. 或者选择 x=1 和 x=-1,两个检验进行排除.

x2 < 0 ,解得 A. x

2 x + y 6 ≥ 0, 安徽文数) (8)设 x,y 满足约束条件 x + 2 y 6 ≤ 0, 则目标函数 z=x+y 的最大值是 (2010 安徽文数) y ≥ 0,
(A)3 8.C (B) 4 (C) 6 (D)8

【解析】 不等式表示的区域是一个三角形, 个顶点是 (3, 0), (6, 0), (2, 2) , 3 目标函数 z = x + y 在 (6, 0) 取最大值 6. 【规律总结】线性规划问题首先作出可行域,若为封闭区域(即几条直线围成的区域)则区 域端点的值是目标函数取得最大或最小值,求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值. ( 2010 重 庆 文 数 ) 7 ) 设 变 量 x, y 满 足 约 束 条 件 (

x ≥ 0, 则 z = 3 x 2 y 的最大值为 x y ≥ 0, 2 x y 2 ≤ 0,
(A)0 (B)2

-2-

(C)4 (D)6 解析:不等式组表示的平面区域如图所示, 当直线 z = 3 x 2 y 过点 B 时,在 y 轴上截距最小,z 最大 由 B(2,2)知 zmax = 4

解析:将最大值转化为 y 轴上的截距,可知答案选 A,本题主要考察了用平面区域二元一次不 等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题 重庆理数) (7)已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是 (2010 重庆理数) A. 3 B. 4 C.

9 11 D. 2 2
2

解析:考察均值不等式

x + 2y 2 x + 2 y = 8 x (2 y ) ≥ 8 ,整理得 ( x + 2 y ) + 4(x + 2 y ) 32 ≥ 0 2
即 ( x + 2 y 4 )( x + 2 y + 8) ≥ 0 ,又 x + 2 y > 0 ,∴ x + 2 y ≥ 4

y ≥ 0 重庆理数) (4)设变量 x,y 满足约束条件 x y + 1 ≥ 0 ,则 z=2x+y 的最大值为 (2010 重庆理数) x + y 3 ≤ 0
A.—2 B. 4 C. 6 D. 8 解析:不等式组表示的平面区域如图所示 当直线过点 B(3,0)的时候,z 取得最大值 6

x + y 11 ≥ 0 北京理数) (7) (2010 北京理数) 设不等式组 3 x y + 3 ≥ 0 5 x 3 y + 9 ≤ 0
的图像上存在区域 D 上的点,则 a 的取值范围是 (A)(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2]

表示的平面区域为 D, 若指数函数 y= a

x

(D )[ 3, +∞ ]

-3-

答案:A

四川理数) (12)设 a > b > c > 0 ,则 2a 2 + (2010 四川理数)

1 1 + 10ac + 25c 2 的最小值是 ab a (a b)
(D)5

w_w

w. k#s5_u. c o* m

(A)2
2

(B)4

(C) 2 5

解析: 2a +

1 1 + 10ac + 25c 2 ab a (a b) 1 1 + ab a (a b)

= ( a 5c) 2 + a 2 ab + ab +

w_w_w.k*s 5*u.c o*m

= ( a 5c) 2 + ab +

1 1 + a ( a b) + ab a ( a b)

≥0+2+2=4 当且仅当 a-5c=0,ab=1,a(a-b)=1 时等号成立 如取 a= 2 ,b= 答案:B 四川理数) (7)某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品,由乙车间加工出 B 产品. (2010 四川理数) y每千克 A 产品获利 40 甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品, 元,乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产 品,每千克 B 产品获 80甲,乙两车间耗费工 利 50 元.甲,乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工,每天 时总和不得超过 480 小时, 甲, 乙两车间每天总获利最大的生产计 70 划为 (A)甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原料 60 箱 (15,55) (B)甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 (C)甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 (D)甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱 解析:设甲车间加工原料 x 箱,乙车间加工原料 y 箱
w_w_w.k*s 5*u.c o*m

2 2 ,c= 满足条件. 2 5

x + y ≤ 70 则 10 x + 6 y ≤ 480 x, y ∈ N

70 x 0
w_w w. k#s5_u.c o* m

48

目标函数 z=280x+300y 结合图象可得:当 x=15,y=55 时 z 最大 本题也可以将答案逐项代入检验. 答案:B
w_w_w.k*s 5*u. c o*m

-4-

x + y ≤ 3, 天津文数) (2010 天津文数)(2)设变量 x,y 满足约束条件 x y ≥ 1, 则目标函数 z=4x+2y 的最大值 y ≥ 1,
为 (A)12 (B)10 (C)8 (D)2 【答案】B 【解析】本题主要考查目标函数最值的求法,属于容易题,做 出可行域, 如图由图可知, 当目标函数过直线 y=1 与 x+y=3 的交点 (2,1)时 z 取得最大值 10.

福建文数) (2010 福建文数)

文数) (10)设 a = log 3 2, b = ln 2, c = 5 2 则 (2010 全国卷 1 文数) (A) a < b < c (B) b < c < a (C) c < a < b (D) c < b < a 10.C 【命题意图】本小题以指数,对数为载体,主要考查指数函数与对数函数的性质,实数 大小的比较,换底公式,不等式中的倒数法则的应用. 【解析 1】 a= log 3 2=
1 2

1

1 1 , b=In2= ,而 log 2 3 > log 2 e > 1 ,所以 a<b, log 2 3 log 2 e

c= 5



=

1 ,而 5 > 2 = log 2 4 > log 2 3 ,所以 c<a,综上 c<a<b. 5 1 1 1 1 1 e 3 ,b=ln2= , 1 < log 2 < log 2 < 2 , < < <1; 3 e 3 log 2 log 2 2 log 2 log e 2

【 解 析 2 】 a= log 3 2=
1 2

c= 5



=

1 1 1 < = ,∴c<a<b 5 4 2

-5-

y ≤ 1, 则 z = x 2 y 的最大值为 文数) (3)若变量 x, y 满足约束条件 x + y ≥ 0, (2010 全国卷 1 文数) x y 2 ≤ 0,
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 3.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识,作图,识图能力及计算能力. 【解析】 画出可行域 (如右图) z = x 2 y y = , 时,z 最大,且最大值为 zmax = 1 2 × ( 1) = 3 .

1 1 x z, 由图可知,当直线 l 经过点 A(1,-1) 2 2 y y=x l0 : x 2 y = 0 A x+ y =0 1

O
1 2

2
A

x

x y2=0

理数) (8)设 a= log 3 2,b=ln2,c= 5 (2010 全国卷 1 理数) (A) a<b<c (B)b<c<a (C) c<a<b

,则

2

(D) c<b<a

理数) (2010 全国卷 1 理数)

四川文数) (11)设 a>b>0 ,则 a + (2010 四川文数)
2

1 1 + 的最小值是 ab a ( a b )

(A)1 解析: a +
2

(B)2

(C)3

(D)4

1 1 + ab a ( a b )

w_w w. k#s5_u.c o* m

-6-

= a 2 ab + ab +

1 1 + ab a (a b)

= ab +

1 1 + a ( a b) + ab a ( a b)

≥2+2=4 当且仅当 ab=1,a(a-b)=1 时等号成立 如取 a= 2 ,b= 答案:D 四川文数) (8)某加工厂用某原料由车间加工出 A 产品,由乙车间加工出 B 产品. (2010 四川文数) 甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品,每千克 A 产品获利 40 元.乙 车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品,每千克 B 产品获利 50 元.甲, 乙两车间每天功能完成至多 70 多箱原料的加工,每天甲,乙车间耗费工时总和不得超过 480 小时,甲,乙两车间每天获利最大的生产计划为
w_w w. k#s5_u.c o* m

2 满足条件. 2

(A)甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原料 60 箱 (B)甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 (C)甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 y 80

70 (D)甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱高^考#资*源^网 解析:解析:设甲车间加工原料 x 箱,乙车间加工原料 y 箱 (15,55)

x + y ≤ 70 则 10 x + 6 y ≤ 480 x, y ∈ N
目标函数 z=280x+300y 结合图象可得:当 x=15,y=55 时 z 最大 本题也可以将答案逐项代入检验. 答案:B
w_w w. k#s5_u.c o* m

70 x 0 48

山东理数) (2010 山东理数)

-7-

x ≥ 1 福建理数) 8. (2010 福建理数) 设不等式组 x-2y+3 ≥ 0 所表示的平面区域是 1 ,平面区域是 2 与 1 关 y ≥ x
于直线 3 x 4 y 9 = 0 对称,对于 1 中的任意一点 A 与 2 中的任意一点 B, | AB | 的最小值等 于( A. )

28 5

B.4

C.

12 5

D.2

【答案】B 【解析】由题意知,所求的 | AB | 的最小值,即为区域 1 中的点到直线 3 x 4 y 9 = 0 的距离 的 最 小 值 的 两 倍 , 画 出 已 知 不 等 式 表 示 的 平 面 区 域 , 如 图 所 示 ,

可看出点(1,1)到直线 3 x 4 y 9 = 0 的距离最小,故 | AB | 的最小值为

-8-



| 3 ×1 4 ×1 9 | = 4 ,所以选 B. 5

2010 年高考数学试题分类汇编——不等式 年高考数学试题分类汇编—— 数学试题分类汇编——不等式
2 x > 0 的解集是 {x | 4 < x < 2} . x+4 2 x 解析:考查分式不等式的解法 > 0 等价于(x-2)(x+4)<0,所以-4<x<2 x+4
上海文数) (2010 上海文数)2.不等式

x + 2 y ≤ 4, 陕西文数) (2010 陕西文数)14.设 x,y 满足约束条件 x y ≤ 1, ,则目标函数 z=3x-y 的最大值为 x + 2 ≥ 0,
5 . 解析:不等式组表示的平面区域如图所示, 当直线 z=3x-y 过点 C(2,1)时,在 y 轴上截距最小 此时 z 取得最大值 5

辽宁文数) (15)已知 1 < x + y < 4 且 2 < x y < 3 , (2010 辽宁文数) 则 z = 2 x 3 y 的取值范围是 (答案用区间表示) .

x + y > 1 x + y < 4 解析:填 (3,8) . 利用线性规划,画出不等式组 表示的平面区域,即可求解. x y > 2 x y < 3
辽宁理数) (14)已知 1 < x + y < 4 且 2 < x y < 3 ,则 z = 2 x 3 y 的取值范围是 (2010 辽宁理数) _______(答案用区间表示) 【答案】 (3,8) 【命题立意】本题考查了线性规划的最值问题,考查了同学们数形结合解决问题的能 力. 【解析】画出不等式组

1 < x + y < 4 表示的可行域,在可行域内平移直线 z=2x-3y, 2 < x y < 3

当直线经过 x-y=2 与 x+y=4 的交点 A(3,1)时,目标函数有最小值 z=2×3-3×1=3;当直线 经过 x+y=-1 与 x-y=3 的焦点 A(1,-2)时,目标函数有最大值 z=2×1+3×2=8.
-9-

安徽文数) (2010 安徽文数)(15)若 a > 0, b > 0, a + b = 2 ,则下列不等式对一切满足条件的 a, b 恒成立 的是 ① ab ≤ 1 ; ④a +b ≥ 3;
3 3

(写出所有正确命题的编号). ② a+ b≤ ⑤

2;

③ a +b ≥ 2;
2 2

1 1 + ≥2 a b

15.①,③,⑤ 【解析】令 a = b = 1 ,排除②②;由 2 = a + b ≥ 2 ab ab ≤ 1 ,命题①正确;

1 1 a+b 2 a 2 + b 2 = (a + b)2 2ab = 4 2ab ≥ 2 ,命题③正确; + = = ≥ 2 ,命题⑤正确. a b ab ab
浙江文数) (15)若正实数 X,Y 满足 2X+Y+6=XY , 则 XY 的最小值是 (2010 浙江文数) 答案: 答案:18 山东文数) (14)已知 x, y ∈ R + ,且满足 (2010 山东文数) 答案:3 北京文数) (11)若点 p(m,3)到直线 4 x 3 y + 1 = 0 的距离为 4,且点 p 在不等 (2010 北京文数) 式 2x + y <3 表示的平面区域内,则 m= 答案: 答案:-3 . .

x y + = 1 ,则 xy 的最大值为 3 4

.

文数) (2010 全国卷 1 文数)(13)不等式 13.

x2 f 0 的解集是 x + 3x + 2
2

.

{ x 2 < x < 1,
2

或 x > 2} 【命题意图】本小题主要考查不等式及其解法

【解析】:

x2 x2 f0 > 0 ( x 2 )( x + 2 )( x + 1) > 0 ,数轴标根得: x + 3x + 2 ( x + 2 )( x + 1)
或 x > 2}

{ x 2 < x < 1,

理数) (2010 全国卷 1 理数)(13)不等式 2 x + 1 x ≤ 1 的解集是
2

.

- 10 -

y ≤ x, 湖北文数) (2010 湖北文数)12.已知: 2 x y , 式中变量 x, y 满足的束条件 x + y ≥ 1, 则 z 的最大值为 x ≤ 2
______. 【答案】5 【解析】同理科 山东理数) (2010 山东理数)

1. (2010 安徽理数)

2 x y + 2 ≥ 0 2. ( 2010 安 徽 理 数 ) 13 , 设 x, y 满 足 约 束 条 件 8 x y 4 ≤ 0 , 若 目 标 函 数 x ≥ 0 , y ≥ 0

z = abx + y ( a > 0, b > 0 ) 的最大值为 8,则 a + b 的最小值为________.
13. 4 【解析】不等式表示的区域是一个四边形,4 个顶点是

1 (0, 0), (0, 2), ( , 0), (1, 4) ,易见目标函数在 (1, 4) 取最大值 8, 2
所以 8 = ab + 4 ab = 4 , 所以 a + b ≥ 2 ab = 4 , a = b = 2 时是等号成立. 在 所以 a + b 的 最小值为 4. 【规律总结】线性规划问题首先作出可行域,若为封闭区域(即几条直线围成的区域)则区 域端点的值是目标函数取得最大或最小值,求出直线交点坐标代入得 ab = 4 ,要想求 a + b 的 最小值,显然要利用基本不等式.

- 11 -

y ≤ x, 3. (2010 湖北理数)12.已知 z = 2 x y ,式中变量 x , y 满足约束条件 x + y ≥ 1, ,则 z 的 x ≤ 2,
最大值为___________. 12.【答案】5 【解析】依题意,画出可行域(如图示) , 则对于目标函数 y=2x-z, 当直线经过 A(2,-1)时, z 取到最大值, Z max = 5 . (2010 湖北理数) 15.设 a>0,b>0,称

2ab 为 a, 的调和平均数. b 如图, a+b

C 为线段 AB 上的点,且 AC=a,CB=b,O 为 AB 中点,以 AB 为直径做 半圆.过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D.连结 OD,AD,BD.过点 C 作 OD 的垂线,垂足为 E.则图中线段 OD 的长度是 a,b 的算术平均 的长度是 a,b 的几何平均数,线段 的长度是 a,b 的 数,线段 调和平均数. 15.【答案】CD DE 【解析】在 Rt△ADB 中 DC 为高,则由射影定理可得 CD 2 = AC CB ,故 CD = ab ,即 CD 长度为 a,b 的几何平均数,将 OC= a
OD CE = OC CD 可 得 CE =

a+b ab a+b = , CD = ab , OD = 代入 2 2 2

( a b) 2 ab ab 故 OE = OC 2 CE 2 = ,所以 2(a + b) a+b

ED=OD-OE=

2ab ,故 DE 的长度为 a,b 的调和平均数. a+b

2 4≤ 江苏卷) 12, (2010 江苏卷) 设实数 x,y 满足 3≤ xy ≤8,

x2 x3 ≤9, 则 4 的最大值是 y y



.
.

[解析] 考查不等式的基本性质,等价转化思想.

(

x2 2 1 1 1 x3 x2 1 x3 ) ∈ [16,81] , 2 ∈ [ , ] , 4 = ( ) 2 2 ∈ [2, 27] , 4 的最大值是 27. y xy 8 3 y y xy y

2010 年高考数学试题分类汇编——三角函数 年高考数学试题分类汇编—— ——三角函数
上海文数)19.( (2010 上海文数)19.(本题满分 12 分) 已知 0 < x <

π
2

,化简:

x π lg(cos x tan x + 1 2sin 2 ) + lg[ 2 cos( x )] lg(1 + sin 2 x) . 2 2

- 12 -

解析:原式=lg(sinx+cosx)+lg(cosx+sinx)lg(sinx+cosx)2=0.

湖南文数) (2010 湖南文数)16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = sin 2 x 2sin x
2

(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期. (II) 求函数 f ( x ) 的最大值及 f ( x ) 取最大值时 x 的集合.

浙江理数) (18)(本题满分 l4 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 (2010 浙江理数)

cos 2C =

1 4

(I)求 sinC 的值; (Ⅱ)当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长. 解析:本题主要考察三角变换,正弦定理,余弦定理等基础知识,同事考查运算求解能力. (Ⅰ)解:因为 cos2C=1-2sin2C=

1 ,及 0<C<π 4

所以 sinC=

10 . 4 a c = ,得 sin A sin C

(Ⅱ)解:当 a=2,2sinA=sinC 时,由正弦定理 c=4 由 cos2C=2cos2C-1=

1 ,J 及 0<C<π得 4

cosC=±

6 4

由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC,得 b2± 6 b-12=0

- 13 -

解得 所以

b= 6 或 2 6 b= 6 c=4 或 b= 6 c=4

理数) (17) (本小题满分 10 分) (2010 全国卷 2 理数)

ABC 中, D 为边 BC 上的一点, BD = 33 , sin B =

5 3 , cos ∠ADC = ,求 AD . 13 5

【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系,两角和差公式和正弦定理在解三角形中的 应用,考查考生对基础知识,基本技能的掌握情况. 【参考答案】

由 cos∠ADC=

>0,知 B<

.

由已知得 cosB=

,sin∠ADC=

.

从而 sin∠BAD=sin(∠ADC-B)=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB=

=

.

由正弦定理得

,所以

=

.

【点评】三角函数与解三角形的综合性问题,是近几年高考的热点,在高考试题中频繁出现. 这类题型难度比较低,一般出现在 17 或 18 题,属于送分题,估计以后这类题型仍会保留, 不会有太大改变.解决此类问题,要根据已知条件,灵活运用正弦定理或余弦定理,求边角或 将边角互化. 陕西文数) (2010 陕西文数)17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点, AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长. 解 在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得 cos ∠

AD 2 + DC 2 AC 2 100 + 36 196 1 = = , 2 AD DC 2 × 10 × 6 2

∴ ∠ ADC=120°, ∠ ADB=60° 在△ABD 中,AD=10, ∠ B=45°, ∠ ADB=60°, AB AD 由正弦定理得 = , sin ∠ADB sin B

- 14 -

AD sin ∠ADB 10 sin 60° ∴ AB= = = sin B sin 45°

10 × 2 2

3 2 =5 6.

辽宁文数) (17) (本小题满分 12 分) (2010 辽宁文数) 在 ABC 中, a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边, 且 2a sin A = (2b + c )sin B + (2c + b) sin C (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B + sin C = 1 ,试判断 ABC 的形状. 解: (Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 2a 2 = ( 2b + c)b + ( 2c + b)c 即 a = b + c + bc
2 2 2

由余弦定理得 a = b + c 2bc cos A
2 2 2

故 cos A =

1 , A = 120° 2
2 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 sin A = sin B + sin C + sin B sin C. 又 sin B + sin C = 1 ,得 sin B = sin C = 因为 0° < B < 90°,0° < C < 90° , 故B=C 所以 ABC 是等腰的钝角三角形. 辽宁理数) (17) (本小题满分 12 分) (2010 辽宁理数) 在△ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且

1 2

2asin A = (2a + c)sin B + (2c + b)sin C.
(Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 sin B + sin C 的最大值. 解: (Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 2a 2 = (2b + c )b + (2c + b)c 即

a 2 = b 2 + c 2 + bc
由余弦定理得

a 2 = b 2 + c 2 2bc cos A
……6 分



1 cos A = ,A=120° 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得:

- 15 -

sin B + sin C = sin B + sin(60° B )

3 1 cos B + sin B 2 2 = sin(60° + B) =
故当 B=30°时,sinB+sinC 取得最大值 1. 文数) (17) (本小题满分 10 分) (2010 全国卷 2 文数) ……12 分

ABC 中, D 为边 BC 上的一点, BD = 33 , sin B =

5 3 , cos ∠ADC = ,求 AD . 13 5

【解析】本题考查了同角三角函数的关系,正弦定理与余弦定理的基础知识. 解析】本题考查了同角三角函数的关系, 弦定理与余弦定理的基础知识. 的正弦, 由 ∠ADC 与 ∠B 的差求出 ∠BAD ,根据同角关系及差角公式求出 ∠BAD 的正弦,在三角形 AD. ABD 中,由正弦定理可求得 AD. 江西理数) (2010 江西理数)17.(本小题满分 12 分)

π π f ( x ) = (1 + cot x ) sin 2 x + m sin x + sin x 4 4 . 已知函数
f ( x)
π 3π 8 ,4 上的取值范围; 在区间 3 5 ,求 m 的值.

(1) 当 m=0 时,求

(2) 当 tan a = 2 时,

f (a) =

【解析】考查三角函数的化简,三角函数的图像和性质,已知三角函数值求值问题.依托三 角函数化简,考查函数值域,作为基本的知识交汇问题,考查基本三角函数变换,属于中等 题. 解: (1)当 m=0 时, f ( x ) = (1 +

cos x 1 cos 2 x + sin 2 x )sin 2 x = sin 2 x + sin x cos x = sin x 2

1 π π 3π π 2 = [ 2 sin(2 x ) + 1] ,由已知 x ∈ [ , ] ,得 2 x ∈ [ ,1] 2 4 8 4 4 2
从而得: f ( x ) 的值域为 [0, (2) f ( x ) = (1 +

1+ 2 ] 2

cos x π π ) sin 2 x + m sin( x + )sin( x ) sin x 4 4 1 1 化简得: f ( x ) = [sin 2 x + (1 + m) cos 2 x ] + 2 2 2 sin a cos a 2 tan a 4 3 = = , cos 2a = , 当 tan α = 2 ,得: sin 2a = 2 2 2 sin a + cos a 1 + tan a 5 5
- 16 -

代入上式,m=-2. 安徽文数) (本小题满分 12 分) (2010 安徽文数)16,

ABC 的面积是 30,内角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c , cos A =

12 . 13

uuu uuur r
(Ⅰ)求 AB AC ; (Ⅱ)若 c b = 1 ,求 a 的值. 【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系,三角形面积公式,向量的数量积,利用余 弦定理解三角形以及运算求解能力. 【解题指导】 (1)根据同角三角函数关系,由 cos A =

12 得 sin A 的值,再根据 ABC 面积 13
2 2 2

公式得 bc = 156 ;直接求数量积 AB AC .由余弦定理 a = b + c 2bc cos A ,代入已知条 件 c b = 1 ,及 bc = 156 求 a 的值. 解:由 cos A = 又

uuu uuur r

12 2 5 12 ,得 sin A = 1 ( ) = . 13 13 13

1 bc sin A = 30 ,∴ bc = 156 . 2 uuu uuur r 12 (Ⅰ) AB AC = bc cos A = 156 × = 144 . 13
(Ⅱ) a = b + c 2bc cos A = (c b) + 2bc (1 cos A) = 1 + 2 156 (1
2 2 2
2

∴a = 5. 【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知,需求 bc 的值,考虑已知 ABC 的面 积是 30, cos A =

12 ) = 25 , 13

12 ,所以先求 sin A 的值,然后根据三角形面积公式得 bc 的值.第二问中求 13

a 的值,根据第一问中的结论可知,直接利用余弦定理即可. (2010 重庆文数)(18).(本小题满分 13 分), (Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 8 分.) 设 ABC 的内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,且 3 b +3 c -3 a =4 2 bc .
2 2 2

(Ⅰ) 求 sinA 的值;

2sin( A + ) sin( B + C + ) 4 4 的值. (Ⅱ)求 1 cos 2 A

π

π

- 17 -

浙江文数) (18) (本题满分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,设 S 为△ (2010 浙江文数) ABC 的面积,满足 S =

3 2 (a + b 2 c 2 ) . 4

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sin A + sin B 的最大值.

重庆理数) (16) (本小题满分 13 分, (I)小问 7 分, (II)小问 6 分) (2010 重庆理数) 设函数 f ( x ) = cos x + (I) (II)



2 x π + 2 cos 2 , x ∈ R . 3 2

求 f ( x ) 的值域; 记 ABC 的内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,若 f ( B ) =1,b=1,c= 3 ,求
- 18 -

a 的值.

山东文数) (2010 山东文数)(17)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = sin(π ω x) cos ω x + cos 2 ω x ( ω > 0 )的最小正周期为 π , (Ⅰ)求 ω 的值; (Ⅱ)将函数 y = f ( x) 的图像上各点的横坐标缩短到原来的

1 ,纵坐标不变,得到函 2

π 数 y = g ( x) 的图像,求函数 y = g ( x) 在区间 0, 上的最小值. 16

- 19 -

北京文数) (15) (本小题共 13 分) (2010 北京文数) 已知函数 f ( x) = 2 cos 2 x + sin 2 x (Ⅰ)求 f ( ) 的值;

π

3

(Ⅱ)求 f ( x ) 的最大值和最小值 解: (Ⅰ) f ( ) = 2 cos

π

3

2π π 3 1 + sin 2 = 1 + = 3 3 4 4

(Ⅱ) f ( x ) = 2(2 cos 2 x 1) + (1 cos 2 x)

= 3cos 2 x 1, x ∈ R
因为 cos x ∈ [ 1,1] ,所以, cos x = ±1 时 f ( x ) 取最大值 2; cos x = 0 时,f ( x ) 当 当 去最小值-1. 北京理数) (15) (本小题共 13 分) (2010 北京理数)
2

www.@ks@5u .com

已知函数 f (x) = 2 cos 2 x + sin x 4 cos x . (Ⅰ)求 f = ( ) 的值;

π

3

(Ⅱ)求 f (x) 的最大值和最小值.

- 20 -

解: (I) f ( ) = 2 cos

π

3

2π π π 3 9 + sin 2 4 cos = 1 + = 3 3 3 4 4

(II) f ( x) = 2(2 cos 2 x 1) + (1 cos 2 x) 4 cos x = 3cos x 4 cos x 1
2

= 3(cos x )
2

2 3

7 , x∈R 3

因为 cos x ∈ [ 1,1] , 所以,当 cos x = 1 时, f ( x ) 取最大值 6;当 cos x =

2 7 时, f ( x ) 取最小值 3 3

四川理数) (19) (本小题满分 12 分) (2010 四川理数)
1 (Ⅰ)○证明两角和的余弦公式 Cα + β : cos( α + β ) = cos α cos β sin α sin β ; 2 ○由 Cα + β 推导两角和的正弦公式 Sα + β : sin( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β .

(Ⅱ)已知△ABC 的面积 S =

r 1 uuu uuur 3 , AB AC = 3 ,且 cos B = ,求 cosC. 5 2

本小题主要考察两角和的正,余弦公式,诱导公式,同角三角函数间的关系等基础知识及运 算能力. 解:(1)①如图,在执教坐标系 xOy 内做单位圆 O,并作出角 α,β 与-β,使角 α 的始边为 Ox,交⊙O 于点 P1,终边交⊙O 于 P2;角 β 的始边为 OP2,终边交⊙O 于 P3;角-β 的始边 为 OP1,终边交⊙O 于 P4. 则 P1(1,0),P2(cosα,sinα) P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)) 由 P1P3=P2P4 及两点间的距离公式,得 [cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2 展开并整理得:2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ) ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.……………………4 分
w_w w. k#s5_u.c o* m

②由①易得 cos( sin(α+β)=cos[

π π
2

-α)=sinα,sin(

π
2

-α)=cosα

2

-(α+β)]=cos[(

π
2

-α)+(-β)]

=cos(

π
2

-α)cos(-β)-sin(

π
2

-α)sin(-β)

=sinαcosβ+cosαsinβ……………………………………6 分 (2)由题意,设△ABC 的角 B,C 的对边分别为 b,c 则 S=

1 1 bcsinA= 2 2 uuu uuur r AB AC =bccosA=3>0

w_w w. k#s5_u.c o* m

- 21 -

∴A∈(0,

π
2

),cosA=3sinA

又 sin2A+cos2A=1,∴sinA= 由题意,cosB=

10 3 10 ,cosA= 10 10

3 4 ,得 sinB= 5 5 10 10
w_w w. k#s5_u. c o* m

∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=

故 cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-

10 …………………………12 分 10

天津文数) (17) (本小题满分 12 分) (2010 天津文数) 在 ABC 中,

AC cos B = . AB cos C
1 π ,求 sin 4B + 的值. 3 3

(Ⅰ)证明 B=C: (Ⅱ)若 cos A =-

【解析】本小题主要考查正弦定理,两角和与差的正弦,同角三角函数的基本关系,二倍角 的正弦与余弦等基础知识,考查基本运算能力.满分 12 分. ( Ⅰ ) 证 明 : 在 △ ABC 中 , 由 正 弦 定 理 及 已 知 得

sinBcosC-cosBsinC=0,即 sin(B-C)=0.因为 π < B C < π ,从而 B-C=0. 所以 B=C.

sin B cosB = .于是 sin C cosC

(Ⅱ)解:由 A+B+C= π 和(Ⅰ)得 A= π -2B,故 cos2B=-cos( π -2B)=-cosA= 又 0<2B< π ,于是 sin2B= 1 cos 2B =
2

1 . 3

2 2 . 3

从而 sin4B=2sin2Bcos2B=

4 2 7 2 2 ,cos4B= cos 2 B sin 2 B = . 9 9

所以 sin(4 B +

π
3

) = sin 4 B cos

π
3

+ cos 4 B sin

π
3

=

4 2 7 3 18

(2010 天津理数) 天津理数) (17) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = 2 3 sin x cos x + 2 cos 2 x 1( x ∈ R )

- 22 -

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及在区间 0,

π 上的最大值和最小值; 2

(Ⅱ)若 f ( x0 ) =

6 π π , x0 ∈ , ,求 cos 2x0 的值. 5 4 2

【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦,两角和的正弦,函数 y = A sin(ω x + ) 的性 质,同角三角函数的基本关系,两角差的余弦等基础知识,考查基本运算能力,满分 12 分. (1)解:由 f ( x ) = 2 3 sin x cos x + 2 cos 2 x 1 ,得

f ( x) = 3(2 sin x cos x) + (2 cos 2 x 1) = 3 sin 2 x + cos 2 x = 2sin(2 x + ) 6
所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 π 因为 f ( x ) = 2 sin 2 x +

π



π

π π π 在区间 0, 上为增函数,在区间 , 上为减函数,又 6 6 6 2

π f (0) = 1, f = 2, 6
-1

π π f = 1 ,所以函数 f ( x) 在区间 0, 上的最大值为 2,最小值为 2 2

(Ⅱ)解:由(1)可知 f ( x0 ) = 2sin 2 x0 +



π

6

又因为 f ( x0 ) =

6 π 3 ,所以 sin 2 x0 + = 5 6 5

由 x0 ∈

π 2π 7π π π , ,得 2 x0 + ∈ , 6 3 6 4 2


从而 cos 2 x0 + 所以

π

π 4 2 = 1 sin 2 x0 + = 6 6 5

π π π π π π 3 4 3 cos 2 x0 = cos 2 x0 + = cos 2 x0 + cos + sin 2 x0 + sin = 6 6 6 6 6 6 10
广东理数) (2010 广东理数)16,(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = A sin(3 x + )( A > 0, x ∈ ( ∞, +∞), 0 < < π 在 x = (1) 求 f ( x ) 的最小正周期;
- 23 -

π
12

时取得最大值 4.

(2) 求 f ( x ) 的解析式; (3) 若 f (

2 π 12 α + )= ,求 sinα. 3 12 5

[来源:高考资源网 KS5U.COM]

π 3 3 3 1 5 sin(2α + ) = , cos 2α = , 1 2sin 2 α = , sin 2 α = , sin α = ± . 2 5 5 5 5 5
广东文数) (2010 广东文数)

[来

理数) (2010 全国卷 1 理数)(17)(本小题满分 10 分)

- 24 -

已知 VABC 的内角 A , B 及其对边 a

,b

满足 a + b = a cot A + b cot B ,求内角 C .

四川文数) (19) (本小题满分 12 分) (2010 四川文数)

w_w w. k#s5_u.c o*

1 (Ⅰ)○证明两角和的余弦公式 Cα + β : cos( α + β ) = cos α cos β sin α sin β ; 2 ○由 Cα + β 推导两角和的正弦公式 Sα + β : sin( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β .

(Ⅱ)已知 cos α =

4 3 1 π , α ∈ (π , π ), tan β = , β ∈ ( , π ), cos(α + β ) ,求 cos(α + β ) 5 2 3 2

湖北文数) (2010 湖北文数)16.(本小题满分 12 分)

cos 2 x sin 2 x 1 1 已经函数 f ( x) = , g ( x) = sin 2 x . 2 2 4
(Ⅰ)函数 f ( x ) 的图象可由函数 g ( x ) 的图象经过怎样变化得出?

- 25 -

(Ⅱ)求函数 h( x ) = f ( x ) g ( x ) 的最小值,并求使用 h( x ) 取得最小值的 x 的集合.

山东理数) (2010 山东理数)

- 26 -

湖南理数) (本小题满分 12 分) (2010 湖南理数)16. 已知函数 f ( x ) =

3 sin 2 x 2sin 2 x .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值; (II)求函数 f ( x ) 的零点的集合.

(2010 湖北理数) 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= cos(

π

π 1 1 + x) cos( x), g ( x) = sin 2 x 3 3 2 4

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合.

- 27 -

福建理数) (本小题满分 13 分) (2010 福建理数)19.

某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 .在小艇出发时 ,轮
船位于港口 O 北偏西 30 且与该港口相距 20 海里的 A 处,并以 30 海里/小时的航行速度沿正 东方向匀速行驶.假设该小船沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与 轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向与 航行速度的大小) ,使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由. 【解析】如图,由(1)得
o

OC = 10 3,AC=10,故OC >AC ,且对于线段AC上任意点P,有OP ≥ OC >AC, 而小艇的最高
航行速度只能达到 30 海里/小时,故轮船与小艇不可能在 A,C(包含 C)的任意位置相遇, 设 ∠COD=θ (0o <θ <90o ),则在Rt COD中,CD = 10 3 tan θ ,OD=

10 3 , cos θ

由于从出发到相遇,轮船与小艇所需要的时间分别为 t =

10 + 10 3 tan θ 10 3 和t = , 30 v cos θ

所以

10 + 10 3 tan θ 10 3 15 3 3 = ,解得 v = ,又v ≤ 30,故 sin (θ +30o ) ≥ , o 30 v cos θ sin (θ +30 ) 2

从而 30o ≤ θ <90o ,由于θ = 30o 时, θ 取得最小 值,且最小值为 tan

3 ,于是 3

当 θ = 30 时, = t
o

10 + 10 3 tan θ 2 取得最小值,且最小值为 . 30 3

此时,在 OAB 中, OA = OB = AB = 20 ,故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东 30 ,航行速度为 30 海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇.
- 28 o

(2010 安徽理数)16, (本小题满分 12 分) 设 ABC 是锐角三角形, a, b, c 分别是内角 A, B, C 所对边长,并且

sin 2 A = sin( + B ) sin( B ) + sin 2 B . 3 3
(Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 AB AC = 12, a = 2 7 ,求 b, c (其中 b < c ) .

π

π

uuu uuur r

江苏卷) (本小题满分 14 分) (2010 江苏卷)17, 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m) ,如示意图,垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m, 仰角∠ABE= α ,∠ADE= β . (1)该小组已经测得一组 α , β 的值,tan α =1.24,tan β =1.20,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d (单位:m) ,使 α 与 β 之差较大,可以提高测量精确度.若电视塔的 实际高度为 125m,试问 d 为多少时, α - β 最大? [解析] 本题主要考查解三角形的知识,两角差的正切及不等式的应用.

- 29 -

(1)

H H H h = tan β AD = ,同理: AB = , BD = . AD tan β tan α tan β
H H h h tan α 4 × 1.24 = ,解得: H = = = 124 . tan β tanα tan β tan β tan α 1.24 1.20

AD—AB=DB,故得

因此,算出的电视塔的高度 H 是 124m. (2)由题设知 d = AB ,得 tan α =

H H h H h , tan β = = = , d AD DB d H H h tan α tan β hd h d tan(α β ) = = d = 2 = 1 + tan α tan β 1 + H H h d + H ( H h) d + H ( H h) d d d H ( H h) d+ ≥ 2 H ( H h) , (当且仅当 d = H (H h) = 125 ×121 = 55 5 时,取等号) d

故当 d = 55 5 时, tan(α β ) 最大. 因为 0 < β < α <

π
2

,则 0 < α β <

π
2

,所以当 d = 55 5 时, α - β 最大.

故所求的 d 是 55 5 m.

(2010 江苏卷)23.(本小题满分 10 分) 已知△ABC 的三边长都是有理数. (1)求证 cosA 是有理数; (2)求证:对任意正整数 n,cosnA 是有理数. [解析] 本题主要考查余弦定理,数学归纳法等基础知识,考查推理论证的能力与分析问题, 解决问题的能力.满分 10 分. (方法一) (1)证明:设三边长分别为 a, b, c , cos A =

b2 + c 2 a 2 ,∵ a, b, c 是有理数, 2bc

b 2 + c 2 a 2 是有理数,分母 2bc 为正有理数,又有理数集对于除法的具有封闭性,


b2 + c 2 a 2 必为有理数,∴cosA 是有理数. 2bc

(2)①当 n = 1 时,显然 cosA 是有理数; 当 n = 2 时,∵ cos 2 A = 2cos 2 A 1 ,因为 cosA 是有理数, ∴ cos 2A 也是有理数; ②假设当 n ≤ k (k ≥ 2) 时,结论成立,即 coskA, cos(k 1) A 均是有理数. 当 n = k + 1 时, cos( k + 1) A = cos kA cos A sin kA sin A ,

1 cos( k + 1) A = cos kA cos A [cos(kA A) cos(kA + A)] , 2 1 1 cos( k + 1) A = cos kA cos A cos(k 1) A + cos(k + 1) A , 2 2
- 30 -

解得: cos(k + 1) A = 2cos kA cos A cos(k 1) A ∵cosA, cos kA , cos(k 1) A 均是有理数,∴ 2 cos kA cos A cos(k 1) A 是有理数, ∴ cos(k + 1) A 是有理数. 即当 n = k + 1 时,结论成立. 综上所述,对于任意正整数 n,cosnA 是有理数. (方法二)证明: (1)由 AB,BC,AC 为有理数及余弦定理知

cos A =

AB 2 + AC 2 BC 2 是有理数. 2 AB AC

(2)用数学归纳法证明 cosnA 和 sin A sin nA 都是有理数. ①当 n = 1 时,由(1)知 cos A 是有理数,从而有 sin A sin A = 1 cos A 也是有理数.
2

②假设当 n = k (k ≥ 1) 时, cos kA 和 sin A sin kA 都是有理数. 当 n = k + 1 时,由 cos( k + 1) A = cos A cos kA sin A sin kA ,

sin A sin(k + 1) A = sin A (sin A cos kA + cos A sin kA) = (sin A sin A) cos kA + (sin A sin kA) cos A ,
及①和归纳假设,知 cos( k + 1) A 和 sin A sin( k + 1) A 都是有理数. 即当 n = k + 1 时,结论成立. 综合①,②可知,对任意正整数 n,cosnA 是有理数.

- 31 -

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