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2014届 高三理科一轮复习资料第二章 2.1 变化率与导数、导数的计算



2.1 变化率与导数、导数的计算

考纲点击 1.了解导数概念的实际背景. 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义. 3.能根据导数定义求函数 y=c(c 为常数),y=x,y=x2, 1 y=x ,y=x3,y= x的导数. 4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运 算法则求简单函数的导数.

说基础
课前预习读教材

考点梳理

1.平均变化率及瞬时变化率 Δy (1)f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率是: =①_____________. Δx Δy (2)f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是:lim Δx=②________. Δx→0

2.导数的概念 (1)f(x)在 x=x0 处的导数就是 f(x)在 x=x0 处的③______, f?x0+Δx?-f?x0? 记作 y′|x=x0 或 f′(x0),即 f′(x0)=lim . Δx Δx→0 (2)当把上式中的 x0 看作变量 x 时,f′(x)即为 f(x)的导函 数,简称导数,即 y′=f′(x)=④__________________.

3.导数的几何意义 函数 f(x)在 x=x0 处的导数就是⑤________________, 即曲 线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的斜率 k=f′(x0),切线方 程为⑥________________. 4.基本初等函数的导数公式 (1)C′=⑦______(C 为常数). (2)(xn)′=⑧__________(n∈Q*). (3)(sinx)′=⑨______,(cosx)′=⑩______. (4)(ex)′=?______,(ax)′=?______. (5)(lnx)′=?______,(logax)′=?______.

5.导数运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=?__________. (2)[f(x)· g(x)]′=?______________________. ? f?x? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ? ? (3)? ′= (g(x)≠0). g?x?? [g?x?]2 ? ?

f?x2?-f?x1? f?x0+Δx?-f?x0? 答案:① ②lim ③瞬时变化 →0 Δx x2-x1 Δx f?x+Δx?-f?x? 率 ④lim ⑤曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的 →0 Δx Δx 切线的斜率 ⑥y-y0=f′(x0)(x-x0) ⑦0 ⑧nxn-1 ⑨cosx 1 1 x x ⑩-sinx ?e ?a lna ? ? ?f′(x)± g′(x) ? x xlna f′(x)g(x)+f(x)g′(x)

考点自测 1.下列求导运算正确的是( 1 1 A.(x+ x)′=1+x2 C.(3x)′=3xlog3e

) 1 B.(log2x)′=xln 2 D.(x2cosx)′=-2xsinx

解析:由导数的运算法则以及常用函数的导数公式易得. 答案:B

2.曲线 y=x3+11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵 坐标是( ) A.-9 B.-3 C.9 D.15

解析:y′=3x2,故曲线在点 P(1,12)处的切线斜率是 3, 故切线方程是 y-12=3(x-1),令 x=0 得 y=9. 答案:C

3.f(x)与 g(x)是定义在 R 上的两个可导函数,若 f(x),g(x) 满足 f ′(x)=g′(x),则 f(x)与 g(x)满足( ) A.f(x)=g(x) B.f(x)=g(x)=0 C.f(x)-g(x)为常数函数 D.f(x)+g(x)为常数函数

解析:由 f ′(x)=g′(x),得 f ′(x)-g′(x)=0,即 [f(x)-g(x)]′=0, 所以 f(x)-g(x)=c(c 为常数). 答案:C

x 4.曲线 y= 在 点 ( - 1 , - 1) 处 的 切 线 方 程 为 x+2 __________.

x′?x+2?-x?x+2?′ 2 解析:∵y′= = , ?x+2?2 ?x+2?2 2 ∴k=y′|x=-1= =2, ?-1+2?2 ∴切线方程为:y+1=2(x+1),即 y=2x+1. 答案:y=2x+1

5. 曲线 y=xsinx

? π π? 在点?-2,2?处的切线与 ? ?

x 轴, 直线 x=π

所围成的三角形的面积为__________.

解析:曲线 y=xsinx

π2 所围成的三角形的面积为 . 2 π2 答案: 2

? π π? 在点?-2,2?处的切线为 ? ?

y=-x,故

说考点
拓展延伸串知识

疑点清源 1. 深刻理解“函数在一点处的导数”、 “导函数”、 “导 数”的区别与联系 (1)函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)是一个常数; (2)函数 y=f(x)的导函数, 是针对某一区间内任意点 x 而言 的.如果函数 y=f(x)在区间(a,b)内每一点 x 都可导,是指对 于区间(a,b)内的每一个确定的值 x0 都对应着一个确定的导数 f′(x0).这样就在开区间(a,b)内构成了一个新函数,就是函 数 f(x)的导函数 f′(x). 在不产生混淆的情况下, 导函数也简称 导数.

2.曲线 y=f(x)“在点 P(x0,y0)处的切线”与“过点 P(x0, y0)的切线”的区别与联系 (1)曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的切线是指 P 为切点,切 线斜率为 k=f′(x0)的切线,是唯一的一条切线. (2)曲线 y=f(x)过点 P(x0,0)的切线, y 是指切线经过 P 点. 点 P 可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.

题型探究 题型一 利用导数定义求函数的导数 例 1 用导数定义求函数 y=f(x)= x在 x=1 处的导数.

解析:Δy=f(1+Δx)-f(1)= 1+Δx-1, 1+Δx-1 Δy 1 ∴Δx= = , Δx 1+Δx+1 1 1 ∴lim = . Δx→0 1+Δx+1 2 1 ∴f′(1)=2.

点评:利用导数定义求函数的导数应分三步:①求函数增 Δy Δy Δy 量 Δy; ②求平均变化率Δx; ③求极限lim Δx.本题的关键是对Δx Δx→0 的变形.

变式探究 1 利用导数定义求函数 y= x2+1在 x=x0 处的 导数.

2 解析:∵Δy= ?x0+Δx?2+1- x0+1 ?x0+Δx?2+1-x2-1 0 = ?x0+Δx?2+1+ x2+1 0 2x0Δx+?Δx?2 = , 2 2 ?x0+Δx? +1+ x0+1 2x0+Δx Δy ∴ = . 2 2 Δx ?x0+Δx? +1+ x0+1 2x0+Δx Δy ∴lim Δx=lim 2 Δx→0 Δx→0 ?x0+Δx?2+1+ x0+1 x0 x2+1 2x0 0 = = 2 . 2 x0+1 2 x0+1

题型二 利用导数公式及运算法则求导数 例 2 求下列函数的导数 (1)y=(2x2-1)(3x+1); x+x5+sinx (2)y= ; x2 ? x? 2x (3)y=-sin2?1-2cos 4?. ? ?

解析:(1)因为 y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1, 所以,y′=(6x3)′+(2x2)′-(3x)′=18x2+4x-3.

? x? 2x (3)因为 y=-sin ?1-2cos 4? 2? ? ? x? 2x =sin2?2cos 4-1? ? ? x x 1 =sin cos = sinx, 2 2 2 1 所以,y′= cosx. 2

点评:导数运算时应注意的问题:①求导之前,应利用代 数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以 减少运算量,提高运算速度,减少差错;②有的函数虽然表面 形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或三角恒等变形 将函数先化简,然后进行求导,有时可以避免使用商的求导法 则,减少运算量.

变式探究 2 求下列函数的导数 (1)y=(x+1)(x+2)(x+3); 1 1 (2)y= + . 1- x 1+ x

解析:(1)方法一:y=(x2+3x+2)(x+3) =x3+6x2+11x+6, ∴y′=3x2+12x+11. 方法二:y′=[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+ 3)′ =[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1)(x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) =3x2+12x+11

1+ x+1- x 1 1 2 (2)y= + = = , 1- x 1+ x ?1- x??1+ x? 1-x ? 2 ? -2?1-x?′ 2 ? ? ∴y′=?1-x?′= = 2 2. ?1-x? ?1-x? ? ?

题型三 导数的几何意义 1 3 4 例 3 已知曲线 y=3x +3. (1)求曲线在 x=2 处的切线方程; (2)求曲线过点(2,4)的切线方程.

解析:(1)∵y′=x2, ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k=y′|x=2=4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2), 即 4x-y-4=0.

1 3 4 (2) 设 曲 线 y = x + 与 过 点 P(2,4) 的 切 线 相 切 于 点 3 3 ? 1 3 4? A?x0,3x0+3?,则切线的斜率 ? ? 2 k=y′|x=x0=x0. ?1 4? 2 3 ∴切线方程为 y-?3x0+3?=x0(x-x0), ? ? 2 3 4 2 即 y=x0· x0+ . x- 3 3

∵点

2 3 4 2 P(2,4)在切线上,∴4=2x0- x0+ , 3 3

3 即 x0-3x2+4=0, 0 3 ∴x0+x2-4x2+4=0, 0 0 2 ∴x0(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, ∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得 x0=-1 或 x0=2, 故所求切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0.

点评:①解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”, 还是“过某点的切线”的问法.②解决“过某点的切线”问 题,一般是设出切点坐标为 P(x0,y0),然后求其切线斜率 k= f′(x0),写出其切线方程.而“在某点处的切线”就是指“某 点”为切点. (3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点, 当曲线是二 次曲线时,我们知道直线与曲线相切,有且只有一个公共点, 这种观点对一般曲线不一定正确.

变式探究 3 已知函数 f(x)=x3+x-16. (1)求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程; (2)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的 方程及切点坐标; 1 (3)如果曲线 y=f(x)的某一切线与直线 y=-4x+3 垂直, 求切点坐标与切线的方程.

解析:(1)∵f(2)=23+2-16=-6, ∴点(2,-6)在曲线上. ∵f ′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1, ∴在点(2,-6)处的切线的斜率 k=f′(2)=3×22+1=13. ∴切线的方程为 y=13(x-2)+(-6)即 y=13x-32.

(2)方法一:设切点为(x0,y0),则直线 l 的斜率为 f′(x0) 2 =3x0+1, 3 ∴直线 l 的方程为:y=(3x2+1)(x-x0)+x0+x0-16. 0 3 又∵直线 l 过点(0,0),∴0=(3x2+1)(-x0)+x0+x0-16. 0 3 整理得 x0=-8, ∴x0=-2,y0=(-2)3+(-2)-16=-26, ∴k=3(-2)2+1=13, ∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26).

方法二:设直线 l 的方程为 y=kx,切点为(x0,y0), y0-0 x3+x0-16 0 则 k= = . x0 x0-0 又∵k=f′(x0)=3x2+1, 0 x3+x0-16 0 ∴ =3x2+1,解得 x0=-2, 0 x0 ∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3(-2)2+1=13. ∴直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26).

x (3)∵切线与直线 y=- +3 垂直, 4 ∴斜率 k=4.∴设切点为(x0,y0),则 f ′(x0)=3x2+1=4, 0 ∴x0=± 1, ?x =1, ?x =-1, ? 0 ? 0 ∴? 或? ?y0=-14, ?y0=-18. ? ? 切线方程为 y=4(x-1)-14 或 y=4(x+1)-18. 即 y=4x-18 或 y=4x-14.

归纳总结 ?方法与技巧 1.在对导数的概念进行理解时,特别要注意 f′(x0)与 [f(x0)]′是不一样的,f′(x0)代表函数 f(x)在 x=x0 处的导数值, 不一定为 0;而[f(x0)]′是函数值 f(x0)的导数,而函数值 f(x0) 是一个常量,其导数一定为 0,即[f(x0)]′=0. 2.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原 则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求 导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换 的等价性,避免不必要的运算失误.

?失误与防范 1.利用导数定义求导数时,要注意到 x 与 Δx 的区别,这 里的 x 是常量,Δx 是变量. 2.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号, 防止与乘法公式混淆. 3.求曲线切线时,要分清点 P 处的切线与过 P 点的切线 的区别,前者只有一条,而后者包括了前者. 4.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和 研究直线与二次曲线相切时有差别.

新题速递 1.(2012· 辽宁卷)已知 P,Q 为抛物线 x2=2y 上两点,点 P, Q 的横坐标分别为 4,-2,过 P,Q 分别作抛物线的切线,两 切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为( ) A.1 B.3 C.-4 D.-8

解析:由已知可设 P(4,y1),Q(-2,y2). ∵点 P,Q 在抛物线 x2=2y 上, ?42=2y , ?y =8, ? ? 1 1 ∴? ∴? 2 ??-2? =2y2, ?y2=2. ? ? ∴P(4,8),Q(-2,2). 1 2 又抛物线可化为 y= x , 2

∴y′=x, ∴过点 P 的切线斜率为 k1=4,切线方程为 y=4x-8, 又过点 Q 的切线斜率为 k2=-2,切线方程为 y=-2x- 2.
?y=4x-8, ? 联立? ?y=-2x-2, ? ?x=1, ? 得? ?y=-4, ?

∴点 A 的纵坐标为-4. 答案:C

2.(2013· 山西测试)已知函数 f(x)=x3+ax2-2ax+3a2,且 在 f(x)图象上点(1,f(1))处的切线在 y 轴上的截距小于 0,则 a 的取值范围是( ) ?2 ? A.(-1,1) B.?3,1? ? ? ? 2 ? ? 2? C.?-3,1? D.?-1,3? ? ? ? ?

解析:∵f′(x)=3x2+2ax-2a,∴f′(1)=3,又 f(1)=1 -a+3a2,∴在点(1,f(1))处的切线为 y=3(x-1)+1-a+3a2, 2 2 则可得 3a -a-2<0,解得-3<a<1. 答案:C

3.(2013· 河南测试)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且当 x∈(-∞,0]时,f(x)=e-x-ex2+a,则函数 f(x)在 x=1 处的切线方程为( ) A.x+y=0 B.ex-y+1-e=0 C.ex+y-1-e=0 D.x-y=0

解析:由题意 f(0)=1+a=0,∴a=-1,当 x∈(-∞,0] 时,f(x)=e-x-ex2-1,当 x>0 时,f(x)=-f(-x)=-ex+ex2 +1, 此时 f′(x)=-ex+2ex, f′(1)=-e+2e=e, 切点为(1,1), 故切线方程为 ex-y+1-e=0. 答案:B

4.(2012· 新课标全国卷)曲线 y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的 切线方程为__________.

解析:y′=3lnx+4,故 y′|x=1=4,∴曲线在点(1,1)处的 切线方程为 y-1=4(x-1),化为一般式方程 4x-y-3=0. 答案:4x-y-3=0

5. (2013· 济南期末)已知 f1(x)=sinx+cosx, f2(x)=f′1(x), 记 ?π? ?π? * f3(x)=f′2(x), fn(x)=f′n-1(x)(n∈N 且 n≥2), f1?2?+f2?2? ?, 则 ? ? ? ? ?π ? +?+f2 012?2?=__________. ? ?

解析:f2(x)=f′1(x)=cosx-sinx,f3(x)=f′2(x)=-sinx- cosx,f4(x)=f′3(x)=sinx-cosx,f5(x)=f′4(x)=sinx+cosx, 运算周期为 4,四项和为 0,故 2 012 项和为 0. 答案:0



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