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高二上学期第二次考试文科数学试卷及答案解析



高碑店一中高二年级第二次考试 文科数学试题
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分). 1. 命题 p:3 是奇数,q:5 是偶数,则下列说法中正确的是 A.p 或 q 为真 2.把 11 化为二进制数为 A.1 011(2) B.11 011(2) C.10 110(2) B.p 且 q 为真 C.非 p 为真 ( ).

命题人:华文杰

D. 非 q 为假 ( D.0 110(2) ).

3.从学号为 1~50 的高一某班 50 名学生中随机选取 5 名同学参加数学测试,采用系统抽样的 方法,则所选 5 名学生的学号可能是 A. 4,13,22,31,40
2

( C. 2,4,6,8,10

).

B. 1,2,3,4,5

D. 5,15,25,35,45

4 抛物线 y ? 2 px 上一点 Q (6, y0 ) ,且 Q 点到焦点的距离为 10, 则抛物线的焦点到准线的距离 是 A. 4 B. 8 C.12 D. 16 ( ).

5.有一位同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对热饮销售的影响,经过统计得到了一天
? =-2.35x+147.77. 所卖的热饮杯数(y)与当天气温(x℃)之间的线性关系, 其回归方程为 y 如

果某天气温为 2℃时,则该小卖部大约能卖出热饮的杯数是 A.140 B.143 C.152 D.156

(

).

6.程序框图如右图所示,该程序运行后输 出的最后一个数是( A. ).

开始 a=3

17 16

B.

9 8

C.

5 4

D.

3 2

n=1

输出a a=0.5a+0.5 n=n+1

n>5

文数试题共 4 页第 1 页

7.先后抛掷硬币三次,则至少一次正面朝上的概率是 A.

( D.



1 8

B.

3 8

C.

5 8

7 8
( ).

8.下列说法错误 的是 .. A.如果命题“ ? p ”与命题“ p 或 q ”都是真命题,那么命题 q 一定是真命题.
2 B.命题 p : ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 4 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x 2 ? 2x ? 4 ? 0

C.命题“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”的否命题是:“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ” D.特称命题 “ ?x ? R ,使 ?2 x ? x ? 4 ? 0 ”是真命题.
2

9. 点 O 为边长为 6 的等边三角形内心,P 是三角形内任一点, 使得 OP< 3 的概率是

(

).

A.

3 12

B.

3 9

C.

3? 12

D.

3? 9
).

10.一次函数 y ? ? A. m ? 1, 且n ? 1

m 1 x ? 的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是( n n
B. mn ? 0 C. m ? 0, 且n ? 0

D. m ? 0, 且n ? 0

11.椭圆 C:

x2 +y 2=1 (a ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 , P 为椭圆上异于端点的任意一 2 a

点, PF1 , PF2 的中点分别为 M , N , O 为坐标原点,四边形 OMPN 的周长为 2 3,则△PF1F2 的周长是 A.2( 2+ 3) B. 2+2 3 C. 2+ 3 D.4+2 3 ( ).

x2 y 2 12. 设双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左,右焦点分别为 F1 , F2 .若左焦点 F1 关于其中一条 a b
渐近线的对称点位于双曲线上,则该双曲线的离心率 e 的值为 A. 3 B. 3 C. 5 D. 5 ( ).

文数试题共 4 页第 2 页

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分). 13.命题:“若 a ? 0 ,则 a 2 ? 0 ”的逆否命题是__________________________________________ 14.已知圆 M : x2 + y 2 - 2ay = 0(a > 0) 截直线 x + y = 0 所得线段的长度是 2 2 ,则圆 M 与圆
2 N: (x - 1) + ( y - 1)2 = 1 的位置关系是_______________________________________.

15.设抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l ,点 A(0, 2) .若线段 FA 的中点 B 在抛物 线上,则 F 到 l 的距离为____________, FB ? _____________. 16.某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋精神”的调查,在 A,B,C,D 四个单位回收 的问卷数依次成等差数列,且共回收 1 000 份,因报道需要,再从回收的问卷中按单位分层抽 取容量为 150 的样本,若在 B 单位抽 30 份,则在 D 单位抽取的问卷是________份. 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(本小题满分 10 分)如图,从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛,为此需要对 他们的射箭水平进行测试.现这两名学生在相同条件下各射箭 10 次,命中的环数如下: 甲 乙 8 10 9 9 7 8 9 6 7 8 6 7 10 9 10 7 8 8 6 8

(1)计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和方差; (2)比较两个人的成绩,然后决定选择哪名学生参加射箭比赛.

2 2 18.(本小题满分 12 分)已知命题 p : 4 ? x ? 6, q : x ? 2x ? 1 ? a ? 0(a ? 0), 若非 p 是 q 的

充分不必要条件,求 a 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分)已知圆 C 和 y 轴相切,圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上,且被直线 y ? x 截 得的弦长为 2 7 ,求圆 C 的方程.

文数试题共 4 页第 3 页

20.(本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0, ? 3),(0, 3) 的距离之和为 4, 设点 P 的轨迹为 C ,直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A, B 两点。 (1)写出 C 的方程; (2)若 OA ? OB ,求 k 的值.

??? ?

??? ?

21.(本小题满分 12 分)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1,2,3,4 的四个球,现从甲、 乙两个盒子中各取出 1 个球,每个球被取出的可能性相等. (1)求取出的两个球上标号为相同数字的概率; (2)求取出的两个球上标号之积能被 3 整除的概率.

22.(本小题满分 12 分)设抛物线 C1:y2=4x 的准线与 x 轴交于点 F1,焦点为 F2.以 F1,F2 为 1 焦点,离心率为 的椭圆记作 C2. 2

(1)求椭圆的标准方程; (2)直线 L 经过椭圆 C2 的右焦点 F2,与抛物线 C1 交于 A1,A2 两点,与椭圆 C2 交于 B1,B2 两点, 当以 B1B2 为直径的圆经过 F1 时,求|A1A2|的长; (3)若 M 是椭圆上的动点,以 M 为圆心,MF2 为半径作⊙M,是否存在定⊙N,使得⊙M 与⊙N 恒 相切?若存在,求出⊙N 的方程,若不存在,请说明理由.

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数学试题(文科)答案
1-5 AADBB 13. 若a2 ? 0, 则a ? 0 6-10 BDDDB 14.相交
2 甲

11-12AC 15.

2,

3 2 4

16. 60

17. 解 : (1) 计 算 得 x甲 = 8 , x乙 = 8 ; s

?

1 (1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4) ? 2 , 10

s 2乙 ?

1 (4 ? 1 ? 4 ? 1 ? 1 ? 1) ? 1.2 ??????????????????5 分 10

(2)由(1)可知,甲、乙两名学生射箭命中环数的平均数相等,但 s2乙 ? s2甲 ,这表明乙的成绩 比甲更稳定一些. 故选择乙参赛更合适.??????????????10 分 18.解: ? p : 4 ? x ? 6 , x ? 10或x<-2 .记 A ? x x ? 10或x ? ?2 ????????3 分

?

?

q : x2 ? 2x ? 1 ? a2 ? 0(a ? 0) , x ? 1 ? a 或 x ? 1 ? a .记 B ? x x ? 1 ? a 或 x ? 1 ? a ??6 分 ? ?

? 非 p 是 q 的充分不必要条件

? A 是 B 的真子集.

?1 ? a ? ?2 ? 即 ?1 ? a ? 10 ???????????????????????????????? 10 分 ?a ? 0 ?

? 0 ? a ? 3 ????????????????????????????????? 12 分
19.解: 由圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上,可设圆心 M (3b, b) 又由圆 C 和 y 轴相切,可设半径 R ? 3 b ?????????????????????2 分 圆心到直线 y ? x 的距离,为 d ?
2 2

2b
2

根据圆的性质可得 7 ? 2b ? 9b .? b ? 1 , b ? ?1 ????????????????6 分 当 b ? 1 时,圆的方程为 ( x ? 3) ? ( y ?1) ? 9 ,
2 2

当 b ? ?1 时,圆的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9 ????????????????? 12 分
2 2

20.解: (1)设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, ? 3),, (0 3) 为焦点,长
文数试题共 4 页第 5 页

半轴为 2 的椭圆.它的短半轴 b ?

22 ? ( 3) 2 ? 1 ,故曲线 C 的方程为 x 2 ?

y2 ? 1??4 分 4

? 2 y2 ? 1, ?x ? (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,其坐标满足 ? ??????????????.6 分 4 ? y ? kx ? 1. ?
消去 y 并整理得 (k 2 ? 4) x2 ? 2kx ? 3 ? 0 ,故. x1 ? x2 ? ?

若 OA ? OB ,即 x1x2 ? y1 y2 ? 0 .而 y1 y2 ? k 2 x1x2 ? k (x1 ? x2 ) ? 1 , 于是 x1 x2 ? y1 y2 ? ?

??? ?

??? ?

2k 3 ,x1 x2 ? ? 2 ??8 分 k ?4 k ?4
2

3 3k 2 2k 2 ? ? ? 1 ? 0 ,??????????????.10 分 k2 ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4
1 .??????????????????????12 分 2

2 化简得 ?4k ? 1 ? 0 ,所以 k ? ?

21.解:解:设从甲、乙两个盒子中各取 1 个球,其数字分别为 x,y. 用(x,y)表示抽取结果,则所有可能的结果有 16 种,即 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4). ???????2 分 (1)设“取出的两个球上的标号相同”为事件 A, 则 A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}. 事件 A 由 4 个基本事件组成,故所求概率 P(A)=

4 1 = ???????????????7 分 16 4

(2)设“取出的两个球上标号的数字之积能被 3 整除”为事件 B, 则 B={(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3)} 事件 B 由 7 个基本事件组成,故所求概率 P(A)=
2

7 ????????????????12 分 16

22.解:(1) ? 抛物线 C1 : y ? 4 x 的准线与 x 轴交于点 F1,焦点为 F2.以 F1,F2 为焦点,离 1 心率为 的椭圆记作 C2. 2

?





C2











F1 (?1,0), F2 (1,0) …………………………………………………………………………………1 分
x2 y 2 设椭圆 C2 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , a b
文数试题共 4 页第 6 页

?c ? 1 ? c 1 ? 由题意得 ?e ? ? 解得 a ? 2, b ? 3,c ? 1 ?????????????????3 分 a 2 ? 2 2 2 ? ?a ? b ? c
x2 y 2 ? ? 1 ???????????????????????4 分 所以椭圆 C2 的方程为 4 3
(2)当直线 L 与 x 轴垂直时, B1 (1, ), B2 (1, ? ) ,又 F1 (?1,0) , 此时 B1F 1 ,不满足条件.??????5 分 1 ? B2 F 1 ? 0 ,所以以 B 1 B2 为直径的圆不经过 F 当直线 L 不与 x 轴垂直时,设 L:y=k(x-1),

???? ? ???? ?

3 2

3 2

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k ) x ? 8k x ? 4k ?12 ? 0 ,??????????????7 分 ?1 ? ? ?4 3
因为焦点在椭圆内部,所以直线与椭圆恒有两个交点. 设 B1 ( x1 , y1 ), B2 ( x2 , y2 ) , 则 x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x x ? ????????????8 分 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

因为以 B 1 B2 为直径的圆经过 F 1 (?1,0) , 1 ,所以 B 1F 1 ? B2 F 1 ? 0 ,又 F 所以 (?1 ? x1 )(?1 ? x2 ) ? y1 y2 ? 0 , 即 (1 ? k 2 ) x1x2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) ?1 ? k 2 ? 0 解得k ?
2

???? ? ?????

9 7

由?

? y2 ? 4x ? y ? k ( x ? 1)

得 k 2 x2 ? (2k 2 ? 4) ? k 2 ? 0 。

因为直线 L 与抛物线有两个交点,所以 k≠0. 设A 1 ( x3 , y3 ), A 2 ( x4 , y4 ) ,则 x3 ? x4 ? 所以 A1 A2 ? x3 ? x4 ? p ? 2 ?

2k 2 ? 4 4 ? 2 ? 2 , x3 x4 ? 1 , 2 k k

4 64 ?2? .???????????????????10 分 2 k 9

(3)存在定⊙N,使得⊙M 与⊙N 恒相切, 其方程为: ( x ? 1) ? y ? 16 ,圆心是左焦点 F 1.
2 2

由椭圆的定义可知: MF ,所以 MF 1 ? MF 2 ? 2a ? 4 , 1 ? 4 ? MF 2 ,两圆相内切.??12 分
文数试题共 4 页第 7 页



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