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数列求和(公开课)



数列求和

考 1. 熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式. 纲 2.能利用等差、等比数列的前n项和公式 点 击 及其性质求一些特殊数列的和。

热 点 提 示

1.多以选择题或填空题的形式 考查等差、等比数列的前n项和. 2.以考查等差、等比数列的前n项和为主, 同时考查分组求和法、错位相减法、 裂项相消法、倒序相加法等常用方法.

数列求和的常用方法
一、公式法
1. 等差数列求和公式:

n?a1 ? an ? n?n ? 1? Sn ? ? na1 ? d 2 2

2. 等比数列求和公式:

?q ? 1? ?na1 ? S n ? ? a1 1 ? q n a1 ? an q ?q ? 1? ? 1? q ? 1? q ?

?

?

注:对于已知或可化为等差数列、等比数列直接代 公式进行求和。

3.常见数列的前n项和公式 n(n ? 1) 1? 2 ? 3 ??? n ? 2

1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n2 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n ? n(n+1)
n(n ? 1)( 2n ? 1) 1 ? 2 ? 3 ??? n ? ; 6 n(n ? 1) 2 3 3 3 3 1 ? 2 ? 3 ??? n ? [ ] 2
2 2 2 2

题型一、分组转化求和法
1 1 1 1 例2、求数列 2 、 4 、 6 、 8 、 ?的前 n项和 S n . 4 8 16 32

【思路点拨】 先求通项 →转化为几个容易求和的数列形式 →分别求和 →得结论

1 an ? 2n ? n ?1 解:该数列的通项公式为 2 1 1 1 1 ? sn ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? (2n ? n?1 ) 4 8 16 2 1 1 1 ? (2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n) ? ( ? ? ? ? n ?1 ) 4 8 2 1 1 n [1 ? ( ) ] 4 2 ? n(n ? 1) ? 1 1? 2 1 1 n ?1 2 ? n ?n? ?( ) 2 2

1 1 变式、求数列 1 ? 1、 ? 4、 2 ? 7、 ?的前 n项和 S n . a a
1 1 1 解:设 S n ? (1 ? 1) ? ( ? 4) ? ( 2 ? 7) ? ? ? ? ? ( n?1 ? 3n ? 2) a a a
将其每一项拆开再重新组合得

1 1? n 1? n (3n ? 1)n a ? a a Sn ? ? = 当 a ? 1 时, 1 2 a ?1 1? a

1 1 1 S n ? (1 ? ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3n ? 2) a a a (3n ? 1)n (3n ? 1)n = 当a=1时, Sn ? n ? 2 2

(3n ? 1)n ? 2

数列求和应从通项入手,先求通项, 然后通过对通项变形,转化为等差数列 或等比数列或可求数列前n项和的数列 来求之.

题型二、错位相减法
例3、数列 {an }中a1 ? 3,已知点(an , an ?1)在 直线y ? x ? 2上, ( 1 )求数列 {an }的通项公式; (2)若bn ? an ? 3 , 求数列 {bn }的前n项的和Tn .
n

1.一般地,如果数列{an}是等差 数列,{bn}是等比数列,求数列{an· bn}的前 n 项和时,可采用错位相减法. 2.用乘公比错位相减法求和时,应注意 (1)要善于识别题目类型,特别是等比数列 公比为负数的情形; (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特 别注意将两式“错项对齐”以便下一步准 确写出“Sn-qSn”的表达式.

1 2 n 变式、求和: S n ? ? 2 ? ? ? n a a a
【解析】 (1)a=1 时,Sn=1+2+?+n= n(n+1) ; 2 1 2 3 n (2)a≠1 时,Sn= + 2+ 3+?+ n① a a a a n-1 1 1 2 n S n + n+1② n= 2+ 3+?+ a a a a a 由①-②得

1 1 1 1 1 n (1-a)Sn=a+ 2+ 3+?+an- n+1 a a a 1 1 (1 - n) a a n = - n+1, 1 a 1-a n a(a -1)-n(a-1) ∴Sn= . n 2 a (a-1) 综 上 所 述 , Sn
? ?n(n+1) ? 2 ? n ?a(a -1)-n(a-1) n 2 ? a (a-1) ?



(a=1) . (a≠1)

利用错位相减法求和时,转化为等比 数列求和.若公比是个参数(字母), 则应先对参数加以讨论,一般情况下 分等于1和不等于1两种情况分别求和.

题型三、裂项相消法
1 2 n 例4、在数列 {an }中,an ? ? ?? ? , n ?1 n ?1 n ?1 2 又bn ? , 求数列{bn }的前n项和。 an ? an ?1
【思考】 用裂项相消法求数列前n项和

的前提是什么?
【提示】 裂项相消法的前提是将数列的每一项 拆成二项或多项,使数列中的项出现 有规律的抵消项,进而达到求和的目的。

常见的拆项公式有:
1 1 1 1. ? ? n(n ? 1) n n ? 1
1 1 1 1 2. ? ( ? ) n( n ? k ) k n n ? k

1 1 1 1 3. ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 4. ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

1 5. ? ( n ? k ? n) n ? n?k k

1

利用裂项相消法求和时,应注意: ①将通项公式裂项后,有时候需要 调整前面的系数,使裂开的两项之 差和系数之积与原通项公式相等. ②抵消后并不一定只剩下第一项和 最后一项,也有可能前面剩两项, 后面也剩两项,

课堂诊断
1 1 1 1 . 数 列 , , , ? , 2· 5 5· 8 8· 11 1 ,?的前 n 项和为( B ) (3n-1)· (3n+2) n n A. B. 3n+2 6n+4 n+1 3n C. D. 6n+4 n+2

2 -1 2.已知数列{an}的通项公式是 an= n , 2 321 其前 n 项和 Sn= ,则项数 n 等于( D ) 64 A.13 B.10 C.9 D.6

n

3.数列{(-1) · n}的前 2 010 项的和 S2 为( D ) A.-2 010 B.-1 005 C.2 010 D.1 005

n

010

4、已知数列 {an }满足:a1 ? 2t , t ? 2an ?1t ? an ?1an ? 0, n ? 2, n ? N ,
2 ?

(其中t为常数,且t ? 0) 1 ( 1 )求证:数列 { }为等差数列; an ? t (2)求数列 {an }的通项公式;

an (3)设bn ? , 求数列{bn }的前n项和S n . 2 (n ? 1)

反思小结:
1.公式法:直接利用等差等比数列的求和公式 2.分组转化法:有一类数列,既不是等差数列, 也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可 分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别 求和,再将其合并即可. 3.错位相减法:如果一个数列的各项是由 一个等差数列与一个等比数列对应项乘积 组成,此时求和可采用错位相减法.

4.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之 差,即数列的每一项都可按此法拆成两 项之差,在求和时一些正负项相互抵消, 于是前n项的和变成首尾若干少数项之和, 这一求和方法称 为裂项相消法.

5.倒序相加法:如果一个数列 ?an ?,与首末 两项等距的两项之和等于首末两项之和, 可采用把正着写与倒着写的两个和式相加, 有公因式可提,并且剩余的项的和可求出来, 这一求和的方法称为倒序相加法。

祝愿同学们学业有成,前途似锦!



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