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江苏省名校2014届高三12月月考数学试题分类汇编11:圆锥曲线



? 2 21 ? 0 ax ? by ? a? b ab ? 0 60 ax ? by ? ab

江苏省名校 2014 届高三 12 月月考数学试题分类汇编 圆锥曲线
一、填空题 1、(江苏省扬州中学 2014 届高三上学期 12 月月考)已知椭圆与 x 轴相切,左、右两个焦点分别为

F1 (1,1 ),F2 (5, 2) ,则原点 O 到其左准线的距离为 ▲
答案:



5 34 17
和 . (其

2、江苏省东台市创新学校 2014 届高三第三次月考)已知方程 中 , ),它们所表示的曲线可能序号是

答案:(2) 3、(江苏省东台市创新学校 2014 届高三第三次月考)已知双曲线

x2 y2 ? ? 1, ?a ? b ? 0? ,两渐 a2 b2

近线的夹角为

,则双曲线的离心率为

答案: 4、(江苏省东台市创新学校 2014 届高三第三次月考)已知椭圆的对称轴为坐标轴,短轴的一个端 点和两个焦点的连线构成一个正三角形,且焦点到椭圆上的点的最短距离为 3 ,则椭圆的方程为

答案: 5、(江苏省东台市创新学校 2014 届高三第三次月考)抛物线 y ? 4x 的焦点坐标是
2

答案: 6、(江苏省阜宁中学 2014 届高三第三次调研)双曲线
2 x 2 ? y ? 1 a ? 0, b ? 0 的左、右焦点分别 ? ? a 2 b2

为 F1 , F2 ,渐近线分别为 l1 , l2 ,点 P 在第一象限内且在 l1 上,若 l2 ? PF1 , l2 ∥ PF2 ,则双曲线的 离心率为 答案:2 ▲
x2 y2 ? ? 1 的一条准线方程为 y ? m , 4 m

7、 (江苏省灌云高级中学 2014 届高三第三次学情调研)椭圆 则 m ? ______ 答案:5

8、(江苏省粱丰高级中学 2014 届高三 12 月第三次月考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点为 A,上顶点为 B,M 为线段 AB 的中点,若 ?MOA ? 30o ,则该 2 a b
椭圆的离心率的值为 答案: ▲

6 3
x2 ? y2 ? 1的 3

9、 (江苏省如东县掘港高级中学 2014 届高三第三次调研考试) 顶点在原点且以双曲线 右准线为准线的抛物线方程是 答案: y 2 ? ?6 x 10、 (江苏省睢宁县菁华高级中学 2014 届高三 12 月学情调研)已知椭圆 C :
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

和圆 O : x ? y ? b , 若 C 上存在点 P , 使得过点 P 引圆 O 的两条切线 , 切点分别为 A, B , 满足

?APB ? 60? ,则椭圆 C 的离心率的取值范围是



答案: 11 、 ( 江 苏 省 张 家 港 市 后 塍 高 中 2014 届 高 三 12 月 月 考 ) 双 曲 线 x2 ?
x 2 ? y 2 ? 6 x ? 2 y ? 1 ? 0 所截得的弦长为

y2 ?1 的渐近线被圆 4



答案:4 12、(江苏省张家港市后塍高中 2014 届高三 12 月月考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 y= 3x 是 x2 y2 双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程,则此双曲线的离心率为 ▲ a b 答案:2

二、解答题 1、(江苏省扬州中学 2014 届高三上学期 12 月月考) 如图所示,已知圆 C : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 8, 定点A(1,0), M 为圆上一动点, 点 P 是线段 AM 的垂直平分线与直线 CM 的 学科网交点. (1)求点 P 的轨迹曲线 E 的方程; (2)设点 P( x0 , y0 ) 是曲线 E 上任意一点,写出曲线 E 在点 P( x0 , y0 ) 处的 切线 l 的方程;(不要求证明) (3)直线 m 过切点 P( x0 , y0 ) 与直线 l 垂直,点 C 关于直线 m 的对称点为
C P O A M

D ,证明:直线 PD 恒过一定点,并求定点的坐标.
解:(1) 点 P 是线段 AM 的垂直平分线,∴PA=PM

PA+PC=PM+PC=2 2>AC=2,
∴ 动点 N 的轨迹是以点 C(-1,0),A(1,0)为焦点的椭圆. 椭圆长轴长为 2a ? 2 2 , 焦距 2c=2. ∴ 曲线 E 的方程为

? a ? 2, c ? 1, b 2 ? 1.
………5′

x2 ? y 2 ? 1. 2

x0 x ? y0 y ? 1 .………8′ 2 (3)直线 m 的方程为 x0 ( y ? y0 ) ? 2 y0 ( x ? x0 ) ,即 2 y0 x ? x0 y ? x0 y0 ? 0 .
(2)曲线 E 在点 P( x0 , y0 ) 处的切线 l 的方程是 设点 C 关于直线 m 的对称点的坐标为 D ? m, n ? ,

? 2 x03 ? 3 x0 2 ? 4 x0 ? 4 x0 ? n ?? ?m ? ? x0 2 ? 4 2 y0 ? ? m ?1 则? ,解得 ? 4 3 2 ? n ? 2 x0 ? 4 x0 ? 4 x0 ? 8 x0 ?2 y ? m ? 1 ? x0 n ? x y ? 0 0 0 0 ? ? 2 y0 (4 ? x0 2 ) ? 2 2 ?
? 直线 PD 的斜率为 k ?

n ? y0 x04 ? 4 x03 ? 2 x0 2 ? 8x0 ? 8 ? m ? x0 2 y0 (? x03 ? 3x0 2 ? 4) x04 ? 4 x03 ? 2 x02 ? 8x0 ? 8 ( x ? x0 ) 2 y0 (? x03 ? 3x02 ? 4)

从而直线 PD 的方程为: y ? y0 ? 即x?

2 y0 (? x03 ? 3x0 2 ? 4) y ? 1 , 从而直线 PD 恒过定点 A(1, 0) .………16′ x04 ? 4 x03 ? 2 x02 ? 8x0 ? 8

2、(江苏省南京市第一中学 2014 届高三 12 月月考)

x2 y2 3 椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,离心率为 ,过 F1 且垂直于 x 轴的 2 a b
直线被椭圆 C 截得的线段长为 1 (1)求椭圆 C 的方程; (2)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,过点 P 作斜率为 k 的直线 l ,使得 l 与椭圆 C 有且只有 一个公共点,设直线 PF1 , PF2 的斜率分别为 k1 , k 2 ,若 k ? 0 , 试证明:

1 1 为定值,并求出这个定值. ? kk1 kk 2

2 e ?y ? a x ? ? 0 y b ABCD A 、 B2 1 11 ? c ? 3 ?x3 ?y22? 1(a ? b ? 0) C1 e ? 2 : ?2 2? a3 ab b 2 2

x2 y2 解:(1)由于 c2=a2-b2,将 x=-c 代入椭圆方程 2 + 2=1, a b b2 2b2 得 y=± .由题意知 =1,即 a=2b2. ……………2 分 a a c 3 又 e= = , a 2 x2 所以 a=2,b=1. 所以椭圆 C 的方程为 +y2=1. 4 ……6 分

(2)设 P(x0,y0)(y0≠0),则直线 l 的方程为 y-y0=k(x-x0). x2 ? ? 4 +y2=1, 联立? ………………8 分

?y-y0=k(x-x0), ?

2 2 整理得(1+4k2)x2+8(ky0-k2x0)x+4(y2 0-2kx0y0+k x0-1)=0. 2 2 由题意 Δ=0,即(4-x2 ………………10 分 0)k +2x0y0k+1-y0=0. x2 x0 0 2 2 2 又 +y2 . ……………12 分 0=1,所以 16y0k +8x0y0k+x0=0,故 k=- 4 4y0

1 1 x0+ 3 x0- 3 2x0 由(2)知 + = + = , k1 k2 y0 y0 y0 1 1 1 1 1 ? ?-4y0? 2x0 + = 所以 + = ? · =-8, kk1 kk2 k?k1 k2? ? x0 ? y0 1 1 因此 + 为定值,这个定值为-8. kk1 kk2

……………15 分

……………16 分

3、(江苏省东台市创新学校 2014 届高三第三次月考) 已知椭圆 与直线 相交于 两点.

(1)若椭圆的半焦距 求椭圆的方程; (2)如果

,直线



围成的矩形

的面积为 8,

又椭圆的离心率 满足

,求椭圆长轴长的取值范围.

x2 y2 4、(江苏省东台市创新学校 2014 届高三第三次月考)若椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e 为 a b 4 ,且椭圆 C 的一个焦点与抛物线 y2=-12x 的焦点重合. 5 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 M(2,0),点 Q 是椭圆上一点,当|MQ|最小时,试求点 Q 的坐标; (3)设 P(m,0)为椭圆 C 长轴(含端点)上的一个动点,过 P 点斜率为 k 的直线 l 交椭圆与 A,B 两点,若|PA|2+|PB|2 的值仅依赖于 k 而与 m 无关,求 k 的值.
y

O

x

5、(江苏省阜宁中学 2014 届高三第三次调研) 在 直 角 坐 标 系 x O y中 , 已 知 中 心 在 原 点 , 离 心 率 为 1 的 椭 圆 E 的 一 个 焦 点 为 圆

2

C : x2 ? y 2 ? 4x ? 2 ? 0 的圆心.
⑴求椭圆 E 的方程; ⑵设 P 是椭圆 E 上一点,过 P 作两条斜率之积为 1 的直线 l1 , l2 ,当直线 l1 , l2 都与圆 C 相切时,

2

求 P 点坐标. 解:(1)
2 x2 ? y ? 1 16 12

……………4 分

(2)设 P ? x0 , y0 ? ,得 l1 : y ? y0 ? k1 ? x ? x0 ? , l2 : y ? y0 ? k2 ? x ? x0 ?

2k1 ? y0 ? k1 x0 ? ∵ k1k2 ? 1 ,依题意 C ? 2,0? 到 l1 的距离为

2

1 ? k12

2

整理得 ?? 2 ? x0 ? ? 2? k1 ? 2 ? 2 ? x0 ? y0 k1 ? y0 ? 2 ? 0 同理
2

?

?

2

2

?? 2 ? x0 ?2 ? 2? k22 ? 2 ? 2 ? x0 ? y0 k2 ? y0 2 ? 2 ? 0 ? ?
∴ k1k2 是方程 ?? 2 ? x0 ? ? 2? k ? 2 ? 2 ? x0 ? y0 k ? y0 ? 2 ? 0 的两实根……10 分
2

?

?

2

2

?? 2 ? x0 ?2 ? 2 ? 0 ? ? ? 2 2 ? x0 ? ? y0 2 ? 2 ? ? 0 ? ?? ? 8 ? ? ? ? 2 y0 ? 2 ? ?1 2 ?k1k2 ? ? 2 ? x0 ? ? 2 2 ?
? x0 2 y0 2 ? ?1 ? ∴ ? 16 12 ?? 2 ? x ?2 ? 2 ? 2 ? y 2 ? 2 ? 0 0 ?

……………12 分

……………14 分

? ? ? ? ? P ? ?2,3? 或P ? ?2, ?3? 或 ? 18 , 57 ? 或 ? 18 , ? 57 ? 5 ? ?5 5 ? ?5

…………16 分

6 、 ( 江 苏 省 灌 云 高 级 中 学 2014 届 高 三 第 三 次 学 情 调 研 ) 已 知 点 P ( 4 , 4 ) , 圆 C :

( x ? m)2 ? y 2 ? 5(m ? 3) 与椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个公共点为 A(3,1),F1,F2 a 2 b2

分别是椭圆的左、右焦点,直线 PF1 与圆 C 相 切。 (1)求 m 的值与椭圆 E 的方程; (2)设 D 为直线 PF1 与圆 C 的切点,在椭圆 E 上是否存在点 Q ,使△ PDQ 是以 PD 为底的等 腰三角形?若存在, 请指出共有几个这样的点? 并说明理由。 解 (1) ∵ 点 A(3,1) 在 圆 C 上 , ∴

(3 ? m)2 ? 1 ? 5
又 m ? 3 ,∴ m ? 1 设 F1 (?c,0) ,∵ P (4, 4) …………………………2 分

∴直线 PF1 的方程为 4 x ? (4 ? c) y ? 4c ? 0 ∵直线 PF1 与圆 C 相切 ∴

…………………………4 分

| 4 ? 4c | 16 ? (4 ? c)2

? 5(c ? 0)

…………………………6 分

即c ? 4

?a 2 ? b2 ? 16 ? a 2 ? 18 ? ? 由? 9 解得 ? 2 1 ? ?b ? 2 ? 2 ? 2 ?1 ?a b
∴椭圆 E 的方程是

x2 y 2 ? ?1 18 2

…………………………8 分

(2) 直线 PF1 的方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 由?

?x ? 2 y ? 4 ? 0
2 2 ?( x ? 1) ? y ? 5

得切点 D (0, 2)

…………………………10 分

又∵P(4,4), ∴线段 PD 的中点为 M(2,3) 又∵椭圆右焦点 F2 (4,0)

3 3 ?? 2?4 2 1 又 k PD ? ,∴线段 PD 的垂直平分线的斜率为 -2 2 3 ∵ ?2 ? ? ,∴线段 PD 的垂直平分线与椭圆有两个交点 2 k MF2 ?

…………………………14 分

即在椭圆上存在两个点 Q,使△PDQ 是以 PD 为底的等腰三角形. ………………………16 分 (或与过点 M 的椭圆右侧切线斜率比较说明)

7、(江苏省如东县掘港高级中学 2014 届高三第三次调研考试) 已知椭圆 O 的中心在原点,长轴在 x 轴上,右顶点 A(2,0) 到右焦点的距离与它到右准线的距离之比 为

3 1 . 不过 A 点的动直线 y ? x ? m 交椭圆 O 于 P,Q 两点. 2 2

(1)求椭圆的标准方程;(2)证明 P, Q 两点的横坐标的平方和为定值;(3)过点 A, P, Q 的动 圆记为圆 C ,已知动圆 C 过定点 A 和 B (异于点 A ),请求出定点 B 的坐标.

解:(1)设椭圆的标准方程为

3 x2 y2 .……2 分 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? .由题意得 a ? 2, e ? 2 2 a b
? 椭圆的标准方程为

? c ? 3 , b ? 1 , ……2 分

x2 ? y 2 ? 1 .……4 分 4

(2)证明:设点 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) 将y?

1 1 x ? m 带入椭圆,化简得: x 2 ? 2mx ? 2(m 2 ? 1) ? 0 ○ 2
2 x1 x2 ? 2( m 2 ? 1) ,……6 分 ? x12 ? x2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2 x1 x2 ? 4 ,

? x1 ? x2 ? ?2m,

?P,Q 两点的横坐标的平方和为定值 4.……7 分
2 2 (3)设圆的一般方程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,则圆心为( ?

D 2

,?

E 2

),

PQ 中点 M( ? m,
圆心( ?

m 3 ), PQ 的垂直平分线的方程为: y ? ?2 x ? m , ……8 分 2 2

E 3 D E 3 2 ,……9 分 ,? )满足 y ? ?2 x ? m ,所以 ? ? D? m○ 2 2 2 2 2

圆过定点(2,0),所以 4 ? 2 D ? F ? 0 ○ 3 ,……10 分 圆过 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y 2 ) , 则 ?

? x12 ? y12 ? Dx1 ? Ey1 ? F ? 0,
2 2 ? x2 ? y2 ? Dx2 ? Ey2 ? F ? 0,

两式相加得:

x12 ? x2 2 ? y12 ? y2 2 ? Dx1 ? Dx2 ? Ey1 ? Ey 2 ? 2 F ? 0,
x12 ? x2 2 ? (1 ? x1 4
2

) ? (1 ?

x2 4

2

) ? D ( x1 ? x2 ) ? E ( y1 ? y 2 ) ? 2 F ? 0 ,……11 分

y1 ? y2 ? m ,
因为动直线 y ?

4 .……12 分 ? 5 ? 2mD ? mE ? 2 F ? 0 ○

1 2

x ? m 与椭圆 C 交与 P,Q(均不与 A 点重合)所以 m ? ?1 ,
3( m ? 1) 4 , E? 3 2 m? 3 2 , 3 5 F ? ? m ? , ……13 分 2 2

由○ 2○ 3○ 4 解得: D ?

3 3 3 5 x ? ( m ? )y ? m ? ? 0 , 4 2 2 2 2 3 3 5 3 3 3 整理得: ( x 2 ? y 2 ? x ? y ? ) ? m ( x ? y ? ) ? 0 ,……14 分 4 2 2 4 2 2
代入圆的方程为: x 2 ? y 2 ?
3 3 5 ? 2 x ? y 2 ? x ? y ? ? 0, ? ? 4 2 2 所以: ? ……15 分 3 3 3 ? x ? y ? ? 0, ? ? 4 2 2

3( m ? 1)

? x ? 0, ? x ? 2, 解得: ? 或? (舍). ? y ? 1, ? y ? 0

所以圆过定点(0,1).……16 分

8、(江苏省睢宁县菁华高级中学 2014 届高三 12 月学情调研) 如图, A, B 是椭圆 C : 程为 x ? 4 . (1)求椭圆方程; (2)设 M 是椭圆 C 上异于 A, B 的一点,直线 AM 交 l 于点 P ,以 MP 为直径的圆记为 e K . ①若 M 恰好是椭圆 C 的上顶点,求 e K 截直线 PB 所得的弦长; ②设 e K 与直线 MB 交于点 Q , 试证明 : 直线 PQ 与 x 轴的交点 R 为定点 , 并求该定点的坐 标.

x2 y 2 1 右顶点,椭圆 C 的离心率为 ,右准线 l 的方 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 2 a b 2

7 …………

6分

又直线 PB 的方程为 3 3x ? 2 y ? 6 3 ? 0 ,故圆心到直线 PB 的距离为 4 3 ………8 分

31

从而 e K 截直线 PB 所得的弦长为 2 7 ? (

4 3 2 26 31 …………………10 分 ) ? 31 31

② 证 : 设 M ( x0 , y0 )( y0 ? 0) , 则 直 线 AM 的 方 程 为 y ?

y0 ( x ? 2) , 则 点 P 的 坐 标 为 x0 ? 2

P(4,

6 y0 , ) x0 ? 2
MB

又直线 MB 的斜率为 K

?

y0 ,而 MB ? PR ,所以 x ?2 , K PR ? ? 0 x0 ? 2 y0 y0

从而直线 PR 的方程为 y ? 6 y0 ? ? x0 ? 2 ( x ? 4) ………………………13 分

x0 ? 2

令 y ? 0 ,得点 R 的横坐标为 x ? 4 ? 6 y0 R 2

2

x0 ? 4

………………………………14 分

又点 M 在椭圆上,所以

x0 2 y0 2 3(4 ? x0 2 ) ,故 3 1 ? ? 1 ,即 y0 2 ? xR ? 4 ? 6 ? ? ? , 4 3 4 4 2

所以直线 PQ 与 x 轴的交点 R 为定点,且该定点的坐标为 (?

1 …………16 分 ,0) 2

9、(江苏省无锡市洛社高级中学等三校 2014 届高三 12 月联考) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 Q 到点 F(1,0)与到直线 x=4 的距离之比为 (1)求点 Q 的轨迹方程 E; (2)若点 A , B 分别是轨迹 E 的左、右顶点,直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴,点 M 是直线 l 上不 同于点 B 的任意一点,直线 AM 交轨迹 E 于点 P . (ⅰ)设直线 OM 的斜率为 k 1 , 直线 BP 的斜率为 k 2 ,求证: k 1 k 2 为定值; (ⅱ)设过点 M 垂直于 PB 的直线为 m .求证:直线 m 过定点,并求出定点的坐标.

1 . 2



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