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福建省厦门六中2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试卷


厦门六中 2014 级高二(理)上学期期中考试卷
命题人:杨瑞华 第Ⅰ卷 (选择题 时间:2015、11、10 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的) 1. 不等式 ? x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 的解集为 ( A. {x | ?6 ? x ? 1} D. {x | ?3 ? x ? 2} 2、已知等差数列{an}的公差为 2,且 a9=22,则 a1 的值是( A 3 B -3 C 6 D -6 0 0 3.在△ABC 中,已知 a ? 8 ,B= 60 ,C= 75 ,则 b 等于 ( A. 4 6 B. 4 5 C. 4 3 D.
22 3

) C. {x | x ? 6或x ? ?1}

B. {x | x ? 1或x ? ?6}

) )

4、在等差数列{an}中,Sn 为前 n 项和,已知 a8=6-a2,则 S9 的值为( A 25 B 27 C 21 D 23



5. 若 a ? 1, 则 a ?

1 的最小值是 ( a ?1



A.

2

B.

a

C.

3

D.

2 a a ?1

6.已知点(3,1)在直线 3x-2y+a=0 的左上侧,则 a 的取值范围是( A. a<3 B. a>3 C. a>-7 D. a<-7 7.设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 S n ,则 A.
2



S4 ?( a2



B.

4

C.

15 2

8. 设等比数列{an}的前 n 项为 Sn, 若 a2016 ? 2 S2015 的公比为 q 为 A. 2 ( B. ) 3 C.

17 2 ? 6, a2015 ? 2 S2014 ? 6, 则数列{ an }

D.

4

D.

5

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9. 如果 a>b,给出下列不等式: (1) <
1 a 1 b

(2) a3>b3

(3) a2+1>b2+1 C) (3)(4)

(4) 2 a >2 b D) (2)(4)

其中成立的是( ) A) (2)(3) B) (1)(3)

10.在△ABC 中,AB=3,BC= 13 ,AC=4,则边 AC 上的高为 ( A.
3 2 2

)

B.

3 3 2

C.

3 2

D. 3 3

??? ? ???? 11、 已知点 M 是△ABC 内的一点, 且 AB ? AC ? 3 , ∠BAC=600, 若△MBC、 △MCA、
△MAB 的面积分别为

1 4 1 ,x,y,则 ? 的最小值为( 2 x y

)

A 10 B 9 C 8 D 7 x 12、已知函数 f(x)=loga(2 +b-1)(a>0 且 a≠1)在 R 上单调递增, b 且 2a+b≤4,则 的取值范围为( ) a 2 2 2 2 A [ , 2) B [ , 2] C ( , 2] D ( , 2) 3 3 3 3

第Ⅱ卷

(非选择题

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知数列{an}是由正数组成的等比数列,其前 n 项和为 Sn,若 a2a4=1,S3=7, 则 a1= 14.在 ?ABC 中, 若 a ? 1, A ?

?
6

,其面积为 9,则 ?ABC 周长的最小值为 _____.

15、数列{an}的首项为 1,数列{bn}为等差数列,且 bn ? an ?1 ? an ,若 b10+b11=2, 则 a21=

?x ? y ? 4 ? 16、已知点 P 的坐标(x,y)满足 ? y ? x ,过点 P 的直线 l 与圆 x2+y2=14 相交于 ?x ? 1 ?
A、B 两点,则 AB 的最小值为

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三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤) 17(本题 10 分)已知等差数列{an}中,a3+a5=6,a4·a6=15. (1)求数列{an}的通项公式 an 和前 n 项和 Sn; (2)记 bn= 2an ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn ;

18(本题 12 分)设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a=3, ? B= ,S△ABC= 6 3 , 3 (1) 求△ABC 的周长; (2)求 sin2A 的值;

19(本题 12 分)设 f(x)=ax2-ax+3 (1)当 a=-4 时,设集合 A= {x ? R f ( x ) ? 0} ,求 A;
1 (2)若不等式 ( ) f ( x ) ? 4 的解集为 R,求实数 a 的取值范围; 2

20(本题 12 分)如图,公园有一块边长为 2 的等边△ABC 的 边角地,现修成草坪,图中 DE 把草坪分成面积相等 的两部分,D 在 AB 上,E 在 AC 上.
D x

A E y C

(1) 求 AD 与 AE 所满足的关系式;

B

(2)设 AD=x(x≥0) ,ED=y,求用 x 表示 y 的函数关系式; (3)如果 DE 是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,DE 的位置应在哪里? 请说明理由.
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21(本题 12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 2Sn=4an-1(n=1,2,3,?), (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 记 bn= log 2 an ? 2 ,Tn=
1 1 1 ,求 Tn 的取值范围。 ? ? ...... ? b1 ? b2 b2 ? b3 bn ? bn ?1

22 (本题 12 分) 在数列{an}中, a1=1, an ?1 ?

an (c 为常数, n∈N*)且 a1.a5=a22, c ? an ? 1

?1? (1)求证:数列 ? ? 是等差数列; ? an ?
(2)求 c 的值; (3)若 a1,a2 ,a5 彼此不相等,数列{an·bn}是首项为 1,公比为 数列{bn}的前 n 项和为 Sn,证明: Sn ? 1
1 的等比数列, 2

厦门六中 2014 级高二(理)上学期期中考试卷 参考答案 1、B 2、C 3、A 4、B 5、C 6、D 7、C 8、B 9、D 10、B 11、B 12、A 13、4 14、13 15、21 16、4
?( a1 ? 2d ) ? ( a1 ? 4d ) ? 6 17. (1)由已知得 ? ………2 分 ( a ? 3 d )( a ? 5 d ) ? 15 ? 1 1
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得?

?a1 ? 3d ? 3
2 1

?a ? 0 ?? 1 ……4 分 ?a ? 8a1d ? 15d ? 15 ?d ? 1
2

∴ an=0+(n-1).1=n-1 Sn=

……………………..5 分

n(0 ? n ? 1) n 2 ? n ………………..6 分 ? 2 2

(2) bn ? 2 an ? 2 n ?1

?

bn ?1 2n ? n ?1 ? 2 bn 2
……8 分

∴ {bn}为等比数列,且 b1=1,q=2 ∴

Tn ?

1 ? 2n ? 2n ? 1 ………………..10 分 1? 2
1 ? ac sin ? 6 3 ? ac ? 24 ………2 分 2 3
……………………3 分

18.(1)由 S?ABC ? 6 3 ?
∵ a=3

∴ c=8

由 b2=a2+c2-2acCOSB=9+64-2.3.8.

1 =49 2

∴ b=7 ……………………………………..5 分 ∴三角形的周长为 18 ……………………………….6 分 (2)由 cos A ?

49 ? 64 ? 9 13 ? cos A ? 2 ?7 ?8 14

……….8 分

? sin A ? 1 ? cos2 A ?

3 3 ………………………10 分 14
13 3 3 39 3 …….12 分 ? ? 14 14 98

∴ sin2A=2sinAcosA= 2 ?

19(1)当 a=-4 时,由 f(x)<0 得-4x2+4x+3<0 1 3 ∴ x?? 或x? 2 2 ∴

?????3 分

1 3? ? A= ? x x ? ? 或x ? ? 2 2? ?

??????????4 分

1 1 1 (2)由 ( ) f ( x ) ? 4 得 ( )f(x) ? ( ) ?2 ? f ( x ) ? ?2 2 2 2 由已知有 ax2-ax+5>0 在 R 上恒成立 ?????6 分 当 a=0 时,5>0 在 R 上恒成立,符合题意 ????7 分
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?a ? 0 ? 0 ? a ? 20 ………..11 分 当 a≠0 时,由题意得 ? 2 ?a ? 20a ? 0
综上所述,实数 a 的取值范围是:0≤a<20 20.解: (1)又 S△ADE= ??12 分

3 2 1 1 S△ABC= a = AD·AE·sin60° 2 2 2

? AD·AE=2.
(2)由(1)得 AE ?

?????4 分

2 x 2 2 在△ADE 中,y2=x2+ ( ) 2 -2x· ·cos60° x x 2 2 2 ? y =x + ( ) 2 -2(y>0), x

∴y= x 2 ?

4 ? 2 (1≤x≤2)???8 分(无定义域扣 1 分) x2

(2)如果 DE 是水管 y= x 2 ? 当且仅当 x2= 且 DE= 2 .

4 ? 2 ≥ 2 ? 2 ? 2 ? 2 ,??10 分 x2

4 ,即 x= 2 时“=”成立,故 DE∥BC, x2

??????????12 分

21、 (1)已知有 2a1=4a1-1,得 a1=

∴ an=2n-2 …………………………………6 分 (2) bn=log2an+2=n,……………………………………7 分

1 ………………1 分 2 ∵ 2Sn=4an-1, 2Sn-1=4an-1-1 两式相减得:2an=4an-4an-1 (n≥2) an ∴ ?2 an ?1 1 ∴{an}是首项为 ,公比为 2 的等比数列。……5 分 2

1 1 1 1 ? ? ? bn ? bn ?1 n (n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 1 1 ∴ Tn ? 1 ? ? ? ? ...... ? ? ……10 分 ? 1? 2 2 3 n n ?1 n ?1

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∵ ∴

n∈N*,

1 递减 n ?1 1 1 ? (0, ] n ?1 2

∴ Tn ? [ ,1) ……………….12 分

1 2

22 解:(1)an≠0,由 an ?1 ?
∴ ∴

an 1 c ? an ? 1 1 ,得 ? ?c? c ? an ? 1 an ?1 an an

1 1 ? ?c an ?1 an 1 { }是等差数列 ……………………..4 分 an

(2)∵a1=1,a1a5=a22

?

1 1 1 ? 1, ? 2 a1 a5 a2


1 ? 4c ? (1 ? c) 2

c=0 或 c=2…….6 分

1 1 ……7 分 ? 1 ? ( n ? 1) ? 2 ? an ? an 2n ? 1 1 1 已知 anbn= ( ) n ?1 ,得 b n ? (2n ? 1)( ) n ?1 2 2 1 1 2 1  Sn ? 1 ? 1 ? 3 ? ? 5 ? ( ) ? ??? ? (2n ? 1)( ) n ?1 2 2 2 ∴ 1 1 1 2 1 1 Sn =     1 ? ? 3 ? ( ) + ??? +(2n ? 3)( ) n ?1  +(2n ? 1)( ) n 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 n ?1 1 n 两式相减得 Sn = 1+2[ ? ( ) + ??? +( )   ….9 分 ]-(2n ? 1)( )    2 2 2 2 2 1 = 3-(2n ? 3)( ) n    2 1 n ?1 Sn= 6-(2n ? 3)( )    2 2n ? 3 b 2n ? 5 令 b n = n-1 ,? n ?1 = <1 2 b n 4n ? 6
(3)c=2, ∴ bn 递减 故 bn 的最大值为 b1=5 ∴Sn≥6-5=1 …………………………11 分 ………………………….12 分

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