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立体几何试题分析及一轮复习建议



立体几何试题分析及一轮复习建议

临沂市高三数学一轮复习研讨会
一、试题命题统计 二、试题命题特点
?

三、高考动向透视

四、一轮复习建议

立体几何在高考中一直占据重要的地位,近几年 分数基本上都是17分(2013年新课标22分),并且是所 有考生易得分数的知识点之一.

纵观2013~2015年山东、新课标全国高考数学试 卷,我们发现:数学高考对立体几何的考查,遵循《课 ? 程标准》,恪守《考试大纲》和《考试说明》,立足基 础,贴近教材,守正出新,突出能力考查. 下面通过对 2013~2015 年高考立体几何试题命题 的分析,提出今后有效复习备考的建议,希望对新一轮 的高考复习有所裨益.

一、 2013~2015 年高考立体几何试题命题统计
年份 试卷 题号 题型 分值 5+12 考点 线面角,线线平行,二面角

2013 山东

4,18 选择+解答

6,8, 全国新课标 18 2014 山东

选择+解答

体积,三视图,线线垂直, 5+5+12 线面角 5+12 5+12 5+12 5+12 体积,线面平行,二面角 三视图,线线关系,二面角 三视图,线线垂直,线面角 三视图,面面垂直,异面直 线所成的角

13,17 填空+解答

全国新课标 12,19 选择+解答 2015 山东 7,17 选择+解答

全国新课标 11,18 选择+解答

二、 2013~2015 年高考立体几何试题命题特点
1.从题型上看: 在近三年高考立体几何题仍保持了历年高考对立 体几何的考查题型:选择题、填空题及解答题三种. 2.从题量上看: 多数试卷是以“一大一小“为主,分值一般在17分, (2013年新课标两选一填分值22分),约占总分值的 11%,与《新课程标准》要求的课时比例基本吻合. 3.从知识点的分布上看: 小题以考察点线面位置关系,求体积为主,大题 考察证明线线、线面、面面平行与垂直及求线面角、 二面角为主.虽然在新课标中增加了三视图知识,但 三年以来,三视图的考察从未在山东理科试卷中出现.

二、 2013~2015 年高考立体几何试题命题特点
4.从难度上看: 以容易题和中档题为主,其中小题一般处于试卷中 间左右的位置,有的偏前一些,如2013山东第4题、 2015山东第7题。有的偏后偏难些,如2014全国新课标第 13题、 2015全国新课标第11题. 大题一般位于解答题第二题左右的位置,题型 比较常规,第一小题重点考查线线、线面、面面的位置关 系的证明,第二小题重点考查线面所成角、二面角的计算, 要求考生基本概念要清晰,并且要具备一定的运算能力. 5.从能力上来看: 考查空间想象能力,即对空间几何体的观察分析和抽 象的能力,要求“四会”:会画图、会识图、会析图、会用 图.

三、高考动向透视
空间几何体的结构、三视图、直观图 本部分在新课标高考中的考查重点是以三视图为命 题背景,研究空间几何体的结构特点和求解几何体的表面 积和体积.备考中,要熟悉一些典型的几何体(如三棱柱、 长(正)方体、三棱锥、圆柱等)的三视图.近年的新课标 高考的命题重点和热点依然是以选择题、填空题的方式 考查以下两个方面: ①几何体的三视图与直观图的认识; ②通过三视图和几何体的结合,考查几何体的表面积和 体积.

三 、高考 动向透 视
【示例1】?

(1)(2015 年全国新课标?卷11题)圆柱被一个平面截 去 一部分后与半球(半径 为r)组成一个几何体,该 几 何体三视图中的正视图 和俯视图如图所示。若 该几何 体的表面积为 16 ? 20?,则r ? ( ) A : 1   B : 2   C : 4  D : 8

答案:B

三、高考动向透视
【示例1】? (2)(2013年高考理科新课标Ⅰ卷8题)某几何体的三视图如 图所示,则该几何体的体积为( ) A.16 ? 8? B.

8 ? 8?

16 ? 16? C.

8 ? 16 ? D.

答案:A

三、高考动向透视
空间几何体的计算问题
本部分是新课标高考考查的重点内容,常以几何体的表 面积和体积的计算以及几何体的外接球、内切球的知识为主要 命题点进行考查.在备考中要牢记一些典型几何体的表面积和 体积的计算公式,以及几何体的棱长与它的内切球、外接球的 半径之间的转换关系.

三 、高考 动向透 视
【示例2】?

(1)(201 4年山东理科高考卷13题)三棱锥P - ABC中, D, E分别为PB, PC的中点,记三棱锥P - ABE的体积为V , 1 V P - ABC的体积为V ,则 1 ?( ) 2 V 2
1 答案: 4

三、高考动向透视
【示例2】?

(2)(2015 年山东理科高考卷7题)在梯形ABCD中,若 ? ?ABC ? , AD // BC, BC ? 2AD ? 2AB ? 2, 将梯形绕AD 2 所在的直线旋转一周所 形成的几何体的体积为 () 2? 4? 5? A:   B:   C:    D:2? 3 3 3 答案:C

三 、高考 动向透 视
空间的线面位置关系
对于直线与平面的位置关系,高考中主要考查平面的基本 性质,考查空间的线线、线面和面面的平行关系与垂直关系的 判定并运用平行、垂直的判定定理与性质进行推理论证,一般 会以选择题或解答题的形式进行考查.解题的策略:结合图形 进行平行与垂直的推理证明,由线线平行或垂直推证出线面平 行或垂直,再由线面平行或垂直证明面面平行或垂直.如果是 选择题还可以依据条件举出反例否定.

三、高考动向透视
【示例3】?
(2013年山东理科高考卷4题)三棱柱ABC - A1 B1C1的侧棱与底 9 面垂直,体积为 ,底面是边长为 3的正三角形,若P为底面 4 A1 B1C1的中心,则P A与平面ABC所成角的大小为() 5? ? ? ? (A)   (B)    (C)   (D)    12 3 4 6

答案:B

三 、高考 动向透 视
空间角的计算

高考中立体几何的计算主要有两个方面,即空间几何体的 表面积、体积的计算,空间角与距离的计算,其中空间角的计 算是高考考查考生逻辑推理能力、空间想象能力和运算求解能 力的重点.这类试题如果是在选择题或者填空题中出现,则考 查简单的空间角的计算,如果是在解答题中出现,则往往是试 题的一个组成部分.

三 、高考 动向透 视
空间距离的计算
高考试题中直接考查距离求解的不多,但距离是立体几 何的重要内容之一,在计算空间几何体的体积、空间角时,往 往需要计算距离.距离问题的关键是“垂直”,通过作垂线把 求解距离问题纳入到一个具体的平面图形中进行计算.距离问 题也与逻辑推理、空间想象密不可分,是立体几何考查逻辑推 理能力和空间想象能力的深化.

三 、高考 动向透 视
空间向量及其运算
高考对空间向量的考查主要在立体几何的解答题中进行, 试题的一般设计模式是先进行一个线面位置关系的证明,再设 计一个求解空间角或距离的问题,第一个问题的意图是考查考 生使用综合几何法进行逻辑推理的能力,对于空间角或距离的 求解,虽然也可以使用综合几何法解决,但命题者的意图显然 不是如此,其真正的意图是考查考生使用空间向量的方法解决 立体几何问题的能力.

三 、高考 动向透 视
【示例4】?

(2015年山东理科高考卷17题)在三棱台DEF ? ABC中, AB ? 2DE, G , H分别为AC, BC的中点, ( 1)求证BD // 平面FGH (2)若CF ? 面ABC, AB ? BC, CF ? DE, ?BAC ? 45?, 求平面FGH与平面ACFD所成的锐角的大小。 

三、高考动向透视
【示例5】?
(2014年山东理科高考卷17题)如图,在四棱柱ABCD ? A1 B1 C1 D1中, 底面ABCD是等腰梯形,?DAB ? 60?, AB ? 2CD ? 2, M是线段AB的中点, (1)求证 C1 M // 平面 A1 AD D1 (2)若 CD1 ? 平面ABCD, 且C D1 ? 3 , 求平面 C1 D1 M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值.
D1 A1 C1 B1

D A M

C B

四、高三一轮复习建议
通过分析近几年的高考情况,可以发现对立体几何 问题的考查已经突破了传统的框架,在命题风格上,尝 试开发了“多选填空”、“完型填空”等题型,并且这 种命题形式正在不断完善和翻新,正逐步由封闭性向灵 活性、开放性转变.因此,如何进一步把握复习的重点, 提高复习效率,从而快速地突破立体几何,是高考复习 过程中必须认真考虑的问题.
(1)立足课标,控制难度. 立体几何部分在高考试题中以中、低档题的形式出 现.在复习过程中,要突出基础知识的复习,如空间几何 体的表面积与体积公式,空间的元素之间的平行与垂直 关系、并关注画图、识图、用图能力的提高.

四、高三一轮复习建议
(2)归纳总结,规范训练. 复习中要抓主线,攻重点.如平行和垂直是位置 关系的核心,而线线、线面、面面关系的相互转化, 线线角、线面角、面面角又是核心的核心; 例题讲 解与作业训练,要重视作、证、求三环节,符号语 言要规范,表达要规范、严谨. (3)把握考向,稳中有变. 三视图与表面积、体积的考察在全国卷中多次出现,

我们在复习中不容忽视. 适度关注对平行、垂直的 探究,关注对条件或结论不完备情景下的开放性问题的 探究.

四、高三一轮复习建议
【示例6】?(开放性问题的探究)
如图,在四面体 PABC 中,PC⊥AB,PA⊥BC,点 D,E,F,G 分 别是棱 AP,AC,BC,PB 的中点. (1)求证:DE∥平面 BCP; (2)求证:四边形 DEFG 为矩形; (3)是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等? 说明理由.

(1)证明 因为D,E分别为AP,AC的中点,所以DE∥PC.又因 为DE?平面BCP,所以DE∥平面BCP. (2)证明 因为D,E,F,G分别为AP,AC,BC,PB的中点, 所以DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF. 所以四边形DEFG为平行四边形. 又因为PC⊥AB,所以DE⊥DG. 所以四边形DEFG为矩形.

(3)解

存在点Q满足条件,理由如下:

如图,连接DF,EG,设Q为EG的中点. 1 由(2)知,DF∩EG=Q,且QD=QE=QF=QG=2EG. 分别取PC,AB的中点M,N,连接ME,EN,NG,MG,MN. 与(2)同理,可证四边形MENG为矩形,其对角线交点为EG的 1 中点Q,且QM=QN=2EG, 所以Q为满足条件的点.

预祝我们的学生在2016年的高 考中取得理想的成绩!
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