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广东省广州市执信中学2015届高三上学期期中考试数学(理)



2014-2015 学年度第一学期

高三级理科数学科期中考试试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 10 页,满分为 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项:1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答 题卡和答卷密封线内相应的位置上,用 2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。 2、选择题每小题选出答案后,有 2

B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案;不能答在试卷上。 3、 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答, 答案必须写在答卷 纸各题目指定区域内的相应位置上,超出指定区域的答案无效;如需改动,先划掉原来的答 案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。 第一部分选择题(共 40 分) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.若集合 A ? {x | x ? 0} ,且 A ? B ? B ,则集合 B 可能是( A. {1,2} B. {x | x ? 1} C. {?1,0,1} ) D. R

2.下列说法正确的是( ) 2 2 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x =1,则 x≠1” 2 2 B.命题“?x≥0,x +x-1<0”的否定是“?x0<0,x0+x0-1<0” C.命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题为假命题 D.若“ p ? q ”为真命题,则 p,q 中至少有一个为真命题 3.已知数列{ an }为等差数列,公差 d ? ?2 , Sn 为其前 n 项和.若 S10 ? S11 ,则 a1 =( A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 )

D1

C1 B1

D1

4.将正方形(如图 1 所示)截去两个三棱锥, 得到图 2 所示的几何体,则该几何体的左视图

A1

左视

B1

D

C B A

D B

C

为()

A

A.

B.

C.

D.

5.在 ?ABC 中,已知 AB ? 4 3 , AC ? 4, ?B ? 30 ? ,则 ?ABC 的面积是( A. 4 3 B. 8 3 C. 4 3 或 8 3
第 1 页 共 15 页

) D. 3

6.设曲线 y ? A. 2

x ?1 在点 (3,2) 处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? ( x ?1 1 1 B. C. ? D. ? 2 2 2



7.在 △ABC 中,点 P 在 BC 上,且 BP ? 2 PC ,点 Q 是 AC 的中点,若 PA ? ? 4,3? ,

PQ ? ?1,5? ,则 BC ? (
A. ? ?2,7 ?

) C. ? 2, ?7 ? D. ? 6, ?21?

B. ? ?6, 21?

?2 x ? 1, ( x ? 0) 8.已知函数 f ( x) ? ? ,把函数 g ( x) ? f ( x) ? x 的零点按从小到大的顺 ? f ( x ? 1) ? 1, ( x ? 0)
序排列成一个数列,则该数列的通项公式为( ) C. an ? n(n ? 1) D. an ? 2 n ? 2

n(n ? 1) A. a n ? 2

B. a n ? n ? 1

第二部分非选择题(共 110 分) 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (一)必做题(9 ~ 13 题) 9.已知复数 a ? bi ? i ?1 ? i ? (其中 a, b ? R , i 是虚数单位) ,则 a ? b 的值为 10.若

?

T

0

x 2 dx ? 9 ,则常数 T 的值为________.

?x ? 0 ? 11.设 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值是 ?x ? y ? 1 ?



2? ? 12.已知 ? x ? ? 的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系 x? ?
数比为 56:3, 则 n ? .

n

y B A O C x

13.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,点 A 为椭圆

x2 y 2 E : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左顶点,B、C 在椭圆上, a b
若四边形 OABC 为平行四边形,且∠ OAB=30° ,则椭圆 E 的离心率等于 (二)选做题(14 ~ 15 题,考生只能从中选做一题) 14.在极坐标系中,曲线 ? ? cos ? ? 1 与 ? cos ? ? 1 的公共点到极点的距离为__________
D B F C



15.如图,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F ,

E 是 AB 延长线上一点,且 DF ? CF ? 2 ,

A

E

第 2 页 共 15 页

AF : FB : BE ? 4 : 2 : 1 ,若 CE 与圆相切,
则线段 CE 的长为 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. ( 本 小 题 满 分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ( 3 sin x ? cos x) cos x ?

(Ⅰ)用五点作图法列表,作出函数 f ( x) 在 x ? [0, ? ] 上的图象简图. (Ⅱ)若 f (

1 . 2

?
2

?

?

3 ? ? ) ? , ? ? ? ? 0 ,求 sin(2? ? ) 的值. 6 5 2 4

BC ? 4 , 17. (本小题满分 14 分)在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,已知 AB ? AC ? AA 1 ? 5,

A1 在底面 ABC 的射影是线段 BC 的中点 O .
(Ⅰ )证明:在侧棱 AA1 上存在一点 E , 使得 OE ⊥ 平面 BB1C1C ,并求出 AE 的长; (II)求二面角 A1 ? B1C ? C1 的余弦值.
A

A1

C1

B1

C O B

18. (本小题满分 14 分)袋中装着标有数学 1,2,3,4,5 的小球各 2 个,从袋中任取 3 个小球, 每个小球被取出的可能性都相等, 用 ? 表示取出的 3 个小球上的最大数字, 求: (Ⅰ ) 取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率; (Ⅱ )随机变量 ? 的概率分布和数学期望;

19. (本小题满分 12 分)已知 a1 ? 2 ,点 ?a n , a n ?1 ? 在函数 f ( x) ? x ? 2 x 的图像上,其中
2

n? N*
(Ⅰ )证明:数列 ?lg(1 ? an )? 是等比数列; (Ⅱ )设 Tn ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )?(1 ? an ) ,求 Tn (Ⅲ )记 bn ?

1 1 ,求数列 ?bn ? 的前项和 S n ? an an ? 2

第 3 页 共 15 页

20. (本小题满分 13 分)已知椭圆 C1 :

x2 y 2 6 ,过 C1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? 2 a b 3

2 2 2 r ? 0) 的左焦点 F 截得的弦长为 1 的直线 l : x ? y ? 2 ? 0 被圆 C2 : ( x ? 3) ? (y ? 3) ? r (

2 2.
(Ⅰ )求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ )设 C1 的右焦点为 F2 ,在圆 C2 上是否存在点 P ,满足 PF1 ? 有几个这样的点(不必求出点的坐标);若不存在,说明理由.

a2 PF2 ,若存在,指出 b2

21. (本小题满分 14 分)设函数 f ? x ? ? ln x ?

kx ? a ? ln a ? x ? 0, a ? 0且a为常数? . ax

(Ⅰ )当 k ? 1 时,判断函数 f ? x ? 的单调性,并加以证明; (Ⅱ )当 k ? 0 时,求证: f ? x ? ? 0 对一切 x ? 0 恒成立; (Ⅲ )若 k ? 0 ,且 k 为常数,求证: f ? x ? 的极小值是一个与 a 无关的常数.

第 4 页 共 15 页

2014-2015 学 年 度 第 一 学 期

高三级理科数学期中考试答卷
O?????????????????????? 密?????????????????????? O?????????????????????? 封 ?????????????????????? O?????????????????????? 线??????????????????????O 注意事项:1、本答卷为第二部分非选择题答题区。考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在 各题目指定区域内的相应位置上答题,超出指定区域的答案无效。 2、如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液,不按以上要求作答的答案无效。 题号 得分 选择题 填空题 16 17 18 19 20 21 总分

班级:_______________姓名:_______________学号:_______________

二、填空题 9. ; 10. ; 14. ; 11. ; 15. ;12. ; ;

13.

三、解答题 16. (本小题满分 13 分)

第 5 页 共 15 页

17. (本小题满分 14 分)
A1

C1

B1

A O B

C

第 6 页 共 15 页

18. (本小题满分 14 分)

??????O

第 7 页 共 15 页

19. (本小题满分 12 分)

第 8 页 共 15 页

20. (本小题满分 13 分)

第 9 页 共 15 页

21. (本小题满分 14 分)

第 10 页 共 15 页

期中考试答案: 1-8 ADBB CDBB 9.2 13. 10.3 11.5 14. 12.10

2 2 3

1? 5 2

? ? ? ? ? 3 ? ) ? sin[2( ? ) ? ] ? sin(? ? ) ? cos ? ? . 2 6 2 6 6 2 5 ? 4 ? ? ? ? 0,? sin ? ? ? . 2 5 24 7 ? sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? , cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? ? . 25 25
(2) f (

?

? 2 17 2 (sin 2? ? cos 2? ) ? ? ? sin(2? ? ) ? 4 2 50
17. 解:(本题满分 14 分) (Ⅰ)证明:连接 AO,再 ?AOA1 中,作 OE ? AA1 于点 E,因为 AA1 / / BB1 ,所以 OE ? BB1 , 因 为 A1 O ? 平面 所 以 B C? 平面 A B, C 所 以 B C? A 1 A, O

O , E所 以

第 11 页 共 15 页

OE ? 平面BB1C1C
又 AO ?

AB 2 ? BO 2 ? 1, AA1 ? 5, 得 AE ?

AO 2 5 . ? AA1 5

(Ⅱ)如图,分别以 OA,OB, OA1 所在直线为 x,y,z 轴 ,建立空间直角坐标系,则 A (1, 0, 0) ,

B (0, 2,0),C (0, ?2,0), A1 (0,0, 2)
由 AE ?

1 4 2 A A1 ,得点 E 的坐标是 ( , 0, ) , 5 5 5 4 5 2 5

由(Ⅰ)知平面 B1CC 1 的一个法向量为 OE ? ( , 0, ) 设平面 A1B1C 的法向量是 n ? (x , y , z ) , 由?

? ? n ? AB ? 0 ? ?n ? A1C ? 0

得?

?x ? 2 y ? 0 可取 n ? (2,1, ?1) , ? y ?z ?0
OE ? n OE ? n ? 30 . 10

所以 cos ? OE , n ??

18.(本小题满分 14 分) 解(Ⅰ) 一次取出的 3 个小球上的数字互不相同的事件记为 A,一次取出的 3 个小球上有两 个数字相同的事件记为 B,则事件 A 和 B 是对立事件。
1 2 1 C5 C 2 C8 1 ? P( B) ? ? , 3 3 C10

? P ( A) ? 1 ? P ( B ) ?

2 3

答:一次取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率为 (2)由题意 ? ? 2,3,4,5

2 ………….5 分 3

? P(? ? 2) ?

1 2 1 2 C2 C2 ? C2 C2 1 , ? 3 30 C10

? P(? ? 3) ?

2 1 1 2 C4 C2 ? C4 C2 2 ? 3 15 C10

2 1 1 2 C6 C 2 ? C6 C2 3 ? P(? ? 4) ? ? 3 10 C10

1 1 2 C82 C2 ? C8 C2 8 ? P(? ? 5) ? ? 3 15 C10

所以随机变量 ? 的概率分布列为

?

2

3

4

5

第 12 页 共 15 页

2 3 15 10 1 2 3 8 13 E? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? ………….14 分 30 15 10 15 3
P 19.(本题满分 12 分)
2 解: (Ⅰ)由已知 an?1 ? an ? 2an ,?an?1 ? 1 ? (an ? 1)2

1 30

8 15

a1 ? 2 ? an ? 1 ? 1,两边取对数



lg(1 ? an?1 ) ? 2lg(1 ? an ) ,即

lg(1 ? an?1 ) ?2 lg(1 ? an )

?{ l g ( ? 1an

是公比为 2 的等比数列. )}
n?1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 lg(1 ? an ) ? 2n?1 ? lg(1 ? a1 ) ? 2n?1 ? lg3 ? lg32

?1 ? an ? 32 (*)
2

n?1

?Tn ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )…(1+an ) ? 32 ? 32 ? 32 ?…? 32
由(*)式得 an ? 32 (Ⅲ)
n?1

0

1

2

n-1

? 31?2?2

?…+2n-1

=3

2n -1

?1
? 1 1 1 1 ? ( ? ) an?1 2 an an ? 2

2 an?1 ? a0 ? 2an ?an?1 ? an (an ? 2)

?

1 1 2 ? ? an ? 2 an an ?1 1 1 1 1 ? ? bn ? 2( ? ) an an ? 2 an an ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? …+ ? ) ? 2( ? ) a1 a2 a2 a3 an an ?1 a1 an ?1
n

又 bn ?

? Sn ? b1 ? b2 ? …+bn ? 2(
n?1

an ? 32 ? 1, a1 ? 2, an?1 ? 32 ? 1 ? Sn ? 1 ?

2 3 ?1
2n

20. (本题满分 13 分)解: (1)因为直线 l 的方程为 l : x ? y ? 2 ? 0 ,令 y ? 0 ,得 x ? ?2 , 即 F1 (?2,0) ……1 分 ∴ c ? 2 ,又∵ e ?

c 6 ,∴ a 2 ? 6 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 2 ? a 3
x2 y2 ? ? 1 .……………4分 6 2 a2 PF2 b2
第 13 页 共 15 页

∴ 椭圆 C1 的方程为 C1 :

(2)存在点 P,满足 PF1 ?

∵ 圆心 C2 (3,3) 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ?
2 2

3?3? 2 2

? 2,

又直线 l : x ? y ? 2 ? 0 被圆 C2 : x ? y ? 6x ? 6 y ? 3m ? 1 ? 0 截得的弦长为 2 2 , ∴由垂径定理得 r ?

l d 2 ? ( )2 ? 2 ? 2 ? 2 , 2
2 2

故圆 C2 的方程为 C2 : ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 4 .…………8分 设 圆 C2 上 存 在 点 P( x, y) , 满 足 PF1 ?

a2 PF2 即 PF1 ? 3 PF2 , 且 F1 , F2 的 坐 标 为 b2

F1 (?2,0), F2 (2,0) ,
则 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 ( x ? 2) 2 ? y 2 , 整理得 ( x ? ) ? y ?
2 2

5 2

9 5 3 ,它表示圆心在 C ( , 0) ,半径是 的圆。 4 2 2

∴ CC2 ? (3 ? )2 ? (3 ? 0)2 ? 故有 2 ?

5 2

37 ………………12分 2

3 3 ? CC2 ? 2 ? ,即圆 C 与圆 C2 相交,有两个公共点。 2 2

∴圆 C2 上存在两个不同点 P ,满足 PF1 ?

a2 PF2 .………14分 b2

21. (本题满分 14 分) (1)当 k ? 1 时, f ( x) ? ln x ?
1 3

1 a

x ? ax

1 2

?

1 2

? ln a

f ' ( x) ?
减函数

1 1 ?2 a ?2 ( x ? a )2 所以函数 f ( x) 在 ?0,??? 上是单调 ? x ? x ?? ?0, x 2 a 2 2 axx
? 1 2

(2)当 k ? 0 时, f ( x) ? ln x ? a x
3

? ln a

a 1 a ?2 2 x ? a ,令 f ' ( x) ? 0 ,则 x ? f ' ( x) ? ? x ? 4 x 2 2 axx
所以函数 f ( x) 在 ? 0, 所以当 x ?

? ?

a? ?a ? ? 上是单调减函数,在 ? ,?? ? 上是单调增函数 4? ?4 ?

a a e 时,函数 f ( x) 取得最小值,最小值为 f ( ) ? 2 ? 2 ln 2 ? 2 ln ? 0 4 4 2
第 14 页 共 15 页

所以 f ( x) ? 0 恒成立



3
1


3

? f ( x) ? ln x ?

k a

1

x 2 ? ax

?

1 2

? ln a



1 k ?2 a ? 2 ? kx ? 2 ax ? a x ? x ? ? f ' ( x) ? ? x 2 a 2 2 axx

f ' ( x) ? 0
, 得

? kx ? 2 ax ? a ? 0



k ?0



x0 ? a

1? 1? k 1? 1? k ( x0 ? a 舍去) k k

? x0 ?

a (1 ? 1 ? k ) 2

所以函数 f ( x) 在 ?0, x0 ? 上是单调减函数,在 ?x0 ,??? 上是单调增函数 所以 f ( x0 ) ? ln

x x0 x 1 a ,而 0 ? 是与 a 无关的常数, ?k 0 ? a (1 ? 1 ? k ) 2 a a x0

所以 f ? x ? 的极小值是一个与 a 无关的常数.

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