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高二数学导数及其应用测试题



或与我们一路风雨,一路坎坷,可是,只要我们心存阳光,我们一定会走出一条彩色的路!

高二数学导数及其应用测试题
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分)
1 3 1、一质点沿直线运动,如果由始点起经过 t 秒后的速度为 v ? t 3 ? t 2 ? 2t ,那么加速 3 2 度为零的时刻是( ) A. 0 秒

B. 1 秒末 C. 2 秒末 D. 1 秒末和 2 秒末

2、函数 f ( x) ? 4 x ? x 4 在 ?? 1,2? 上的最大、最小值分别为( A. f (1) 与 f (?1) C.
f (2) 与 f (?1)



B. f (1) 与 f (2) D. f (1) 与 f (0)

3、若二次函数 f ( x) 的图象与 x 轴有两个相异交点,它 的导函 f ?( x) 的图象如右图,则函数 f ( x) 的图象的顶 点在( ) B.第二象限 D.第四象限 )

A.第一象限 C.第三象限

4、 .函数 f ( x) ? 3x 2 ? 2 ln x 的单调减区间是( A. (0,
3 ) 3

B. (?

3 3 , ) 3 3
3 3 )或( , ? ?) 3 3

C. (

3 ,??) 3

D. (??,?

5. 若曲线 C : y ? x3 ? 2ax 2 ? 2ax 上任一点处的切线的倾斜角都是锐角, 那么整数 a 的值 等于( A.-2 ) B.0 C.1 D.-1 )

6、已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? x 没有极值点,则实数 a 的取值范围是(
A.a ? 3或a ? ? 3 B. ? 3 ? a ? 3 C. ? 3 ? a ? 3 D.a ? ? 3

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7、函数 y ? ax3 ? 15 x 2 ? 36 x ? 24 在 x =3 处有极值,则函数的递减区间为( A.(-∞,1),(5,+∞) C.(2,3) B.(1,5) D.(-∞,2),(3,+∞) )

)

8、已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ,则下列结论中正确的是( A.当 x ?

1 1 时 f ( x) 取最大值 B. 当 x ? 时 f ( x) 取最小值 ln 2 ln 2 1 1 C.当 x ? ? 时 f ( x) 取最大值 D. 当 x ? ? 时 f ( x) 取最小值 ln 2 ln 2 1 ? 9. 函数 f ( x) ? e x (sin x ? cos x) 在区间 [0, ] 的值域为( ) 2 2
1 1 A. [ , e 2 ] 2 2
?

1 1 B. ( , e 2 ) 2 2

?

?

?

C. [1, e 2 ]

D. (1, e 2 ) )

1 10、若 f ?x ? ? ? x 2 ? b ln ?x ? 2?在 ?? 1,?? ? 上是减函数,则 b 的取值范围是( 2
A ?? 1,??? B ?? 1,??? C

?? ?,?1?

D ?? ?,?1?

11. 已知函数 f ( x) ? x 3 ? bx 2 ? ax ? b 2 在 x ? 1处有极值 10,则 a =( A.11 或 ? 3 12、函数 y ? B.11 C.10 或 ? 3 ) D. ? 3



x ? 2sin x 的图象大致是( 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13 . 如 果 函 数 f ( x) ? 2 x 3 ? ax 2 ? b(a, b 为 常 数 ) 的 递 减 区 间 为 (0,2), 递 增 区 间 为 ( ? ?,0), (2,??) ,且过点 (0,?1) 则常数 a 的值 , b 的值 。

14.偶函数 f ?x ? ? ax4 ? bx3 ? cx 2 ? dx ? e 的图像过点 P(0,1) ,且在 x ? 1 处的 切线方程为 y ? x ? 2 ,求 y ? f ?x ? 的解析式 .

或与我们一路风雨,一路坎坷,可是,只要我们心存阳光,我们一定会走出一条彩色的路!

15.已知曲线 y =

x2 1 -3lnx 的一条切线的斜率为 ,则切点的坐标为_____ 4 2

__.

16.已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax2 ? 3(a ? 2) x ? 1 既有极大值也有极小值,则实数 a 的取值 范围是_______________. 三、解答题 17. (10 分)已知二次函数 f ( x) 满足:①在 x =1 时有极值;②图象过点(0,-3),且在 该点处的切线与直线 2 x ? y ? 0 平行. (1)求 f ( x) 的解析式; (2)求函数 g ( x) ? f ( x 2 ) 的单调递增区间。

18. (10 分)已知 x ? 1, 证明 x ? ln x

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19. (本小题满分 12 分)确定函数 y ?

x 的单调区间,并求函数的最大、最小值 x ?1
2

4 20. (本小题满分 12 分)若函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? 4 ,当 x =2 时,函数 f ( x) 有极值 ? . 3

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若函数 f ( x) = k 有 3 个解,求实数 k 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? tx 2 ? 2t 2 x ? t ? 1( x ? R,t ? 0) . (1)求 f ( x) 的最小值 h(t ) ; (2)若 h(t ) ? ?2t ? m 对 t ? (0, 2) 恒成立,求实数 m 的取值范围.

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答案
一、选择题 D B D A C 二、填空题 C C D A C B C 14. f ( x) ?
5 4 9 2 x ? x ?1 2 2

13. ? 6 , ? 1
9 15. ( 3, ? 3 ln 3 ) 4 三、解答题

16. a ? ?1或a ? 2

17.解: (1)设 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c ,则 f ?(x)=2 ax +b.

? f ?(1) ? 0, ?2a ? b ? 0, ?a ? 1, ? ? ? 由题设可得: ? f ?(0) ? ?2, 即 ?b ? ?2, 解得 ?b ? ?2, ? f (0) ? ?3, ?c ? ?3. ?c ? ? 3 . ? ? ?

所以 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3



(2)函数 g(x)的单调递增区间为(-1,0)和(1,+∞). 18.证明:令 f ( x) ? x ? ln x ,
? f ' ( x) ? 1 ? 1 x ?1 ? , x x

? x ? 1,? f ' ( x) ? 0

? f ( x) 在 (1,??) 上为增函数。

当 x ? 1, 时, f ( x) ? f (1), 即 x ? ln x ? 0 所以 x ? ln x

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19.

单调增区间为 ?? 1,1? 单调减区间为 ?? ?,?1?和?1,?? ?

1 1 最大值为 ,最小值为 ? 2 2

20.解: (1)对函数 f (x) 求导得: f ??x? ? 3ax2 ? b ,

? f ??2? ? 12a ? b ? 0, ? 4 由题意: ? f ?2? ? 8a ? 2b ? 4 ? ? , ? 3 ? 1 ? ?a ? , 解得 ? 3 ? b ? 4. ?
? 函数 f (x) 的解析式为 f ?x ? ?

1 3 x ? 4x ? 4 . 3

(2)由(1)可得: f ??x? ? x 2 ? 4 ? ?x ? 2??x ? 2? , 令 f ??x ? ? 0 ,得 x ? 2 或 x ? ?2 . 当 x 变化时, f ?? x ? 、 f ? x ? 的变化情况如下表:

x
f ?? x ?
f ?x ?

?? ?,?2 ?
?
单调递增↗

?2
0

?? 2,2?
— 单调递减↘

2
0

?2,???
?
单调递增↗

28 3

?

4 3

因此,当 x ? ?2 时, f ? x ? 有极大值 当 x ? 2 时, f ? x ? 有极小值 ?

28 . 3

4 . 3

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? 函数 f ?x? ?

1 3 x ? 4x ? 4 的图象大致如图: 3 y 28 3

?2

0 4 ? 3

2

x

因为方程 f ( x) ? k 的解的个数即为 y ? k 与 y = f ? x ? 的交点个数. 所以实数 k 的取值范围 ?

4 28 ?k? . 3 3

21.解: (1)? f ( x) ? t ( x ? t )2 ? t 3 ? t ? 1( x ? R,t ? 0) ,

?当 x ? ?t 时, f ( x) 取最小值 f (?t ) ? ?t 3 ? t ? 1 ,
即 h(t ) ? ?t 3 ? t ? 1 . (2)令 g (t ) ? h(t ) ? (?2t ? m) ? ?t 3 ? 3t ? 1 ? m , 由 g ?(t ) ? ?3t 2 ? 3 ? 0 得 t ? 1, t ? ?1 (不合题意,舍去) . 当 t 变化时 g ?(t ) , g (t ) 的变化情况如下表:

t
g ?(t ) g (t )

(0, 1)

1
0
极大值 1? m

(1, 2)
?

?
递增

递减

? g (t ) 在 (0, 2) 内有最大值 g (1) ? 1 ? m .

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h(t ) ? ?2t ? m 在 (0, 2) 内恒成立等价于 g (t ) ? 0 在 (0, 2) 内恒成立,

即等价于 1 ? m ? 0 , 所以 m 的取值范围为 m ? 1.

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高二数学测试题(二) 答案卷
一、选择题
1 答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二、填空题 13. 15. 三、解答题: 17. (10 分)已知二次函数 f ( x) 满足:①在 x =1 时有极值;②图象过点(0,-3),且在 该点处的切线与直线 2 x ? y ? 0 平行. (1) 求 f ( x) 的解析式; (2) 求函数 g ( x) ? f ( x 2 ) 的 单调递增区间。 14. 16.

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姓名

18. (10 分)已知 x ? 1, 证明 x ? ln x

19. (12 分)确定函数 y ?

x 的单调区间,并求函数的最大、最小值 x ?1
2

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4 20. (12 分)若函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? 4 ,当 x =2 时,函数 f ( x) 有极值 ? . 3

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若函数 f ( x) = k 有 3 个解,求实数 k 的取值范围.

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21. (12 分)设函数 f ( x) ? tx 2 ? 2t 2 x ? t ? 1( x ? R,t ? 0) . (1)求 f ( x) 的最小值 h(t ) ; (2)若 h(t ) ? ?2t ? m 对 t ? (0, 2) 恒成立,求实数 m 的取值范围.



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