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《简单的线性规划问题》课件4(人教A版必修5) 2


y

o

x

可行域上的最优解

问题1: 某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品, 每生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h, 每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h, 该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和 12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所有 可能的日生产安排是什么?
若生产1件甲种产品获利2万元,生产1 件乙 种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?

把问题1的有关数据列表表示如下:
甲产品 乙产品 资源限额 (1件) (1件)

资源

A种配件 B种配件 所需时间 利润(万元)

4 0 1 2

0 4 2 3

16 12 8

设甲,乙两种产品分别生产x,y件,

设甲,乙两种产品分别生产x,y件,由己知条件可得:

?x ? 2y ? 8 ? 4 x ? 16 ? ? ? 4 y ? 12 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0

y
4 3 4

8

x

0

将上面不等式组表示成平面上的区域,区域内 所有坐标为整数的点P(x,y),安排生产任务x,y 都是有意义的.

问题:求利润2x+3y的最大值.

若设利润为z,则z=2x+3y,这样上述问题转化为: 当x,y在满足上述约束条件时,z的最大值为多少 ? 2 z 2 把z=2x+3y变形为y=- x+ ,这是斜率为- , 3 3 3 z 在y轴上的截距为 的直线, 3

当点P在可允许的取值范围变化时,
z 求截距 的最值,即可得z的最值. 3

问题:求利润z=2x+3y的最大值 . y

?x ? 2y ? 8 ? 4 x ? 16 ? ? ? 4 y ? 12 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0

4 3
M(4,2)

4

0

x 8 1 y? ? x?4 2
2 z y? ? x? 3 3

Zmax ? 4 ? 2 ? 2 ? 3 ? 14

?x ? 2y ? 8 象这样关于x,y一次不等 ? 4 x ? 16 式组的约束条件称为 ? ? 线性约束条件 4 y ? 12 ? ?x ? 0 Z=2x+3y 称为目标函数 ,( 因这里 ? 目标函数为关于 x,y 的一次式 , 又 ? ?y ? 0
称为线性目标函数 在线性约束下求线性目标函数 的最值问题,统称为线性规划,

满足线性约束的解(x,y)叫做可行解, 所有可行解组成的集合叫做可行域

使目标函数取得最值的可行解叫做这个 问题的最优解
变式:若生产一件甲产品获利1万元, 生产一件乙产品获利3万元,采用哪种 生产安排利润最大?

变式:求利润z=x+3y的最大值 . y

?x ? 2y ? 8 ? 4 x ? 16 ? ? ? 4 y ? 12 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0

3

4 N( 2, 3)

4

0

1 z y? ? x? 3 3

x 8 1 y? ? x?4 2

zmax ? 2 ? 3? 3 ? 11

[练习]解下列线性规划问题:

1、求z=2x+y的最大值,使式中的x、y满足约束条件:

?y ? x ? ?x ? y ? 1 ? y ? ?1 ?

?y ? x ? ?x ? y ? 1 ? y ? ?1 ?

y

x+y=1
A

目标函数: Z=2x+y y=x

Zmin=-3

O B C

x

y=-1
B:(-1,-1) C:(2,-1)

2x+y=0

Zmax=3

2:求z=x+y的最大值和最小值,使式中x、y 满足下列条件:

?y ? x ? ?x ? y ? 1 y ? x ? 0 ? y ? ?1 ?

y ? x ?1

y?x
2
1

1 -1

2

答案: z=x+y有最大值1. z=x+y有最小值-2. 线性规划问题的最优解一般在可行域的顶点或边界取得

y ? ?1

3:求z=x-3y的最大值和最小值,使式中x、y 满足下列条件:

?y ? x ? ?x ? y ? 1 ? y ? ?1 ?

y ? x ?1

y?x
2
1

(0.5,0.5)
1 2

-1

(2,-1)

x-3y=0 答案:当x=2,y=-1时,z=x-3y有最大值5. 当x=0.5,y=0.5时,z=x-3y有最小值-1.

y ? ?1

解线性规划问题的步骤:
(1)画:画出线性约束条件所表示的可行域; (2)移:在线性目标函数所表示的一组平行 线中,利用平移的方法找出与可行域有公共点且 纵截距最大或最小的直线 (3)求:通过解方程组求出最优解; (4)答:作出答案。

体验:
一、先定可行域和平移方向,再找最优解。

二、最优解一般在可行域的顶点处取得.
三、在哪个顶点取得不仅与B的符号有关,

而且还与直线 Z=Ax+By的斜率有关.

小 结

本节主要学习了线性约束下如何求目 标函数的最值问题 正确列出变量的不等关系式,准确作出 可行域是解决目标函数最值的关健
线性目标函数的最值一般都是在可行域 的顶点或边界取得. 把目标函数转化为某一直线,其斜率与 可行域边界所在直线斜率的大小关系一定要 弄清楚.

简单的线性规划问题(二)
y

o

x

一、复习概念 一组关于变量x、y的一次不等式,称为线性约束条件 把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数,因为 它是关于变量x、y的一次解析式,又称线性目标函数。 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值 问题,统称为线性规划问题。 y 满足线性约束的解 可行域 (x,y)叫做可行解。
4 3

最优解

由所有可行解组成 可行解 的集合叫做可行域。 4 8 o 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做 这个问题的最优解。

x

二.回顾解线性规划问题的步骤
(1)画:画出线性约束条件所表示的可行域;

(2)移:在线性目标函数所表示的一组平行线 中,利用平移的方法找出与可行域有 公共点且纵截距最大或最小的直线
(3)求:通过解方程组求出最优解; (4)答:作出答案。

例2、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车 皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t;生产 1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐 15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t,在此基础上生 产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式, 并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料 各多少车皮,能够产生最大的利润? 解:设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合 y 肥料的车皮数,于是满足以下条件:

?4x+y ≤10 ?18x+15y ≤ 66 ? ? ?x ≥ 0 ? ?y ≥ 0

x

o

解:设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮, 能够产生利润Z万元。目标函数为Z=x+0.5y, 可行域如图: 把Z=x+0.5y变形为y=-2x+2z,它表示斜率 为-2,在y轴上的截距为2z的一组直线系。
由图可以看出,当直线经过可行域上的点M时, 截距2z最大,即z最大。

容易求得M点的坐标为 (2,2),则Zmax=3 答:生产甲种、乙种肥料各 2车皮,能够产生最大利 润,最大利润为3万元。

y

M x

o

3、制定投资计划时,不仅要考虑可能获得 的盈利,而且要考虑可能出现的亏损. 某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据 预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100﹪和50﹪,可能的最大亏损率分别为 30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10 万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万 元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少 万元,才能使可能的盈利最大? 【解题回顾】要能从实际问题中,建构有关线 性规划问题的数学模型.关键求出 约束条件和目标函数.

解:设投资方对甲、乙两个项目各投资x、y万元

? x ? y ? 10 目标函数为: 依题意线性约束条件为: Z ? x ? 0.5 y ? 3 x ? y ? 18 ? ? ?x ? 0 ? ?y ? 0

作出可行域

可知直线Z=x+0.5y通过点A时利润最大

x ? y ? 10 x?4 ? ? 由? ?? ?3 x ? y ? 18 ? y ? 6

? A?4,6?
答:

(万元) ? Z max ? 4 ? 6 ? 0.5 ? 7

例4、画出不等式x+4y<4表示的平面区域。
解:先作出边界x+4y=4,因为这条线上的点都不满足 x+4y<4,所以画成虚线 取原点(0,0),待入x+4y-4,因为 0+4×0-4=-4<0
y 3 2 1 0 1 2 3 4 x

所以原点(0,0)在x+4y-4<0表示的平面区域 内,不等式x+4y<4表示的平面区域。

x+4y<4

归纳:
对于直线Ax + By + C = O
(1)若A>0,B<0 y Ax+By+C<0在左上方 y (2)A>0,B>0

Ax +B y+ C>0在右上方

0 0 x Ax +B y+ C>0在右下方 Ax+By+C<0在左 下方

x

例 5、用平面 区域表示不等式组
y<-3x+12 x<2y
的解集。 分析:由于所求平面区域的点的坐标要同时满足两个不等式,因此二 元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交 集,即各个不等式表示的平面区域的公共部分。 y 解:不等式y<-3x+12即3x+ y-12<0,表示的平面 区域在直线3x+ y-12=0的左下方; 12 不等式x<2y即x-2y<0,表示的是直线x-2y=0的 8 左上方的区域 4 0 4 8 x 取两区域重叠的部分,即阴影部分就表示原不等 式组的解集

例6 、要将两种大小不同的钢板截成A.B.C三种规格,每张钢板可同时 截得三种规格的小钢板的块数如下表所示: 规格类型 钢板类型 第一种钢板 第二种钢板

A规格 2 1

B规格 1 2

C规格 1 3

今需要A.B.C三种规格的成品分别为15,18,27块,用数学 关系式和图形表示上述要求。
解:设需要截第一种钢板x张,第二种

钢板y张,则
2x+y≥15 X+2y≥18 X+3y ≥27 x ≥0 y ≥0

0

1 1 8 1 6 1 4 1 8 2 6 0 4 2

X+3y=27
2 4 6 8 10 12 1416 18 20

2x+y=15

24 262 X+2y=1822

例7、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲 种肥料的主要原料是磷酸盐4t,硝酸盐18;生产1车皮乙种 肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t。现库存磷酸 盐10t,硝酸盐66t,在此基础上生产这两种混合肥料。列出满 足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域。
解:设x,y分别为计划生产甲、乙两种

混合肥料的车皮数,于是满足以下条件 4x+y≤10
18x+15y ≤66 x≥0 y ≥0
18x+15y =66 4x+y=10

练习题
1、某厂拟生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分
别为3000元、2000元,甲、乙产品都需要在A、B两 种设备上加工,在每台A、B上加工1件甲所需工时分别 为1h、2h,加工1件乙所需工时分别为2h,1h.A、B两 种设备每月有效使用台时数分别为400h和500h。如何 安排生产可使收入最大?

解: 设每月生产甲产品x件,生产乙产品y件,每月收
入为Z千元,目标函数为Z=3x+2y,满足的条件是

? x+2y ≤400 ?2x+y ≤500 ? ? ?x ≥ 0 ? ?y ≥ 0

3 z Z= 3x+2y 变形为 y ? ? x ? 2 2 3 它表示斜率为 ? 的直线系,Z与这条直线的截距有关。 2 当直线经过点M时,截距最大,Z最大。

? x ? 2 y ? 400 解方程组 ? ?2 x ? y ? 500
Z 的最大值Zmax = 3x+2y=800(千元) 故生产甲产品200件, 为80万元。

可得M(200,100) Y

500

200

乙产品100件,收入最大,
O

M X

250

400


二元一次不等式 表示平面区域

结:
直线定界, 特殊点定域 约束条件 目标函数

应 用

简单的线性规划

可行解 可行域

求解方法:画、 移、求、答

最优解

作 业: 课本 P106

4

简单的线性规划问题(三)
y

o

x

复习回顾:
二元一次不等式 表示平面区域 直线定界, 特殊点定域 约束条件 目标函数 简单的线性规划 可行解 可行域 求解方法:画、 移、求、答 最优解

应 用

例、要将两种大小不同规格的钢板截成 A 、 B 、 C 三种规格,每张钢板可同时截得三种 规格的小钢板的块数如下表所示 :
钢板类型 规格类型

A规格

B规格

C规格

第一种钢板 第二种钢板

2 1

1 2

1 3

今需要A,B,C三种规格的成品分别为15,18, 27块,问各截这两种钢板多少张可得所需三 种规格成品,且使所用钢板张数最少。
解:设需截第一种钢板x张、第二种钢板y张,可得

{

2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N*

y

打网格线法

目标函数

B(3,9)
A(18/5,39/5)

z=x+y

C(4,8)

x+y =0 0 2x+y=15 x+2y=18 x+3y=27 作出一组平行直线z= x+y, 当直线经过点A时z=x+y=11.4,但它不是最优整数解, 在可行域内打出网格线, 将直线x+y=11.4继续向上平移, 经过可行域内的整点 B(3,9) 和 C(4,8) 且和原点距 离最近的直线是x+y=12,它们是最优解. 答:(略) x

{

2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N*

y

调整优值法

B(3,9)
A(18/5,39/5)

目标函数 z = x+y

C(4,8)

x+y =0

0

x
2x+y=15 x+y=12 x+2y=18 x+3y=27

作出一组平行直线z = x+y, 当直线经过点A时z=x+y=11.4,但它不是最优整数解. 作直线x+y=12 解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8)

直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8),它们是最优解

1. 线性规划的讨论范围:教材中讨论了 两个变量的线性规划问题,这类问题可 以用图解法来求最优解,但涉及更多变 量的线性规划问题不能用图解法来解; 2. 求线性规划问题的最优整数解时,常 用打网格线和调整优值的方法,这要求作 图必须精确,线性目标函数对应的直线斜 率与其他直线的斜率关系要把握准确

Ex.在x, y的值都是不小于0的整数 点(x, y)中,满足x + y ≤4的
15 点的个数为_______

练习: 设变量x, y满足条件

?

3 x?2 y?10 x? 4 y?11 x , y?Z x?0 , y ?0

求S ? 5 x ? 4 y的最大值 。

讲授新课
2. (1)已知
?1 ? a ? b ? 2 , 求t=4a-2b ? ?2 ? a ? b ? 4

的取值范围; (2)设f(x)=ax2 +bx,且1≤f(-1)≤2, 2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.

讲授新课
3. 已知△ABC的三边长a、b、c满足

b+c≤2a,c+a≤2b,求

b 的取值范围. a

课后练习

请预习3.4基本不等式


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