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新疆石河子第一中学2014届高三周练数学试题(2013-11-19)


高三数学
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 个是符合题目要求的. 1.设集合 M ? {x ? R | x 2 ? 3x ? 10 ? 0} , N ? {x ? Z | (A) [1,2] 2.若复数 z ? (A) ?3
sin 2 35? ? 1 2 的值为

10 ? Z } ,则 M ? N 为( x
(D) {?2,?1,1,2}



(B) (1,2)

(C) {?1,1,2} )

x ? 3i ( x ? R) 是实数,则 x 的值为( 1? i
(B)3 (C)0

(D) 3

3.

sin 20?

( (B) ?

) (C) ?1 (D)

(A)

1 2

1 2

1

4.已知直角坐标平面内的两个向量 a ? (1,3) , b ? (m,2m ? 3) ,使得平面内任何一个向量 c 都 可以唯一表示成 c ? ? a ? ? b ,则 m 的取值范围是( (A) (??, ?3) ? (?3, ??) (B) {?3} ) (C) ( ?3,3) (D) (0,??)

5.设 ? ? 0 ,函数 y ? sin(?x ? ? ) (?? ? ? ? ? ) 的图象向左平移 则 ? , ? 的值为( (A) ? ? 1, ? ? ) (B) ? ? 2, ? ?

?
3

个单位后,得到下面的图像,
1

2? 3

2? 3

π π 2 π O 6 1 π 3

(C) ? ? 1, ? ? ?

?
3

(D) ? ? 2, ? ? ?

?
3


?x ? 3 y ? 7 ? 0 ? 6.已知 x, y 满足 ? x ? 1 ,则 z ?| y ? x | 的最大值为( ?y ?1 ?

A. 1

B. 2

C. 3

D.4

7. 函数 f ( x) ? ln x ? ax 存在与直线 2 x ? y ? 0 平行的切线, 则实数 a 的取值 范围是( ) (B) (?? ,2) (D) (0,??)

(A) (??,2] (C) (2,?? )

8.如图给出的是计算

1 1 1 的值的一个程序框图,则图中判断框内(1)处和执行 ? ??? 2 4 100
) (B) i ? 100, n ? n ? 2 (D) i ? 50, n ? n ? 2

框中的(2)处应填的语句是( (A) i ? 100, n ? n ? 1 (C) i ? 50, n ? n ? 2

9 . 已 知 等 比 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 S n , 若 a1 ? 257 , 且 满 足

1 1 S 2011 ? ? S 2010 ? 1, S 2010 ? ? S 2009 ? 1 ,则使 | a n |? 1 的 n 的最大值为( 2 2
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9



10. 如图, 在平面四边形 ABCD 中,AB ? AD ? CD ? 1 ,BD ? 2 , BD ? CD , 将其沿对角线 BD 折成 四面体 A'? BCD , 使平面 A' BD ? 平面 BCD ,若四面体

A'? BCD 顶点在同一个球面上,则该球的体积为(



A B DB

A' D C C

3 ? 2 2 ? (C) 3
(A)

(B) 3? (D) 2?

11.已知双曲线的右焦点为 F,过 F 作双曲线一条渐近线的垂线,垂足为 A,过 A 作 x 轴的垂 线,B 为垂足,且 OF ? 3OB (O 为原点), 则此双曲线的离心率为( ) 3 (A) 2 (B) 3 (C) 2 (D) 2 A A A 12.已知函数 f ( x) 的定义域为 ,若其值域也为 ,则称区间 为 f ( x) 的保值区间.若 g ( x) ? x ? m ? ln x 的保值区间是 [e, ??) ,则 m 的值为( ) A.1 B. ?1 C. e D. ?e 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在机读卡上相应的位置. 13.若 数 列{x n } 满足 x n ? x n ?1 ? d (n ? N *, n ? 2 ),其中d 为常数, x1 ? x 2 ? ? ? x 20 ? 80 ,则

x5 ? x16 ? ___
14.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人,并根据所得数据画了样本的频 率分布直方图(如图) 。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这 10000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查,则在 [2500,3000) (元)月收入 段应抽出______人

15.设 F1 , F2 分别是椭圆 E : x ?
2

y2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 E 相交 b2 于 A, B 两点,且 | AF2 |, | AB |, | BF2 | 成等差数列,则 | AB | 的长为 .

16.如图所示几何体的三视图,则该三视图的表面积为
频率/组距 0.0005
1 1 正视图 2 侧视图 2

0.0004 0.0003
2

0.0002 0.0001 月收入(元) 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
2 2

14 题图 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 攀岩运动是一项刺激而危险的运动, 如图 (1) , 在某次攀岩活动中, 两名运动员在如图所在位置,为确保运动员的安全,地面救援者应时刻 注意两人离地面的的距离,以备发生危险时进行及时救援.为了方便测 量和计算,现如图(2) , A, C 分别为两名攀岩者所在位置, B 为山的拐 角处,且斜坡 AB 的坡角为 ? , D 为山脚,某人在 E 处测得 A, B, C 的仰 角分别为 ? , ? , ? , ED ? a , (1)求: BD 间的距离及 CD 间的距离; (2)求证:在 A 处攀岩者距地面的距离 h ? 理科

16 题图

A θ B

a sin ? sin(? ? ? ) cos ? sin(? ? ? )
E

C

D

18. 文科 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2,点 E 在棱 CC1 上,点 F 是棱 C1 D 1 的中点
D1 F C1

A1

B1 E

(1)若 AF // 平面 BDE ,求 CE 的长; (2)若平面 BDE⊥平面 A1BD,求三棱锥 F—ABE 的体积.

19. 文科 有两个不透明的箱子,每个箱子里都装有 4 个完全相同的小球,球上分别标有数字 1,2,3, 4 (1)甲从其中一个箱子中摸出一个球,乙从另一个箱子中摸出一个球,谁摸出的球上标的数 字大谁获胜(若数字相同则为平局) ,求甲获胜的概率; (2)摸球方法与(1)相同,若规定:两人摸到的球上所标数字相同甲获胜,所标数字不同 则乙获胜,这样规定公平吗? (3)理科 求甲取出数字与乙取出数字差的绝对值的分布列与期望

20. 已知直线 kx ? y ? 3k ? 0(k ? R) 所经过的定点 F 恰好是椭圆 C 的一个焦点,且椭圆 C 上的 点到 F 的最小距离为 2 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 1 ,直线 l : mx ? ny ? 1 ,当点 P(m, n) 在椭圆 C 上运动时,直线 l 与圆 O 是否相交于两个不同的点 A,B?若相交,试求弦长|AB|的取值范围,否则说 明理由.

21. 已知函数 f ( x) ?

1 ( x ? 1) 2 ? ln x ? ax ? a 2
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? ?1 ; x 2 ? x1

(1)当 a ? 2 时,求证:对任意的 x1 , x 2 ? (0,??) ,且 x1 ? x 2 ,有 (2)若 x ? (1,3) 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

四、选做题(本小题满分 10 分,请考生 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按 所做的第一题记分) 22.选修 4-1:几何证明选讲

CA 切圆 O 于 A 点,DC 如图, 已知点 C 在圆 O 直径 BE 的延长线上,
是 ?ACB 的平分线并交 AE 于点 F 、交 AB 于 D 点, ?ADF ? ?

23.选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 1 , 以极点为原点, 极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,

t ? x ? 1 ? ? 2 ? 直线 l 的参数方程 ? (t为参数) . 3 ?y ? 2 ? t ? ? 2
(1)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (2)设曲线 C 经过伸缩变换 ? 求 x ? 2 3 y 的最小值.

? x? ? 3x 得到曲线 C ? ,设曲线 C ? 上任一点为 M ( x, y ) , ? y? ? y

24.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? log2 (| 2 x ? 1 | ? | x ? 2 | ?m) . (1)当 m ? 4 时,求函数 f ( x) 的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 1 的解集是 R ,求 m 的取值范围.

参考答案

18.解: (1)连结 AC 交 BD 于 O,连结 CF 交 DE 于 P,连结 PO ∵AF∥平面 BDE,∴AF∥PO,又 O 为 AC 中点,∴P 为 CF 中点---------------2 分 在正方形 CD1C1C 中,延长 DE 交 D1C1 的延长线于点 Q, 则由平面几何知识得

C1 E 1 2 ? ,所以 CE= ------------------------------5 分 C1 B 3 3

(2)由平面 BDE⊥平面 A1BD 且 EO⊥BD,所以 EO⊥平面 A1BD-----------------7 分

又 AC1⊥平面 A1BD,所以 EO∥AC1,因此 E 为 CC1 的中点--------------9 分 ∵B1C⊥平面 ABF,∴E 到平面 ABF 的距离为
2 ,又 S ?ABF ? 2 2 , 2

1 2 2 S ?ABF ? ? ----------------------------12 分 3 2 3 19.解: (1)用 ( x, y ) ( x 表示甲摸到的数字, y 表示乙摸到的数字)表示甲乙各摸到一球构

所以 V F ? ABE ? V E ? ABF ?

成的基本事件有: (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)共有 16 个------------------------------------------------3 分 设甲获胜的事件为 A ,则事件 A 包括的基本事件为(2,1) (3,1) (3,2) (4,1) (4,2) (4,3)共有 6 个,------------------------------------------5 分

6 3 3 ? 答:甲获胜的概率为 -----------------------6 分 16 8 8 (2) 设甲获胜的事件为 B , 乙获胜的事件为 C , 事件 B 所包含的基本事件为 (1,1) (2,2) (3,3) P( A) ?
(4,4)共有 4 个,--------------------------------------------8 分 则 P( B) ?

4 1 4 3 ? , P(C) ? 1 ? ? ,-----------------------------------10 分 16 4 16 4 P( B) ? P(C ) ,所以不公平--------------------------------------------------12 分

20.(1)由已知得 y ? k ( x ? 3) ,所以 F(3,0)-------------------------2 分

?c ? 3 ?a ? 5 ? ? 设椭圆方程 C 为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,则 ?a ? c ? 2 解得 ?b ? 4 ---------4 分 a b ?c ? 3 ? 2 2 2 ? ?a ? b ? c
x2 y2
所以椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 --------------------------------------5 分 25 16 m2 n2 ? ? m2 ? n2 25 16

(2)因为点 P (m, n) ,在椭圆 C 上运动,所以 1 ?

从而圆心 O 到直线 l : mx ? ny ? 1 的距离 d ?

1 m2 ? n2

?1? r

所以直线 l 与圆 O 恒相交于两个不同的点 A、B---------------------------------7 分 此时弦长 | AB |? 2 r 2 ? d 2 ? 2 1 ?

1 m ?n
2 2

? 2 1?

1 9 2 m ? 16 25

---------------------------9 分

由于 0 ? m 2 ? 25 ,所以 16 ?

15 4 6 9 2 , ] ---------------------12 分 m ? 16 ? 25 ,则 | AB |? [ 2 5 25

21.解: (1)令 g ( x) ? f ( x) ? x( x ? 0) ,

因为 g ' ( x) ? f ' ( x) ? 1 ?

( x ? 1) 2 ? 0 ,所以 g ( x) 在 (0, ??) 上递增,----------------------3 分 x
x2 ? x1

所以 g ( x2 ) ? g ( x1 ) ,即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ?1 ------------------------------------------------5 分 (2)当 a ? 1 时 f ' ( x) ? x ?
1 ? a ?1 ? 2 ? a ?1 ? 0 x

所以, f ( x) 在 (1,3) 上递增,所以 f ( x) ? f (1) ? 0 满足条件------------------------------8 分
2 2 当 a ? 1 时,令 f ' ( x) ? 0 ? 0 ? a ? 1 ? a ? 2a ? 3 ? x1 ? x ? x2 ? a ? 1 ? a ? 2a ? 3 , 2 2

? f ' (1) ? 1 ? a ? 0? x1 ? 1 ? x2 ,令 b ? min ?x2 ,3? ,则 f ( x ) 在 (1, b) 上递减,
所以 f ( x) ? f (1) ? 0 ,不合题意。---------------------------------------------11 分 综上 a ? 1 -----------------------------------------------------------------------------12 分 22.解:? ?ADF ? ?ABC ? ?DCB ,

?ADF ? ?CAE ? ?ACD

? ?ACD ? ?DCB, ?CAE ? ?ABC
??ADF ? ?AFD

? ?BAE ? 90? ??ADF ? 45? ——————————10 分
23(1) ? : y ? 2 ?

3( x ?1);圆C : x2 ? y 2 ? 1 ——————————4 分

x2 ? y 2 ? 1 ——————————7 分 (2)曲线 C ' : 9
令?

? x ? 3cos ? ? x ? 2 3 y ? 3cos ? ? 2 3 sin ? ——————————9 分 ? y ? sin ?

? 2 1 s i? n? (?

)

? x ? 2 3 y 最小值 ? 21 ——————————10 分
24(1) ? x

?

7 1? x ? ? 或x ? ? ——————————5 分 3 3? ?

? ? ?3x ? 5, x ? ?2 ? 1 ? (2) m ? 2x ? 1 ? x ? 2 ? 2 及 g ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 2 ? 2 ? ?? x ? 1, ?2 ? x ? ? 2 ? 1 ? 3x ? 1, x ? ? ? ? 2
? g ( x) ? ? 1 2

1 ? m ? ? ——————————5 分 2

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