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4.1数系的扩充和复数引入 教学设计



4.1 数系的扩充和复数的概念
【学习目标】 1. 了解数的概念的发展过程和数集扩充到复数的必要性; 2. 理解复数的有关概念以及符号表示; 3. 掌握复数的代数表示形式及复数相等的充要条件; 4. 掌握复平面与复数的几何意义; 5 掌握复数的模或绝对值

6. 在问题情境中了解数系得扩充过程, 体会实际需求与数学内部的矛盾 (数 的运算规则、方程求

根)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以 及数与现实世界的联系. 【教学重点】引进虚数单位 i 的必要性、对 i 的规定以及复数的有关概念. 【教学难点】复数概念的理解. 【学情分析】 在学习本节前,学生对数的概念已经扩充到实数,也已清除各种数集之间 的包含关系等内容,但知识是零碎、分散的,对数的生成发展的历史和规律缺乏 正题认识与理性思考,知识体系还未形成。另一方面,学生对方程解的问题会默 认在实数集中进行,缺乏严谨的思维习惯。 基于以上分析,本节课的学习目标如下: (1) 通过回忆数系的扩充过程,观察所列举的复数能简述复数的定义,并能说 出复数的实部与虚部; (2) 通过小组讨论将复数分类,并能用语言或图形表达复数的分类,会解决含 有字母的复数的分类问题; (3) 通过比较给出的两个复数能归纳出复数相等的充要条件, 并能解决与例题 相似的题目; (4) 通过类比平面直角坐标系的点,总结出复平面及复平面的几何意义; (5) 通过点到原点的距离公式,进一步得出复数的模或绝对值的公式,并能解 决例题类似题目

知识形成过程:

1. 数系的扩充 对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括 (教师引导学生 进行简明扼要的概括和总结) 自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数 2.问题引入
2 我们知道,对于实系数一元二次方程 x ? 1 ? 0 ,没有实数根.我们能否将

实数集进行扩充,使得在新的数集中,该问题能得到圆满解决呢? 3.组织讨论,研究问题
2 我们说,实系数一元二次方程 x ? 1 ? 0 没有实数根.实际上,就是在实数

范围内,没有一个实数的平方会等于负数.解决这一问题,其本质就是解决一个 什么问题呢? 组织学生讨论,引导学生研究,最后得出结论:最根本的问题是要解决-1 的开平方问题.即一个什么样的数,它的平方会等于-1. 4.引入新数 i ,并给出它的两条性质 根据前面讨论结果,我们引入一个新数 i , i 叫做虚数单位,并规定: (1) i ? ?1 ;
2

(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有的加、乘运算律 仍然成立. 有了前面的讨论,引入新数 i ,可以说是水到渠成的事.这样,就可以解决 前面提出的问题(-1 可以开平方,而且-1 的平方根是 ? i ) . 5.提出复数的概念 根据虚数单位 i 的第 (2) 条性质,i 可以与实数 b 相乘, 再与实数 a 相加. 由 于满足乘法交换律及加法交换律,从而可以把结果写成 a ? bi 这样,数的范围又 扩充了,出现了形如 a ? bi(a, b ? R) 的数,我们把它们叫做复数. 全体复数所形成的集合叫做复数集,一般用字母 C 表示,显然有: N* N Z Q R C.

6.复数的分类

【巩固练习】 1.说明下列数中,哪些是复数,哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数? 并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么?
2 2 2 ? 7, 0.618 , i , 0 , i , i (1 ? 3 ) , 3 ? 9 2i , 5i ? 8 , 7

sin

?

6

? i cos

?

6

例 1.实数 m 分别取什么值时,复数 z=m+1+(m-1)i 是 (1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?

7.复数相等 根据复数的概念,提出问题,对任取两个复数 a+bi 与 c+di,如果这两个复数相等相等, 你能得出怎样的结论?教师引导,回忆两个多项式相等的充要条件,通过类比,得出两个复 数相等的充要条件 a+bi=c+di a=c,b=d,特别地,a+bi=0 a=0,b=0.

这里需要注意的是, 两个实数可以比较大小, 一个实数与一个虚数或两个虚数是不可以 比较大小的.

例 2、

已知 (2 x ? 1) ? i ? y ? (3 ? y)i ,其中,x,y ? R,求 x 与 y.

例 3、

下列命题中正确的有_____ ,则 z 2 ? 0

(A)若 z ? C

(B) 若 x ? yi ? 1 ? i (x,y 为实数)的充要条件是x ? y ? 1 (C)1+ai 是一个虚数 (D)若 a=0,则 a+bi 为纯虚数

8.复平面与复数的几何意义 类比平面直角坐标系,提出复平面的概念,进而引出每一个复数在复平面内
都有唯一的一个点与它对应,复数集 C 和复平面内的所有点构成的集合是一一对应的,即任 一个复数 z=a+bi 与复平面内的点 Z(a,b)是一一对应.

9.复数的模或绝对值 设复数 z=a+bi 在复平面内对应的点是 Z(a,b),点 Z 到原点 O 的距离|OZ|叫做复数 z 的模或绝对值,记作|z|. 显然,|z|= a 2 ? b2 .

例 4、

在复平面内表示下列复数,并分别求出他们的模: (2) ?

(1)-2+3i

1 2

3 i 2

(3)3-4i

(4)-1-3i

练习: 1、若 x,y 为实数,且 2、 (2 x
2

?

x 2 ? y 2 ? x ? yi ? 2 ? 4i ,求 x, y .

?

? 3x ? 2) ? ( x2 ? 5x ? 6)i ? 0 求 x 的值.

3、已知x 2 ? (1 ? 2i) x ? 3mi ? 2i ? 0(m ? R),求实数m的值. 4、求下列复数的模:(1)-5+2i (2)4i-5 (3)

3 ?i

【课堂小结】 一、数系的扩充; 二、复数有关的概念: 1、复数的代数形式; 2、复数的实部、虚部。 3、虚数、纯虚数; 4、复平面与复数的几何意义 5、复数的模或绝对值 三、复数相等 【课后作业】

1.课本 P11276,A 组 1、4 2.优化设计:P29~P32



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