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M08C24 相似三角形内接矩形



第二十四节
【典型例题】

相似三角形——内接矩形
A D B E C

例 1 已知正方形 DEFM 内接于△ABC,若 S△ADE=2,S 正方形 DEFM=4,求 S△ABC。

M

F

例 2 如图,在△ABC 中, ?C ? 90? ,正方形 DE

FG 是△ABC 的内接正方形,AD=m,BE=n,求正 方形的边长?

C G AmD
A D G C

F
F

E n
E

B
B

图 23-15

例 3 如图,在地角边为 3 和 4 的直角三角形中作内接正方形,比较两种作法中正方形面积的 大小。

3

4

3

4

信心训练营

139

例 4 如图所示, 在△ABC 中, 为高, AH 内接矩形 DEFG 的边长 DE 与 BC 重合, BC=48cm, 且 AH=16cm, EF:DE=5:9,求内接矩形的周长。

A G K F

B

D

H E

C

例5

有一余料△ABC,BC 长 30cm,高 AM 长 20cm, ,把它加工成一块矩形材料,且矩形的一边

EF 在 BC 上,顶点 D、G 分别在 AB、AC 上,并使矩形的长是宽的 2 倍,如图所示,两种设计方 法,请你通过计算比较一下,哪一种图形的矩形面积大些?

A D D B N G C B

A N G

E M

F

EM F

C

图 23-19
例 6 如图,正方形 EFGH 内接于△ABC,设 BC ? ab (这是一个二位数) EF ? c ,三角形的高 , AD=d。已知: a 、 b 、 c 、 d 恰好是从小到大的四个连续整数,试求△ABC 的面积。

A E B O F C

H

D G

信心训练营

140

例7

如图,有一块三角形土地,它的底边 BC=100 米,高 AH=80 米,某单位要沿着地边 BC 修

一座底面是矩形 DEFG 的大楼,当这座大楼的地基面积最大时.这个矩形的长和宽各是多少?
A

D

M

G

B

E

H

F

C

位似图形的作法
1.位似图形的定义:两个要素① 2.位似图形的性质: ①位似图形的 和位似中心在同一条直线上,且它们到位似中心的距离之比等于 。 ②

②位似图形的对应线段 ③两位似图形的方向或者 ④两位似图形的一定 ⑤位似图形的对应角 3. 位似中心的位置: ,但 ,对应边 或者 图形不一定位似 。

① 在两图外部:两图两侧或两图同侧 ②在两图内部 ③在边上 ④在顶点上 都有该图的位似图形。

4.作出一个新图形,使新图形与原图形对应线段的比是 2∶1.

信心训练营

141

【大展身手】 1.如图所示,有一点光源 S 在平面镜上方,入射光线 SB 射到镜面的 B 点,在 P 点看到光源的 反射光线,测得 S 到镜面垂直距离 A 与入射点 B 的距离 AB=10cm,B 点与 P 到镜面垂直距离 C 与 B 点的距离 BC=20cm,PC=24cm,试求点光源 S 距平面镜的距离 SA 之长。

P D

S 3 A 12 B 4 C

2.一桶油高 1m,桶内有油,一根木棒长 1.2m,从桶盖小口斜插入桶内,一端点到桶底,另一 端点正好到小口,抽出木棒,量得棒上浸油部分长 0.45m,问桶内油面的高度为多少米?

3.如图,在△ABC 中,BC=12,高 AD=18,正方形 PQMN 内接于△ABC,P、Q 在 BC 边上,MN 分别 在 AC、AB 上,求正方形的边长。

A N E M

B

P

D Q

C

图 23-18

信心训练营

142

4.如图,在△ABC 中, ?A ? 90? ,DEFG 是△ABC 的内接正方形,且边 DE 在斜边 BC 上,求证: DE =BD·CE。
2

A G F

B

D

E

C

5.如图所示,在矩形草坪 ABCD 中,AB=10m,BC=8m,在草坪外修筑宽为 2m 的环绕长方形马路 EFGH 与 ABCD 中间部分。 (1)求此时马路面积。 (2)矩形 ABCD 和矩形 EFGH 是位似矩形吗?说明理由。 (3)若在草坪外作与矩形 ABCD 相位似的矩形,且其面积是草坪面积的 2 倍,请写作法, 并保留画痕。

H D A C B

G

E

F

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6.如图,要测量河两岸相对的两点 A,B 的距离,先从 B 处出发,沿 AB 成 90°角方向,向前 走 50m 到 C 处立一根标杆,然后继续朝前走 10m 到 D 处,在 D 处转 90°,沿 DE 方向再走 17m, 到达 E 处,恰好使 A(目标) ,C(标杆)和 E 三点在同一直线上,就能计算出 AB 间的距离,为 什么?计算出结果。

A

B

C

D E

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