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高中物理奥赛运动学全本(精品)



运动学

德化一中 肖满捷

第一节质点运动的描述 1-1
Description of particle motion
固联在参考系上的正交数轴组成的系统,可定量描 述物体的位置及运动。如直角坐标系、自然坐标系等。

坐标系 θ

卫星

r
φ


运动质点

切线 法线

自然坐标系
由运动曲线上任 一点的法线和切
线组成

n

τ

矢量知识

有大小、有方向,且服从平行四边形运算法则的量。

线段长度(大小);箭头(方向)。

A

手书 印刷

A

(附有箭头) (用黑体字,不附箭头)

矢量表示式 在 X-Y 平面上的某矢量 A 该矢量
Y

A 的坐标式
手书

y
A i

A = xi +yj
印刷

j

0

x

X

= x

+y

i 、j 分别为 X、Y 轴的
单位矢量(大小为1,方向 分别沿 X、Y 轴正向)。

在课本中惯用印刷形式。
在本演示课件中,为了 配合同学做手书作业,采 用手书形式。

矢量加法
服从平行四边形法则 为邻边 为对角线

反向为

减法相当于将一矢量反向后再相加。

位置矢量

位移

平均速度

瞬时速度

平均加速度

瞬时加速度

自然坐标系

直线运动的图像
图象是表示物理规律,研究物理问题的重要方 法之一,不仅在力学中,在电磁学中、热学中也是 经常用到的,图象的优点是能够形象、直观地反映 出函数关系。

1、对于运动图象要从以下几点来认识它的物理意义: ⑴点:描述物体的运动状态 ⑵线:物体运动的性质 ⑶截:认识图像的截距的意义 ⑷斜:能认识图像的斜率的意义 ⑸面:能认识图线覆盖面积的意义
2、直线运动的图像主要有v-t图象s-t图象两种,从物理角度来 说,它们反映了物体的运动过程;从数学角度来说,反映了 两个物理量之间一一对应的函数关系 (1)s-t图象和v-t图象,只能描述直线运动——单向或双向直 线运动的位移和速度随时间变化的函数关系,而不能直接用来 描述方向变化的曲线运动 (2)当为曲线运动时,应先将其分解为直线运动,然后才能 用s-t或v-t图象进行描述

一、基本概念 1、位移-时间图像(x-t图像) a:静止 b:匀速直线 c:匀加速直线 d:匀减速直线

c、d两条为抛物线

由x-t 图像可以判定: ①对应t时刻的位移 ②对应某段位移所用的时间 ③物体的运动性质 ④对应t时刻的速度 斜率大小表示速度大小 斜率正负表示速度方向 与位移正向相同还是相反

2、速度-时间图像(v-t图像) a:匀速直线 b:匀加速直线 c:匀减速直线 若物体静止,则v-t图像与t轴重合

由v-t 图像可以判定: ①对应t时刻的速度 ②达到某一速度对应的时间 ③物体的运动性质 ④物体的位移 ⑤物体运动的加速度

图线与时间轴间的面积表示位移 时间轴上方的面积表示正向位移 下方的面积表示负向位移

它们的代数和表示总位移 它们的绝对值之和表示总路程
图线上任一点的切线斜率值表示该时刻的即时加速度 的大小 斜率的正负反映了加速度的方向与速度正方向是相同 还是相反

下列哪个图象表示物体在做竖直上抛
运动?

D

3、两种图像的比较 图中蓝色面 积表示质点 ①在0~t1时 间内的位移

①物体匀速直线运动 斜率表示速度 ②物体静止 ③物体静止 ④物体反向匀速直线

①物体匀加速直线 斜率表示加速度 ②物体匀速直线 ③物体静止 ④物体匀减速直线

⑤交点的纵坐标表示三 ⑤交点的纵坐标表示三 个质点相遇时的位置 个质点的共同速度 ⑥t1时刻物体位移x1 ⑥t1时刻物体速度v1

各做什么运动? 何时回到出发点?

注意: (1)不能把x-t图或v-t图中的直线或曲线当成物体运动的轨迹 (2) x-t图和v-t图描述了物体的直线运动规律,v、x轴只能 描述同一直线上的两个方向。 (3)在x-t图中,两物体运动图线的交点即为相遇点,对 应物体的位置相同 在v-t图中,交点不是相遇点,而是物体的同速时刻 在v-t图像中,两图线对应面 积相同的时刻,即位移相同时刻, 也不一定是相遇点。 ∵v-t图像无法交待两物体的初位 置关系!

二、题型分析
1、对x-t图像的认识 例:如图表示甲、乙两做直线运动物体相对同一原点的位 移-时间图象。下面有关说法中正确的是: A.甲和乙都做匀速直线运动 B.甲、乙运动的出发点相距s0 C.乙运动的速率大于甲运动的速率 D.乙比甲早出发t1的时间 E. 在 s0/2 处甲乙相遇

ABCE

2、对v-t图像的认识

例1、如图所示为一物体做直线运动的速度图象,初 速度为v0末速度为vt,则物体在t1时间内的平均速度 为:B A、v = (v0+vt) / 2 v vt B、v > (v0+vt) / 2 C、v < (v0+vt) / 2 v0 D、无法判断

0

t

例2:甲、乙两个物体由同一位置出发沿同一直线运动 时的图像如图,则下述说法中正确的有: A、甲作匀速直线运动,乙作匀变速直线运动 B、两物体两次相遇的时刻是1秒和4秒 C、乙物体在头两秒作匀加速直线运动,两秒后作匀减 速直线运动。 D、2秒后两物体的运动方向相反

C

例3:甲、乙、丙三辆汽车以相同的速度同时经过某一路 标,从此时开始甲车一直做匀速直线运动,乙车先加速后 减速,丙车先减速后加速,它们经过下个路标时速度又相 同,则: A B.乙车先通过下一个路标 C.丙车先通过下一个路标 D.条件不足,无法判断

B

3、在某些曲线运动中对v-t图像的应用

速率-时间关系

例1:如图所示物块从光滑斜面滑下,第一次沿AB用时t1, 第二次沿ACD用时t2,已知AB=AC+CD,BD在同一水平面。 试比较t1和t2

t2<t1

例3: 一个固定在水平面上的光滑物块,其左侧面是斜面 AB,右侧面是曲面AC。已知AB和AC的长度相同。两个 小球p、q同时从A点分别沿AB和AC由静止开始下滑,比 较它们到达水平面所用的时间 pA q B A.p小球先到 B.q小球先到 C.两小球同时到 D.无法确定 B C
解:可以利用v-t图象(这里的v是速率,曲线下 v 的面积表示路程s)定性地进行比较。在同一个vq t图象中做出p、q的速率图线,显然开始时q的 加速度较大,斜率较大;由于机械能守恒,末 o 速率相同,即曲线末端在同一水平图线上。为 使路程相同(曲线和横轴所围的面积相同), 显然q用的时间较少。

v

p tq tp t

4、图像法的拓展应用 例:老鼠离开洞穴沿直线前进,它的速度与到洞穴的距 离成反比,当它行到离洞穴距离为d1的甲处时速度为v1,求: (1)老鼠行进到离洞穴距离为d2的乙处的速度多大? (2)从甲处到乙处要用多长时间? 解: (1)由老鼠的速度与到洞穴的距离成反比,得v2 d2 = v1d1, 所以老鼠行进到离洞穴距离为d2的乙处时速度v2 = d1v1/d2

(2)由老鼠的速度与到洞穴的距离成反比,作出d ? 图象,如 v 图所示 从d1到d2的“梯形面积”就等于从 甲处到乙处所用的时间

1

1 1 1 t ? (d1 ? d 2 )( ? ) 2 v2 v1

补充:归纳法与演绎法题型
从某些个别物理现象或特殊的物理过程出发,可以推论 出具有普遍意义的一般性结论;这种从个别到一般,从特殊 到普遍的逻辑推理方式叫归纳法.

与归纳法的思维程序相反,从某个具有普遍意义的一 般性原理出发,也可以推论出某一个别的物理现象或特殊 的物理过程;这种从一般到个别,从普遍到特殊的推理方式 叫做演绎法.

追及和相遇问题

“追及和相遇”问题 两个物体同时在同一条直线上(或互相 平行的直线上)做直线运动,可能相遇或碰 撞,这一类问题称为“追及和相遇”问题。 “追及和相遇”问题的特点: (1)有两个相关联的物体同时在运动。 (2)“追上”或“相遇”时两物体同时到达 空间同一位置。

“追及和相遇”问题解题的关键是: 准确分析两个物体的运动过程,找出两个物体 运动的三个关系:(1)时间关系(大多数情况下 两个物体的运动时间相同,有时运动时间也有先 后)。(2)位移关系。(3)速度关系。 在“追及和相遇”问题中,要抓住临界状 态:速度相同时,两物体间距离最小或最大。 如果开始前面物体速度大,后面物体速度小, 则两个物体间距离越来越大,当速度相同时, 距离最大;如果开始前面物体速度小,后面物 体速度大,则两个物体间距离越来越小,当速 度相同时,距离最小。

例1.一辆汽车在十字路口等候绿灯,当绿灯 亮时汽车以3m/s2的加速度开始加速行驶,恰在 这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来,从后 边超过汽车。试求:汽车从路口开动后,在追 上自行车之前经过多长时间两车相距最远?此 时距离是多少?
x汽
△x

x自

方法一:公式法
当汽车的速度与自行车的速 度相等时,两车之间的距离 最大。设经时间t两车之间的 距离最大。则

x汽
△x

v汽 ? at ? v自

1 2 1 ?xm ? x自 ? x汽 ? v自t ? at ? 6 ? 2m ? ? 3 ? 2 2 m ? 6m 2 2 [探究]:汽车经过多少时间能追上自行车?此时汽车 的速度是多大?汽车运动的位移又是多大?

6 ?t ? ? s ? 2s a 3

v自

x自

2v自 v汽 ? aT ? 12m / s 1 2 ? 4s v自T ? aT ? t ? 1 2 a 2 s汽 ? aT =24 m 2

方法二:图象法
解;画出自行车和汽车的速度-时间图线,自行车的位移x自等于其 图线与时间轴围成的矩形的面积,而汽车的位移x汽则等于其图 线与时间轴围成的三角形的面积。两车之间的距离则等于图中 矩形的面积与三角形面积的差,不难看出,当t=t0时矩形与三角 形的面积之差最大。 V-t图像的斜率表示物体的加速度

v/ms-1

6 ? tan? ? 3 ?t0 ? 2s t0
当t=2s时两车的距离最大

汽车

6

o

α

自 行 车

t0

t/s

1 ?xm ? ? 2 ? 6m ? 6m 2

动态分析随着时间的推移,矩形面 积(自行车的位移)与三角形面积 (汽车的位移)的差的变化规律

方法三:二次函数极值法
设经过时间t汽车和自行 车之间的距离Δx,则

x汽
△x

1 2 3 2 ?x ? v自t ? at ? 6t ? t 2 2
当t ? ? 6 3 2 ? (? ) 2 ? 2s时

x自

? ?x m ?

?6

2

3 4 ? (? ) 2

? 6m

[探究]:汽车经过多少时间能追上摩托车?此时汽车的速度是多 大?汽车运动的位移又是多大?

3 2 v汽 ? aT ? 12m / s ?T ? 4s ?x ? 6t ? t ? 0 2 1 2 s汽 ? aT =24 m 2

方法四:相对运动法
选自行车为参照物,则从开始运动到两车相距最远这段过程中, 以汽车相对地面的运动方向为正方向,汽车相对此参照物的各个 物理量的分别为:v0=-6m/s,a=3m/s2,vt=0

对汽车由公式 vt ? v0 ? at vt ? v0 0 ? (?6) t? ? s ? 2s a 3
2 2 v ? v 对汽车由公式 t 0 ? 2as
2 vt2 ? v0 0 ? (?6) 2 s? ? m ? ?6m 2a 2?3

[探究]:xm=-6m中负号表示什么意思?

以自行车为 参照物,公 式中的各个 量都应是相 对于自行车 的物理量. 注意物理量 的正负号.

表示汽车相对于自行车是向后运动的,其相对于自行车的位移为向后6m.

例2.A火车以v1=20m/s速度匀速行驶,司机发现前 方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以v2=10m/s速 度匀速行驶,A车立即做加速度大小为a的匀减速直线 运动。要使两车不相撞,a应满足什么条件?

方法一:公式法
两车恰不相撞的条件是两车速度相同时相遇。 由A、B 速度关系: v1

1 2 由A、B位移关系: v1t ? at ? v2t ? x0 2 2 2

? at ? v2

(包含时 间关系)

(v1 ? v2 ) (20 ? 10) ?2 ?2 a? ? ms ? 0.5ms 2 x0 2 ?100

则a ? 0.5m / s

2

方法二:图象法 解:在同一个V-t图中画出A车和B车的速度 图线,如图所示.火车A的位移等于其图线与时 间轴围成的梯形的面积,而火车B的位移则等于 其图线与时间轴围成的矩形的面积。两车位移 之差等于图中梯形的面积与矩形面积的差,不 难看出,当t=t0时梯形与矩形的面积之差最大, 为图中阴影部分三角形的面积.根据题意,阴影 部分三角形的面积不能超过100.

方法二:图象法 当t=t0时梯形与矩形的面积之差最大,为图 中阴影部分三角形的面积.根据题意,阴影部分 三角形的面积不能超过100.

1 ? (20 ? 10)t0 ? 100 2

v/ms-1
20 10

A
B
t0

?t0 ? 20s

20 ? 10 a ? tan ? ? ? 0.5 20

o

t/s

则a ? 0.5m / s

2

物体的v-t图像的斜率表 示加速度,面积表示位移.

方法三:二次函数极值法
若两车不相撞, 其位移关系应为 代入数据得

1 2 v1t ? at ? v2t ? x0 2
1 2 at ? 10t ? 100 ? 0 2 1 2 4 ? a ?100? (?10) 2 ?0 1 4? a 2

其图像(抛物线) 的顶点纵坐标必 为正值,故有

则a ? 0.5m / s

2

方法四:相对运动法
以B车为参照物, A车的初速度为v0=10m/s,以加速度 大小a减速,行驶x=100m后“停下”,末速度为vt=0。

v ? v ? 2ax0
2 t 2 0

v ?v 0 ? 10 2 2 a? ? m / s ? ?0.5m / s 2 x0 2 ?100
2 t 2 0 2

则a ? 0.5m / s

2

以B为参照物,公式中的各个量都应是相对于 B的物理量.注意物理量的正负号.

练习1.甲、乙两辆汽车在平直的 公路上沿同一方向做直线运动, t=0时刻同时经过公路旁的同一 个路标.在描述两车运动的v-t图 象中(如图1),直线a、b分别描述了甲、乙两车 在0~20 s的运动情况.关于两车之间的位移关 系 , 下 列 说 法 正 确 的 是 ( ) A.在0~10 s内两车逐渐靠近 B.在10~20 s内两车逐渐远离 C.在5~15 s内两车的位移相等 D.在t=10 s时两车在公路上相遇

思路 (1)两车各做什么运动?图线交点的意义是什么? (2)图线与横轴所围的“面积”在数值上等于汽 车在该时间内的位移. 解析 甲车做速度为 5 m/s 的匀速直线运动 , 乙 车做初速度为 10 m/s 的匀减速直线运动 . 在 t = 10 s时,两车的速度相同,在此之前,甲车的速度 小于乙车的速度 , 两车的距离越来越大 ; 在此之 后 , 甲车的速度大于乙车的速度 , 两车的距离又 逐渐减小,在t=20 s时两车相遇,故选项A、B、D 均错.5~15 s内,两图线与时间轴所围成的面积 相等,故两车的位移相等,选项C正确. 答案 C

练习2.汽车以25 m/s的速度匀速直线行驶,在它后面 有一辆摩托车,当两车相距1 000 m时,摩托车从静止 起动做匀加速运动追赶汽车,摩托车的最大速度可达

30 m/s,若使摩托车在4时刚好追上汽车,摩托车追上
汽车后,关闭油门,速度达到12 m/s时,冲上光滑斜面,

上滑最大高度为H,
求:(1)摩托车做匀加速运动的加速度a; (2)摩托车追上汽车前两车相距最大距离x;

解析

(1)设汽车位移为x1,摩托车位移为x2

摩托车的加速度为 a , 摩托车达到最大速度所用 时间为t,则 30=at x1=25×240 m=6 000 m
302 30 x2 = ? 30(240? ) 2a a

追上条件为x2=x1+1 000 m
9 a= =2.25 m/s2 4

(2)摩托车与汽车速度相等时相距最远 设此时刻为T,最大距离为xM 即25=aT
100 T= s 9
aT 2 10 250 xM=1 000+25Tm=1 138 m ? 2 9
Mv 2 2

答案

(1)2.25 m/s2

(2)1 138 m



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