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数列的极限



《高等数学》上册讲稿

第一章

函数与极限

§2. 数列的极限 极限理论是整个微积分理论的基础及基本工具,贯穿于整个课程之中。在各种类型的极限中,数列的 极限是最简单的。 一.数列极限的概念 极限的概念是由于求解某些实际问题的真值而产生的。 例 1. “一尺之棰,日取其半,万世不竭” 。 解:纪录小棍的长度: 1 ,



1 1 1 , ,…, n ?1 ,…随着时间的延伸( n 越大) ,小棍的长度越来越接近于 2 4 2
n ?1

一个定值 0。但是小棍的长度永远不会为零。 再如古代魏晋时期数学家刘徽( 225-295 )的“割圆术” ,作圆的内接正 6 ? 2 边形,其面积为:

A1, A2 ,? An ,? ,

1 2? An ? 6 ? 2n ?1 R 2 sin 当 n 越来越大时, An 趋近于一个定值,此定值即为圆 2 6 ? 2n ?1

的面积。就是极限思想在几何学上的应用。 1.数列的概念及表示 定义:按照一定的顺序排成的一列数,称之为数列,可以记为 x1, x2 , x3 ,?, xn ,?,或 ? xn ? ;其中 xn 称为 的图示方法有两种:
? ? ?? ? ?

数列的一般项或通项。若视数列为定义在自然数域 N 上的函数 f ?n ? ,则 xn ? f ?n?, n ? N 。数列
xn
?
?
? ?

2.数列的特性

?

?

?

n

⑴ 有界数列: ?M ? 0, 使 xn ? M 对所有的 n 都成立,称数列 ?xn ?为有界数列,其特点是所有的 xn 都落 在一条宽为 2 M 的带子中。

1 n n 如数列 { n } , ?? 1? 都是有界数列;而数列 ?n? , ?? 1? n2 则为无界数列。 2 ?M 注:有界数列的等价定义:存在常数 a , b ,使得 a ? xn ? b , ?n ? N 。
⑵ 单调数列: x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ? ? 如数列 { 单调增加数列

?

?

?

?

M

xn ? ?

?

?
?

? ? ?

? ?

? ?

?

?

?

n

x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ? ? 单调减小数列

1 1 1 1 1 } : , , ,? , n ,? 为单减(有界)数列, ?n?:1,2,3,?, n,? 为单增(无上界)数列, n 2 2 4 8 2 n 而 ?? 1? : ? 1,1,?1,1,? 则为非单调(有界)数列。

?

?

注:单调递增的数列一定有下界,单调递减的数列一定有上界。 二.数列的极限 当 n 无限增大时,观察下面数列的变化趋势

1?1 2 ?1 3 ?1 n ?1 n ?1 , , ,?, ,? xn ? ? 1 ?n ? ? ? 1 2 3 n n 1 1 1 n 1 n 1 1 ? 1, 1 ? , 1 ? , 1 ? ,? ,1 ? ? ?1? ,? xn ? 1 ? ?? 1? ? 1 ?n ? ? ? n 2 3 4 n 共同点:存在常数 a ,当 n 无限增大时, xn 无限接近于 a 。这一类数列统称为“收敛数列” , a 则为
n

数列的极限。不具备这一性质的数列则为发散数列。如数列, {(?1) } , {n} 均为发散数列。 问题:如何用数学的语言描述数列的收敛或发散?收敛或发散的数列有什么样的性质?如果数列收 敛,如何求其极限?...... 对 于 收 敛 的 数 列 ?xn ? , 当 n 充 分 大 时 , xn 充 分 接 近 于 a , 即 xn ? a 可 以 充 分 的 小 。 如 数 列
n

n 1 1 n ? 1 |? ,可以充分的小,即要多小就能有多小;或者 分接近于 1;或当 n 充分大时, xn ? 1 ?| 1 ? ?? 1? n n 1 如果要使得 xn ? 1 ? 足够的小,只要让 n 充分大即可。 n
1

{1 ? ?? 1?

1 n 1 } ,观察可得: xn ? 1 ? ?? 1? ? 1 n n

?n ? ? ?;此时 a ? 1 ;即当 n 充分大时,1 ? ?? 1?n 1 充

《高等数学》上册讲稿

第一章

函数与极限

如,要 xn ? 1 ?

1 1 ? 0.1 ,显然只要 n ? 10 ;如果要 xn ? 1 ? ? 0.01 ,只要 n ? 100 ;如果要求 n n

xn ? 1 ?

1 ? 0.0001,只要 n ? 10000 ,...... n
1 1 1 ? ? ,只要 n ? ;记 N ? [ ] ,则当 n ? N 时,必有 ? n ?

一般,对于任意小的正数 ? ,要求 xn ? 1 ?

1 ?? 。 n ? 定义 1. ? ? ? 0 , ? N ? 0 ,当 n ? N 时,若有 xn ? a ? ? ,则称数列 ?xn ? 收敛,并且以 a 为极限,记 n?
,从而有 xn ? 1 ? 作: lim xn ? a (或 xn ? a, ?n ? ?? ) 。
n??

1

注:① ? 的任意小性, N 的存在性,且 N ? N ?? ? 不是唯一的,一般 ? 越小, N 越大; ② lim xn ? a 的几何解释:
n??

x n (n ? N )

a

?????? ?????? ?? ?? ???? ?? ?????? ?? ?? ?? ?? ???? a a ?? a ??

以上描述极限的方式称为 ? ? N 语言,是对数列极限的精确数学描述,有很高的理论价值,还可以用 来讨论验证一些极限问题。 例 2.设 | q |? 1 ,证明等比数列: 1, q, q 2 , q3.?, q n ?1,?以 0 为极限。 证: (应证明, lim q
n ?? n ?1

? 0 ,即 ? ? ? 0, ? N , n ? N 时, q n ?1 ? 0 ? ? )
n ?1

? ? ? 0 ,欲使 q n ?1 ? 0 ? q
取 N ? [1 ?

? ? ,只要 (n ? 1) ln q ? ln ? ,即 n ? 1 ?

ln ? ln ? ,或 n ? 1 ? ,故 ln q ln q

ln ? ln ? n ?1 ? ? 。即证得 lim q n ?1 ? 0 。 ] ,当 n ? N ,即 n ? 1 ? 时, q n ?? ln | q | ln | q | n 1 ? 。 例 3.证明: lim n ? ? 2n ? 1 2 n 1 1 1 1 1 1 ? |? ? ,只要 | |? ? ? ? ,即可解得 n ? ? ( ? 1) 。从而, 证:? ? ? 0 ,欲使 | 2n ? 1 2 2 2? 2(2n ? 1) 2 2n ? 1 1 1 1 1 n 1 n 1 ? 1)] ,当 n ? N 即 n ? ? ( ? 1) 时,有 | ? |? ? 。证得: lim ? 。 存在 N ? [ ? ( n ? ? 2n ? 1 2 2? 2 2? 2n ? 1 2 2 n 1 1 1 1 1 1 ? |? ? , ? |? ? ? ?? , 注: ① N 是不唯一的, 如?? ? 0 , 欲使 | 只要 | 2n ? 1 2 2n ? 1 2 2(2n ? 1) 2n ? 1 n 1 1 n 1 1 1 ? ? |? ? 。 即: n ? ,取 N ? [ ] ,当 n ? N ? [ ] 时,必有 n ? ,则 | ? ? 2n ? 1 2 ? ? ②一般证明 lim xn ? a 的方法是:? ? ? 0 ,由 xn ? a ? ? ,或者由 xn ? a ? ? ? ? ,解出 n ? n(? ) ,
n??

取 N ? [n(? )] 即可。

1 n? cos ,观察 lim xn ? ? 求出 N ,使得当 n ? N 时, xn 与其极限值之 n?? n 2 差的绝对值小于正数 ? 。并且当 ? ? 0.001 时,求出相应的 N 。 1 n? 1 1 1 |? ? ? ,只要 n ? ,故 N ? [ ] ; 解:观察可得 lim xn ? 0 ; ?? ? 0 ,欲使 | xn ? 0 |? | cos n?? n 2 n ? ? 如果 ? ? 0.001 ,则可取 N ? 1000 (或 N ? 1000 ) 。
例 4.数列 {xn } 的一般项为 xn ? 三.收敛数列的性质 定理 1.(唯一性)若数列 ?xn ? 收敛,则其极限是唯一的。

2

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第一章

函数与极限

证: (反证法) 设,lim xn ? a ,lim xn ? b , 且a ? b, 则 ?n ? ?
n?? n??

令 N ? max?N1, N2 ? , 当 n ? N 时 , 有 n ? N1, N2 , 从 而 xn ? a ? ? , 与 xn ? b ? ? 同 时 成 立 , 取

? ? N1 , n ? N1 , xn ? a ? ? (1) ?lim xn ? a , ? ? ? 0, lim x ? b ? N 2 , n ? N 2 , xn ? b ? ? (2) ? ?n ?? n
b?a 2

??

此不等式矛盾,表明所作的假设不成立,从而只有 a ? b ,唯一性得证。 定理 2.(有界性)收敛的数列一定是有界的数列。 证:设数列 ?xn ?收敛,则 ?? ? 0 , ? N ,当 n ? N 时,总有 xn ? a ? ? 。由 ? 的任意小性,不妨设 ? ? 1 , 则当 n ? N 时, xn ? xn ? a ? a ? xn ? a ? a ? a ? ? ? a ? 1 。 取 M ? max x1 , x2 , ?, xN , a ? 1 ,则对于任意的 n ,都有 xn ? M ,即数列 ?xn ?有界。

b?a 2

,由(1)得: xn ?

b?a , 2

由(2)得: xn ?

?

?

注:有界数列是否一定有极限,即有界数列是否一定收敛?如数列 {(?1)n } 。 定理 3.(夹逼准则)设有数列 ?xn ?, ?yn ?, ?zn ?满足① yn ? xn ? zn ;② lim yn ? a , lim z n ? a , 则数列 ?xn ? 收敛且收敛于 a,即: lim xn ? a 。
n?? n?? n??

证: ?n ?? ? lim zn ? a

? ?lim yn ? a

? n ?? 有 n ? N1 , N 2 ,从而 yn ? a ? ? ,与 zn ? a ? ? 同时成立;即 a ? ? ? yn ? a ? ? , a ? ? ? zn ? a ? ? 同
时成立,则 a ? ? ? yn ? xn ? zn ? a ? ? ,从而有 xn ? a ? ? ,证得: lim xn ? a 。
n??

? ? ? 0,

? N1 , n ? N1 , yn ? a ? ? ? N 2 , n ? N 2 , zn ? a ? ?

,即 ?? ? 0, ?N ? max{ N1, N2} ,当 n ? N 时,

1 1 1 lim n[ 2 ? 2 ??? 2 ]。 例 4.求极限 n ?? n ? ? n ? 2? n ? n? n2 n2 1 1 1 ? 2 ??? 2 ) , 则 yn ? 2 ? xn ? 2 ? zn , 解:设 xn ? n( 2 n ? ? n ? 2? n ? n? n ? n? n ?? n2 n2 lim yn ? lim 2 ?1 lim zn ? lim 2 ? 1 ,根据夹逼准则, lim xn ? 1 。 n ?? n ?? n ?? n ? n? n ?? n ?? n ? ?
定理 4.如果数列收敛于 a ,则其任意子列一定收敛且必收敛于 a 。
n

注: 定理 4 表明, 如果数列的两个子列收敛于不同的值, 则此数列一定发散。 如 {?? 1? } ,x2n ?1 ? ?1 ? ?1 ,
n

x2 n ? 1 ? 1,故数列 {?? 1? }发散。 例 5.设数列 ?xn ?有界, ?yn ?满足 lim yn ? 0 ,证明: lim xn yn ? 0 。
n?? n??

lim yn ? 0 , 证: 由已知条件, 数列 ?xn ?有界, 则存在正数 M, 使得 xn ? M 对所有的 n 成立; 则 ? ? ? 0, ? N ,
n??

当 n ? N 时, yn ? 0 ? yn ?
n??

?
M

,从而 ? ? ? 0, ? N , 当 n ? N 时, xn yn ? xn ? yn ? M ?

?
M

? ? ,证得,

lim xn yn ? 0 。
n?? n??

问题:若 ?an ? 是任意的数列, lim bn ? 0 ,问是否一定有 lim anbn ? 0 ? 例 6.如果极限: lim xn ? a ,证明 lim | xn |?| a | ,并举例说明反过来未必成立。
n?? n??

证: lim xn ? a ? ? ? ? 0, ? N , 当 n ? N 时, | xn ? a |? ? ,此时,必定有
n??

|| xn | ? | a ||? | xn ? a |? ?
n n 证得: lim | xn |?| a | 。反例为: xn ? (?1) , lim | xn |? 1 ,但是 lim xn ? lim (?1) 不存在。
n?? n??

n??

n ??

3



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