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通向金牌之路



年第
总 第

! ?

期 期

中学 物 理 教 学参 考

口 竞 赛 辅导 口

通 向 金 牌 之 路



高 中物 理 竞 赛辅 导 讲 座
张 大 同 #特 级 教 师 ?

华 东师

大 二 附 中

第三讲
一 竞 赛 中涉 及 的 问 题
动 力学 这 一 部分 内容 在 中学 物 理 力 学部 分 中 有着
举 足轻重 的地 位
,
%

动 力学 #上 ?
可 伸长 三 个物 体 的 加 速 度 方 向如 图所 示 那 么 它 们 的
,



,

首先 它 是 静 力学 和 运动学两部 分 内 容 的枢钮 也
,

之 间有 什 么 关 系 呢 ? , 物体 不 动 那 么 当 + 物 体 下 降 ? 时 + ( 物 体 将上 升 ? . / & 再设 + 物 体 不 动 当 + 物 体 下 降
加速 度


? ,

? (
(


(

? )

先设
+
)

+

,

,

)

&

,

是 这 两 部 分 内容 的 发 展 和 延 伸 静 力学 研 究 的 是 受 力

%

?(



物 体将 上 升
,

? 0. /

%

当 上述两 种运 动 结 合 起 来
+
(

,

平 衡 #表 现 为 静 止 或 匀 速 运 动 ? 的 物 体 而 动 力 学 研 究
,

则 实际上 +

物体 下 降
?,

?

( ,

物体 下 降 ?

(

,

+

(

物体 应

的是 一 般 受 力 情 况 的 物 体 从 这 个角度 来讲 静 力 学 只 是 动 力 学 中的 一 种 特 殊 情 况 静 力 学 研 究 了 物 体 的受
%

%

,

是上 升

?) 1

十? 0
/
,

%

它 们 对 时 间 的 变 化率 #即 速度 ? 之

力情 况 运动 学 研 究 了 物体 的运动规 律 动力 学 阐 明 了 物体 的 受 力 情 况 和 它 的 运 动状 态 之 间的关 系 因 此 动
力学是前两 部分 内 容 之 间的 一个 枢钮
, ,
% % %

,

,

间也有 上 述关联 即
2
)






#2 3
,

2 0

,

,

其 次 将 动力学 继 续拓 展 可 进 一 步 讨 论 力 的两 种
基 本 的 积 累 效应 第 一 种 是 力对 空 间 的 积 累 效 应
,

它 们 的 加速 度 之 间 的 关 系也 同 样是
?
,



#? , 3
,

? 0

?

,
4

功 将 会 改 变 物 体 的机械 能 第 二 种是 力 对时 间 的积 累
效应

&



再如图
,

/

所 示 的物 体 系 由于
,

将要 讨 论 的内容 有 一 些 问 题 虽 然 涉及 到 以 后 各讲 的 内 容 但 间 题 的难 点 仍 然 是 在牛顿运 动 定律 这 一 部 分 内 容 中 因 此
,
, ,

—冲

量 将 会改变物体 的 动 量 这将是 后 面 一 讲
%

,

,

球受 重 力 作 用 使 球 向 下 做 加 速运 动 同 时 三 角 形 劈 5 向左 做 加 速 运
动 设 球 和 劈 在 原 来 的 6 点 接触 经
%

4

,

过 时 间 山 之 后 球 上的 ? 点 移 到 了 尸
,
,


,

这些 问 题也 放在本讲 中讨 论
#

%

联接 体

图) 点 处 劈 上 的 ? 点移 到 了 ( 点处 显 尸 ? ( 然△ 和 劈 的 剖 面 三 角 形 是相 似 的 即 艺 ? ( 尸 等
,

两 个 或两 个 以 上 的物 体 在

于 劈 的底 角 ? 因 此
,

某一 种 力 ? 一 般 是 弹 力 或 摩 擦
力% 作 用 下 一 起 运 动 叫做 联 接
,
,

尸?

+ (? 一 , ? 队

同样 任何 时 刻 都 有
山 ! ?
,

体 解联 接 体 的 间 题 一 般 要 用 隔 离法 即 把某 一 个 物体 隔 离 出 来 进行分 析 有 时 联 接 体 中 的各 个 物体具 有 不 同 的 加 速 度 必 须 确 定 它 们 的 加 速 度 之 间 的关 系
如图
#
,



,口 ‘

./
,

+
+

. 0 ! 0

1 1

,? ,?

夕 夕

,

!/

)



#

&

曲 线运动 的 向 心力
圆周 运 动

?%

在 匀 速 圆 周 运 动 中 物 体 受 的合外
,

,

力 应该等 于 它 所 需 要 的 向心 力 而 在变速 圆周 运 动 中

所 示 的装 置 细 绳 不

,

一般 要 将合 外 力分 解成 法 向和 切 向 的 二 个 分力

所 示 一 个 小 球 在 半径 为 7 的 光 滑 柱 形 圆 筒 内做 圆 周运 动 在 圆 筒 底部 4 时 小 球 的 速 度 为 8
如图
,
%

)

如 果这 个 质 点 系 在 任意 的

。,

质点 系 中 的
9

:

方 向 上 受的 合 外 力 为 只 个 物 体 #质量 分 别 为 + + … … + ? 在
,

9

,



,





:

讨 论 小球 的运 动 情 况
+
2

%

方向上 的 加 速 度 分 别 为 云 云 … … 云 那 么 有
、 、 二



,

根据机 械 能 守 恒 如 果
,

几;
如图

+

,



5

(一 ,

。二 、 。

,

9 ? ?
,

十+

0

石3 ……3

%

+

:





%

这 就是 质点 系 的 牛 顿 第二 定 律
所示
,

。。

毛 了呀及
5 4
%

,

<

=

则 小 球 不 能 到 达与柱 心等 高



点 将在

,

中间 某 一

8

为一 个 放 在 粗 糙平 面 上的双斜面 其
)

点 处 向 回滚 下 如 果

质量 +
?



一 !

%

ΒΧ ?

,

扮丈 图
%

>冬+

( 一 0+
,

? ?



冬;


/

,

Δ )?

Ε

,

口;

)

Ε

%






,

弓 几 Α贵?

。。

面顶端 有一 滑轮
+
5

?

滑 轮 的 质量 及 摩擦 不 计
一)
%

5
,



4

两 个 滑块 的 质 量 分 别是



Λ Χ?
%

,

+

4

一 Ε ΒΛ Χ ?
%

由 跨 过 定滑 轮 的 不 可 伸 长 的
,
%

弃 了亏 天 奋

,

则 小 球 可 顺 利 越过 最 高 点

<

继续 做 圆周 运 动 如 果

%

轻 绳 相 连 开 始 时 设 法使 5 4 < 都 静止 轻 绳 伸 直 ! ΣΜ 的 水 平 力 向 左推 < 并 同 时 然 后 用 一 个大 小 为 /
,
%

,

天 # 了厄 奢
则 小 球 将在
?
,

Ε # 8

天 了亏 奋
%

,

释放

5



4



<

%

若 < 的 加 速度 为

) Λ+
%

Β .

/ ,

4

相 对桌面无

5<

Γ〕 5 ; 中某一点 Φ 处离 开 圆 筒 设 艺 丈

水 平 方 向 的 位 移 #绳 子 一直 是绷 紧的 ?
间 的 摩擦 系 数 拜
(
,

%

试 求 < 与桌 面

小 球在 Φ 处 只 受 到 重 力 的作 用 将重 力 +
,

Η



一+
,

Β ?

: Ι

?

,

Η

?

一 二? Β Κ Λ

?

,

Η

?

分 解成 使 小球 产 生 切 向 加 速

?

分 析 此类 题 目 有两 种 分 析 方 法 一 种是 以 斜 面 为 参 照 系 但 因 为 斜面 在 做 加 速运 动 所 以 分 析 5 4 的 & 受 力 时 要 加 一 个惯性 力 另 一 种是 以 地 面 为 参 照 系 此
, ,
、 ,



ΗΜ

提供 小 球 所 需 的 向 心 力 由

%

令卿 Α


8

一+







Ν万 爪 巧 一 万 般 曲 线 运动



时 要 注 意 5 4 相 对 地 面 的 加 速 度 不 是 沿斜 面 方 向 的 在 这道 题 中 因 斜 面 和 滑 块 之 间 接 触面 的 情 况 不 清 楚


%

,

,

可求 出

?

% 和8Φ

所 以 适 宜 用 后 一 种方 法 在 地 面 参 照 系 中 5 4 的 加 速 度方 向 不 明 确 所 以 分 别 考虑 它 们 的 二 个 分量 这 样
%

,



,

,

#/ ? 一

所有做 曲线 运 动 的物体
8
0

+



处理 问 题 比 较方 便

%

需要 向 心 力
Η一 +

解 设5
, .
%

(



4

相 对桌 面 的 加 速 度 为 ? 5 和
,

?4

,

相对 斜
,

面的加速度 为
%

“5


4
?

? 4



%

式中

8

是 物 体 的速 度
Ο
,

,

,是

设 水 平 向右 为 9 方 向 竖 直 向
,

曲 线 的 曲 率半 径


上为

Π

方 向 因为

%

相对桌 面 无 位移 所 以



如图

所示 一个质量为
Π

Δ Δ

?



,

一? Δ Τ
Β ,

,

的 小 球 沿 着抛 物 线

; 5扩

型的

轨道 从
%

?


,

? 4二

?

米 高 处 由静 止 开 始 滑
%

Δ ) #+ .
,

?

%

因 为 绳 不 可 伸 长 且 一 直绷 紧 所 以
? Υ
,

下 试 求 小球 到 达 轨 道底 部 时对

,

一?

4,

%

轨 道 的 压 力 小 球 到 达底 部 时 的
速度
8

它 们 的 方 向是 沿 斜 面 的 因 此 它 们的分 量
?4
9

(

,

一?4


‘?

Λ Β

) )

Λ

& &



兀 丫 厄 奋
,

%

根 据 第 二 讲的 讨 论 可 知 抛 物线
Π

图 Ο

?


(

Δ
Δ

? 4 ,Β

Ι

:

Ε

? Υ



? Υ

,

? Λ Β

)?

Λ

&
Λ

一59

0

底 部 的 曲率半径
, Δ , . #05 ?
(
%

?5

, ‘

Δ 一? Δ
? 人
,

Υ , Β

Ι: ) ?

&
/

小 球 在 底部 时 受 到 二 个 力 重 力 + 此
Θ
‘8

?

和 轨道 弹力 Μ 因
,

由此 可 得

? 4



Δ

#+ .
/

?

,

?





Δ Ο #+ .
Δ Ο #+ .

? ?

,

? 5






/

,

一? , ,



= 护 一? , 丁 Ρ



? Υ

,



Δ 一 ) #+ .

/

?

%

Μ Δ +
)
%

? #,

3 0? . , ? Δ +
,

? #

3

Ο5 ?

%

相 对地 面 的 各 加 速 度 分 量 为
?4
%

质 点 系牛 倾 第二 定律

,


Δ

? ΛΠ‘

Δ Ο #+ .

Σ “

?

,

对 一 个 质 点 系 而 言 同 样 可 以 应 用 牛 顿第 二 定 律


? 5



? Υ





一 ? Δ , #+ .

/

?

,

? ?

Π

Δ

? ΥΠ ,

; 一 ) #+ .

/

?(
,

此 时行 星 的 势 能 #实 际 上 是 行 星 和 恒 星 共 有 的 下 同 ?
,

三 个物体 用 质 点 系 牛 顿 第 二 定 律 对这 个 质 点 系 来 说 在 水 平方 向受 到 Η 和 摩 擦 力 Ω 二 个 外 力 的

,

5



4



<

=





作用 一 Η 十 Ω 一 +
,

人 ? 人二

一+

Κ

?

十 二4 ?

4(

%

行 星 的 总 能量 为
, 。
,

一 带
乙一乙6

+ Ξ[ 二

,

代入 数 据可 得

(



Β 月?

乙Ζ 一

+

一花 了1

Ξ[
Λ

乙∴

一;



+

Ξ[
∴ Λ
,

Ω 一 Ρ ΤΜ
, Μ 一 #爪 3 +

?

系统 在竖 直 方 向 上 受的 外 力 是 重 力 和 桌 面 弹 力 Μ
4

,

,

式中 的势 能项 为什 么 是 一

+

Ξ[
∴ Λ

— 讲 — 中
0∴
Λ

一一

沉材 <

在下 一

会 作详 细

3
Μ

代入 数 据 可 得 Μ 一
故摩 擦 系数
Ο
产;

(

Κ +
?

?? 一 +

、?

、,

3 + ?
?



?

介 绍 行 星 运 动 的 周 期为
丁一

%

)

Ω.Μ 一

Ε.

); Ε %

:


,
,

一/

碌.

?

天体 运 动
,
%

在 恒 星 的 质 量 发 生 变化 后 的 瞬 间 行 星 运 动 的 速
,


?

天 体 运 动 的轨 道 一 般 是 圆 或 椭 圆 它 做 曲线 运 动 的 向心 力 是 靠 万 有 引力 提 供 的 万 有引 力 定 律 只 适 用
于 两 个 质 点 之 间 的相互作 用 但 因 为天 体 本 身 的大 小
,

Ε 动 能 瓜 也仍 然 为 度仍 为 8
,

减 小 了 原来 的
Ψ
Ζ ‘

: .

变成了
%

与它 们 之 间 的 距 离 比 较 起 来 很 小 因 此 可 以 把 它 们 当 成质 点 来处理
%

,

变成 了 一

+ #: 一 , ? 材乙
刀∴Λ


Ζ


嘿 Ξ

由 于 恒 星 的 质量

,

所 以 行 星 的势 能

因而 总 能 量 刀 变 成 了

绕着 质量为 Ξ 的恒 星 做 半径 为 7 的 圆 周 运动 时 如 果 以 无 穷 远 处 作 6 为零 势 能 则 它的 动 能 Ψ 和 势 能 Ψ 分 别为
当一颗 质量 为 + 的行 星以 速 度
,

8

刀; Ψ

6

,

3 Ψ

+ Ξ[
0∴
:


+ #: 一 +

? 材[



,

Ζ

一/


%



,

,

=


=
Ζ

乙6







丁+

8



乙 1 一匕

Ξ


: 由上 式 可 知 当 #
,

一二 一1 乙产 。

Ξ[

=
%






,



一 气二1

/《

/

时 总能量 刀 ?
,
%

Ε

即行 星 将 摆 脱
,

又因为有

[


丈叹
;

1
从 Ψ

7 护 一 。
Ζ

恒 星 的束缚 飞 到 无 穷 远处 去 当 ]
:

/

时 由于 Ξ 的 变 小 导 致 万 有 引 力 变 小 无
,

所以

一合
一Ψ
6

行星 的 总能 量

Ψ

3 Ψ
[
一一 二二

法提供维 持 行 星 在 原 来轨 道 上 做 圆 周 运 动 所 需 要 的 向 心力 所 以 行星开
, , =

;

,





Ξ+ 1

=
=

一[
氛尸
,

胡 材 Β 二& ? ? 八

始 做 椭 圆 运 动 #图
!?
%

; 一 之好 一 ⊥#


,

叼切
,

而恒星应 位于



椭圆的一个焦点
上 即恒星质 量减
,

由以 上 推 导 可 见 卫 星 飞 得 越高 其速 度 越 慢 但 是 它
,

的总 能 量 却 越 大 这就 是 发射 高轨 卫 星 比 较 困 难 的 原
,

少的瞬 间 行星应
,



%

该 在椭 圆 长 轴 的 远
天 体的运动遵 循 开普 勒 三 定 律
(
,
%

日 点或近 日 点 上 因 为 行 星 此 时 的 速度 方 向垂 直 于 它
,

第 一 定 律 所 有 行 星 分别在 大 小 不 同 的 椭 圆 轨 道 上 围绕 太 阳 运 动 太 阳 在 这 些 椭 圆 的 一 个 焦 点 上
%

和 恒 星 的连 线 假 设 恒 星 质 量 变 小 瞬 间 行 星 所 在 位 置

%


4
,

第 二 定 律 太 阳 和 行 星 的 联 线在 相 等 的 时 间 内 扫
过 的面 积 相等
%

(

∴ 5 ∴ 5 # 二 ? 长轴 的 另 一端 为 与恒 星 的 距 离 为 ∴ ∴4 。 与 恒 星 的 距离 为 行 星 在 4 点 时 的速 度 为 8 则
,

5



,

,

,

根 据 开 普 勒第 二 定 律 行 星 的 面积速度 应 该相 等 即
, ,

第 三 定 律 所 有行 星 的椭 圆 轨 道 的 半 长轴 的 三 次 方跟 公转 周期 的 平方 的 比 值 都 相 等
%

(

“一

补一 合
2
,

_8 Ε 一

Λ ∴ 3
,

假 如 有 一 颗 恒 星 质量 为 Ξ 有 一 颗 质 量 为 的 ( 行星 围 绕 着 恒 星 做 半 径 为 的匀 速 圆 周 运 动 突 然 : 恒星 的 质量减少 了 . 试 描 述 此 后 行 星 的运 动 情 况
,
,



由 于 行 星 在椭 圆 轨道 上运 行 时 总 能 量守恒 因 此
,

评 合? ?

:

%



%

,

Ψ

,

%

+ 一音

夕 1 + # 一 , ?人 [ “
: ∴4

:

一/
一:
∴ 。

+

Ξ召
0∴ Λ

在 恒星 的质 量发 生 变 化 之 前 有
=


将 以 上两式联 列 消 去
#/ 一 : ? ∴ 盖 3 0

。。

可得 有 关
4
(

的 二次 方 程

∴ 。

?

! 人 Β ?




一 丫玉
? Ε

一 一嫩

Ε ∴ 讨 一
Ψ
6

#: 一 , ?∴

一:∴

卜Ε

%

解此 方程 可 得 到
分别 为
/

∴ 4

的二 个 根
∴ 。’


由 此 可知 行 星 的速 度 8
1 晰 一 人 了 丁一 , , 。

和动能
,
,

厉云



, 4 ?
1

;

0 4



二了 万
%

“?



乙 6 一 下丁 +


Θ 石

下一 一 一下 ‘∴ 。



显然

,

( 4Ρ

就是恒 星 到

5

/ 点 的距 离 Ε 就 是恒 星 到

4



的距离 即 5 点 为 椭 圆 的近 日 点 4 为椭 圆 的 远 日 点 ? ? ( 设 分 别 为 此 椭 圆 轨 道 的 半 长轴 长 度 半 短 轴 长 度 和 半焦 距 则 有
%

,

%







上 斜 面 上 放 一块 质 量 为 二 的 ? 问 释 放 后劈 5 滑 块 4 #图 Β ?
,
%

(

,

和物块

4

相 对 地 面的 加 速 度 各
#一 切 摩 擦 均 不 计 ?
? 图α # ?


: ?

∴ 。

一? 一<
Δ



1

是多 少?
3
Κ
%

Ε 二 厄∴ 石

?

5

水 平 向右 的 加 速 度
? Υ

; Μ

45 Β

Ι:

?



%

由此 可 求 出椭 圆 的轨 道 参 数
一石 Ε ∴ 二厄 一


。一

行 星 在 椭 圆轨道 上 运 行 的周期
? 一 ’


德 曾一 裂 刁 禹 合 。 昌丫 赫


,

Ε ∴

物 为参 照 系 来 分 析
?


!图
%



一石 Ε ∴ 二厄



# ?
& ?

,



共受 到三 个 力 重 力 的弹 力 ( 和 水 平
+

#

. ? ∴

#

?

向 左 的惯 性 力 ) 一 & ?



/ ‘

原 来 行 星 做 圆 周 运动时的 周 期
二 一 .盯






?

在斜 在垂 图 ?!# ? 的参 照 系 中 物 块 直 于 斜 面 的 方 向上 是 平衡 的 ! 注 意 在 地 面 参 照 系 中



,

%

,

在 垂 直 于 斜 面的方 向上 是 不平 衡 的 ? 所 以 有
+

(
一 .。 / ‘
,

1
?

2 )
+

34

?

5 &?

6 7 2 ?

,

? ,

0 /



一 .一 /


显然
:
+

洲8 惯 性力


9
+ +


,

) 一&
以上


,
,



? 式联 列 !(
; 7 2 ?

和 (
&?

是 一对 作 用 力 和 反

作 用 力 ? 可得
材阴 ?
&
2 2 >4 ? ; 7 2 ?
<


牛 顿 运 动 定 律 只 在 一 类 特殊 的参 照 系 中成 立 简 称惯性 系 实验 证 明 地 面 已 经是 一 个 相 当 接 近 惯性 系 的参 照 系 般情 况 下 相对地面静 止 的或是 做 匀 速 运
+

,

分析
?
?

& 2 34 ? 1 = = 物 块 它 相 对地 面 的 加 速 度 的水 平 分 量
<


34
,

?

1



,



(
?

2
,刀

34

?

动 的 参 照 系都 可 作 为 惯性 系 牛顿 定 律 不 成 立 的参 照 系 叫 做非 惯 性 系 非 惯 性 系 相 对 惯 性 系 必 然 做 加 速 运
,

竖 直分 量


Α

? & 2 34

材?

2

34
<?

? 7 2? ; 1=



?

& ? 一(

6 7 2 ?

叼?
&
2

; 7 2 <?
<

34

?

斗=


动或旋转 运 动 为 了 使 牛 顿运动 定 律 在 非惯 性 系 中 也 能 使 用 可
,

+

? 相 对 地面 的 加 速度 一 ? 十 ? 在 解 决 这 样 一 类 问 题 的 过 程 中 惯性 力 的 引 入 会 带来 很 大 的 方 便

+

Α

,

+

以 人 为地 引 进一 个惯 性 力 如 果 非 惯 性 系 相对 惯 性 系

+

!Β ?

在 非 质性 系 中能 比 较
+



有平 动 加 速 度

?

,

那 么 只 要 认 为 非 惯性 系 中 的 所 有物

+
+

圆 满地解 决 一 些 问 题 请 看这

? ? 方 向与 相 反 的 惯性 力 牛 体都 受 到 一 个大 小 为 & 顿 运 动 定律 即可 照 用 如 果 非 惯 性 系 相 对 惯 性 系 有转

样 一 个 题 目 一辆 质 量 为 的 汽 车 以 速 度 0 在 半径 为
+

%

&
Χ

动 加 速 度 也 可以 引进 惯 性 离 心 力 和 科里奥 利 力 这 两
,

,

个 力 不 仅 与 非 惯 性 系 的转 动 角 速 度 有 关 还 与研 究对 象 的 位 置 和 运 动 速 度 有关 在 这 里 不 详 细 讨 论 应 用 惯性 力 来解决 问 题 有 以 厂几 点 好 处
,

,

的 水 平 弯道 上 做 匀 速 圆 周 运 动 汽 车左 右 轮 相 趾 为 Ι 重 心 离地 高 度 为


,

?

,

车轮 与

,

+

? 汽 车 内外 轮 各 承 受 求!> Κ 多 少支 持 力 ! ? . 汽 车 能 安 全 行 驶 的最 大 速 度 是 多 少 Ε

路 面 之 间 的 静 摩擦 系 数 为



+

%

!> ?

某 些 动力 学 问 题 可
,



变成 静力 学 问 题 使 问 题 简
化 例如 一 物块
+

%

放在倾
上 问
,
,

角为

?

的光 滑 劈面 可取

,

劈 必 须 以 多大 的 加速 度运动 才 能 保 持
! 图 Δ? Ε

作 为参 照 系
,

止 因为

是 相对 地 面 有 加 速 度 的 非惯 性 系 所 以 要 “ ? 加 上 一 个惯 性 力 ) 一 & 方 向 水 平 向右 的大 小 等 于
,

+

?

护翔 今
, 邢

)

>



所示 图中 九 分别为 汽 车 内 外 轮 受 到 的摩擦 力 如 果选 一 个
,

+

汽 车 左 转 弯 行驶 时 受 力 情 况 如 图
,

Λ

和 汽 车 一 起 做 圆 周运 动 的参 照 系 则 汽 车 是 静 止 不 动






Δ

的 但 必 须 在 汽 车的 质 心 处 加 上 一 个 惯 性 离 心 力 ) 其 。 方 向 沿半径 方 向 向外 大小 为 & 一 &
, ,

/

相对 静 止 在 这个 参 照 系 中 应 静
,

Φ

Μ

Φ











荟 Χ 月


,

+

’ Μ

‘曰



协刀
,

”移

” 刁 /





以 内 轮 着地 点
& 、

为 转轴 由合 力 矩 为 零 可 列 出

普,
Ν
Ν

1

一( Ι +
Ο

<

Φ

,

相 对地 面 的 加 速度 由 受 力 分析 图 可 知 &
+

?

Φ &? Γ

?

?



Μ Φ & 万歹 Ο 弋入 得 」、



,

,





,

Ν

,

万& 刀 一 下乙

.

?

& < ? 0 ? % 厂 十 不 .、


+

所以

?

一? Γ

? ? +
+

由竖直 方 向 受 力 平衡 可得
%

!. ?

在 非惯 性 系 中 解 决 一 些 问 题 比 较 方便 例 如


刀Ο 一&
,

?

一刀 一

.

Ο
下丁


&? 一
,

&

0 <

Π Μ
Ο 、‘ 滚

?

一 个质 量为 = 斜 面 倾 角 为
ΒΗ

?

的劈

放 在 水平 地 面

汽 车安 全 行 驶 时 要 求既 不 打 滑 又 不 会 倾倒 汽 车 不

+

打滑日 寸 应有

,

。 + ? 。 、斑

釜汽 车 允 许 的 最 大速 度
,



= =


0? Υ 4

=

二丝三至丝 =
0 # 一 0Χ ? ?


Χ

8

。 。 、,

一汽而
,
,

%


=

4

碰 地 到 它 弹 到 最高 点所需 的 时 间 #假 设 在这
4

汽 车 不 倾 倒 的 条 件是 Μ 妻 。 即
执铲 ? + 。 一 共 兴止 李氏 止 一 / ;! 7 β 一


段时间 内 5 对


的 摩 擦力 方 向 不 变 ?


>

,





汽 车 不 倾 翻 的最 大 速 度
二+
。 、/





4
,

碰地到

子 几弃 魏 命摺
5

相对

4

静 止 所需 的 时间
=

,


,

8。。



8 。、/

的 结 果 可 以 看 出 汽 车 轮 胎 与地 面 之 间



,

= 二止 = 丛圣
? 5 4

业亘 丝 一
0Χ ?


Χ

的 摩擦 系 数



越 大 左 右 轮 间 距 越 宽 车 身 重 心越
,
%

,



因为
4

‘(

]

Ν(

,

说 明 前 面 的 假 设 是成 立 的 这 个 结 果 说 明
,


%

低 汽 车的 行 驶越稳 定 例

碰 地弹 回 到 最高 点 后 还 要下 降 一 段 时 间 动 这时
%

5

才会 和

二 典 型 例题
一 个厚 度 不计 的 圆环
4 +
%



4 以 同 一 速 度做 落体 运
,

4

的 下 端 离地 面 的 高

5

紧套 在 长度 为

χ



,

的圆 柱 体 质量 均 为

的上 端
5

,

5



4

两者的
,




%

4

之 间 的 最大

静摩擦 力 与 滑 动摩擦 力 相 同 其大 Χ ] , ? 4 由离 地 δ 高 小为 Χ+ ? #
处 由静 止 开始落 下 触 地 后 能竖 直
,

向 上 弹 起 触地 时 间 极 短 且 无 动
能 损 失 4 与地 碰 撞
4
%

,

,


δ

一 一 一(
=

#。 ? ( / 3

兰 Χ
8 ,

‘(


=
4

、 褶



合 士

? ?‘

,,



3 Χ # 合

,?? #





左 土鱼、= /兰 丛二卫/
Χ




?之 (

#/ ? 5



相对 静 止 时 的 共 同速 度 是
十?
4Ν (

,

:

次后

,

5


5

,


分离
,

%

;



袱挤

;

8 Β



Ε



Χ 了 万十 # 厄 万
%

十 , ?? #




#, ? 4

与地 第 一 次 碰 撞 后 当
,

4

刚 相 对 静止
5





4

下 端 离 地 面 的高 度 是 多 少 ?
#/ ? 如
(

资燕蔽 牙
4

#方 向 向 下 ’
8
,



果 δ
,



? Χ
、 、

分析 因 为
以 一 般情 况 下

5

4

为 已知 那 么 χ 应 为多少? 之 间 的 摩擦 力 为 Χ + ? # Χ ]
,

两 物 体共 同 以 速 度
,

?
4

,



δ 高 处 下 落 #图


摩 擦 力 是 可 以 平 衡 重 力而使
,

5



相对

? 这 相 当于它 们 共 同 从 δ 高 处 由静 止 开始 下 落
,

静止 的 但 当
,

%

4

与 地 面 撞 击 的过 程 中 由于 碰 撞 时 间
5

δ

#? 一 一 其3 仔 一 其十 蒸
乙?



?



1

极 短 因此 4 对 向下 的 减速 运 动
%

的 摩 擦 力 的冲量 也 极 小
%

,

5

仍然 以
,


Χ

碰 撞 前 的速 度向 下 运 动 在 接 下 来 的一 段 时 间 内 5 做

做 向上 的减 速 运 动 直 至 再次相 对 止 如 周 而 始 直 至 5 脱离 4 静 此 复
,

4

,

以 上计 算 说 明 经 过 一次 反 弹
,

,

图 :
%

,

%


4

(

#, ?

取 竖直 向下 的方 向 为 正 方 向
。。

%

第一 次 碰 地 前 瞬间 的速 度
4



了 舀面 方 向 向
,

,

再 相 对 静 止 时 以 后 的 问 题 可换 成 5 停 止 在 离 4 ? 处 而 4 由 下 端离 地 下 端 #χ 一 攀 牟处 自 由下 落 门 门 曰 ; Χ 刊 ; ” ; 囚 ; Χ ; 目 囚 ” 因 此 以 后 各次 反 弹 后 5 在 4 上 滑 下 的 距 离 依
5


4

,

,



,ε 、

.

,

⊥ ,



,

ε





,

,



%

次为 碰地 后瞬 间 的速 度
,

。、



一汽不
%

方 向 向上 的 速度

&

Β,

一0δ . Χ



,

5

的速 度

5 。一 / 8

面 方 向 向下 一八 又 而两 方 向 向 下
,
%

二、

5

相对

4



/ #δ

万 一万一 一 澳
/δ “矛 两
%

.Χ?





‘一

碰后
] 二?
,

5

受 到 向下 的重 力 +
? ?

?

和 向上 的摩擦 力 Χ +
一 ,? ?
,
,
%

?

4

。 在 前 # 一 ? 次 反 弹 过程 中

,

5



4

上滑 下 的 总

因 此 它 的 加 速度
3
,

一 一# Χ

方 向 向上 碰


距 离为
一Β, 十 孔十 … … 3
;

一&
,

后 4 受 到 重 力 和 向 下 的 摩擦 力
?。

Χ: 决 召
4

因 此它 的 加 速 度

、: 一 ,

一 # Χ

?

%

方 向 向下
,


?

5

相对

的 加速 度 ? 5 一
,



Χ 0

?

方 向 向上

一气



%





下厂


丁丁二 下 ? 下 十 十&刀 … … 十左
归一

以 4 为 参 照 系 5 4 相 对静 止 前 5 相 对 4 下滑

/

的距 离

若要

5



4

一万

:

万 , 一 Ρ. Χ


%

一 .?


,

,

次反 弹后 从

4

上 滑 脱 应有
)?

,

,
φ

Σ φ

、、

% χ

从Σ




一丁二

;

,



1

/ δ Ρ 一 ,. Χ
Χ ,一



一 ‘


7

φ

χ

φ

0δ Ρ 一
Χ

’ .Χ


若摆 绳 被 5 所 阻 后 小 球 在 继 续 上 升 过 程 中 ( 五 刀 。 之 问应 绳 发 生 弯 曲 试 求 出现 此 种情 况 时 摆
#, ?
,
%

,







, 一 ,. Χ

满 足 的关 系

%

例 半径 为 的水平 圆 台 可 绕 通 过 圆 心 Τ 的竖 直 光 滑
,

/

# / ? 若选





个 适 当的



,

角 作 为释 放 位 置 使 摆
%

转 动 #如 图 / ? 圆 台 χ 沿 相 互 垂 直 的两 个 半 径 方 向刻 有
细轴
%

<<

,

%

% 试求 此 ? 角 球在摆绳 被 阻 档 后 能 击 中 、 # , 分析 能 出 现 中 所述 情 况 的 条 件是 摆 球 能 超 过

(

5



所 在 的 水 平 面 但 又 不能 越 过
,




的 正 上 方 # 大一
%

,

?岛

槽 质量 为 + 的 物体 5 放 在 一 个 槽 内 5 与 槽 底之 间 静 摩 擦 系
?
,



/


#/ ?

所 述的 情况 是
(

#?

里 面 的 一 种 特 殊情 况
%

,

?

球亦

槽边 光滑 ? 质 量为 + 的 物 体 4 放 在 另 条 , φ 7 ? 内 槽 此 槽是 光 滑 的 5 4 分 别 用 一 条 长度 为 ,#
数为
产。 #
%

4

做 斜 抛 运 动 的 过 程 中击 中 月 ? 根据 机 械能 守 恒 要 摆 球能 超 全 于八 所 在 的 解 #,
,

,

%



水 平 面 必 须 有 比丈 悬 点 为 零势 面 、
一 χΚ
Λ 、?

%

且 不 可 伸 长 的 轻 绳 绕 过 细 轴与其 相 连 试 求 当 圆 台 做 匀速 转 动 且

(

%



一 ∴ ΚΕ


?

5



4

两 物 体 相 对 圆 台 不 动 时 转 动 角 速度
,

%

Κ Λ Β ?

和 5 到 圆 心 的距 离
,

所 应满 足 的关 系

%

%

飞万

<Τ Σ




分 析 此题要 研 究 的 是 5 4 相 对 圆 台不 动 时 的情 况 因 此 5 物 体 与槽 之 间 是 静摩 擦 静 摩擦 力 的 大 小
和 方 向都 会 随 外 界 条 件 而 变 化 这 一 点 必 须 注 意
,
%

要 摆球 不 能 越 过


5
?

的 正 卜方 # % Ρ
一+
?

,



?高
、 χ

处 必须有

,

+ ? χΚΒ Λ

#

Κ γ∴

Λ Β

声一

一川」

% 场

相对 圆 台静 止 时 5 所 受的 静 摩 擦 力 有 三 种 可 能 #, ?5 有 沿 半径 向外 运 动 的 趋 势 此时 5 所受



(

5



4

Α


刀? η 矛

铲 乙 一, 一刀 了 一 ∴ /
%





(

%

可 解得

<。

一、

的静 摩 擦 力 和 绳 子 拉 力 都 指 向 圆 心 共 同 提供
,

5

所需



<Τ?

, 一


,


#“

一,
Λ “

?

的 向心 力

%

要 同 时 满 足 以 七两 个 条 件 Κ Λ Β ? 应 在 下述 范 围 内



(

? 3 Ω; + ? ; +
4

5

扩二

,

万Κ Λ
,

Β

衬一

)

,

,





戈石

一 犷? 哭 Κ

,

Λ

0

#, 一 9 ?
5

性了
,

Κ Ε Β

#/ ?

设 摆绳 与水 平 方 向成

Ε

角时 小球 以
5

8



速度
%

少 蕊产 +



?

?

可” 得

.
,
,

%

丫 覃稀
? 一Ω 一+
? Δ +
4 5

实际 上 只“ 当
,

离开 圆 形 轨道做 斜 上 抛 运 动 并 恰好 能 击 中 根 据 图 Ο 中右 边 的 矢 量三 角形有

木桩 则


%

?

ι Ν


9

] +

刀0 4
Υ

3 +

4

时 才有 可 能 产 生 这 种 情 况
%

Β, :

#

粤 一 夕?


Σ ,:

? 二1 ?



/ ? 5 有沿半径 向 圆 心运 动 的 趋 势 此时有 #
Λ 0二
,

χ 一∴ ’ Β : Ι 夕





一 艳

(

=

“‘



;

扩 #, 一 9 ?
5

,

而且
+

‘ 、


8



必 须 满足 下 式
8
Β 一 :

了 簇两 +

?



+
?

?

ΛΔ +
,



=

%

=

=

=

=



∴ 裕 苹 刁导

之卜 自⊥ 乏

η
Ρ
2
,

以。。
%



χ 一∴


图 κ ,
,



时才有 可 能 产 生 这种情况
#) ? 5

物体 相对 圆 盘 无运 动趋 势 当 9 一 +
%

时将产 生 这种 情 况 此种 情 况 下 只 要轻绳 足 够 牢 取 任意 值
%

,


刀之5

爪4

,

5 刀之

于 刁

;



烧4

护陀 5

刀0 5

%


Ν

爪4

联 列 上 述三 式 可 解 得
08
。 ’



而动 云

? Λ Β 0 夕#χ 一 ∴ ? ? 街 一 一 1 丽丽


(

? 夕

一丫井 /



刀0 :
5

3 +
,

4

根据 机 械 能 守恒
+ 、(
。Τ ?。




8

?Λ Β

0


%

)

一 质量 为
χ

+

的 小球

将 若
式 可得
,

夕#χ 一 ∴ ?

,:




?



一,

3 #(

3 一 ? 一 。〕
,



+

了,



?

,

Ι: 。 一

。 一 一 / 代 入上 健Δ 丫 ) )



与一长为

的细绳组 成一 个
,

? 摆 现 将 此 摆 从 与 竖 直线 成 角 的位置 由 静 止 开 始 释 放 在 摆 动

∴ < Τ Σ 口。

。 Κ

1 万

Θ

Σ

了了 χ
/

一,
χ
,



过 程 中 摆 绳 被 一小 桩
#图
)? 5
,

,

5


所阻
,



)
%

#本 讲 未 完

与悬点

Τ

相距

Τ5

请见 下 期 ?

与 竖 直 方 向 成 刀角





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