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高二数学必修五 3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域



二元一次不等式(组)与 平面区域

一家银行的信贷部计划年初 引例 : 投入25 000 000元用于企业和个人贷 款,希望这笔资金至少可带来30 000元 的收益,其中从企业贷款中获益12%,从 个人贷款中获10%.那么,信贷部应该如 何分配资金呢? 设用于企业贷款的资金为x元,用于个人 贷款的资金为y元。则分配资金应该满足 的条件为:

/> 二元一次不等式组: 有几个二元一次不 等式组成的不等式组

? x ? y ? 25000000 ?12 x ? 10 y ? 3000000 ? ? x ? 0 ? ? y?0 ?

二元一次不 等式:含有 两个未知数, 并且未知数 的次数是1的 不等式

y

y>0 y=0
O

x

y<0

y

L:x-y=6
O

·

·

(6,0)

x

(0,-6)

问题:
以二元一次不等式x-y<6的解的坐
标的点的集合{(x,y)丨 x-y<6}表 示什么平面图形?

3.3.1二元一次不等式(组) 与平面区域
?1:二元一次不等式(组)

?2:二元一次不等式(组)

表示平面区域

学习目标
?了解二元一次不等式表示平面区域 ?能画出二元一次不等式(组)所表示

的平面区域 ?初步学会运用数形结合的数学思想 方法

y

L:x-y=6
O

·

·

(6,0)

x

(0,-6)

y

· (7,5) · (12,2) ·· · (-8,-4) · · (9,-3)
O

(6,0)

x

(0,-6)

L:x-y=6

y

L:x-y=6

x-y<6
O

·

·

(6,0)

x

(0,-6)

x-y>6

猜想:
直线L左上方的点(x,y)有x-y<6 直线L右下方的点(x,y)有x-y>6

y

·
y>y0 x x-y<6 0-y<6 x0-y0=6

P(x,y)

L:x-y=6

O

· ·

·

(6,0)

x

(0,-6)

P0(x0,y0)

y

x<x0 P(x,y) x-y<6 x-y0<6 O

·

x0-y0=6

L:x-y=6

·

· ·
(6,0)

P0(x0,y0) x

(0,-6)

结论:
一般地, 二元一次不等式Ax+By+C>0
在平面直角坐标系中,表示直线 Ax+By+C=0某一侧所有点组成的

平面区域。

作图方法步骤:
二元一次不等式表示 平面区域的画法,常用
“直线定界、特殊点定域”

(1)直线定界 注意: “>0 (或<0) ”时, 直线画成虚线;

“≥0(或≤0)”时,直线画成实线. (2)特殊点定域注意: 当C≠0时,常把原点作为特殊点; 当C=0时,可取坐标轴上其它的点.

例1:画出不等式x+4y<4
表示的平面区域。

y

·
O x+4y<4

x+4y=4 4 x

练习1:P86

1.

2.

例2:用平面区域表示不等式组

y ? ?3x ? 12 ? ? ? x ? 2 y ? ?
的解集

y
12

3x+y-12=0
8

4

x-2y=0
x

0 -9 –8 –7 –6 -5 -4 –3 –2 -1 0 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6

练习2:P86

3.

练习2 :画出不等式组 ?x? y?5? 0 ? ? ? x? y ?0 ? x ? 3 ? ?

表示的平面区域。

x-y+5=0
y

x+y=0

6
4
2

-6

-4

-2 O

2

4

6

x

x=3

例3.要将两种大小不同的钢板截成A、
B、C三种规格,每张钢板可同时截得三 重规格的大小钢板的块数如下表所示:
规格类型

A规格 B规格 C规格
钢板类型

第一种钢板 第二种钢板

2 1

1 2

1 3

今需要A、B、C三种规格的成品分别15,

18,27块,用数学关系和图形表示上述要求

规格类型

钢板类型

A规格 (15)

B规格 (18)

C规格 (27)

张数

第一种钢板

2 1

1 2

1 3

x
y

第二种钢板 成品块数

2x+y x+2y x+3y

解:设截第一种钢板x张,第二种钢板y张, 则 2 x ? y ? 15

? ? x ? 2 y ? 18 ? ? ? x ? 3 y ? 27 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0

y

18 16 14 12 10 M 8 6 4 2 0 -2 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

x

2x+y=15

x+2y=18

例4.一个化肥厂生产甲乙两种混合化 肥,生产1车皮甲种肥料的主要原料是 磷酸盐4t、硝酸盐18t;生产1车皮乙 种肥料的主要原料是磷酸盐1t、硝 酸盐15t.现库存磷酸盐10t、硝酸盐 66t,在此基础上生产这两种混合肥料 .列出满足生产条件的数学关系式,并 画出相应的平面区域.

盐类
肥料

磷酸盐 硝酸盐 (10t) (66t)

车皮数

甲种肥料

4t

18t

x y

乙种肥料

1t

15t

解:设x,y分别为计划生产甲乙两 种肥料的车皮数,满足以下条件:

? 4 x ? y ? 10 ?18 x ? 15 y ? 66 ? ? x ? 0 ? ? y?0 ?

y 15 10

4x+y=10
5

-1

O

1

x

2

3

18x+15y=66

4

练习3: P89

4.

小结:
1:二元一次不等式Ax+By+C>0 在平面直角坐标系内,表示的平 面区域,达到数与形的结合. 2:二元一次不等式(组)所表示的 平面区域的画法,体会“直线定 界,特殊点定域”的画法

作业:
1.书面作业:习题3.3中

2、3、4题 2.预习3.3.2节中简单的 线性规划问题

思考练习:
1.画出不等式(x+2y+1)(x-y+4)<0 表示的平面区域。
2.由直线x+y+2=0,x+2y+1=0和 2x+y+1=0围成的三角形区域

(包括边界)用不等式可表示



附: 思考练习答案

y
8 7 6 5 4 3 2 1 0 -9 –8 –7 –6 -5 -4 –3 –2 -1 0 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -

x-y+4=0

x

x+2y+1=0

y

2x+y+1=0

?x? y?2?0 ? ?x ? 2 y ? 1 ? 0 ?2 x ? y ? 1 ? 0 ?
2 1
0 1 2 x

-2

-1

x+2y+1=0 x+y+2=0
-1

-2
-



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