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函数零点教学设计方案


教学设计方案 课题名称 姓名 年级学科 高一数学 方程的根与函数的零点 工作单位 教材版本 人教版

一、教学内容分析 本节课是在学生学习了《基本初等函数(Ⅰ) 》的基础上,学习函数与方 程的第一课时,本节课中通过对二次函数图象的绘制、分析,得到零点的概念, 从而进一步探索函数零点存在性的判定,这些活动就是想让学生在了解初等函 数的基础上,利用计算机描绘函数的图象,通过对函数与方程的探究,对函数 有进一步的认识,解决方程根的存在性问题,为下一节《用二分法求方程的近 似解》做准备 二、教学目标
理解函数零点的定义;(重点) 掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系; 掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法。(难点)

三、学习者特征分析 学生在初中已经学习过了方程的根,在初中研究的“方程的根”只是侧重 “数”的一面来研究,学生前面已经学习了基本初等函数,对函数的图形已经 很了解, 第三章第一节, 从 “形” 的角度去研究 “方程的根与函数零点的关系” 。
学生可能会设法画出图象找到所有任意函数的可能存在的所有零点, 但是并不是所有函数 的图象都能具体的描绘出,所以在概念的接受上有一点的障碍.要引导学生在画不出函数 图象时应该如何确定零点。

四、教学过程
一、创设情境,感知概念. 1、实例引入: “解方程”大家会吗?会解什么样的方程?下列方程: ( 1) 有没有实数根?根在哪个区间? 2、请大家求出方程的根、画出相应函数的图像并填空: ; ( 2)

①求方程 2 x ? 2 ? 0 的根,画函数 f ? x ? ? 2x ? 2 的图像; ②求方程 x 2 ? x ? 2 ? 0 的根,画函数 f ? x ? ? x ? x ? 2 的图像;
2

③求方程 e x ? 0 的根,画函数 f ? x ? ? e 的图像;
x

问:观察图像你能得出什么结论呢? (1)方程不同实数根的个数与函数图像与 x 轴的交点个数相等; (2)方程的实数根(值)与函数图像与 x 轴的交点的横坐标(值)相等。 3、一般函数的图象与方程根的关系 问题:一般的函数与方程之间也有类似的关系吗?为什么? 由于方程 f(x)=0 的根表示:使 f(x)=0 成立的 x 值;求函数 y=f(x)的图像与 x 轴 交点的横坐标,即先令 f(x)=0 再求出相应的 x 值。所以,对于一般的方程与其对应函数 之间,上面的结论依然成立。方程 f(x)=0 有几个根,y=f(x)的图象与 x 轴就有几个交 点,且方程的根就是交点的横坐标. 二、辨析讨论,深化概念. 1、函数零点的定义: 对于函数 y=f(x),把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点. 注意:①函数零点不是一个点,而是具体的自变量的取值; ②零点对于方程来说,是方程的根; 对于函数来说,叫函数的零点;从函数值与自变 量对应的角度看,就是使函数值为 0 的实数 x。 2、函数的零点与方程的根的关系 问题:方程的根与函数的零点有什么关系呢? (1)联系:①数值上相等:求函数的零点可以转化成求对应方程的根; ②存在性一致: 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y =f(x)有零点. (2)区别:零点是针对函数而言的,根是针对方程而言的。 以上关系表明:函数与方程有着密切的联系,函数问题有时可转化为方程问题;同样,有 些方程问题可以转化为函数问题来求解,这正是函数与方程思想的基础。 三、实例探究,归纳定理. 1、零点存在性定理的探索

问题:满足什么条件,函数 y=f(x)在区间[a,b]上一定有零点? (1)实例探究:下面是三次函数 y ? x3 ? x2 ? 2 x 的部分对应值表及函数图像:

问题 1:你能从表中找出函数的零点吗? 问题 2:结合图象与表格,你能发现函数零点附近的函数值有何特点? 生:零点两侧的函数值异号! (2)观察函数 y=f(x)的图象回答问题: ①在区间(a,b)上___(有/无)零点; f(a)·f(b)___0(“<”或“>”) . ② 在区间(b,c)上___(有/无)零点;f(b)·f(c) ___ 0(“<”或“>”) . ③ 在区间(c,d)上___(有/无)零点;f(c)·f(d) ___ 0(“<”或“>”) . 可见,图像穿过区间,就有零点;没有零点的区间,是因为图象都在区间的下方或是 上方。如果 f(a)·f(b)<0,且图像是不间断的,则函数 f(x)在区间(a,b)上有零点。— —这是“零点存在性定理” 。 2、零点存在性定理: 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)·f(b) <0,那么,函数 y=f(x)在区间(a,b)内就有零点.即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0, 这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根. 四、正反例证,熟悉定理 例 1、判断下列结论是否正确,若不正确,请使用函数图象举出反例: (1)已知函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续,且 f(a)·f(b)<0,则 f(x)在区间(a,b)内有 且仅有一个零点。 ( × )

y

a O b

c d x

(2)已知函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续,且 f(a)·f(b)≥0,则 f(x)在区间(a,b)内 没有零点。 ( × )

(3) 已知函数 y=f(x)在区间[a, b]满足 f(a)·f(b)<0, 则 f(x)在区间(a, b)内存在零点。 ( × ) 请学生板书反例,其他学生补充评析,PPT 展示如下: y y

a O b x O a b x O

a b x

归纳收获:定理只能表明零点的存在性,定理不能确零点的个数;不满足定理条件时 依然可能有零点;定理中的“连续不断”是必不可少的条件。 六、总结整理,提高认识. (1)一个关系:函数零点与方程根的关系: (2)两种思想:函数方程思想;数形结合思想. (3)三种题型:求函数零点、判断零点个数、求零点所在区间.

五、教学策略选择与信息技术融合的设计 教师活动 几 何 画 板 画 函 数 预设学生活动 设计意图 直观理解 观察 零点的感念 直观理解 几 何 画 板 画 函 数
f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 图像

y ? x2 ? 2x ? 3 图像

零点的感念并 观察讨论 思考如果画不 出图形该如何 确定零点。 独自做答 让学生更

PPT 展示练习及答案 讨论

好的理解函数 存在定理

六、教学评价设计

一、 用化归与转化、 数形结合、 函数与方程的数学思想培养学生从已有认知结构出发, 构建共同基础,提供发展平台,主动应用数学思想的意识,促进学生对知识灵活应用的能 力。 二、 在初中研究的 “方程的根” 只是侧重 “数” 的一面来研究, 这节课引导学生从 “形” 的角度去研究“方程的根与函数零点的关系”。不断通过小组合作探究,倡导积极主动、 勇于探索的学习方式;培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯;注重提 高学生的数学思维能力,发展学生的数学应用意识。 三、在教学过程中,强调本质,注意适度形式化,培养学生基础知识与基本技能,体 现数学的文化价值,让每位学生都学到有用的数学。注重信息技术与数学课程的整合,利 用 PPT 与几何画板辅助教学,布置不同层次的作业,建立合理、科学的评价体系。

七、教学板书(本节课的教学板书。如板书中含有特殊符号、图片等内容,为 方便展示,可将板书以附件或图片形式上传。 )
第一版 一、零点的定义 二、方程的根与函数零点的等价 关系 三、函数存在性定理 第二版 例 1、 函 数 例 二 第三版 、 求 函 数 的零 第四版 导入与练习的 计算

f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6
点的个数。

y ? 3x
的零点 与 像。 图



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